Struktūrų formavimasis ir savitvarka

Pradėkime nuo svyravimo žiede

Įsivaizduokite, kad kiekvienai žiedo vietai priskirti du skaičiai su ženklais. Pavadinkime juos u ir v. Iš pradžių vienoje atskaitos vietoje u yra 0.01, už ketvirčio žiedo ilgio – nulis, o už pusės žiedo ilgio – −0.01. Antrojo lauko ženklas yra priešingas, o amplitudė lygi trečdaliui pirmojo lauko amplitudės. Pateikiame šį svyravimą ir klausiame, ar jis auga, ar slopsta.

Šie skaičiai yra bedimensiai trikdžiai nulinės vertės atžvilgiu. Tai nėra išmatuotos koncentracijos, todėl leidžiama ir neigiama vertė. Padėtis x išilgai žiedo matuojama metrais, o laikas t – sekundėmis. Abu laukai gali veikti vienas kitą lokaliai ir taip pat sklisti dėl difuzijos.

„Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ parengia eksponentės ir grafikų sąvokoms, o „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“ – kosinusės formai. Skaitant pirmą kartą galima sekti ženklus ir momentinius vaizdus. „Matricos, tiesinė algebra ir tikrinių verčių uždaviniai“ bei „Diferencialinės lygtys su dalinėmis išvestinėmis ir Grino funkcijos“ yra paskelbti mokymosi keliai, prie kurių galima grįžti nagrinėjant veiksmus su matricomis ir erdvinėmis išvestinėmis; šie veiksmai toliau pristatomi vietoje.

Atskirkime lokalųjį susietumą nuo sklidimo

Pateikiame žiedą, kurio ilgis L = 2π√(10/3) m, ir tikslų tiesinį modelį w_t = J*w + D*w_xx, kuriame w = (u,v)ᵀ. Čia J = [[1,2],[−2,−3]] s⁻¹ aprašo lokalųjį susietumą, o D = diag(1,10) m²/s aprašo abiejų laukų difuziją. Apatinis indeksas t reiškia išvestinę laiko atžvilgiu, o xx – antrąją išvestinę fizinės padėties x atžvilgiu.

Užrašius kiekvieną komponentę atskirai, vietiniai indėliai yra u + 2v ir −2u − 3v per sekundę. Difuzijos indėliai yra (1 m²/s)uₓₓ ir (10 m²/s)vₓₓ. Antrosios išvestinės erdvės koordinatės atžvilgiu matavimo vienetai yra m⁻², nes laukai yra bedimensiai, todėl kiekvieno viso indėlio matavimo vienetai yra s⁻¹.

Žiede galioja periodinės kraštinės sąlygos: w(0,t) = w(L,t) ir wₓ(0,t) = wₓ(L,t). Abu pavaizduoti galiniai taškai yra ta pati žiedo vieta. Tai nėra nepralaidžios galinės sienelės. Visi koeficientai yra pastovūs erdvėje ir laike, todėl kintantis koeficientas neprimeta jokio erdvinio rašto.

Ši tiesinė lygtis yra visas čia pateiktas matematinis modelis, kai t ≥ 0 s. Fizinėje reakcijų sistemoje panaši lygtis gali aprašyti tik mažus trikdžius šalia vienalytės būsenos. Mūsų pasirinktos skaitinės vertės nei apibrėžia trūkstamas netiesines reakcijas, nei patvirtina modelio tinkamumą konkrečiai medžiagai.

Pirmiausia patikrinkite vienalytį trikdį

Vienalyčio trikdžio vertės visur vienodos, todėl jo išvestinės erdvės koordinatės atžvilgiu lygios nuliui. Veikia tik J. Abi jos tikrinės vertės yra −1 s⁻¹. Augimo sparta, kurios realioji dalis neigiama, lemia slopimą ilgainiui; šią kartotinę šaknį reikia nagrinėti atidžiai, nes J neturi dviejų nepriklausomų tikrinių vektorių.

Tarkime, τ = t/(1 s) yra bedimensis skaitinis laikas. Užrašykime J = (−I + N)/(1 s), kur I yra vienetinė matrica, o N = [[2,2],[−2,−2]]. Tiesiogiai sudauginę gauname N² = 0. Tikslus vienalytis sprendinys yra w(t) = exp(-tau)*(I + tau*N)*w(0).

