Skysčio ir konstrukcijos sąveika bei biomechaniniai kontinuumai

Sekite slėgio impulso sklidimą lanksčiu vamzdžiu

Įsivaizduokite du tiesius vamzdžius, pripildytus to paties skysčio. Jų pradiniai matmenys vienodi, tačiau vieno vamzdžio sienelė lengviau plečiasi. Žadinimo šaltinis į kiekvieną vamzdį siunčia mažą slėgio impulsą. Kodėl minkštesniame vamzdyje impulsas gali vėluoti, nors jo spindulys pakinta vos keliais mikrometrais? Ir ar skysčio dalelė juda išilgai vamzdžio taip pat greitai kaip slėgio signalas?

Slėgis yra statmenos paviršiui jėgos ir ploto santykis. 1.00 kPa slėgio skirtumas abipus plokščio 1.00 cm² ploto lopinėlio sukuria 0.100 N atstojamąją jėgą, statmeną paviršiui: 1000 Pa × 1.00 × 10⁻⁴ m². Ties išlenkta sienele šį ryšį taikykite lokaliai mažiems lopinėliams, kurių normalės nukreiptos skirtingomis kryptimis. Slėgio apkrova gali išplėsti vamzdį, o išsiplėtimas pakeičia skysčio kiekį, kurį gali sutalpinti jo vidus.

Taigi skystis ir sienelė sudaro bendrą mechanikos uždavinį. Slėgis keičia sienelę, o sienelė keičia skysčio judėjimui skirtą erdvę. Skysčio ir konstrukcijos sąveika reiškia, kad išlaikomas svarbus grįžtamasis ryšys tarp šių dviejų atsakų. Skaičiuojant su standžia sienele, jos atsakas slopinamas; skaičiuojant su nustatytu judėjimu, sienelės judėjimas pateikiamas kaip duomuo, užuot jį apskaičiavus.

Pradėkite nuo slėgio impulso, sąlyčio paviršiaus schemos ir palyginimo lentelių. Naudingą pasirengimą suteikia temos „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ bei „Niutono dėsniai ir laisvojo kūno diagramos“. Temos „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ bei „Darbas, kinetinė energija, potencinė energija ir galia“ padeda nagrinėti skaitinius pavyzdžius. Prie lauko lygčių skyriaus galima pasirinktinai grįžti pasitelkus temas „Klasikinė bangos lygtis“ ir „Diferencialinės lygtys dalinėmis išvestinėmis ir Gryno funkcijos“.

Visi šios pamokos skaitiniuose pavyzdžiuose nagrinėjami bandiniai yra įsivaizduojami mechaniniai modeliai su priskirtais parametrais. Jų vertės nėra gyvųjų audinių matavimų rezultatai. Slėgis, deformacija ir santykinis skysčio judėjimas apibrėžiami čia; ankstesnė pamoka apie porėtąsias medžiagas ir tolesnė pamoka apie skysčių statiką yra susijusios temos, o ne būtinos išankstinės žinios šiam paaiškinimui suprasti.

Atskirkite fluido judėjimą nuo konstrukcijos atsako

Fluidas gali perduoti statmenai paviršiui veikiantį slėgį, o kai svarbi klampa – ir papildomus normaliuosius bei tangentinius įtempius. Įtempis yra jėga ploto vienetui įsivaizduojamame medžiagos pjūvyje; tangentinis paviršinės jėgos tankis yra išilgai pjūvio nukreipta šio jėgos tankio dalis. Konstrukcijos atsaką lemia jos medžiagos dėsnis, atramos ir inercija. Tampri sienelė deformuodamasi kaupia atgaunamą energiją. Klampus fluidas dėl greičio gradientų disipuoja mechaninę energiją.

Vieną sąveikos kryptį lengva pastebėti: fluido slėgis ir šlytis apkrauna konstrukciją. Kita kryptimi sąveika gali pakeisti fluido užimamą sritį, išstumti fluidą, pakeisti pasipriešinimą tekėjimui arba pasiųsti slėgio trikdį atgal per fluidą. Paslankiame kanale papildomas tūrio kaupimas keičia impulso sklidimą. Panardintam judančiam kūnui aplinkinio fluido greitinimas keičia inercijos jėgą. Šiems dviem reiškiniams nebūtinas nei tas pats medžiagos dėsnis, nei tos pačios supaprastintos lygtys.

