Virtualusis darbas ir Dalambero principas

Vienas karoliukas, viena leistina kryptis

2 kg masės karoliukas gali judėti tik nejudančia tiesia kreipiančiąja, kuri pakyla keturis vienetus kas tris vienetus į dešinę. Karoliuką laikykite materialiuoju tašku. Kreipiančioji sudaro dvipusį ryšį: ji neleidžia nukrypti nė į vieną pusę. Tarkime, kad trinties nėra, masė pastovi, o Dekarto koordinačių sistema yra inercinė; x ašis nukreipta į dešinę, y ašis – į viršų. Tai pateiktos Niutono mechanikos modelio sąlygos, o ne išmatuotos tikros kreipiančiosios savybės.

Karoliuką veikia horizontali rankos jėga H = (10, 0) N ir sunkio jėga W = (0, −20) N. Kreipiančioji sukuria fizinę reakcijos jėgą R. Šioje pamokoje F = H + W = (10, −20) N žymi veikiančias jėgas, išskyrus R. Visos trys sąveikos yra fizinės; toks atskyrimas yra jėgų apskaitos būdas taikant projekcijų metodą.

Padėtį užrašykite kaip r = q t̂, kur q yra atstumas su ženklu išilgai kreipiančiosios, išreikštas metrais, o t̂ = (3/5, 4/5) – jos į viršų nukreiptas vienetinis liestinės vektorius. Simbolis t̂ žymi kryptį, o ne laiką. Jo ilgis lygus vienetui, nes (3/5)² + (4/5)² = 1. Statmeną kryptį nusakantis vienetinis vektorius yra n̂ = (−4/5, 3/5). Taigi x = 3q/5, y = 4q/5, o ryšio lygtis yra −4x + 3y = 0.

Palyginkite konfigūracijas tuo pačiu laiko momentu

Laikykite laiką fiksuotą ir įsivaizduokite, kad šiek tiek pakeičiate q, karoliukui liekant ant šios kreipiančiosios. Leistinas pirmosios eilės pokytis yra δr = t̂ δq, todėl −4δx + 3δy = 0. Simbolis δ atskiria šį virtualųjį pokytį nuo pokyčio, vykstančio laikui bėgant karoliukui iš tikrųjų judant. Juo tikrinama leistina kryptis; jėgos neprivalo versti karoliuko judėti ta kryptimi.

Skaičiavimams naudokite pasirinkto mastelio variacijos vektorių δq = 0.05 m ir δr = (0.03, 0.04) m. Tai yra kiek norima mažo palyginamojo pokyčio koeficientai: pakeiskite q į q + ε(0.05 m), kur bedimensis parametras ε artėja prie nulio. Pirmosios eilės padėties pokytis yra ε(0.03, 0.04) m. Nurodome koeficientą, o ne tariame, kad karoliukas per nulinį laiką peršoka 0.05 m. Tiesinis ryšys užtikrina, kad šis palyginamasis pokytis tiksliai tenkina ryšį, kai teigiamas arba neigiamas ε yra pakankamai mažas.

Dviejų vektorių, išreikštų fiksuotų ašių atžvilgiu, skaliarinė sandauga A · B yra A_xB_x + A_yB_y. Jėgos virtualiojo darbo koeficientas yra δW = F · δr. Jo matavimo vienetai yra N m = J. Mūsų pasirinkto mastelio palyginime pirmosios eilės virtualusis darbas yra εδW. Tai nėra teiginys, kad energija iš tikrųjų buvo perduota.

Pusiausvyros tikrinimas visomis leistinomis variacijomis

Idealusis ryšys yra toks ryšys, kurio reakcijų bendras virtualusis darbas lygus nuliui esant bet kuriam leistinam virtualiajam poslinkiui. Šios tiesios kreipiančiosios be trinties atveju R yra statmena kreipiančiajai, o δr nukreiptas išilgai jos liestinės, todėl R · δr = 0. Tai yra nurodyta modelio savybė; vien padėties apribojimas nepatvirtina, kad kiekvienas realus sąlytis yra idealus.