Eksponentinis daugiklis ilgainiui nusveria tiesiškai nuo τ priklausantį daugiklį, todėl kiekvienas vienalytis trikdis artėja prie nulio. Jis nebūtinai mažėja kiekvieną akimirką: sąveika gali laikinai padidinti vieną komponentę arba dviejų komponenčių stulpelio ilgį. Stabilumas ilgainiui ir monotoniškas slopimas yra skirtingi teiginiai.

Kiekvienai erdvinei formai priskirkite savo matricą

Periodinės kosinuso funkcijos, kurios n pilnų ciklų telpa žiede, banginis skaičius yra kₙ = 2πn/L. Čia n yra neneigiamas sveikasis skaičius; n = 0 atitinka vienalytę formą. Du kartus diferencijuojant kosinuso funkciją, ji padauginama iš −kₙ². Taigi cₙ(t)cos(kₙx) pavidalo laukas išlaiko šią erdvinę formą, o jo dviejų komponenčių amplitudė tenkina lygtį ċₙ = Aₙcₙ, kur Aₙ = J − Dkₙ².

Esant šiam ilgiui, kₙ² = (3/10)n² m⁻². Apibrėžkime bedimensį skaičių z = kₙ²/(1 m⁻²). Tuomet Aₙ = [[1−z,2],[−2,−3−10z]] s⁻¹. Jos pėdsakas yra (−2−11z) s⁻¹, o determinantas yra (1−7z+10z²) s⁻².

Realiosios du kart du matricos neigiamas pėdsakas ir teigiamas determinantas reiškia, kad abiejų tikrinių verčių realiosios dalys yra mažesnės už nulį. O neigiamas determinantas būtinai reiškia, kad viena realioji tikrinė vertė yra teigiama, kita – neigiama. Lentelėje taikomas šis kriterijus ir pateikiama tiksli didžiausia augimo sparta; apytikslės vertės tik padeda palyginti jų dydžius.

Lentelė nėra visoms modoms galiojantis įrodymas. Išskaidykime determinanto koeficientą dauginamaisiais: (1−5z)(1−2z). Jis neigiamas tik tada, kai 1/5 < z < 1/2. Leistinos vertės yra z = 0, 3/10, 6/5, 27/10 ir didesnės. Tik n = 1 patenka į šį intervalą; kiekvienam n ≥ 2 pėdsakas yra neigiamas, o determinantas – teigiamas.

Dviejų erdvinių momentinių vaizdų interpretavimas

Nustatykite pradinę sąlygą w(x,0) = (1/100)(1,−1/3)ᵀcos(2πx/L). Tai n = 1 moda. Jos amplitudžių stulpelis su racionaliaisiais elementais nėra tiksliai tikrinis vektorius, todėl sprendinyje išlieka ir auganti, ir slopstanti laikinė šaka.

Dviejuose grafikuose parodyta u ir v priklausomybė nuo padėties laiko momentais 0 s ir 20 s. Abiejose vertikaliosiose ašyse naudojama ta pati bedimensė lauko skalė. Tuščiaviduriai mėlyni apskritimai žymi pradinį momentinį vaizdą, o užpildyti oranžiniai rombai – vėlesnį. Linijos vaizduoja erdvinius profilius fiksuotais laiko momentais; nė viena linija nejungia vieno laiko momento su kitu.

Užrašykime u(x,t) = U(t)cos(2πx/L) ir v(x,t) = V(t)cos(2πx/L). Kai t = 20 s, U yra apytiksliai +0.0211414, o V – apytiksliai −0.00700340. Didesnės amplitudės gaunamos iš pasirinkto pradiniu trikdžiu sužadinto sprendinio, o ne iš išmatuotų duomenų ar teiginio, kad kiekvienas galimas trikdis auga.

Lentelėje naudojami a₂₀ = U(20 s) ir b₂₀ = V(20 s). Kosinusas yra lygus tiksliai nuliui ties L/4 ir 3L/4, todėl tos laukų vertės yra lygios tiksliai nuliui. Vertės ties 0 ir L sutampa, nes žiedas yra uždaras.

Patikrinkite abi laikines šakas

Jei norite atlikti tikslų skaičiavimą, imkite d = √2889 ir r₊ = (−53+d)/20, r₋ = (−53−d)/20. Šios r vertės yra bedimensės; fizikiniai kitimo greičiai yra r₊ s⁻¹ ir r₋ s⁻¹. Kai τ = t/(1 s), eksponentinių funkcijų exp(r₊τ) ir exp(r₋τ) argumentai yra bedimensiai.

