Triukšmas ir stochastinė dinamika

Pradėkite nuo dviejų galimų kitos koordinatės verčių

Per kiekvieną atnaujinimą modeliuojamos koordinatės vertė tampa lygi pusei ankstesnės vertės, pridėjus +1 m arba −1 m. Pradėkite nuo nulio fiksuotoje tiesėje, kurioje koordinatės į dešinę yra teigiamos. Taigi po pirmojo atnaujinimo gaunama +1 m arba −1 m. Kiekvienam prieaugiui priskirkite tikimybę 1/2: tai nedidelio modelio prielaidos, o ne aparatu išmatuoti dažniai.

Koordinatę po n-ojo atnaujinimo žymėkite Xₙ. Taisyklė yra Xₙ₊₁ = Xₙ/2 + (1 m)Sₙ₊₁, kur Sₙ₊₁ yra bedimensis ženklas, +1 arba −1. Nustatykite X₀ = 0 m. Skirtingų atnaujinimų ženklai yra tarpusavyje nepriklausomi: nurodžius bet kuriuos ankstesnius ženklus, kiekvienos naujo ženklo reikšmės tikimybė lieka 1/2. Modelyje n gali būti bet kuris neneigiamas sveikasis skaičius; diagramoje parodyta tik n = 0, 1, 2, 3.

Atnaujinimus priskirkite laiko momentams tₙ = n × 1 s. Čia niekas nenusako koordinatės tarp atnaujinimų, todėl jungiančios atkarpos diagramoje negalima laikyti fiziniu judėjimu tarp tų laiko momentų. Daugiklis 1/2 yra duotas ankstesnės vertės išlaikymo koeficientas; jis nėra išvestas iš trinties ar jėgos dėsnio. Triukšmas čia reiškia atsitiktinį prieaugį, įtrauktą į būsenos atnaujinimą.

Pasiruoškite perskaitę „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ ir „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“. Pradėkite nuo dviejų alternatyvų ir tikslios būsenų sekų lentelės. Čia pristatoma tikimybių žymėsena baigtiniu atveju. „Monte Karlo metodas ir stochastinis modeliavimas“ siūlo neprivalomą grįžimo kelią, padedantį atskirti atsitiktinę imtį nuo tikslaus skirstinio; šiai pamokai modeliavimas nereikalingas.

Priskirkite tikimybes ištisoms istorijoms

Istorija nurodo ženklus ir jų eilės tvarką. Atliekant tris atnaujinimus, (+1, −1, +1) ir (+1, +1, −1) yra skirtingos istorijos, nors kiekvienoje yra po du teigiamus ženklus. Tikimybė yra bedimensis svoris nuo 0 iki 1; visų viena kitą atmetančių galimybių svorių suma lygi 1.

Tarpusavio nepriklausomumas leidžia dauginti ženklų tikimybes. Bet kurios konkrečios trijų ženklų istorijos tikimybė yra (1/2) × (1/2) × (1/2) = 1/8. Yra 2 × 2 × 2 = 8 istorijų, kurių bendra tikimybė yra 8 × (1/8) = 1. Vien žinojimas, kad abu kiekvieno ženklo variantai yra vienodai tikėtini, nepagrįstų šios sandaugos: svarbi ir jų tarpusavio priklausomybė.

Pasirinkite leistinus ženklus (+1, −1, +1), kad išnagrinėtumėte vieną pavyzdį. Nuosekliai įstatydami reikšmes gauname X₁ = 1 m, X₂ = −1/2 m ir X₃ = 3/4 m. Ši istorija buvo sąmoningai pasirinkta paaiškinimui. Ji nebuvo atsitiktinai atrinkta, stebėta ar gauta atliekant Monte Karlo modeliavimą.

Skaitykite istorijų medį ir galutines tikimybių mases

Stochastinis procesas yra atsitiktinių dydžių šeima, čia indeksuojama pagal atnaujinimo numerį: X₀, X₁, X₂ ir taip toliau. Realizacija yra viena konkreti istorija. Ansamblį sudaro galimos istorijos su modelio joms priskirtomis tikimybėmis. Pasirinkę fiksuotą indeksą, pavyzdžiui, n = 3, surinkite visas galimas X₃ reikšmes ir jų tikimybes, užuot sekę vieną istoriją laike.

Viršutinėje diagramoje pavaizduotos visos pradinės ženklų sekos iki 3 atnaujinimo imtinai. Horizontalioji ašis žymi atnaujinimo indeksą, o vertikalioji – koordinatę metrais. Ištisinė mėlyna briauna prideda +1 m, o brūkšninė violetinė briauna prideda −1 m, prieš tai perpus sumažinus pirminio mazgo koordinatę. Kiekviena briauna žymi sąlyginę alternatyvą, kurios tikimybė yra 1/2. Kvadratas žymi pradinę būseną; oranžiniai rombai žymi pasirinktą istoriją, o apskritimai – kitas pradines sekas. Susikertančios jungtys nesukuria papildomų istorijų ar būsenų.