Taikant vienkryptę aproksimaciją, apskaičiuojamas vienas atsakas ir pagal jį nustatomas kitas, neįtraukiant pokyčio grįžtamojo poveikio. Ji gali būti naudinga, kai neįtrauktas grįžtamasis poveikis pasirinktam stebimam dydžiui yra nereikšmingas. Dvikryptės sąveikos atveju apskaičiuojami tarpusavyje suderinti atsakai. Vien mažo poslinkio nepakanka vienkryptei sąveikai pagrįsti: net mažas santykinis ploto pokytis gali lemti didžiąją dalį tūrio kaupimo, nuo kurio priklauso impulso sklidimo greitis.

Atskirkite tris greičius. Vietinis fluido greitis apibūdina medžiagos judėjimą. Konstrukcijos greitis apibūdina sienelės arba kietojo kūno judėjimą. Bangos greitis apibūdina slėgio pasiskirstymo sklidimą. Sąlyčio paviršiuje turi sutapti tik atitinkamos pirmųjų dviejų greičių komponentės; bangos greitis nėra medžiagos judėjimo sąlyčio paviršiuje greitis.

Suderinkite judėjimą ir jėgas nelaidžiame sąlyčio paviršiuje

Ties nelaidžia riba fluidas negali tekėti per judančią sienelę. Fluido greičio normalioji komponentė ties sienele turi būti lygi sienelės greičio normaliajai komponentei. Taikant įprastą klampaus fluido neslydimo sąlygą, sutampa ir jų greičių tangentinės komponentės. Tai vietinės kraštinės sąlygos. Jos nereiškia, kad vidutinis ašinis greitis vamzdyje lygus jo sienelės radialiniam greičiui arba kad kiekviena fluido dalelė vamzdžio viduje juda kartu su sienele.

Jėgos perdavimas suteikia antrąją sąlygą. Jei modelyje nėra atskiros sąlyčio paviršiaus masės ar paviršinių įtempių sluoksnio, vienoje pusėje veikiantį paviršinės jėgos tankį atsveria tokio pat dydžio, bet priešingos krypties paviršinės jėgos tankis kitoje pusėje. Priešingai nukreiptos išorinės normalės paaiškina priešingus ženklus. Taip suderinama jėga ploto vienetui abipus sąlyčio paviršiaus; tai nereiškia, kad visos abiejų medžiagų įtempių tenzorių komponentės tampa vienodos.

Suderinimo sąlygos taip pat suderina mechaninę galią. Jėga, veikianti esant tam pačiam sąlyčio paviršiaus greičiui, perduoda galią vienai medžiagai ir tokią pačią galią atima iš kitos. Sąlyčio paviršius perduoda energiją. Sudėjus abu indėlius, jis nesuteikia jokios nepaaiškintos papildomos energijos. Išorinis poveikis, energijos disipacija medžiagose ir aktyvi konstrukcija turi būti įvertinti atskirai.

Toliau pateiktame paprastame impulso modelyje nepaisoma fluido klampos, o visas greičio profilis pakeičiamas vidutiniu ašiniu greičiu. Statmenas sienelės judėjimas išlaikomas per ploto kitimą, o tangentinės šlyties nepaisoma. Šiame modelyje kartu netaikomas klampaus fluido neslydimo profilis ir nelaikoma, kad fluidas iki pat ašine kryptimi nejudančios sienelės juda vienodu greičiu. Jei svarbus slydimas, laidumas ar paviršinių įtempių sluoksnis, taikykite jam atitinkamą kraštinį dėsnį.

Sienelei priskirkite mažųjų trikdžių dėsnį

Pasirinkite pusiausvyros būsenos atskaitos vamzdį, kurio skerspjūvio plotas yra A₀, o fluido tankis – ρ₀. Išorinis slėgis yra pastovus ir vienodas visur. Tegul p žymi mažą vidinio slėgio pokytį šios atskaitos būsenos atžvilgiu; kadangi išorinis slėgis pastovus, tai taip pat yra slėgio skirtumo abipus sienelės, vadinamo transmuraliniu slėgiu, pokytis. Tegul u žymi mažą vidutinį ašinį fluido greitį, teigiamą vamzdžio koordinatės x didėjimo kryptimi.

Aprašykite sienelę jos santykiniu skerspjūvio ploto paslankumu C_A = (1/A₀)(dA/dp) atskaitos būsenoje. Paslankumas nusako, kiek skerspjūvio plotas pakinta veikiant slėgiui. Čia jo matavimo vienetai yra Pa⁻¹, o tiesinis dėsnis yra (A − A₀)/A₀ = C_A p. Absoliutusis skerspjūvio ploto paslankumas dA/dp turi kitus matavimo vienetus, m²/Pa, ir prieš naudojant jį kaip C_A, jį reikia padalyti iš A₀.

