Priverstiniai svyravimai ir rezonansas

Pradėkime nuo išorinės jėgos veikiamos spyruoklės

2 kg masės kūnas juda horizontaliai, veikiamas prie atramos pritvirtintos spyruoklės. Tegul x yra jo poslinkis su ženklu nuo spyruoklės pusiausvyros padėties, kai jos neveikia išorinė jėga; teigiama kryptis – į dešinę. Duotas spyruoklės standumas k = 8 N/m ir klampiojo pasipriešinimo koeficientas b = 4 kg/s. Spyruoklės jėga yra −kx, o pasipriešinimo jėga – −bv, čia v = dx/dt.

Išorinė jėga pradeda veikti, kai t = 0 s: F_drive(t) = (8 N) cos(Ωt). Jos amplitudė yra F₀ = 8 N, o pasirinktas kampinis dažnis Ω yra neneigiamas ir išreiškiamas rad/s. Kosinuso argumentas yra skaitinė fazės vertė radianais. Kai Ω = 0, jėga yra pastovi, o ne periodiškai kintanti. Pradžioje x(0) = 0 m ir v(0) = 0 m/s.

Šiame konkrečiame idealiajame modelyje atrama yra nejudanti, vertikaliosios jėgos atsveria viena kitą, o nurodytos jėgos yra vienintelės horizontaliosios jėgos, veikiančios pasirinktą kūną. Nėra sausosios trinties, netiesinės spyruoklės ar kintančio koeficiento. Pagal Niutono dėsnį gauname m*x_ddot + b*x_dot + k*x = F0*cos(Omega*t). Taškai žymi išvestines tikrojo laiko t atžvilgiu; kiekvieno nario matavimo vienetas yra niutonas.

Temos „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ ir „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia čia naudojamam darbui su vienetais ir grafikų skaitymui. Temos „Niutono dėsniai ir laisvojo kūno diagramos“ ir „Trintis, įtempimo jėga, pasipriešinimas, spyruoklės ir kontaktinės jėgos“ parengia jėgų ženklų nustatymui. „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ yra paskelbta tema, prie kurios galima grįžti kartojant sinusą ir kosinusą. Šiame tekste cos θ ir sin θ reiškia vienetinio apskritimo taško, atitinkančio kampą θ, horizontaliąją ir vertikaliąją koordinates; atsako koeficientai ir amplitudės apibrėžiami toliau.

Skaitydami pirmą kartą, sekite vieno dažnio skaičiavimą, du skydelius ir tikslią jų lentelę. „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ ir „Paprastosios diferencialinės lygtys“ yra paskelbtos temos, prie kurių galima pasirinktinai grįžti norint patikrinti ekstremumus ir judėjimo pradžią. Šiam pavyzdžiui suprasti nereikia jokios vėlesnės pamokos apie svyravimus.

Sprendinys vienam žadinimo dažniui

Pirmiausia pasirinkime Ω = 1 rad/s. Pažymėkime τ = t/(1 s) – bedimensę skaitinę laiko vertę – ir ieškokime nusistovėjusio atsako x_p(t) = A cos τ + B sin τ. Indeksas p žymi priverstinių svyravimų lygties atskirąjį sprendinį; A ir B matuojami metrais.

Spyruoklės ir pagreičio nariai kartu sudaro poslinkio daugiklį 6 N/m, o pasipriešinimo įnašas į kryžminius narius yra 4 N/m. Sulyginę kosinuso koeficientus, gauname (6 N/m)A + (4 N/m)B = 8 N; sulyginę sinuso koeficientus, gauname (6 N/m)B − (4 N/m)A = 0 N.

Iš antrojo sąryšio gauname B = 2A/3. Įstatę į pirmąjį, gauname A = 12/13 m ir B = 8/13 m. Taigi atskirojo sprendinio poslinkio amplitudė yra D = √(A²+B²) = 4/√13 m, apytiksliai 1.1094 m. Amplitudė yra neneigiama net tada, kai atskiras sinuso ar kosinuso koeficientas yra neigiamas.

Diferencijuodami šį atskirąjį sprendinį, gauname v_p(t) = −(12/13 m/s) sin τ + (8/13 m/s) cos τ. Jo greičio amplitudė yra V = 4/√13 m/s. Pasirinkus šį dažnį, abiejų amplitudžių skaitinės vertės sutampa, tačiau jų vienetai skiriasi. Nė viena iš jų nėra pradinis rimties būsenoje esančio kūno greitis: v_p(0) = 8/13 m/s.