Amplitudės yra U(t) = [(1+161/(3*d))*exp(r_plus*tau) + (1-161/(3*d))*exp(r_minus*tau)]/200 ir V(t) = -[(1+53/d)*exp(r_plus*tau) + (1-53/d)*exp(r_minus*tau)]/600. Šios išraiškos yra dviejų tos pačios kosinusinės formos laikinių šakų suma.

Kai τ = 0, abi eksponentės lygios 1. Sudėję koeficientus gauname U(0) = 1/100 ir V(0) = −1/300. Diferencijuodami ties t = 0 gauname U̇(0) = 1/3000 s⁻¹ ir V̇(0) = 0 s⁻¹; tai sutampa su A₁ ir pradinio stulpelio vektoriaus sandauga. Įstatę patikriname visą sprendinį; palikę tik teigiamos augimo spartos šaką, pakeistume pateiktus pradinius duomenis.

To paties bangos skaičiaus sinusinė funkcija turi tokias pačias augimo spartas, kaip ir paslinkta kosinusinė funkcija. Mūsų pasirinkta pradinė sąlyga fiksuoja jos fazę išilgai žiedo. Tiesinis nestabilumas neparenka vienintelės bangos keteros padėties.

Pakeiskite difuziją arba žiedo ilgį

Palikite J ir L nepakeistus, bet abu difuzijos koeficientus nustatykite lygius 1 m²/s. Dabar kiekvienos modos matrica yra J − kₙ²(1 m²/s)I, todėl abi tikrinės vertės tampa −(1+(3/10)n²) s⁻¹. Kiekviena moda ilgainiui slopsta. Vienodi difuzijos koeficientai vienodai pastumia reakcijos spartas; šiame modelyje jie nesukuria augančios šakos, kuri atsiranda esant nevienodiems difuzijos koeficientams.

Be difuzijos kiekvieną modą veikia tik J ir ji ilgainiui slopsta, nors jos erdvinė forma nėra glodinama sklidimo. Šie du palyginimai parodo, kodėl vietinės reakcijos stabilumas suderinamas su nestabilumu, atsirandančiu įtraukus nevienodą difuziją. Difuzija tiesiogiai nestiprina kosinusinės dedamosios; auganti šaka gali atsirasti pasikeitus dviejų jos susietų komponenčių kitimui.

Svarbus ir srities dydis. Perpus sumažinus žiedo ilgį, kiekvienas nenulinis kₙ padvigubėja, o kₙ² padidėja keturis kartus. Tuomet mažiausias nenulinis z yra 6/5 ir jau viršija nestabilumo juostos viršutinę ribą. Esant pradiniams nevienodiems difuzijos koeficientams, šiame mažesniame žiede nė viena leistina nevienalytė moda asimptotiškai neauga.

Atskirkite atsiradimą nuo galutinės struktūros

Šis pavyzdys parodo difuzijos sukeltą tiesinį nestabilumą: vienalytės reakcijos dinamika yra asimptotiškai stabili, tačiau įtraukus nevienodą difuziją, leistina nevienalytė moda įgyja teigiamą augimo spartą. Taigi vietinis susiejimas ir sklidimas gali sustiprinti jau esantį erdvinį kitimą be nuo padėties priklausančio koeficiento.

Šioje deterministinėje tiesinėje lygtyje tiksliai nulinis pradinis trikdis išlieka tiksliai nulinis. Kad trikdis atsirastų, būtina įvesti pradinį trikdį, išorinį poveikį arba triukšmą. Mūsų pradinis trikdis aiškiai nurodytas, o jo kosinusinė forma išlieka nekintama, nors amplitudės kinta.

Modelyje nėra nario, kuris sustabdytų nestabilios šakos augimą. Norint pagrįsti išliekančią ribotos amplitudės struktūrą, parinktą galutinį bangos ilgį ar stebimą savaime besitvarkančią medžiagą, reikia papildomos netiesinės dinamikos, informacijos apie kraštines sąlygas ir fizikinių įrodymų. Tiesinis augimas gali padėti nustatyti atsiradimo mechanizmą, bet nepatvirtina šių vėlesnių rezultatų.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Jei u yra bedimensis dydis, kokie yra uₓₓ ir (1 m²/s)uₓₓ vienetai? Kodėl pastarojo reiškinio vienetai suderinami su uₜ vienetais?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   uₓₓ vienetai yra m⁻²; padauginus iš m²/s, gaunama s⁻¹, taigi tie patys vienetai kaip ir uₜ.