Jei karoliukas yra statinės pusiausvyros būsenos, a = 0, o iš Niutono lygties gauname F + R = 0. Tada, skaliariškai padauginę iš δr, gauname F · δr = 0 kiekvienai leistinai variacijai. Ir atvirkščiai, šiame reguliariame kreipiančiosios su dvipusiu ryšiu modelyje nulinė veikiančios jėgos projekcija visoms liestinės krypties variacijoms pašalina jėgų disbalansą liestinės kryptimi; normalinė reakcija užtikrina likusią pusiausvyrą. Kad sistema liktų rimties būsenos, pradinis greitis taip pat turi būti lygus nuliui. Vien nulinė atstojamoji jėga leidžia judėti pastoviu greičiu.

Čia veikiančios jėgos projekcija yra F · t̂ = 10(3/5) − 20(4/5) = −10 N, todėl nurodyta 10 N rankos jėga nesukuria statinės pusiausvyros. Norėdami išlaikyti karoliuką vietoje, pakeiskite horizontaliąją jėgą į kitą vertę H₀: iš (3/5)H₀ − 16 N = 0 gauname H₀ = 80/3 N. Svarbu reikalauti pusiausvyros kiekvienai leistinai variacijai; viena nulinė skaliarinė sandauga nesusijusia kryptimi mažai ką įrodytų.

Niutono dinamikos lygties projekcija

Pagreitis a yra greičio kitimo sparta; jo komponenčių matavimo vienetai yra m/s². Kai tas pats karoliukas juda fiksuota tiesia kreipiančiąja, a nukreiptas išilgai liestinės. Niutono lygtis yra ma = F + R. Projektuojant į liestinės kryptį, R projekcija tampa lygi nuliui: m a_q = F · t̂, kur a_q yra pagreitis išilgai kreipiančiosios su ženklu. Taigi a_q = (−10 N)/(2 kg) = −5 m/s² ir a = (−3, −4) m/s².

Veikiančios jėgos projekcija į normalės kryptį yra F · n̂ = −20 N. Kad normalinis pagreitis būtų lygus nuliui, turi būti R = 20 N n̂ = (−16, 12) N. Todėl tikroji atstojamoji jėga yra F + R = (−6, −8) N = ma. Pertvarkykite tą pačią lygtį į F − ma = −R ir skaliariškai padauginkite iš δr: (F − ma) · δr = 0. Tai vienos dalelės Dalambero principo forma, darant idealiojo ryšio prielaidą.

Čia F − ma = (16, −12) N yra statmena leistinai krypčiai. Ši atimtis išreiškia efektyviąją pusiausvyrą, o ne naują fizinę sąveiką, veikiančią karoliuką. Narys −ma šioje konstrukcijoje kartais vadinamas inercijos jėga. Tai nėra papildoma rankos, sunkio ar kreipiančiosios jėga, ir šiame skaičiavime vis tiek naudojamas pagreitis inercinės atskaitos sistemos atžvilgiu.

Kaip konkretų tikrojo judėjimo, atitinkančio šias sąlygas, pavyzdį pateikite q(t) = 1 m + (0.2 m/s)t − (2.5 m/s²)t² ir v_q(t) = 0.2 m/s − (5 m/s²)t tik intervale 0 ≤ t ≤ 0.2 s. Kai t = 0.1 s, karoliukas juda žemyn šlaitu greičiu v_q = −0.3 m/s. Tą pačią akimirką mūsų aukštyn nukreipta virtualioji kryptis tebėra leistina. Virtualusis poslinkis pasirenkamas ne pagal tikrojo greičio ženklą.

