Daugianariai, skaidymas dauginamaisiais ir šaknys

Daugianaryje – baigtinis skaičius narių su neneigiamais sveikaisiais laipsnių rodikliais

Vieno kintamojo daugianaris yra baigtinė to kintamojo neneigiamų sveikųjų laipsnių, padaugintų iš konstantų, suma. Šioje pamokoje jo koeficientai yra realieji skaičiai. Pavyzdžiui, P(x) = −2x⁴ + 3x² − 5 yra daugianaris; daugianariai yra ir x/4 + √2 bei (x − 1)(x + 2). Koeficientai gali būti trupmeniniai ir iracionalieji. Laisvasis narys yra pastovus skaičius, nepriklausantis nuo x; jo reikšmę nuskaitykite tiesiogiai, užuot bandę apskaičiuoti atskirą reiškinį 0⁰.

Daugianario reikšmę galima apskaičiuoti su kiekviena realiąja kintamojo reikšme: sudedant ir dauginant realiuosius skaičius bei keliant juos neneigiamais sveikaisiais laipsniais, nė viena realioji kintamojo reikšmė nėra atmetama. Taigi natūrali jo apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai. Reiškinys su kintamuoju po kvadratinės šaknies ženklu, pavyzdžiui, √x, arba su kintamuoju vardiklyje, pavyzdžiui, 1/x, nėra daugianario pavidalo. Trupmena su pastoviu nenuliniu vardikliu, pavyzdžiui, x/4, gali būti daugianaris. Daugianarių sandaugos ir sumos, išskleidus skliaustus ir sutraukus panašiuosius narius, taip pat yra daugianariai.

Atsižvelgiant į kontekstą, daugianariu apibrėžtos funkcijos apibrėžimo sritis gali būti siauresnė. Ploto formulė, kurioje naudojami teigiami ilgiai, nepaverčia neigiamų ilgių fiziniais objektais. Taip pat išlaikykite pradinio reiškinio, kuris nėra daugianaris, apribojimus: (x² − 1)/(x − 1) lygu x + 1 tik tada, kai x ≠ 1. Pradinė funkcija nėra apibrėžta ties viena kintamojo reikšme, todėl ji skiriasi nuo daugianario funkcijos x + 1, apibrėžtos visoje realiųjų skaičių aibėje. Supaprastinimas nepanaikina šio apibrėžimo srities apribojimo.

Sutraukę narius raskite didžiausią likusį kintamojo laipsnį

Nario ženklas yra jo dalis. Daugianaryje −2x⁴ + 3x² − 5 narių su x⁴, x² ir laisvojo nario koeficientai yra −2, 3 ir −5; nesančių narių su x³ ir x koeficientai lygūs nuliui. Nenulinio daugianario laipsnis yra didžiausias kintamojo laipsnis, kurio koeficientas nenulinis. Čia daugianario laipsnis yra 4, vyriausiasis narys yra −2x⁴, o vyriausiasis koeficientas yra −2. Daugianariai, kurių laipsniai yra 1, 2 ir 3, vadinami atitinkamai tiesiniais, kvadratiniais ir kubiniais.

Prieš nurodydami daugianario laipsnį, sutraukite panašiuosius narius. Reiškinys (4x³ + 2x) − (4x³ − 5x) supaprastinamas iki 7x, todėl jo laipsnis yra 1, o ne 3. Nenulinės konstantos, pavyzdžiui, −7, laipsnis yra 0, ir ji neturi šaknų: jos reikšmė niekada nebūna 0. Visi nulinio daugianario koeficientai lygūs nuliui, o jo reikšmė lygi nuliui su kiekviena realiąja kintamojo reikšme. Čia jo laipsnį paliekame neapibrėžtą, nes nėra didžiausio kintamojo laipsnio su nenuliniu koeficientu. Jis turi be galo daug realiųjų šaknų, ir nė vienos iš jų kartotinumas nėra baigtinis.