Dviejų atsako amplitudžių apibrėžimas

Bet kuriam Ω > 0 naudokime x_p(t) = A cos(Ωt) + B sin(Ωt). Apibrėžkime a = k−mΩ² ir d = bΩ; abu dydžiai matuojami N/m. Sulyginę koeficientus, gauname aA+dB = F₀ ir aB−dA = 0 N. Todėl A = F₀a/(a²+d²) ir B = F₀d/(a²+d²). Šiame modelyje, kuriame masė, spyruoklės standumas ir slopinimo koeficientas yra teigiami, vardiklis yra teigiamas.

Nusistovėjusio poslinkio amplitudė yra D = F₀/√(a²+d²), o nusistovėjusio greičio amplitudė yra V = ΩD. Šiame amplitudžių sąryšyje Ω naudojamas kaip atvirkštinio laiko dimensijos dydis; radianai yra bedimensiai. Periodinio atskirojo sprendinio atveju V taip pat yra didžiausias greičio modulis. Amplitudė neturi momentinio poslinkio ar greičio ženklo.

Tegu ρ = Ω/(1 rad/s) – bedimensė skaitinė dažnio vertė. Naudodami pateiktus koeficientus, apibrėžkime g(ρ) = ρ⁴−4ρ²+16 = (ρ²−2)²+12. Amplitudės įgyja pavidalą D = (4/sqrt(g(rho))) m; V = (4*rho/sqrt(g(rho))) m/s. Griežta apatinė riba g ≥ 12 užtikrina, kad abi amplitudės yra baigtinės kiekvienam ρ ≥ 0.

Tą patį atskirąjį judėjimo sprendinį galima užrašyti pasitelkus fazės atsilikimą δ: x_p = D cos(Ωt−δ). Čia δ = atan2(4ρ,8−2ρ²), naudojant abi skaitines dedamąsias tais pačiais N/m vienetais. Pasirinkime 0 ≤ δ ≤ π, kad sinuso koeficientas būtų neneigiamas, o kosinuso koeficiento ženklas išliktų. Kai ρ = 2, fazės atsilikimas yra π/2, nors didžiausia poslinkio amplitudė pasiekiama esant kitam dažniui.

Kai Ω = 0, nusistovėjusi būsena yra statinis poslinkis x_p = F₀/k = 1 m, o greitis lygus nuliui. Palyginimo galiniams taškams naudokime D(0) = 1 m ir V(0) = 0 m/s. Jie neaprašo nei ciklo, nei iš pradžių rimties būsenoje esančio kūno momentinio šuolio.

Dažnių ir dydžių palyginimas

Viršutiniame grafike lyginamos D vertės esant skirtingiems žadinimo dažniams, o apatiniame – V vertės esant tiems patiems dažniams. Mėlyni apskritimai ir žali kvadratai išskiria pasirinktas vertes. Rombas žymi globalųjį poslinkio maksimumą, o trikampis – globalųjį greičio maksimumą; punktyrinės pagalbinės linijos tik nurodo jų dažnius.

Šiame modelyje poslinkio maksimumas yra D = 2/√3 m, kai Ω = √2 rad/s. Greičio maksimumas yra V = 2 m/s, kai Ω = 2 rad/s. Esant šiam antrajam dažniui, poslinkio amplitudė yra 1 m, taigi mažesnė už savo maksimumą. Vadindami dažnį rezonansiniu, įvardykite, apie kurį sistemos atsako dydį kalbate.

Tai atskiri pastovaus dažnio atvejai. Horizontalioji koordinatė nėra laikas, o skirtingus dažnius atitinkančius taškus jungianti linija nėra nei kūno trajektorija, nei žadinimo dažnio keitimo įrašas. Kiekviena ordinačių ašis turi savus vienetus ir mastelį; vienodas pavaizduotas aukštis skirtinguose grafikuose neleidžia palyginti fizikinių dydžių.

Matematinis palyginimas apima visus Ω ≥ 0, tačiau brėžinyje parodytas tik intervalas 0 ≤ Ω ≤ 4 rad/s. Trumpos tiesių atkarpos apytiksliai vaizduoja analitines kreives. Neužpildyti žymekliai ir lentelė pateikia pasirinktas modelio vertes, o ne eksperimentinių stebėjimų rezultatus.