Fizinės jėgos ir efektyvioji pusiausvyra projekcijoje

Kairiojoje schemoje pavaizduotos trys karoliuką veikiančios fizinės sąveikos. Dešiniojoje pavaizduotas tik apskaičiuotas vektorius F − ma – brūkšnine linija su neužpildytu rombo formos antgaliu. Abiejose schemose naudojamas 7 pikselių vienam niutonui mastelis. Taškinės rodyklės su neužpildytais trikampiais antgaliais rodo leistinąją virtualaus poslinkio kryptį aukštyn. Jų ilgiai nurodo tik kryptį, o ne išmatuotą poslinkį ar poslinkio mastelį.

Abiejose schemose kreipiančiosios orientacija yra tokia pati – 3:4. Mažos x ir y ašys rodo koordinačių kryptis; jos nėra padėties matavimo liniuotės. Efektyvusis vektorius yra statmenas virtualaus poslinkio krypčiai, todėl jo skaliarinė sandauga su šia kryptimi lygi nuliui. Pats vektorius nebūtinai turi būti nulinis. Lentelėje pateikti tikslūs tekstiniai atitikmenys pasirinkto mastelio variacijos koeficientui.

Judantis idealus kreiptuvas gali perduoti energiją

Dabar pakeiskite modelį: visą tiesų kreiptuvą tolygiai slinkite n̂ kryptimi 0.5 m/s greičiu, jo nesukdami. Bet kuriuo fiksuotu laiko momentu virtualiojo poslinkio kryptis tebėra t̂. Tačiau iš tikrųjų judant karoliuko greitis gali apimti ir normalinį kreiptuvo greitį. Suteikite karoliukui 0.2 m/s momentinį tangentinį greitį kreiptuvo atžvilgiu. Greitis inercinėje atskaitos sistemoje yra v = (0.2 m/s)t̂ + (0.5 m/s)n̂ = (−0.28, 0.46) m/s.

Palikite tą pačią masę, rankos jėgą ir sunkio jėgą. Kadangi slenkamasis judėjimas yra tolygus, o tiesus kreiptuvas neturi normalinio pagreičio, jo reakcijos jėga išlieka R = 20 N n̂. Reakcijos jėgos virtualiojo darbo koeficientas tebėra lygus nuliui. Tačiau jos tikroji momentinė galia yra R · v = (20 N)(0.5 m/s) = 10 W. Galia yra tikrasis darbas per laiko vienetą, o jos matavimo vienetai yra J/s = W.

Taigi šiuo judančio kreiptuvo atveju kreiptuvas gali perduoti energiją karoliukui. Kai kreiptuvas nejuda, tikrasis greitis yra tangentinis, o reakcijos jėgos galia lygi nuliui. Teiginys, kad ideali reakcijos jėga visada atlieka nulinį tikrąjį darbą, supainiotų šias dvi situacijas. Tai vietiniai modelio skaičiavimai, o ne laboratoriniai galios matavimai.

Prieš apibendrindami įvardykite apribojimus

Kelioms dalelėms, kurių masės yra teigiamos ir pastovios, inercinėje atskaitos sistemoje atitinkamas teiginys yra Σᵢ(Fᵢ − mᵢaᵢ) · δrᵢ = 0 kiekvienam leistinam virtualiajam poslinkiui, kai ΣᵢRᵢ · δrᵢ = 0. Simbolis Σᵢ reiškia, kad reikia sudėti kiekvienos dalelės indėlį. Kai kurios idealios vidinės ryšių reakcijos sumoje gali viena kitą kompensuoti net tada, kai atskiros reakcijos virtualusis darbas nėra lygus nuliui.

Norėdami taip naudoti nepriklausomas konfigūracijos koordinates, pasirinkite glodžius lygybinius ryšius, priklausančius nuo padėties ir galbūt nuo laiko, kurių apribojimai nagrinėjamoje srityje yra nepriklausomi ir reguliarūs. Tokie ryšiai vadinami holonominiais. Reguliarumas reiškia, kad nepriklausomų lygčių pirmosios eilės koeficientų eilutės toje srityje išlieka tiesiškai nepriklausomos, todėl leistinų liestinių krypčių aibė yra gerai apibrėžta. Laisvės laipsnis yra viena nepriklausoma konfigūracijos koordinatė. Mūsų vienintelė lygtis −4x + 3y = 0 yra reguliari, nes jos koeficientų vektorius (−4, 3) yra nenulinis. Du kartus pakartojus šią lygtį, laisvės laipsnių skaičius dar vienu nesumažėtų.