Funkcijos nulis – argumentas, kuriam funkcijos reikšmė lygi nuliui

Norėdami apskaičiuoti P(a), visą argumento a reikšmę įrašykite vietoj kiekvieno kintamojo. Realusis skaičius a yra funkcijos P nulis tada ir tik tada, kai P(a) = 0. Jis taip pat yra lygties P(x) = 0 šaknis. Funkcijos nulis yra argumento reikšmė, o atitinkamas grafiko taškas yra susikirtimo su x ašimi taškas (a, 0). Daugianario funkcijos, apibrėžtos visoje realiųjų skaičių aibėje, grafiko susikirtimo su y ašimi taškas yra (0, P(0)), todėl jis nustatomas pagal laisvąjį narį.

Kai P(x) = 2x² − 3x − 2, apskaičiavę funkcijos reikšmę ties 2, gauname P(2) = 2(2²) − 3(2) − 2 = 0, o P(0) = −2. Taigi 2 yra funkcijos nulis, (2, 0) yra grafiko susikirtimo su x ašimi taškas, o (0, −2) – susikirtimo su y ašimi taškas. Šis patikrinimas įrodo, kad 2 yra vienas iš funkcijos nulių, tačiau nenustato visų jos nulių. Jei nurodyta funkcijos apibrėžimo sritis neapima daugianario algebrinio nulio, šis nulis nėra apribotos funkcijos argumentas, kuriam jos reikšmė lygi nuliui.

Sandaugos lygybės nuliui taisyklę taikykite tik prilyginę reikšmę nuliui

Skaidant dauginamaisiais, daugianaris užrašomas kaip sandauga, kurios reikšmė sutampa su daugianario reikšme kiekvienai realiajai argumento reikšmei. Pats skaidymas daugianario reikšmės nuliui neprilygina. Pavyzdžiui, 2x² − 3x − 2 = (2x + 1)(x − 2) yra tapatybė. Išskleidę dešinę pusę gauname 2x² − 4x + x − 2 ir taip patikriname visus koeficientus. Norėdami išspręsti lygtį P(x) = 0, taikykite realiųjų skaičių sandaugos lygybės nuliui taisyklę: baigtinė sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai bent vienas dauginamasis lygus nuliui. Taigi visos realiosios šaknys yra −1/2 ir 2.

Pastovus nenulinis dauginamasis neprideda naujos šaknies. Reiškinio −3x(x − 2) šaknys yra 0 ir 2, nes −3 niekada nėra lygus nuliui. Išsaugokite dauginamuosius su kintamuoju: padaliję lygtį x(x − 2) = 0 iš x, prarastumėte galiojančią šaknį x = 0, jei jos nenagrinėtumėte atskirai. Skaidant dauginamaisiais pagal skirstomumo dėsnį, tokios dalybos nėra, todėl išsaugomi ir nuliui lygūs dauginamieji.

Skaidydami dauginamaisiais nurodykite, kokie koeficientai leidžiami. Daugianaris x² − 2 neturi tiesinių dauginamųjų su racionaliaisiais koeficientais, bet turi dauginamuosius su realiaisiais koeficientais (x − √2)(x + √2). Daugianaris x² + 1 neturi nei realiosios šaknies, nei tiesinio dauginamojo su realiaisiais koeficientais, nes x² + 1 visada yra teigiamas. Vien tai, kad nepavyko rasti dauginamųjų su sveikaisiais koeficientais, neįrodo, jog daugianaris neturi realiųjų šaknų.

Daugianario dalybos tapatybėje įstatykite daliklio šaknį

Dalijant daugianarį P(x) iš tiesinio daugianario x − a, dalmuo yra daugianaris Q(x), o liekana – konstanta R. Dalybos tapatybė P(x) = (x − a)Q(x) + R galioja kiekvienam realiajam x. Vienas būdas ją gauti – atimti tinkamą x − a kartotinį, kad būtų panaikintas narys su didžiausiu likusiu laipsniu, ir kartoti šį veiksmą su mažesnio laipsnio daugianariu, kol liks tik konstanta. Liekana gali būti lygi nuliui. Siūlomą dalmenį ir liekaną patikrinkite išskleisdami tapatybę.

Kai x = a, sandaugos narys tampa lygus nuliui, todėl gauname P(a) = R. Tai liekanos teorema: dalybos iš x − a liekana yra lygi daugianario reikšmei taške a. Pavyzdžiui, x² + 2x − 3 = (x − 2)(x + 4) + 5; tai patikrinama išskleidžiant. Taigi dalybos iš x − 2 liekana yra 5, kurią taip pat galima rasti tiesiogiai apskaičiavus P(2) = 4 + 4 − 3 = 5.