Skysčio suspaudimas suteikia antrą kaupimo mechanizmą. Apibrėžkite tūrinio tamprumo modulį K mažųjų pokyčių sąryšiu (ρ − ρ₀)/ρ₀ = p/K. Teigiamas slėgio prieaugis šiek tiek padidina tankį. Sienelės plėtimasis, priešingai, padidina skysčiui prieinamą erdvę. Santykinį masės kaupimą pradinio vamzdžio tūrio vienetui pirmosios eilės artinyje nusako C_eff = 1/K + C_A.

Naudokite lentelėje pateiktus pradinius duomenis. Sienelė modeliuojama kaip momentinis tiesinis skerspjūvio ploto atsakas ties šia atskaitos būsena, neatsižvelgiant į jos masę. C_A apibūdina viso vamzdžio atsaką esant nustatytiems suvaržymams: svarbi sienelės medžiaga, storis, geometrija ir ašinės atramos. Bendro audinio tamprumo modulio ar plonasienio vamzdžio formulės negalima naudoti vietoj C_A nepatikrinus šių sąlygų.

Pulso modelis yra vienalytis, vienmatis ir be nuostolių; jame nėra vidutinio foninio srauto. Ašinis trikdžio mastelis yra daug didesnis už vamzdžio skersmenį, o slėgio, tankio ir skerspjūvio ploto pokyčiai yra maži. Neatsižvelgiama į sienelės inerciją, sienelės atmintį, ašines konstrukcijos bangas, skysčio trintį, subliūškimą ir atspindžius. Šios sąlygos apibrėžia būtent šį modelį; jos nėra visų skysčio ir konstrukcijos sąveikų savybės.

Bangos greičio nustatymas pagal kaupimą ir inerciją

Slėgio gradientas suteikia skysčiui pagreitį, o sienelės plėtimasis ir skysčio suspaudimas leidžia segmentui sukaupti papildomą masę. Kartu šie reiškiniai duoda c = 1/√[ρ₀(1/K + C_A)]. Matavimo vienetai yra m/s: ρ₀ C_eff matavimo vienetai yra s²/m². Duotame vamzdyje C_eff = 2.0005 × 10⁻⁶ Pa⁻¹, o c ≈ 22.357885 m/s. Taigi slėgio signalui reikia maždaug 44.726949 ms, kad nukeliautų 1.00 m.

Palyginimo lentelėje skysčio tankis, skysčio tūrinio tamprumo modulis ir užduota slėgio amplitudė laikomi pastoviais. Sumažinus C_A perpus, sienelė tampa dvigubai standesnė vietinio skerspjūvio ploto atsako požiūriu. Impulsas sklinda greičiau, tačiau didžiausias skysčio greitis, esant tam pačiam užduotam slėgiui, yra mažesnis. Pakeitus užduodamą dydį, pasikeistų ir palyginimas. Standžios sienelės atveju bangos greitis vis tiek yra baigtinis, nes skystis išlieka spūdus.

Pradinis pavaizduotas impulsas yra glodus: įėjime p = (p_a/2)[1 − cos(2πt/T)], kai 0 ≤ t ≤ T, o už šio intervalo ribų slėgis lygus nuliui. Į dešinę sklindančio impulso išraiškoje t pakeičiamas į t − x/c. Šiai vienai pirmyn sklindančiai bangai u = p/(ρ₀c). Didžiausias jos sukeltas skysčio greitis yra maždaug 44.726949 mm/s, gerokai mažesnis už 22.357885 m/s sklidimo greitį. Skysčio bendras poslinkis pirmosios eilės artinyje per šį impulsą yra p_a T/(2ρ₀c) ≈ 0.447269 mm, o ne 1.00 m vamzdžio ilgis.

Sugretinti profiliai 25, 30 ir 35 ms laiko momentais rodo slėgio pasiskirstymą ir su juo susijusį santykinį skerspjūvio ploto pokytį. Impulso plotis yra cT ≈ 0.447158 m, daugiau kaip keturiasdešimt kartų didesnis už 10.0 mm skersmenį. Visi šie laiko momentai yra ankstesni už pirmąjį impulso atėjimą į tolimąjį galą, todėl pavaizduotame intervale nėra nuo galo atsispindėjusios ir grįžusios bangos. Šiame duotame modelyje skerspjūvio plotas akimirksniu reaguoja į slėgį; uždelstam ploto atsakui reikėtų kito medžiagos dėsnio.