Šioje pamokoje koordinačių eliminavimo taisyklė neapibendrinama visiems nuo greičio priklausantiems apribojimams ar vienpusiam kontaktui, kuris gali nutrūkti. Jei kontakte veikia trintis leistino poslinkio kryptimi, šią jėgą palikite projektuojamoje jėgų balanso lygtyje, užuot laikę jos virtualųjį darbą lygiu nuliui. Ryšių idealumą ir leistinas variacijas būtina pagrįsti konkrečiam modeliui.

Taikykite metodą neišgalvodami jėgų

Pasirinkite sistemą ir atskaitos sistemą, išvardykite fizikines jėgas ir nurodykite ryšį. Nustatykite leistinas virtualiųjų poslinkių kryptis fiksuotu laiko momentu. Jei ryšys idealus, projektuokite statikos lygtį arba dinamikos lygtį F − ma į kiekvieną nepriklausomą kryptį. Prireikus nustatykite ryšio reakciją iš visos vektorinės lygties.

Temos „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ bei „Vektoriai ir vektorinės erdvės“ suteikia pagrindą darbui su vienetais ir skaliarinių sandaugų skaičiavimui pagal komponentes. Reikiama kreipiamosios geometrija ir jėgų lygtis jau pristatytos čia. Skaitant pirmą kartą pakanka karoliuko, lentelės ir judančios kreipiamosios palyginimo; prie kelių dalelių formuluotės grįžkite, kai prireiks didesnės sistemos.

Kitoje temoje „Stacionaraus veikimo principas“ lyginamos ištisos galimos raidos istorijos. Čia virtualioji projekcija buvo skaičiuojama vienu fiksuotu laiko momentu. Šių dviejų konstrukcijų nereikėtų sutapatinti vien todėl, kad abiejose vartojamas simbolis δ.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ar pasiūlytas vektorius (0.04, −0.03) m yra leistinas virtualiosios variacijos koeficientas, kai kreipiamoji nejudama? Patikrinkite ryšio sąlygą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. −4(0.04 m) + 3(−0.03 m) = −0.25 m, o tai nelygu nuliui.

   Pasiūlytas vektorius nukreiptas kreipiamosios normalės kryptimi, o ne leistina liestinės kryptimi. Nulinė skaliarinė sandauga neleistina kryptimi nepatvirtintų reikiamos projekcijų pusiausvyros.

2. Pakeiskite pagrindinio variacijos koeficiento kryptį į priešingą: δr = (−0.03, −0.04) m, nekeisdami jokių jėgų ar pagreičio. Raskite F · δr ir (F − ma) · δr.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Veikiančių jėgų koeficientas tampa +0.50 J; efektyvusis koeficientas lieka 0 J.

   Tiesinė skaliarinė sandauga pakeičia ženklą, kai bandomojo vektoriaus kryptis pasikeičia į priešingą. Nulinis Dalambero balansas galioja abiem kryptims, o nenulinis veikiančių jėgų koeficientas vis tiek rodo, kad statinės pusiausvyros nėra.

3. Kitame modelyje imkite 4 kg masę, tačiau aiškiai palikite H = (10, 0) N ir W = (0, −20) N toje pačioje nejudamoje idealioje kreipiančiojoje. Raskite tangentinį pagreitį, pagreičio vektorių Dekarto koordinatėmis ir reakcijos jėgą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   a_q = −2.5 m/s², a = (−1.5, −2) m/s² ir R = (−16, 12) N.