Pačioje dalybos tapatybėje jokia skaitinė reikšmė nedalijama iš x − a, todėl ji galioja net ir tada, kai x = a. Užrašas trupmenos pavidalu P(x)/(x − a) = Q(x) + R/(x − a) yra kitas teiginys, kuriam būtina sąlyga x ≠ a. Naudodami racionaliąją funkciją išlaikykite šį vardiklio apribojimą; jis netaikomas daugianarių tapatybei, kuria įrodoma teorema.

Tiesinis dauginamasis atitinka šaknį, ir atvirkščiai

Jei P(a) = 0, pagal liekanos teoremą liekana lygi nuliui, todėl P(x) = (x − a)Q(x), o x − a yra dauginamasis. Ir atvirkščiai: jei ši sandaugos tapatybė galioja, įstatę x = a gauname P(a) = 0. Šios dvi kryptys sudaro dauginamojo teoremą. Dauginamajam x + 2 atitinkanti tikrinama šaknis yra −2, o dauginamajam x − 2 – 2. Ženklą nustatykite pagal konkretų dauginamąjį.

Radę vieną šaknį, skaidykite dalmenį dauginamaisiais tiek, kiek reikalauja užduotis, ir išnagrinėkite kiekvieną likusį dauginamąjį. Norėdami nustatyti visas realiąsias šaknis, paaiškinkite, kodėl likę dauginamieji arba turi nurodytas realiąsias šaknis, arba jų neturi. Sąrašas reikšmių, kurias įstačius gaunamas nulis, patvirtina, kad jos yra šaknys, o visiškas išskaidymas dauginamaisiais kartu su sandaugos lygybės nuliui taisykle įrodo, kad jokių kitų realiųjų šaknų nepraleista. Kiekvienas išskirtas nenulinio daugianario tiesinis dauginamasis sumažina dalmens laipsnį vienetu. Todėl nenulinis n laipsnio daugianaris turi ne daugiau kaip n skirtingų realiųjų šaknų, o jo realiųjų šaknų kartotinumų suma neviršija n. Nulinis daugianaris yra šių baigtinių ribų išimtis.

Šaknies kartotinumas – visas ją atitinkančio dauginamojo pasikartojimų skaičius

Nenulinio daugianario realiojo nulio a kartotinumas yra m, kai P(x) = (x − a)^m Q(x), kur m yra teigiamas sveikasis skaičius ir Q(a) ≠ 0. Ši sąlyga, kad likęs daugiklis ties a nėra lygus nuliui, yra svarbi: ji reiškia, kad dar vieno daugiklio x − a išskirti nebegalima. Daugianario P(x) = (x − 1)²(x + 2) nulio 1 kartotinumas yra 2, nes likęs daugiklis tame taške lygus 3; nulio −2 kartotinumas yra 1, nes likęs kvadratas tame taške lygus 9.

Taško a aplinkoje Q išlaiko savo ženklą, nes tai yra daugianaris, jis yra tolydus, o jo reikšmė Q(a) nėra lygi nuliui. Daugiklis x − a keičia ženklą pereinant per a. Jo nelyginiai laipsniai taip pat keičia ženklą, o lyginiai laipsniai abipus a išlieka teigiami, išskyrus patį a. Taigi ties nelyginio kartotinumo realiuoju nuliu grafikas kerta x ašį, o ties lyginio kartotinumo nuliu paliečia ašį nekeisdamas ženklo. Tai vietinė grafiko elgsena, nagrinėjant daugianarį visoje realiojoje apibrėžimo srityje. Jei konkrečiame kontekste leidžiama tik viena nulio pusė, apribotas grafikas nebūtinai rodo abi puses. Tariamas grafiko plokštumas nėra tikslus kartotinumo įrodymas; išskirkite daugiklius, kol Q(a) nebebus lygi nuliui.

Ženklų nustatymas ištisuose intervaluose pagal daugiklius

Išskaidymas daugikliais (x − 1)²(x + 2) leidžia nustatyti daugianario ženklą kiekviename intervale tarp jo nulių. Kvadratas yra teigiamas visur, išskyrus 1. Kai x < −2, reiškinys x + 2 yra neigiamas, todėl sandauga yra neigiama. Kai −2 < x < 1 ir kai x > 1, reiškinys x + 2 yra teigiamas, todėl sandauga yra teigiama. Ties −2 ir 1 ji lygi nuliui. Ženklas keičiasi ties paprastuoju nuliu −2 ir nesikeičia ties dvigubuoju nuliu 1.