Čia sienelės kaupiamoji geba yra 4000 kartų didesnė už skysčio spūdžio lemiamą kaupiamąją gebą, nes K C_A = 4000. Laikant skystį nespūdžiu, bet išlaikant šią paslankią sienelę, gaunama baigtinė ribinė vertė c = 1/√(ρ₀C_A) ≈ 22.360680 m/s. Laikant skystį nespūdžiu, o sienelę standžia, pašalinami abu kaupimo mechanizmai; tuomet šis supaprastintas modelis nebeduoda baigtinio sklidimo greičio. Tai nėra prognozė, kad tikras signalas sklinda be galo greitai.

Leiskite skysčiui keisti osciliatoriaus inerciją

Kitokia sąveika atsiranda, kai kūnas juda su pagreičiu jį supančiame skystyje. Kūnas turi išjudinti dalį šio skysčio. Idealiame nespūdžiame, neklampiame ir nesūkuriniame skystyje dėl to atsirandanti skysčio jėga gali būti nukreipta prieš pagreitį: F_fluid = −m_a d²y/dt². Teigiamas koeficientas m_a vadinamas pridėtine mase. Jis apibūdina su judėjimu susijusią skysčio kinetinę energiją, o ne prie kūno prilipusią nekintamą skysčio porciją.

Kai r spindulio rutulys atlieka nedidelį horizontalų slenkamąjį judėjimą neribotame skystyje, kuris be šio judėjimo būtų nejudantis, m_a = (1/2)ρ₀(4πr³/3). Ribos, netoliese esantys kūnai, laisvieji paviršiai ir kitokios kūnų formos keičia šį koeficientą. Šiame idealaus potencialinio tekėjimo rezultate neatsižvelgiama į klampųjį pasipriešinimą ir akustinį spinduliavimą. Lyginama ties pusiausvyros būsena, kurioje vertikalios apkrovos yra subalansuotos, todėl plūdrumo jėga nesukuria kintančios horizontalios spyruoklės jėgos.

Pritvirtinkite šį rutulį prie tiesinės horizontalios spyruoklės, kurios standumas k_s, ir laikykite, kad kietojo kūno masė yra m_s. Jo mažų judesių lygtis tampa (m_s + m_a)d²y/dt² + k_s y = 0, o savasis kampinis dažnis yra ω_n = √[k_s/(m_s + m_a)]. Skysčio apkrova sumažina šį dažnį, bet nekeičia nustatyto spyruoklės standumo. Kadangi šiame modelyje slopinimo nėra, svyravimai neslopsta: nuo pagreičio priklausanti pridėtinė masė nėra klampiojo slopinimo jėga.

Kinetinė energija yra (1/2)(m_s + m_a)(dy/dt)², o spyruoklės energija – (1/2)k_s y². Laisvųjų svyravimų metu jos virsta viena kita. Tai inercinis modelio supaprastinimas konkrečiai geometrijai, kitaip nei paslankaus vamzdžio modelis, kuriame skysčio inercija ir paskirstytasis tūrio kaupimas sukelia sklidimą išilgai baigtinio koordinačių intervalo. Panardintam lanksčiam pelekui gali reikėti atsižvelgti ir į konstrukcijos deformaciją, ir į skysčio apkrovą; tuomet būtina nurodyti jo svyravimų modos formą ir jėgos dėsnį.

Biologinę medžiagą laikykite modeliuojama ištisine terpe

Biomechaninė ištisinė terpė vaizduoja biologinę medžiagą tokiais laukais kaip poslinkis, įtempis ir slėgis pasirinktam klausimui aktualiu masteliu. Vidurkinimo tūris turi būti mažas, palyginti su nagrinėjamų pokyčių masteliu, bet pakankamai didelis, kad toks aprašymas būtų prasmingas. Makroskopinis sienelės modelis gali atsakyti į klausimą apie bendrą deformaciją, nors ir neaprašo atskirų skaidulų ar ląstelių. Jei jų išsidėstymas lemia stebimąjį dydį, jis turi būti įtrauktas į konstitucinį dėsnį arba aprašytas atskirai.

Pasyviojo tamprumo dėsnis susieja deformaciją su atgaunamąja energija; klampiai tamprus dėsnis taip pat išlaiko priklausomybę nuo deformacijos greičio arba jos istorijos. Netiesinis atsakas reiškia, kad prieauginis standumas gali kisti deformuojantis. Anizotropija reiškia, kad atsakas priklauso nuo krypties, pavyzdžiui, kai vienakrypčių skaidulų grupė skirtingai perima apkrovą išilgai skaidulų ir skersai jų. Mūsų vamzdžio vietinis skaliarinis dydis C_A nusako supaprastintą slėgio ir skerspjūvio ploto sąryšį esant nurodytiems apribojimams, o ne išsamų trimatį audinio aprašą.