Patikrinkite, kada egzistuoja poslinkio maksimumas

Abu maksimumus galima patikrinti be grafiko. Diferencijuojant skaitines amplitudžių funkcijas pagal ρ, gaunama D′ = −8ρ(ρ²−2)/g^(3/2), matuojama metrais, ir V′ = 4(16−ρ⁴)/g^(3/2), matuojama m/s. Kiekvienos išvestinės ženklas pasikeičia iš teigiamo į neigiamą ties nurodytu maksimumu, kai dažnis teigiamas. Dažniui neribotai didėjant, abi amplitudės artėja prie nulio.

Kai m, k ir b yra bet kokie teigiami dydžiai, o F₀ > 0, poslinkio maksimumas esant teigiamam dažniui egzistuoja tik tada, kai k/m−b²/(2m²) > 0. Tuomet jis pasiekiamas ties Ω_D = √(k/m−b²/(2m²)). Jei šis reiškinys lygus nuliui arba neigiamas, didžiausia poslinkio amplitudė pasiekiama statiniame intervalo galiniame taške Ω = 0; vidinio poslinkio maksimumo esant teigiamam dažniui nėra.

Čia griežta ribinė sąlyga yra b < 4√2 kg/s. Tai nėra kritinio slopinimo riba be išorinio žadinimo b = 2√(mk) = 8 kg/s. Ar laisvieji svyravimai slopsta ir ar poslinkio rezonansas pasiekiamas esant teigiamam dažniui – du skirtingi klausimai.

Kad palyginimas būtų konkretus, pakeiskite tik b į 8 kg/s. Nusistovėjusių svyravimų amplitudžių išraiškos supaprastėja iki D = 4/(ρ²+4) m ir V = 4ρ/(ρ²+4) m/s. D mažėja visiems ρ > 0, o V vis dar turi maksimumą: 1 m/s ties ρ = 2. Didesnis slopinimas panaikino vidinį poslinkio maksimumą, bet nepanaikino šio greičio maksimumo.

Neslopinamų savųjų svyravimų kampinis dažnis √(k/m) = 2 rad/s yra lygties parametras. Laisvųjų slopinamųjų svyravimų kampinis dažnis čia yra √3 rad/s, o poslinkio rezonanso dažnis – √2 rad/s. Jie atsako į tris skirtingus klausimus. Norint tikslų poslinkio maksimumo dažnį pakeisti savuoju dažniu, reikėtų tinkamo silpno slopinimo artinio, kuris šiame palyginime nenaudojamas.

Atkurkite pradinę būseną

Nusistovėjęs atskirasis sprendinys paprastai netenkina pradinių sąlygų. Pasirinkite Ω = 2 rad/s. Iš koeficientų lygčių gaunama x_p = (1 m) sin(2τ) ir v_p = (2 m/s) cos(2τ). Kai t = 0 s, jo poslinkis lygus nuliui, bet greitis yra 2 m/s, taigi neatitinka duotosios pradinės rimties būsenos.

Pridėkite lygties be išorinio žadinimo sprendinį, kad suma vis dar būtų lygties su išoriniu žadinimu sprendinys. Esant pagrindinėms koeficientų vertėms, šis pereinamasis dėmuo yra e^(−τ)[C cos(√3τ)+S sin(√3τ)], kur C ir S matuojami metrais. Pradinio poslinkio sąlyga reikalauja C = 0 m, o pradinio greičio sąlyga – S = −2/√3 m.

Pasirinktą pradinę rimties būseną atitinkantis poslinkis yra x(t) = [sin(2*tau) - (2/sqrt(3))*exp(-tau)*sin(sqrt(3)*tau)] m. Pradinis pagreitis yra +4 m/s², nes pradinės spyruoklės ir pasipriešinimo jėgos lygios nuliui, o žadinimo jėga yra +8 N.

Skirtumo x−x_p modulis neviršija (2/√3)e^(−τ) m. Jis artėja prie nulio, tačiau nebuvo nurodyta jokia baigtinė pradinio pereinamojo proceso trukmė, po kurios jį būtų galima atmesti. Grafike pavaizduoti D ir V yra nusistovėjusių svyravimų amplitudės, o ne kiekvieno poslinkio ar greičio modulio ribos pradinio pereinamojo proceso metu. Skirtingos pradinės būsenos pakeičia pereinamąjį dėmenį, tačiau šiame modelyje su teigiamu slopinimu nusistovėjęs atskirasis sprendinys lieka toks pats.