Daugianariai yra tolydūs visoje realiųjų skaičių tiesėje: jų pilnuose grafikuose nėra skylių ar šuolių. Todėl priešingi ženklai ties dviem argumento reikšmėmis garantuoja, kad tarp jų yra bent vienas nulis, tačiau neparodo, kiek iš viso tokių nulių yra. Vienodi ženklai ties dviem patikrintomis argumento reikšmėmis negarantuoja, kad intervale tarp jų nėra nulių: jame gali būti lyginio kartotinumo nulis, ties kuriuo ženklas nesikeičia. Norėdami nustatyti elgesį intervale, naudokite visus išskaidymo daugiklius arba kitą pagrįstą metodą.

Vyriausiasis narys lemia grafiko galų elgseną, bet ne visas jo detales

Kai daugianario laipsnis n ≥ 1, o vyriausiasis koeficientas yra a, vyriausiasis narys a x^n lemia grafiko galų elgseną argumento reikšmėms neribotai didėjant arba mažėjant. Padalijus reiškinį iš x^n, kai x nelygus nuliui, gaunamas a ir žemesnių laipsnių nariai, padalyti iš teigiamų x laipsnių. Didėjant x moduliui, kiekvienas iš šių papildomų narių artėja prie nulio, todėl pakankamai toli ženklą ir augimą lemia vyriausiasis narys. Tai apibūdina tolimuosius grafiko galus, bet nereiškia, kad viena pasirinkta didelė argumento reikšmė jau yra pakankamai toli.

Kai laipsnis lyginis, o vyriausiasis koeficientas teigiamas, abu grafiko galai neribotai kyla; kai šis koeficientas neigiamas, abu galai neribotai leidžiasi. Kai laipsnis nelyginis, o vyriausiasis koeficientas teigiamas, kairysis galas leidžiasi, o dešinysis kyla; neigiamas koeficientas šias kryptis sukeičia. Pavyzdžiui, −2x³ + 2x² + 10x + 6 kairysis galas neribotai kyla, o dešinysis neribotai leidžiasi. Nenulinių pastoviųjų daugianarių ir nulinio daugianario reikšmės, priešingai, yra pastovios.

Laipsnis, grafiko galų elgsena, sankirtos su koordinačių ašimis ir šaknų kartotinumas apriboja grafiko formą, bet nenusako kiekvieno jo posūkio ar aukščio. Ribotame grafiko vaizdavimo lange gali nesimatyti kai kurių nulių, o skirtingi grafiko ypatumai gali būti suspausti į mažą sritį. Keli nubraižyti taškai negali įrodyti, kad nulių sąrašas yra išsamus, ar nustatyti tikslaus šaknų kartotinumo. Grafiką naudokite algebriniam rezultatui interpretuoti, o bet kurią vaizde numanomą šaknį tikrinkite tiksliai apskaičiuodami reikšmę arba naudodamiesi daugikliais.

Atskirkite tikslias šaknis, artinius ir skaičių sistemas

Tikslūs daugianario x² − 3 realieji nuliai yra −√3 ir √3. Jų dešimtainiai artiniai yra maždaug −1.732 ir 1.732, tačiau baigtinė dešimtainė trupmena 1.732 nėra daugianario nulis: 1.732² − 3 = −0.000176. Maža nenulinė reikšmė vis tiek skiriasi nuo nulio. Rašykite √3 ≈ 1.732 ir nesutapatinkite artinio su tikslia šaknimi. Artinys gali padėti nustatyti šaknies vietą arba atlikti skaitinius skaičiavimus; nustatykite jo tikslumą ir pažymėkite, kad jis apytikslis.