Didelėms deformacijoms reikia aprašo, kuris sektų geometrijos pokyčius ir skirtų atskaitos bei dabartines medžiagos kryptis. Taip pat svarbios pradinės apkrovos ir pasirinkta atskaitos būsena. Mažų trikdžių parametrai galioja tik tos būsenos aplinkoje ir tame apkrovų intervale. Parametras, nustatytas pagal duomenis esant vienai amplitudei, dažniui, orientacijai ar temperatūrai, neturėtų be išlygų tapti universalia medžiagos konstanta.

Kai kurios biologinės medžiagos yra aktyvios: jų vidiniai procesai atlieka mechaninį darbą, kaip susitraukiančioje medžiagoje. Modelis gali aprašyti aktyvųjį įtempį greta pasyviojo įtempio arba aktyvų medžiagos pageidaujamos deformacijos pokytį. Tai medžiagos modelio pasirinkimai, turintys savų apribojimų, o ne tarpusavyje pakeičiami tampriosios spyruoklės pavadinimai. Aktyviajai mechaninei galiai būtinas energijos tiekimas; vien pasyvusis energijos balansas be nuostolių negali jos paaiškinti.

Taikant modelį, naudingas klausimas yra mechaninis ir konkretus: kurią išmatuoto jėgos, judėjimo ar slėgio atsako dalį paaiškina pasirinktas mastelis ir mechanizmai? Paslanki sienelė ir judantis skystis gali modeliuoti latako judėjimą; besideformuojantis porėtas karkasas ir tarpaudininis tekėjimas gali modeliuoti hidratuotą bandinį. Nei geras kreivės atitikimas duomenims, nei vienas išmatuotas modulis nepatvirtina visų mechanizmų ar visos gyvosios sistemos modelio tinkamumo.

Atskirkite sąveiką ties riba nuo tekėjimo porose

Skysčiu užpildytame porėtame kietajame kūne skystis gali judėti vidinio kietojo karkaso atžvilgiu visame bandinyje. Tai skiriasi nuo nelaidžios vamzdžio sienelės, supančios skysčio sritį. Abi medžiagos turi atskirus vidutinius greičius. Tegul φ yra skysčio tūrio dalis, v_f – vidutinis porų skysčio greitis, o v_s – karkaso greitis. Jų santykinis tūrinis srautas, tenkantis bendrojo ploto vienetui, yra q = φ(v_f − v_s). Jis gali būti nelygus nuliui, nors kiekviena sudedamoji dalis yra beveik nespūdi.

Lėto izotropinio tekėjimo supaprastinime pagal Darcy dėsnį q = −(κ/μ)∇p_p, kur κ yra vidinis pralaidumas, matuojamas m², μ – skysčio klampa, matuojama Pa·s, o p_p – porų slėgis. Minuso ženklas reiškia, kad slėgio sukeltas tekėjimas nukreiptas mažesnio porų slėgio link. Santykio κ/μ matavimo vienetai yra m⁴/(N·s); kai kuriuose šaltiniuose visas šis santykis vadinamas hidrauliniu pralaidumu. Prieš įrašydami skaitinę vertę, visada patikrinkite, kuri apibrėžtis vartojama.

Slėgis perima dalį veikiančios gniuždymo apkrovos. Skysčiui persiskirstant arba nutekant per tai leidžiančias ribas, karkaso deformacija ir apkrovos pasiskirstymas gali kisti. Išorinė riba gali leisti drenažą, jį riboti arba leisti tekėjimą tik per pasirinktus paviršius. Vien teiginys, kad medžiaga yra prisotinta, šių sąlygų nenusako. Priklausomybė nuo laiko gali atsirasti dėl šio susieto persiskirstymo net tuomet, kai pats karkasas yra tamprusis kietasis kūnas.

Supaprastintame poroelastiniame modelyje, kuriame vyrauja difuzija, priskirkite efektyvųjį difuzijos koeficientą D_p, matuojamą m²/s. Būdingasis drenažo laiko mastelis yra τ_char = ℓ²/D_p, kur ℓ – drenažo atstumas. Tai apibrėžia laiko mastelį, o ne universalią eksponentinės relaksacijos trukmę. Tikslios modos ir proporcingumo koeficientai priklauso nuo geometrijos ir kraštinių sąlygų. Esant lentelėje priskirtam D_p = 1.00 × 10⁻⁸ m²/s, padvigubinus drenažo atstumą šis laiko mastelis padidėja keturis kartus.