   Antroji išvestinė reiškia dalijimą iš padėties koordinatės vienetų du kartus. Išlaikykite fizinę koordinatę x, o ne nepastebimai pakeiskite ją bedimensiu santykiu x/L.

2. Pradiniame žiede raskite z, pėdsaką ir determinantą, kai n = 2. Ar ši moda asimptotiškai auga?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   z = 6/5, pėdsakas = −76/5 s⁻¹, o determinantas = 7 s⁻². Abiejų tikrinių verčių realiosios dalys yra neigiamos, todėl ši moda ilgainiui slopsta.

   Įrašykite z = (3/10)×4 į −2−11z ir 1−7z+10z²; neigiamas pėdsakas ir teigiamas determinantas tenkina dviejų eilučių ir dviejų stulpelių sistemos stabilumo kriterijų.

3. Kai x = L/4, kokios yra pasirinktą pradinę būseną atitinkančio sprendinio u ir v reikšmės 0 s ir 20 s momentais? Ar labai maža kompiuterio apskaičiuota kosinuso liekana yra nenulinė modelio reikšmė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visos keturios laukų reikšmės yra tiksliai lygios nuliui. Labai maža slankiojo kablelio skaičiavimo liekana yra skaičiavimo artefaktas, o ne nenulinė tiksli reikšmė.

   Erdvinis daugiklis abiem laiko momentais yra cos(π/2) = 0, nepriklausomai nuo abiejų amplitudžių.

4. Išlaikydami pradinę J matricą ir skirtingus difuzijos koeficientus, sumažinkite žiedo ilgį perpus. Raskite k₁² ir nustatykite, ar kuri nors erdviškai nevienoda moda, kurios indeksas yra sveikasis skaičius, turi teigiamą kitimo spartą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   k₁² tampa 6/5 m⁻². Mažesniame žiede nė viena erdviškai nevienoda moda, kurios indeksas yra sveikasis skaičius, asimptotiškai neauga.

   Kiekvienas bangos skaičius padvigubėja, todėl jo kvadratas padidėja keturgubai. Kiekviena leistina nenulinė z reikšmė yra ne mažesnė nei 6/5 ir viršija nestabilaus intervalo 1/5 < z < 1/2 viršutinę ribą.

5. Vienalyčio trikdžio norma 1 s momentu yra didesnė nei 0 s momentu. Ar šis stebėjimas įrodo teigiamą asimptotinę tikrinę vertę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Šiame pavyzdyje yra dvi tikrinės vertės −1 s⁻¹, tačiau prieš galutinį silpnėjimą galimas laikinas didėjimas.

   Matrica susieja komponentes, o sprendinyje yra polinominis pereinamasis narys. Patikrinkite ilgalaikę kitimo spartą ir visą evoliuciją, užuot kiekvieną baigtinį padidėjimą sutapatinę su asimptotiniu nestabilumu.

6. Ar teigiama n = 1 augimo sparta įrodo nuolatinę aprėžtą struktūrą arba sukuria struktūrą, kai pradinis laukas yra tiksliai nulinis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nei viena, nei kita. Tiksliai nulinė būsena išlieka nulinė, o pateiktas tiesinis modelis neturi soties mechanizmo.

   Nurodytas pradinis trikdis gali augti. Galutinei aprėžtai struktūrai susidaryti reikia papildomos netiesinės dinamikos, o teiginiui apie materialią sistemą pagrįsti – tinkamo fizikinio modelio ir pagrindžiančių duomenų.

Ką verta įsidėmėti

• Vienalytė reakcijos būsena gali būti asimptotiškai stabili, nors dėl nevienodos difuzijos leistina nevienalytė moda auga.
• Periodinės kraštinės sąlygos riboja leistinus banginius skaičius; kelių grafike pavaizduotų modų patikrinimas nėra išsamus įrodymas.
• Ilgainiui modos gali slopti, nors prieš tai patiria baigtinį trumpalaikį sustiprėjimą, o pasirinktas pradinis trikdis gali apimti abi laikines šakas.
• Augantis tiesinis bangavimas savaime nepatvirtina nei išliekančios netiesinės struktūros, nei matavimais užfiksuotos saviorganizuojančios sistemos.