Realieji nuliai yra argumento reikšmės, kurias atitinka realiosios funkcijos grafiko sankirtos su x ašimi. Daugianaris x² + 1 neturi realiųjų nulių, nes jo reikšmė yra ne mažesnė už 1. Platesnėje kompleksinių skaičių sistemoje jo nuliai yra i ir −i, kur i² = −1; kompleksinių skaičių aritmetika nagrinėjama vėlesniame skyriuje. n-tojo laipsnio daugianaris nebūtinai turi n realiųjų nulių, net jei skaičiuojami ir pasikartojantys nuliai. Skaidant į dauginamuosius sveikųjų, racionaliųjų, realiųjų ar kompleksinių skaičių aibėje, galima gauti skirtingo išsamumo skaidinius, todėl nurodykite naudojamą skaičių sistemą.

Nepriklausomai patikrinkite argumento reikšmę ir siūlomą šaknį

Tyrinėjimo priemonėje lyginami septyni daugianarių atvejai: (x + 2)(x − 1)(x − 2), (x − 1)²(x + 2), (x² − 2)², x² + 1, nulinis daugianaris, nenulinė konstanta 3 ir (x − 1)(x + 2)(x² + 1). Visi jie nagrinėjami visose savo realiosiose apibrėžimo srityse. Pirmasis turi tris paprastuosius realiuosius nulius; kubinis daugianaris su kartotine šaknimi turi vieną paprastąjį ir vieną dvigubąjį nulį; kvadratinio daugianario kvadratas turi dvigubuosius nulius −√2 ir √2. Mišrus ketvirtojo laipsnio daugianaris turi tik du paprastuosius realiuosius nulius −2 ir 1, nes jo dauginamasis x² + 1 visoje realiųjų skaičių aibėje yra teigiamas.

Nepriklausomai pasirinkite argumento reikšmę, kuriai skaičiuosite daugianario reikšmę, ir siūlomą šaknį a. Perskaitykite tikslią reikšmę P(x), tada išnagrinėkite atskirą tapatybę P(t) = (t − a)Q(t) + P(a). Nulinė liekana įrodo, kad t − a yra dauginamasis; nenulinė liekana atmeta šį dauginamąjį. Tikslius iracionaliuosius kandidatus, pavyzdžiui, √2, reikia tikrinti simboliškai, nelaikant suapvalintos dešimtainės trupmenos tuo pačiu skaičiumi. Nulinio daugianario liekana lygi nuliui su kiekvienu a, tačiau jis neturi nei baigtinio laipsnio, nei šaknų kartotinumų; konstantos 3 liekana yra 3, ir ji neturi nulių. Visus teiginius apie realiuosius nulius pagrįskite visišku skaidymu į dauginamuosius ir argumentais apie ženklą, o ne laikykite baigtinį valdikliais pasirenkamų reikšmių rinkinį visomis galimomis argumento reikšmėmis. Kitoje pamokoje daugianarių dauginamieji išlaikomi racionaliosiose funkcijose ir nagrinėjamos į jų apibrėžimo sritis neįeinančios reikšmės bei asimptotės.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kurios iš šių išraiškų yra kintamojo x daugianariai: 3x⁴ − 2x + 5, x/5 − 2, √x + 1 ir 1/(x − 1)? Nurodykite kiekvieno daugianario laipsnį, vyriausiąjį koeficientą ir natūraliąją apibrėžimo sritį realiųjų skaičių aibėje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   3x⁴ − 2x + 5 yra 4 laipsnio daugianaris, kurio vyriausiasis koeficientas yra 3; x/5 − 2 yra 1 laipsnio daugianaris, kurio vyriausiasis koeficientas yra 1/5. Abiejų apibrėžimo sritis yra visų realiųjų skaičių aibė. Kitos dvi išraiškos nėra daugianariai.

   Daugianaryje x laipsnių rodikliai yra neneigiami sveikieji skaičiai, o koeficientai – pastovūs realieji skaičiai. Padaliję x iš nenulinės konstantos 5, gauname koeficientą 1/5. Kintamasis po kvadratinės šaknies ženklu ir kintamasis vardiklyje neatitinka daugianario formos, be to, apriboja natūraliąsias šių išraiškų apibrėžimo sritis realiųjų skaičių aibėje.