Kai stebėjimo trukmė daug trumpesnė už atitinkamą drenažo laiko mastelį, skystis per tą atstumą gali persiskirstyti tik nežymiai. Kai trukmė daug ilgesnė, leidžiamas drenažas gali priartėti prie pusiausvyros būsenos. Šie palyginimai neįrodo, kad visi mechanizmai yra poroelastiniai. Kietosios fazės klampusis tamprumas ir tekėjimas porose gali veikti kartu; keiskite dydį, drenažo ribas, apkrovimo būdą ir stebėjimo trukmę, kad patikrintumėte siūlomo mechanizmo prognozes.

Grįžimas prie lauko balanso lygčių ir sąsajos galios

Šiame neprivalomame skyriuje pateikiamas išvedimas. Simbolis ∂ žymi dalinę išvestinę: keičiamas laikas, kai padėtis nekinta, arba padėtis, kai laikas nekinta. Trumpame vamzdžio segmente masė kaupiasi greičiu, proporcingu C_eff ∂p/∂t. Jei ašine kryptimi išteka daugiau masės nei įteka, segmente sukaupta masė mažėja. Tiesinė masės tvermės lygtis yra C_eff ∂p/∂t + ∂u/∂x = 0. Slėgio jėgų disbalansas išreiškiamas judesio kiekio tvermės lygtimi: ρ₀∂u/∂t = −∂p/∂x. Taigi teigiama x kryptimi mažėjantis slėgis suteikia skysčiui pagreitį ta kryptimi.

Diferencijuokite masės lygtį laiko atžvilgiu, o judesio kiekio lygtį – padėties atžvilgiu. Eliminavę mišriąją u išvestinę, gausite ∂²p/∂t² = c²∂²p/∂x², kur c² = 1/(ρ₀C_eff). Į judesio kiekio lygtį įstačius bet kurią diferencijuojamą funkciją p = f(t − x/c), aprašančią į dešinę sklindančią bangą, gaunama u = p/(ρ₀c), kai atskaitos greitis lygus nuliui; į kairę sklindančiai bangai gaunama u = −p/(ρ₀c). Kai atsispindėjusios bangos susideda, reikia abiejų indėlių, todėl bendras p/u santykis nebūtinai lygus ρ₀c.

Padauginkite masės lygtį iš A₀p, o judesio kiekio lygtį – iš A₀u. Jas sudėjus gaunama ∂E_l/∂t + ∂P/∂x = 0, kur E_l = (A₀/2)[ρ₀u² + C_eff p²] yra energija, tenkanti vamzdžio ilgio vienetui, matuojama J/m, o P = A₀pu yra ašine kryptimi perduodama galia, matuojama W. Kai ρ₀ ir C_eff teigiami, tiek skysčio kinetinės energijos dalis, tiek bendra sukaupta tamprioji energija yra teigiamos. Vienos pirmyn sklindančios bangos atveju jos lygios, o P = cE_l. Klampa arba disipatyvi sienelė pridėtų nuostolių narį; įtekėjimo vietoje esantis žadinimo šaltinis tiekia galią per kraštą.

Bendruoju sąlyčio paviršiaus atveju σ_f ir σ_s žymėkime skysčio ir kietojo kūno įtempių tenzorius, o n_f ir n_s – jų išorines vienetines normales, kai n_s = −n_f. Įtempių vektorius nusako įtempių poveikį paviršiui su pasirinkta normale. Nepralaidaus, neslystančio sąlyčio paviršiaus, neturinčio savo įtempių ar masės sluoksnio, sąlygos yra v_f = v_s ir σ_f n_f + σ_s n_s = 0. Skaliariškai padauginus jėgų narius iš bendro greičio, suminė galia sąlyčio paviršiuje tampa lygi nuliui. Tai paaiškina jėgų ir energijos suderinamumą, neteigiant, kad abu ištisi įtempių tenzoriai yra lygūs.

Izoliuotoje pasyvioje sistemoje, sudarytoje iš klampaus skysčio ir tampraus kietojo kūno, bendra mechaninė energija gali mažėti dėl klampiosios disipacijos, nors galios sąlyčio paviršiuje viena kitą panaikina. Neklampus skystis ir tampri konstrukcija, priešingai, gali keistis energija be nuostolių, esant nurodytoms kraštinėms sąlygoms. Atskirų skaitinių dalinių uždavinių sprendimas suderinamas su abipusiu susiejimu, jei sąlyčio paviršiaus sąlygos tenkinamos nuosekliai; vien atskirų sprendiklių naudojimas savaime nereiškia vienpusio fizikinio artinio.