   Veikiančių jėgų projekcija į liestinės kryptį lieka −10 N, todėl ją padalykite iš 4 kg. Projekcija į normalės kryptį lieka −20 N, todėl reakcijos jėga nesikeičia. Šio uždavinio sąlygoje nurodyta ta pati žemyn nukreipta jėga; nedaroma prielaida, kad sunkio jėga nekinta, kai masė keičiasi nekintančiame gravitaciniame lauke.

4. Modifikuotame 2 kg masės kūno judėjimo nejudama kreipiančiąja atvejyje pridėkite papildomą 2 N dydžio trinties jėgą, nukreiptą išilgai liestinės aukštyn tuo momentu, kai kūnas juda žemyn. Raskite a_q ir šios jėgos koeficientą, kai δq = +0.05 m.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   a_q = −4 m/s², o trinties jėgos koeficientas yra +0.10 J.

   Įtraukite nurodytą neidealią tangentinę jėgą: (−10 + 2) N padaliję iš 2 kg gauname −4 m/s². Jos skaliarinė sandauga su teigiamos krypties tangentiniu virtualiuoju poslinkiu yra (2 N)(0.05 m). Teigiamas virtualusis darbas čia nereiškia teigiamos tikrosios trinties jėgos galios judant žemyn.

5. Atskiros kreipiančiosios, tolygiai slenkančios −0.5 m/s greičiu išilgai n̂, atveju palikite pagrindines jėgas ir momentinį santykinį tangentinį greitį +0.2 m/s. Raskite kreipiančiosios reakcijos jėgos galią ir jos virtualiojo darbo koeficientą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Reakcijos jėgos galia yra −10 W; jos virtualiojo darbo koeficientas tebėra 0 J.

   Fizinė reakcijos jėga lieka 20 N n̂, nes tolygus slenkamasis judėjimas nesukuria papildomo normalinio pagreičio. Jos galia yra (20 N)(−0.5 m/s), o kiekvienas virtualiojo poslinkio vektorius fiksuotu laiko momentu lieka tangentinis. Šiuo nurodytu momentu kreipiančioji mažina karoliuko energiją.

6. Plokštumoje judantis karoliukas tenkina abi lygtis: −4x + 3y = 0 ir −8x + 6y = 0. Ar jos palieka nulį, ar vieną nepriklausomą konfigūracijos koordinatę? Ar pagrindinio modelio nenulinis efektyvusis vektorius būtinai turi būti papildoma fizinė jėga?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Lieka viena nepriklausoma koordinatė. Antroji lygtis pakartoja pirmąją, o F − ma yra skaičiuojamas efektyvusis vektorius, o ne papildoma fizinė sąveika.

   Abi koeficientų eilutės yra proporcingos, todėl dviem plokštumos koordinatėms taikomas tik vienas nepriklausomas reguliarus ryšys. Pagrindinis efektyvusis vektorius yra nenulinis, bet statmenas visoms leistinoms liestinėms variacijoms; jo virtualioji projekcija lygi nuliui.

Ką verta įsidėmėti

• Virtualiąja variacija tikrinamos leistinos konfigūracijos vienu fiksuotu laiko momentu; tai nėra tikras poslinkis, vykstantis per tam tikrą laiką.
• Virtualusis darbas yra jėgos projekcija į šią variaciją ir turi energijos matavimo vienetus, tačiau nėra stebimas energijos perdavimas.
• Pagal nurodytą ryšių modelį idealiųjų ryšių reakcijų bendras virtualusis darbas lygus nuliui kiekvienai leistinai variacijai.
• Statinei pusiausvyrai naudojama F, o dinaminei Dalambero pusiausvyrai – F − ma, kur pagreitis nustatomas inercinėje atskaitos sistemoje, o masė yra pastovi.
• Judanti ideali kreipiančioji gali atlikti tikrą darbą net tada, kai jos reakcijos virtualusis darbas lygus nuliui.
• Nepriklausomi reguliarūs ryšiai ir teisingai nustatytos fizinės jėgos lemia, kurios projekcijos yra pagrįstos.