Tikimybių masės funkcija kiekvienai galimai reikšmei priskiria tikimybę. Sugrupuokite istorijas, kurių galutinė koordinatė vienoda, ir sudėkite jų svorius. Šiame modelyje visos aštuonios galutinės reikšmės yra skirtingos: −7/4, −5/4, −3/4, −1/4, 1/4, 3/4, 5/4 ir 7/4 m; kiekvienos tikimybė yra 1/8. Reikšmių skirtingumas yra patikrintas šios taisyklės rezultatas, o ne bendroji stochastinės dinamikos savybė.

Apatiniame grafike ties kiekviena galutine koordinate pavaizduotas vienas stulpelis, kurio aukštis lygus jos tikimybei. Grafiko ašys žymi koordinatę ir tikimybę, o ne laiką. Oranžinis stulpelis atitinka pasirinktą galutinę reikšmę. Stulpelio plotis yra tik vaizdavimo pasirinkimas: jis nepriskiria tikimybės stulpeliu nuspalvintam horizontaliam intervalui. Lentelėje pateiktos visos tikslios būsenos ir istorijų svoriai.

Galimų rezultatų vidurkis

Ansamblio vidurkis, žymimas E[Xₙ], yra visų galimų koordinačių, padaugintų iš jų tikimybių, suma. E žymi matematinę viltį – vidurkį, kurio svorius nustato modelis. X₁ atveju gauname (−1 m)(1/2) + (1 m)(1/2) = 0 m.

Atliekant 3 atnaujinimą, priešingų koordinačių svoriai yra vienodi, todėl jų indėliai poromis panaikina vienas kitą ir E[X₃] = 0 m. Tačiau nė viena iš aštuonių galimų galutinių koordinačių nėra lygi nuliui. Vidurkis nebūtinai yra rezultatas, kuris iš tikrųjų pasitaiko, ir jis nėra paslėpta atskiros realizacijos trajektorija.

Baigtinės imties vidurkis skaičiuojamas kitaip. Tai faktiškai atsitiktinai atrinktų arba išmatuotų rezultatų vidurkis. Viena pasirinkta trijų atnaujinimų seka neatkuria ansamblio, o šis paveikslas neįrodo jokios teoremos apie laikinio vidurkio ir ansamblio vidurkio lygybę.

Sklaidos matavimas kvadratiniais nuokrypiais

Dispersija nusako sklaidą apie ansamblio vidurkį. Apibrėžkime Var(Xₙ) = E[(Xₙ − E[Xₙ])²]: atimame vidurkį, koordinatės skirtumą pakeliame kvadratu, padauginame iš atitinkamos tikimybės ir viską sudedame. Kadangi koordinatės skirtumo matavimo vienetas yra m, šios dispersijos matavimo vienetas yra m². Ji yra neneigiama; nekintančios koordinatės dispersija būtų lygi nuliui.

Po 3 atnaujinimo vidurkis lygus nuliui. Suporavę priešingas galutines vertes, gauname Var(X₃) = (1/4)[(1/4)² + (3/4)² + (5/4)² + (7/4)²] m² = 21/16 m². Atitinkamos dispersijos po pirmojo ir antrojo atnaujinimo yra 1 m² ir 5/4 m². Visos šios vertės yra tikslios modelio suvestinės charakteristikos, o ne matavimo neapibrėžtys ar pasikliautinieji intervalai.

Išskleidę taisyklę, gauname X₃ = (1 m)(S₁/4 + S₂/2 + S₃). Ankstesnių prieaugių išlikę svoriai yra mažesni. Kiekvieno ženklo vidurkis lygus nuliui, o kvadratas lygus 1. Dėl nepriklausomumo mišriųjų sandaugų vidurkiai lygūs nuliui, todėl svorių kvadratai duoda tą pačią dispersiją: (1/16 + 1/4 + 1) m² = 21/16 m². Tai paaiškina, kaip koordinatė kaupia triukšmą, kartu mažindama ankstesnių indėlių įtaką.

Sąlygojimas pagal dabartinę būseną

Sąlyginė tikimybė nusako, kas lieka įmanoma, kai žinoma nurodyta informacija. Tarkime, dabartinė koordinatė yra 1 m. Padaliję ją pusiau, gauname 1/2 m, o tada naujas ženklas duoda −1/2 m arba 3/2 m, kiekvieną su sąlygine tikimybe 1/2. Jų sąlyginis vidurkis yra 1/2 m; nuokrypiai nuo šio vidurkio yra −1 m ir +1 m, todėl sąlyginė dispersija yra 1 m².