Prieš spręsdami pasirinkite susietąjį modelį

Pradėkite nuo stebimojo dydžio ir jo mastelio: atėjimo laiko, sienelės poslinkio, jėgos, svyravimų dažnio ar atsako į drenavimą. Tada pasirinkite, kokį judėjimą įtrauksite, kokius medžiagų dėsnius ir sąlyčio paviršiaus sąlygas taikysite. Slėgio plečiamam vamzdžiui, slenkamuoju judėjimu judančiai panardintai sferai ir gniuždomam porėtam bandiniui nėra vienos universalios skysčio ir konstrukcijos sąveikos formulės. Kiekviename supaprastintame modelyje paliekamas skirtingas mechaninės energijos kaupimo, perdavimo ar disipacijos būdas.

Įvertinkite atmestus mechanizmus pagal apkrovimą ir stebėjimo trukmę. Lėtai apkraunamo vamzdžio sienelės atsakas gali būti kvazistatinis. Esant aukštesniems dažniams, konstrukcijos inercija ir medžiagos atmintis gali tapti svarbios. Klampieji šlyties įtempiai gali pakeisti slopinimą ir greičio profilį. Foninis srautas, vingiai ir sąlygos galuose gali pakeisti sklidimą ir atspindžius. Didelės deformacijos, klupimas, supliuškimas ar kontaktas padaro tiesinį skerspjūvio ploto dėsnį nebegaliojantį dar prieš tai, kai pagal šį dėsnį numatytas neigiamas plotas įgyja prasmę.

Kiekybinis susiejimo patikrinimas turėtų būti skirtas pasirinktam stebimajam dydžiui. Mūsų impulso modelyje K C_A palygina kaupimą dėl sienelės skerspjūvio ploto pokyčio su skysčio suspaudimu; osciliatoriuje m_a/m_s palygina skysčio ir kietojo kūno inerciją. Jų poveikis išlieka reikšmingas net esant kiek norima mažoms amplitudėms tiesiniame režime. Drenavimo atveju palyginkite stebėjimo trukmę su geometriją atitinkančiu tekėjimo laiko masteliu ir nurodykite, per kuriuos paviršius vyksta skysčio mainai. Modelio amplitudžių diapazonas ir jo susiejimo stiprumas atsako į skirtingus klausimus.

Užbaikite tvermės, matavimo vienetų ir prognozės, kurią galima patikrinti, įvertinimu. Ar judėjimas tenkina kraštinį dėsnį? Ar priešingos sąlyčio paviršiaus jėgos ir jų galios yra suderintos? Ar apskaičiuotas dažnio pokytis atitinka modelyje įtrauktą masę ir standumą? Ar pakeitus drenavimo atstumą gaunamas numatytas laiko mastelio pokytis? Šie patikrinimai prie duomenų priderintą atsaką paverčia mechaniniu paaiškinimu, kurio galiojimo sritis aiškiai nurodyta.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kuris greitis ties nepralaidžia sienele, kur klampiajam skysčiui galioja neslydimo sąlyga, turi būti lygus sienelės greičiui: skysčio greitis sąlyčio paviršiuje, vidutinis ašinis skysčio greitis visur ar slėgio bangos sklidimo greitis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vietinis skysčio greitis sandūroje lygus sienelės greičiui.

   Nepralaidumo sąlyga užtikrina normalinių komponenčių lygybę, o neslydimo sąlyga – tangentinių komponenčių lygybę. Vidutinis greitis skysčio viduje ir sklidimo greitis apibūdina skirtingus dydžius. Neklampiojo skysčio supaprastinimas, leidžiantis tangentinį slydimą, išlaiko normalinių komponenčių lygybę, bet taiko kitokį tangentinių kraštinių sąlygų modelį.

2. Palikite tą patį nurodytą skystį ir užduotą 1.00 kPa slėgio impulsą, bet sumažinkite C_A perpus iki 1.00 × 10⁻⁶ Pa⁻¹. Raskite naują bangos greitį ir didžiausią ploto pokytį. Ar bangos greitis padvigubėja?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Bangos greitis yra maždaug 31.614874 m/s; didžiausias santykinis ploto pokytis yra 0.00100 = 0.100%. Bangos greitis nepadvigubėja.