Sekite žadinimą ir energijos sklaidą

Naudokite mechaninę energiją E = mv²/2+kx²/2, pasirinkę nulinę spyruoklės energiją ties x = 0. Diferencijuojant ir naudojant jėgų lygtį, gaunama dE/dt = F_drive v−bv². Tam tikru momentu žadinimo jėga gali energiją suteikti arba atimti; klampiojo pasipriešinimo narys visada mažina mechaninę energiją arba yra lygus nuliui. Esant išoriniam žadinimui, E nebūtinai mažėja monotoniškai.

Kai Ω > 0, nusistovėjusį periodinį atsaką vidurkinkite per vieną visą žadinimo periodą 2π/Ω. E grįžta į tą pačią vertę, todėl vidutinė tiekiama galia lygi vidutinei klampiojo slopinimo išsklaidomai galiai: ⟨P_drive⟩ = bV²/2. Ši tapatybė taikoma nusistovėjusiam ciklui, o ne bet kuriam pradinio judėjimo intervalui.

Ties greičio amplitudės maksimumu V = 2 m/s, todėl vidutinė tiekiama galia yra (4 kg/s)(2 m/s)²/2 = 8 W. Ties poslinkio amplitudės maksimumu V = 2√(2/3) m/s, todėl gaunama 16/3 W. Šie dydžiai dar kartą parodo, kodėl svarbu, koks atsako matas pasirenkamas.

Dabar perpus sumažinkite tik žadinančios jėgos amplitudę iki 4 N, nekeisdami koeficientų, dažnio ir nulinių pradinių sąlygų. Dėl tiesiškumo poslinkis ir greitis sumažėja perpus, taip pat ir pereinamojo proceso metu. Maksimumų dažniai nesikeičia, o vidutinė galia sumažėja keturis kartus: ties greičio amplitudės maksimumu ji lygi 2 W. Toks mastelio keitimas galioja tik tada, kai tiesinis modelis lieka nepakitęs; tai nėra taisyklė bet kuriam realiam osciliatoriui.

Aiškiai nurodykite ribas ir grįžimo kelius

Pastovi žadinanti jėga yra atskiras ribinis atvejis. Kai Ω = 0, nusistovėjęs nuokrypis yra 1 m, tačiau sprendinys, kai pradžioje sistema yra rimties būsenoje, yra x(t) = [1−e^(−τ)(cos(√3τ)+(1/√3)sin(√3τ))] m. Kai t = π/√3 s, jis pasiekia 1+e^(−π/√3) m, t. y. daugiau nei 1 m. Statinis dažninio grafiko galinis taškas neatmeta galimybės, kad pradinio judėjimo metu ši vertė bus viršyta.

Pašalinus slopinimą, rezonanso uždavinys pasikeičia. Kai b = 0, Ω = 2 rad/s ir pradinės ramybės sąlygos tos pačios, tiesiogiai įstatę gauname x(t) = [τ sin(2τ)] m. Šio sprendinio svyravimų gaubtinė auga neribotai. Esant šiam rezonansiniam dažniui ir nesant slopinimo, aprėžto periodinio nusistovėjusio atsako nėra; teigiamam slopinimui skirta amplitudės formulė čia negali būti taikoma su nuliniu vardikliu.

Grįžtant prie formaliojo nagrinėjimo, koeficientų sulyginimas paaiškina abi amplitudės kreives, jų išvestinės paaiškina maksimumus, o pridėtas pereinamojo proceso dėmuo leidžia patikrinti abi pradines sąlygas. Pasirenkamasis kompleksinių skaičių metodas kosinusinę žadinančią jėgą pakeičia kompleksine eksponentine funkcija, o galiausiai paimama realioji poslinkio dalis; tiesiškumas leidžia taip skaičiuoti, tačiau menamoji dalis nėra papildoma fizinė kryptis.

Spyruoklės ir pasipriešinimo dėsniai buvo pateikti kaip tikslūs. Jų taikymo riboms realiame įrenginyje, sausosios trinties režimų perėjimams, netiesiniam rezonansui, kintantiems parametrams, susietosioms svyravimo modoms ir saugos riboms reikia papildomų duomenų ir modelių. Vien baigtinės amplitudės grafikas neleidžia nustatyti nė vieno iš šių dalykų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagrindiniam modeliui, kai Ω = 2 rad/s, raskite A, B, D, V ir fazės atsilikimą. Ar šis atskirasis sprendinys tenkina ramybės būsenos pradines sąlygas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A = 0 m, B = 1 m, D = 1 m, V = 2 m/s ir δ = π/2 rad. Šis sprendinys netenkina nulinio pradinio greičio sąlygos.