Čia dabartinės koordinatės pakanka kitos koordinatės tikimybiniam skirstiniui nusakyti. Net jei pateikiama visa ankstesnė istorija, naujo nepriklausomo ženklo tikimybės vis tiek yra 1/2 ir 1/2. Ši sąlyginė savybė vadinama Markovo savybe. Ji leidžia prognozuoti kitų būsenų skirstinį, o ne tai, kuri būsena bus kita.

Triukšmo ženklų nepriklausomumas nereiškia, kad viena po kitos einančios koordinatės yra nepriklausomos. X₂ išlaiko pusę X₁. Keturių vienodai tikėtinų dviejų ženklų istorijų sandaugos vidurkis E[X₁X₂] yra 1/2 m², o E[X₁]E[X₂] = 0 m². Nepriklausomų kintamųjų, turinčių šiuos baigtinius vidurkius, sandaugos vidurkis būtų lygus vidurkių sandaugai. Šių dydžių skirtumas rodo, kad šios dvi koordinatės yra priklausomos, nors ženklai nepriklausomi.

Priklausomybės keitimas nekeičiant marginaliųjų skirstinių

Atskirame trijų atnaujinimų modelyje vieną kartą parinkime ženklą S su vienodai tikėtinomis vertėmis ir naudokime jį per kiekvieną atnaujinimą: S₁ = S₂ = S₃ = S. Kiekvieno atskiro ženklo verčių +1 ir −1 tikimybės vis dar yra 1/2, tačiau ženklai nėra tarpusavyje nepriklausomi. Galimos lieka tik istorijos (+1, +1, +1) ir (−1, −1, −1), kiekviena su tikimybe 1/2.

Galutinė koordinatė dabar yra X₃ = (7/4 m)S, taigi ji lygi +7/4 m arba −7/4 m. Vidurkis lieka lygus nuliui, o dispersija yra (7/4)² m² = 49/16 m². Ji skiriasi nuo 21/16 m², gaunamos esant nepriklausomiems ženklams. Sutampantys atskirų atnaujinimų skirstiniai nenusako nei proceso jungtinio skirstinio, nei jo sukauptos sklaidos.

Kai šiame bendro ženklo modelyje sužinome, kad X₁ = 1 m, tampa žinoma, kad S yra +1, o X₂ = 3/2 m su tikimybe 1. Pradiniame modelyje su nauju ženklu kiekviename žingsnyje yra dvi sąlyginės galimybės. Šis palyginimas rodo, kodėl priklausomumo prielaida turi būti įtraukta į atnaujinimo aprašą; jis neįrodo, kad kiekvienas koreliuotas procesas neturi Markovo savybės.

Paisykite tikimybinio modelio taikymo ribų

Taisyklės apibrėžia koordinačių tikimybes diskrečiųjų atnaujinimų metu. Jos nenusako nei greičių tarp atnaujinimų, nei mikroskopinių jėgų, o prieaugiai nėra Gauso skirstinio. Norint šį modelį pakeisti Brauno judėjimu arba tolydžiuoju baltuoju triukšmu, reikėtų kitokios matematinės konstrukcijos ir papildomų fizikinių prielaidų.

Baigtinis skaičiavimas duoda tikslias tikimybes, nes galima išvardyti visas trijų ženklų sekas. Realaus triukšmo modeliui reikėtų duomenų, pagrindžiančių jo prieaugių skirstinį, priklausomybę, parametrus ir taikymo sritį. Vien baigtinė diagrama ar sutampanti dispersija negali patvirtinti, kad eksperimentas paklūsta šiam dėsniui, kad atskiros trajektorijos konverguoja ar kad per ilgą laiką apskaičiuoti vidurkiai lygūs ansamblio vidurkiams.

Pakeitus ankstesnės vertės išlaikymo koeficientą, pasikeičia ir modelis. Kai koeficientas yra 1, o nepriklausomi vienetiniai ženklai lieka tie patys, koordinatė po trijų atnaujinimų yra (1 m)(S₁ + S₂ + S₃), o dispersija – 3 m². Pradinis koeficientas 1/2 lemia mažesnius ankstesnių ženklų svorius. Būsenos skirstinį lemia ir triukšmo statistika, ir atsako taisyklė.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pradėdami nuo X₀ = 0 m, pagal pradinę taisyklę taikykite ženklų seką (+1, +1, −1). Nurodykite X₁, X₂, X₃ ir šios trajektorijos tikimybę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   X₁ = 1 m, X₂ = 3/2 m, X₃ = −1/4 m; trajektorijos tikimybė yra 1/8.

   Prieš pridėdami kiekvieną pokytį, ankstesnę koordinatę padalykite iš dviejų: 1 m, tada 1/2 m + 1 m, tada 3/4 m − 1 m. Sudauginkite tris nepriklausomas tikimybes 1/2.