2. Raskite (2x³ + x² − 4) − (2x³ + x² + 1) laipsnį. Tada palyginkite šio daugianario realiuosius nulius su nulinio daugianario nuliais. Ar šioje pamokoje nulinio daugianario laipsnis yra 0, ar kiekvienas jo nulis turi baigtinį kartotinumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Išraiška lygi nenulinei konstantai −5, kurios laipsnis yra 0 ir kuri neturi realiųjų nulių. Nulinis daugianaris lygus nuliui esant bet kuriai realiajai argumento reikšmei; jo laipsnis čia neapibrėžtas, o jo šaknys neturi baigtinių kartotinumų.

   Trečiojo ir antrojo laipsnio nariai susiprastina, todėl lieka −4 − 1 = −5. Nenulinė konstanta niekada nelygi nuliui. Visi nulinio daugianario koeficientai yra lygūs nuliui, todėl nėra aukščiausiojo laipsnio nario su nenuliniu koeficientu. Nulinis daugianaris dalijasi iš bet kurio x − a laipsnio, todėl nėra didžiausio baigtinio laipsnio rodiklio, kuris apibrėžtų kartotinumą.

3. Išskaidykite P(x) = 3x³ − 12x daugikliais, raskite visus realiuosius nulius ir kiekvieno jų kartotinumą bei paaiškinkite, kodėl negalima dalyti P(x) = 0 iš x neaptarus atskiro atvejo.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   P(x) = 3x(x − 2)(x + 2), o visi realieji nuliai yra −2, 0 ir 2, kiekvieno jų kartotinumas yra 1. Dalijant iš x būtų prarastas galiojantis nulis 0.

   Iškelkite 3x prieš skliaustus, tada išskaidykite x² − 4 kaip kvadratų skirtumą. Nenulinis pastovusis daugiklis neprideda jokio nulio; visi trys skirtingi tiesiniai daugikliai pasitaiko po vieną kartą, o ties kiekvieno jų nuliu likusių daugiklių sandauga yra nenulinė. Kai x = 0, pradinis daugianaris lygus nuliui, tačiau dalyba iš x neapibrėžta.

4. Raskite P(x) = x³ + x² − 4x − 4 dalybos iš x + 1 ir x − 1 liekanas. Nustatykite, kuris iš šių reiškinių yra daugiklis, tada visiškai išskaidykite P dauginamaisiais ir nurodykite visus realiuosius nulius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Dalybos iš x + 1 liekana yra P(−1) = 0, todėl šis reiškinys yra daugiklis. Dalybos iš x − 1 liekana yra P(1) = −6, todėl šis reiškinys nėra daugiklis. P(x) = (x + 1)(x − 2)(x + 2), o realieji nuliai yra −2, −1 ir 2.

   Naudokite daliklių nulius: P(−1) = −1 + 1 + 4 − 4 = 0 ir P(1) = 1 + 1 − 4 − 4 = −6. Sugrupuokite daugianario narius taip: x²(x + 1) − 4(x + 1) = (x + 1)(x² − 4), tada išskaidykite kvadratų skirtumą dauginamaisiais. Visiškas išskaidymas dauginamaisiais patvirtina, kad kitų realiųjų nulių nėra.

5. Nurodykite P(x) = (x − 2)³(x + 1)² realiuosius nulius ir tikslius jų kartotinumus. Ar ties kiekvienu nuliu jo ženklas pasikeičia? Nurodykite jo ženklą, kai x < −1, −1 < x < 2 ir x > 2, ir apibūdinkite jo elgesį, kai x neribotai mažėja arba didėja.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nulio −1 kartotinumas yra 2, ir ties juo ženklas nesikeičia; nulio 2 kartotinumas yra 3, ir ties juo ženklas pasikeičia. P yra neigiamas, kai x < −1 ir −1 < x < 2, ir teigiamas, kai x > 2. Kairioji jo grafiko šaka leidžiasi žemyn be ribos, o dešinioji kyla aukštyn be ribos.

   Ties kiekvienu nuliu kitas daugiklis yra nenulinis, todėl nurodytas laipsnio rodiklis yra tikslus to nulio kartotinumas. Kai x nelygus −1, kvadratas yra teigiamas, o kubo ženklas sutampa su x − 2 ženklu. Daugianario laipsnis yra 5, o vyriausiasis koeficientas yra 1, todėl šis nelyginio laipsnio daugianaris elgiasi taip, kaip nurodyta, kai x neribotai mažėja arba didėja. Trigubasis nulis yra vienas atskiras nulis, pagal kartotinumą skaičiuojamas tris kartus, o ne trys atskiri susikirtimo su x ašimi taškai.