   Dinaminis koeficientas, lygus spyruoklės standumo ir inercijos nario skirtumui, yra lygus nuliui, o d = 8 N/m. Taigi x_p = (1 m) sin(2τ), ir x_p(0) = 0 m, tačiau v_p(0) = 2 m/s.

2. Kai Ω = 3 rad/s, apskaičiuokite D ir V. Koks yra kosinuso koeficiento A ženklas ir ar D gali būti neigiamas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   D = 4/√61 m, V = 12/√61 m/s ir A = −20/61 m. D yra teigiamas.

   g(3) = 81−36+16 = 61 ir 4(4−9)/61 = −20/61. Koeficientas perteikia su faze susijusią ženklo informaciją; √(A²+B²) yra amplitudė ir ji yra neneigiama.

3. Nurodykite abu pagrindinio modelio globaliuosius maksimumus teigiamųjų dažnių srityje ir greičio amplitudę ties poslinkio amplitudės maksimumu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   D maksimumas pasiekiamas, kai Ω = √2 rad/s, ir D = 2/√3 m. V maksimumas pasiekiamas, kai Ω = 2 rad/s, ir V = 2 m/s. Ties poslinkio amplitudės maksimumu V = 2√(2/3) m/s.

   Išvestinių daugikliai ρ²−2 ir 16−ρ⁴ nurodo skirtingų ekstremumų vietas. Padauginus D, kai ρ = √2, iš √2 s⁻¹, gaunama nurodyta greičio amplitudė.

4. Pakeiskite tik F₀ iš 8 N į 4 N. Kai Ω = 2 rad/s, raskite nusistovėjusias D ir V vertes bei vidutinę tiekiamą galią. Ar pasikeičia dažnis, kuriam esant greičio amplitudė yra didžiausia?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   D = 1/2 m, V = 1 m/s, o vidutinė tiekiama galia yra 2 W. Greičio amplitudės maksimumas lieka ties Ω = 2 rad/s.

   Tiesinio atsako amplitudės yra proporcingos F₀, tačiau jų ekstremumų dažniai nuo F₀ nepriklauso. Galia bV²/2 yra proporcinga amplitudės kvadratui, todėl 8 W tampa 2 W.

5. Kai Ω = 0, palyginkite nusistovėjusį poslinkį su iš pradžių ramybėje esančios sistemos sprendiniu momentu t = π/√3 s. Koks tuo metu yra greitis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nusistovėjęs poslinkis yra 1 m. Tuo metu x = [1+e^(−π/√3)] m > 1 m ir v = 0 m/s.

   Pereinamojo proceso, veikiant pastoviai išorinei jėgai, sprendinyje sinusas lygus nuliui, o kosinusas lygus −1, kai √3τ = π. Diferencijuojant gaunama v = (4/√3 m/s)e^(−τ)sin(√3τ), taigi tuo metu greitis lygus nuliui. Šis judėjimo krypties pasikeitimas pereinamojo proceso metu nėra periodinės išorinės jėgos sukeltas rezonansas.

6. Kai m = 2 kg, k = 8 N/m, o išorinės jėgos amplitudė teigiama, kokią griežtą sąlygą turi tenkinti b, kad poslinkio amplitudės maksimumas būtų pasiekiamas esant teigiamam dažniui? Ar lygybės pakanka ir ar tai yra kritinė riba be išorinės jėgos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Griežta sąlyga yra 0 < b < 4√2 kg/s. Lygybės atveju poslinkio amplitudė neturi maksimumo teigiamųjų dažnių srities viduje. Kritinis slopinimas be išorinės jėgos yra b = 8 kg/s.

   Maksimumo dažnio kvadratas yra k/m−b²/(2m²). Jis turi būti teigiamas. Atskirai nagrinėjamos laisvųjų svyravimų lygties diskriminantas lygus nuliui, kai b² = 4mk, o poslinkio amplitudės maksimumo riba yra b² = 2mk.

Ką verta įsidėmėti

• Nurodykite, kuri atsako amplitudė apibrėžia rezonansą; poslinkio ir greičio amplitudės gali pasiekti maksimumą esant skirtingiems išorinės jėgos dažniams.
• Kad būtų tenkinama pasirinkta pradinė būsena, nusistovėjusį atskirąjį sprendinį vis tiek reikia papildyti pereinamuoju dėmeniu.
• Statiniai kraštiniai atvejai, slopinimo slenksčiai ir rezonansas be slopinimo keičia klausimą, todėl aiškiai nurodykite jų sąlygas.