2. Kadangi E[X₃] = 0 m, ar X₃ būtinai turi būti lygus nuliui bent vienoje pirminio modelio trijų atnaujinimų eigoje? Kam lygi P(X₃ = 0 m)?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. P(X₃ = 0 m) = 0.

   Galutinės vertės yra nenuliniai nelyginiai 1/4 m kartotiniai. Skaičiuojant svertinį vidurkį, priešingos vertės viena kitą panaikina, tačiau jų vidurkis dėl to netampa dar viena galima galutine verte.

3. Naudodamiesi pradine galutinių verčių lentele, raskite P(|X₃| < 1 m). Jei nubrėžto stulpelio plotis yra 1/5 m, ar jo aukštis reiškia kiekvienos koordinatės tame nubrėžtame intervale tikimybę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   P(|X₃| < 1 m) = 1/2. Ne: kiekvieno stulpelio aukštis yra tikimybės masė ties nurodyta koordinate.

   Kiekvienos iš keturių verčių −3/4, −1/4, 1/4 ir 3/4 m svoris yra 1/8. Stulpelio plotis yra vaizdavimo pasirinkimas, o ne tikimybės tankis ar papildomas leistinų būsenų kontinuumas.

4. Pirminio modelio ženklai S₁ ir S₂ yra nepriklausomi, o E[X₁] = E[X₂] = 0 m. Ar dėl to X₁ ir X₂ yra nepriklausomi? Patikrinkite E[X₁X₂].

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. E[X₁X₂] = 1/2 m², o E[X₁]E[X₂] = 0 m².

   Iš X₂ = X₁/2 + (1 m)S₂ gauname sandaugą X₁²/2 + (1 m)X₁S₂. Jos vidurkis yra 1/2 m², nes X₁² = 1 m², o naujas nulinio vidurkio ženklas yra nepriklausomas nuo X₁. Kad šios būsenos būtų nepriklausomos, sandaugos vidurkis turėtų būti lygus vidurkių sandaugai.

5. Palyginimo variante su bendru ženklu tarkime, kad žinoma X₁ = 1 m. Kam lygus X₂ ir kokia jo sąlyginė tikimybė? Kuo tai skiriasi nuo pirminio modelio?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   X₂ = 3/2 m su sąlygine tikimybe 1. Pirminiame modelyje vietoj to vertei −1/2 m priskiriama tikimybė 1/2, o vertei 3/2 m – tikimybė 1/2.

   Pirmoji teigiama koordinatė atskleidžia, kad bendras ženklas yra +1, ir taip nustato kitą pokytį. Pirminiame modelyje kitas ženklas išlieka naujas ir nepriklausomas nuo ankstesnės eigos.

6. Kitame pateiktame modelyje atnaujinimo taisyklėje pakeiskite 1/2 į 1, palikdami nepriklausomus vienetinius ženklus su vienodomis abiejų reikšmių tikimybėmis ir X₀ = 0 m. Kam lygi Var(X₃) ir ar galima pakartotinai naudoti pradinę galutinių būsenų diagramą jos nepakeitus?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Var(X₃) = 3 m². Pradinės diagramos negalima pakartotinai naudoti jos nepakeitus.

   Naujoji koordinatė yra (1 m)(S₁ + S₂ + S₃). Kiekvieno centruoto ženklo indėlis į dispersiją yra 1 m², o nepriklausomų ženklų kryžminių sandaugų vidurkis lygus nuliui. Pakeitus atsako svorius, pasikeičia ir būsenos bei galutinių būsenų tikimybių masės.

Ką verta įsidėmėti

• Stochastiniam atnaujinimui reikia būsenos kitimo taisyklės, pradinės būsenos ir bendrojo triukšmo skirstinio, įskaitant visas nepriklausomumo prielaidas.
• Viena realizacija yra būsenų seka. Ansamblis ir fiksuoto laiko momento tikimybių skirstinys aprašo alternatyvas su joms priskirtais svoriais.
• Vidurkis gali būti reikšmė, kurios neįmanoma gauti nė vienoje realizacijoje. Dispersija yra nuokrypio kvadrato matematinė viltis, o jos vienetai – koordinatės vienetų kvadratai.
• Markovo savybė susijusi su kitos būsenos sąlyginiu skirstiniu. Ji nereiškia, kad viena po kitos einančios būsenos yra nepriklausomos.
• Sutampančios vieno atnaujinimo ženklų tikimybės neapibrėžia priklausomybės ar sukauptos sklaidos.
• Baigtinis tikslus mokomasis modelis savaime nepatvirtina nei tikrojo triukšmo skirstinio, nei tolydaus laiko ribos, nei teiginio apie vidurkinimą per ilgą laiką.