6. Išskaidykite P(x) = x⁴ − 16 dauginamaisiais su realiaisiais koeficientais ir raskite visus realiuosius nulius bei jų kartotinumus. Ar 4 laipsnis būtinai reiškia, kad yra keturi realieji nuliai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   P(x) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4). Vieninteliai jo realieji nuliai yra −2 ir 2, o kiekvieno jų kartotinumas yra 1. 4 laipsnis nebūtinai reiškia, kad yra keturi realieji nuliai.

   Pirmiausia pasinaudokite x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4), tada išskaidykite x² − 4 dauginamaisiais. Likęs daugiklis x² + 4 realiųjų skaičių aibėje yra ne mažesnis už 4 ir negali būti lygus nuliui. Ties kiekvienu realiuoju nuliu kiti daugikliai yra nenuliniai, o tai įrodo, kad jo kartotinumas yra 1 ir kad realiųjų nulių sąrašas yra išsamus.

7. Daugianario P(x) = (x − 1)² reikšmės ties 0 ir 2 yra teigiamos. Ar tai įrodo, kad tarp jų nėra nulio? Atskirai nustatykite, ar 1.414 yra tikslus Q(x) = x² − 2 nulis. Tiksliai pagrįskite abu atsakymus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne: tarp šių argumento reikšmių P turi dvigubąjį nulį 1. Be to, 1.414 nėra tikslus Q nulis, nes Q(1.414) = −0.000604; tikslus teigiamasis nulis yra √2.

   P(0) = P(2) = 1, tačiau visiškai išskaidžius daugianarį dauginamaisiais gaunama P(1) = 0, o šio nulio kartotinumas yra lyginis, todėl pereinant per jį ženklas nesikeičia. Baigtinės dešimtainės trupmenos atveju 1.414² = 1.999396, todėl gaunama nurodyta nenulinė liekana. Rašykite √2 ≈ 1.414; sutapimas patikrintuose taškuose ar maža skaitinė reikšmė neįrodo, kad tikrinama argumento reikšmė yra tikslus daugianario nulis.

Ką verta įsidėmėti

• Daugianarį su realiaisiais koeficientais sudaro baigtinis skaičius narių su neneigiamais sveikaisiais laipsnių rodikliais ir pastoviais realiaisiais koeficientais; jo natūrali apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai, nors kontekstas gali ją apriboti.
• Prieš nustatydami laipsnį, sutraukite panašiuosius narius. Nenulinės konstantos laipsnis yra 0, ir ji neturi nulių; nulinio daugianario nulis yra kiekviena realioji argumento reikšmė, o baigtinis laipsnis ir kartotinumai šioje pamokoje jam nepriskiriami.
• Nulis a tenkina lygybę P(a) = 0 ir atitinka grafiko tašką (a, 0). Reiškinio skaidymas dauginamaisiais nėra tas pats, kas jo reikšmės prilyginimas nuliui.
• Iš tapatybės P(x) = (x − a)Q(x) + R gauname R = P(a). Taigi a yra nulis tada ir tik tada, kai x − a yra daugiklis; patikrinkite visą tapatybę, o ne tik reikšmę viename pasirinktame taške.
• Pasitelkite visus likusius daugiklius, kad įrodytumėte, jog realiųjų nulių sąrašas yra išsamus. Nenulinis n-tojo laipsnio daugianaris turi ne daugiau kaip n realiųjų nulių, skaičiuojant jų kartotinumus; jis nebūtinai turi n realiųjų nulių.
• Kartotinumas yra daugiklio x − a laipsnio rodiklis, kai likęs daugiklis taške a nelygus nuliui. Kai kartotinumas nelyginis, ženklas nulio aplinkoje keičiasi; kai lyginis – nesikeičia. Vienodi ženklai patikrintuose taškuose gali slėpti nulį.
• Vyriausiasis narys lemia daugianario elgseną, kai argumentas artėja prie teigiamos arba neigiamos begalybės. Tikslūs daugikliai leidžia nustatyti nulius ir jų kartotinumus; tik dalį grafiko rodantys vaizdai ir suapvalintos šaknų reikšmės suteikia ribotą arba apytikslę informaciją.