   C_eff tampa 1.0005 × 10⁻⁶ Pa⁻¹. Naujas greitis gaunamas iš atvirkštinės priklausomybės nuo kvadratinės šaknies. Kai tūrio kaupimą daugiausia lemia sienelė, perpus sumažinus paslankumą, greitis padidėja beveik √2 karto; dėl nedidelio skysčio suspaudimo nario šis santykis yra šiek tiek mažesnis už √2.

3. Pradinio 20.0 ms impulso didžiausias slėgis yra 1.00 kPa. Remdamiesi jo pakeltojo kosinuso forma, raskite skysčio dalelės pirmosios eilės poslinkį impulsui praeinant. Ar ši dalelė nukeliavo impulso 1.00 m stebėjimo atstumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Maždaug 0.447269 mm. Ji nenukeliavo 1.00 m.

   Slėgio integralas per impulso trukmę yra p_a T/2. Integruodami u = p/(ρ₀c), gauname p_a T/(2ρ₀c). Šis tiesinis įvertis apskaičiuoja bangos profilį atskaitinėje dalelės padėtyje; mažas tikrasis poslinkis atitinka mažų trikdžių modelį. Slėgio profilis nusklinda daug toliau nei pavienė dalelė.

4. Įtraukus skysčio pridėtinę masę, idealios spyruoklės ir rutulio sistemos dažnis sumažėja, tačiau apskaičiuoti laisvieji svyravimai neslopsta. Ar tai prieštaravimas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Pridėtinė masė kaupia skysčio kinetinę energiją; šiame modelyje ji nėra disipacinė jėga.

   Koeficientas, iš kurio dauginamas pagreitis, padidėja, o standumas nekinta, todėl savasis dažnis sumažėja. Nurodytame idealiajame modelyje bendra spyruoklės energijos ir kietojo kūno bei skysčio kinetinės energijos suma išlieka pastovi. Norint prognozuoti amplitudės slopimą dėl klampiojo pasipriešinimo, bangų spinduliavimo ar energijos nuostolių medžiagoje, reikėtų papildomų narių.

5. Hidratuotas bandinys po deformacijos relaksuoja. Kažkas daro išvadą, kad jo kietasis karkasas būtinai yra klampiai tamprus, nes jo atsakas priklauso nuo laiko. Kokią mechaninę alternatyvą ir kokį palyginimą reikėtų apsvarstyti?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Skysčio persiskirstymas porose gali lemti priklausomybę nuo laiko net ir esant tampriam karkasui. Palyginkite drenavimo atstumą ir galimybę skysčiui nutekėti per ribas, taip pat apkrovą ir laiką.

   Poroelastinis tekėjimas susieja slėgį, karkaso deformaciją ir santykinį skysčio judėjimą. Esant tinkamam difuziniam režimui, jam būdingas laikas yra proporcingas drenavimo atstumo kvadratui. Vien laikinė kreivė neleidžia nustatyti mechanizmo; klampiatamprumas ir skysčio tekėjimas porose taip pat gali pasireikšti kartu.

Ką verta įsidėmėti

• Skysčio apkrovos keičia konstrukciją; konstrukcijos judėjimas keičia skysčio sritį, kaupimąsi arba inerciją. Nurodykite, kurį grįžtamąjį ryšį modelis išlaiko.
• Ties nepralaidžiu sąlyčio paviršiumi, kuriame klampiam skysčiui galioja neslydimo sąlyga, vietiniai greičiai sutampa, o pagal išorines normales apibrėžti įtempių vektoriai yra lygūs ir priešingų krypčių. Sudėjus abiejų medžiagų balanso lygtis, jų mechaninės galios panaikina viena kitą.
• Vienalyčiame mažos amplitudės impulso modelyje c = [ρ₀(1/K + C_A)]⁻¹/². Nedidelė sienelės deformacija gali pasireikšti kartu su stipriu susietumu, o bangos sklidimo greitis išlieka atskiras nuo skysčio ir sienelės judėjimo.
• Pridėtinė masė keičia inerciją; skysčio nutekėjimas iš porų keičia apkrovos pasiskirstymą per nuo geometrijos priklausantį laiką. Nė vieno iš šių poveikių negalima pakeisti bendru klampiojo slopinimo ar klampiatamprės medžiagos nariu.
• Biomechaninėms ištisinėms terpėms būtina aiškiai nurodyti mastelį, medžiagos dėsnį, kryptį, atskaitos būseną, aktyvumą, ribas ir stebėjimo laiką. Supaprastintas modelis atsako į apibrėžtos apimties mechanikos klausimą.