Racionaliosios funkcijos ir asimptotės

Racionaliosios funkcijos formulė – daugianarių dalmuo nurodytoje apibrėžimo srityje

Racionalioji funkcija išreiškiama daugianarių su realiaisiais koeficientais dalmeniu f(x) = P(x)/Q(x), kur Q nėra nulinis daugianaris. Daugianaris taip pat yra racionalioji funkcija: jį galima užrašyti su vardikliu 1. Čia konkretaus dalmens natūraliąją realiųjų argumentų apibrėžimo sritį sudaro visi realieji x, kuriems pradinis vardiklis nelygus nuliui. Užduotyje ši sritis gali būti dar labiau apribota. Žodis „racionalioji“ nusako dalmens pavidalą; leistini argumentai ir funkcijos reikšmės nebūtinai yra racionalieji skaičiai.

Prieš prastindami raskite visus pradinio vardiklio nulius. Nagrinėdami f(x) = (x² − 1)/(x − 1), pirmiausia atmeskite x = 1. Išskaidę dauginamaisiais ir suprastinę gauname x + 1, bet tik kai x ≠ 1. Pradinė funkcija ir daugianaris x + 1, apibrėžtas visiems realiesiems argumentams, yra skirtingos funkcijos, nes skiriasi jų apibrėžimo sritys. Išlaikykite užrašytas išimtis, kai suprastintą formulę naudojate reikšmėms apskaičiuoti, sankirtoms su koordinačių ašimis rasti ar reikšmių sričiai nustatyti.

Skaitiklis gali būti nulinis daugianaris. Formulės 0/(x − 1) reikšmė lygi nuliui visada, kai x ≠ 1, tačiau ji neapibrėžta taške 1. Nulis, padalytas iš nenulinio vardiklio, yra nulis; nulis, padalytas iš nulio, yra neapibrėžtas. Šį atvejį reikia patikrinti tiesiogiai, o ne priskirti laipsnį nuliniam skaitikliui ar kiekvieną vardiklio nulį laikyti poliumi.

Suprastinus gali likti pašalinamasis trūkis arba tikrasis polius

Pašalinamasis trūkis yra neįtrauktas taškas, prie kurio artėjant iš abiejų pusių funkcijos reikšmės artėja prie tos pačios baigtinės reikšmės. Nagrinėjant (x² − 1)/(x − 1), suprastintos formulės x + 1 reikšmės artėja prie 2, kai x artėja prie 1, nors pradinė funkcija ten lieka neapibrėžta. Jos grafike trūksta taško (1, 2). Priskyrus funkcijai naują reikšmę 2, kai argumento reikšmė yra 1, šis trūkis būtų pašalintas, tačiau būtų pakeistas pradinis funkcijos apibrėžimas.

Prieš nustatydami vardiklio nulio tipą, visiškai suprastinkite bendruosius dauginamuosius. Jei likęs vardiklis nelygus nuliui ties neleistina argumento reikšme a, apskaičiuokite likusio dalmens reikšmę tame taške, kad gautumėte baigtinę trūkstamo grafiko taško ordinatę. Jei likęs vardiklis ten vis dar lygus nuliui, o likęs skaitiklis nelygus nuliui, funkcijos reikšmės šalia a tampa neaprėžtos: tai yra polius, o tiesė x = a yra vertikalioji asimptotė. Suprastinus (x − 1)/(x − 1)², lieka 1/(x − 1), todėl x = 1 vis dar yra polius, nors bendrasis dauginamasis buvo suprastintas.

Bendruoju atveju tarkime, kad skaitiklis ir vardiklis turi daugiklius (x − a)^m ir (x − a)^n, o kiti jų daugikliai taške a nelygūs nuliui ir n > 0. Jei m ≥ n, visi šie vardiklio daugikliai susiprastina ir taške a yra skylė. Jei m < n, vardiklyje lieka daugiklio laipsnis ir taške a yra polius. Neaprėžtą elgseną galima pagrįsti taip: likęs nenulinių daugiklių santykis išlieka artimas nenulinei baigtinei reikšmei, o vardiklyje esantis laipsnis artėja prie nulio, todėl jo atvirkštinio dydžio modulis gali viršyti bet kokią nustatytą ribą. Šie baigtiniai daugiklių kartotinumai taikomi nenuliniam skaitikliui; kai skaitiklis lygus nuliui, funkcijos reikšmė visoje pradinėje apibrėžimo srityje yra pastovi ir lygi nuliui.

Skaitiklio nulis reiškia susikirtimą su x ašimi tik tada, kai argumento reikšmė leistina

Apibrėžta trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nelygus nuliui. Išspręskite skaitiklio lygtį, tada atmeskite sprendinius, kurie pažeidžia bent vieną pradinį apribojimą arba nepriklauso nurodytai apibrėžimo sričiai. Realusis funkcijos nulis a duoda susikirtimo su x ašimi tašką (a, 0). Susikirtimo su y ašimi taškas yra (0, f(0)) tik tada, kai argumento reikšmė 0 priklauso pradinei apibrėžimo sričiai; vien algebriškai suprastinta formulė negali sukurti šio susikirtimo taško.

Funkcijos (x² − 1)/(x − 1) skaitiklio nuliai −1 ir 1 yra galimi sprendiniai, tačiau tik −1 yra leistina argumento reikšmė. Taigi vienintelis susikirtimo su x ašimi taškas yra (−1, 0); trūkstamas taškas ties argumento reikšme 1 yra skylė (1, 2), o ne susikirtimo su ašimi taškas. Kai argumento reikšmė yra 0, pradinė trupmena lygi 1, todėl susikirtimo su y ašimi taškas yra (0, 1). O x²/x lygi x, kai x ≠ 0, tačiau neturi susikirtimo taškų nei su x, nei su y ašimi: koordinačių pradžia yra jos skylė, o ne pradinio grafiko taškas.

Artėjimas prie argumento reikšmės nėra reikšmės apskaičiavimas joje

Teiginys, kad f(x) artėja prie reikšmės L, kai argumento reikšmė yra arti a, apibūdina funkcijos reikšmes, kai leistinos argumento reikšmės vis labiau artėja prie a; jis nepriskiria funkcijai reikšmės taške a. Žymėjimas x → a⁻ reiškia artėjimą iš mažesnių už a argumento reikšmių, o x → a⁺ – artėjimą iš didesnių už a argumento reikšmių. Baigtinė dvipusė riba egzistuoja tik tada, kai iš abiejų pusių artėjama prie tos pačios reikšmės. Keli lentelės įrašai iliustruoja artėjimą, tačiau supaprastinta formulė arba įvertis turi pagrįsti funkcijos elgesį su visomis pakankamai artimomis leistinomis argumento reikšmėmis.

Funkcijos f(x) = 1/(x − 1) vardiklis yra mažas neigiamas skaičius į kairę nuo 1 ir mažas teigiamas skaičius į dešinę. Todėl f(x) neribotai mažėja, kai x artėja prie 1 iš kairės, ir neribotai didėja, kai artėja iš dešinės. Šias kryptis užrašykite atitinkamai f(x) → −∞ ir f(x) → +∞. Begalybė nėra realioji funkcijos reikšmė ties neleistina argumento reikšme; ji žymi neaprėžtą funkcijos elgesį.

Funkcijos g(x) = 1/(x − 1)² vardiklis iš abiejų pusių yra teigiamas ir artėja prie nulio, todėl funkcijos reikšmės iš abiejų pusių didėja neribotai. Funkcijos h(x) = x³/(x² − 1) vardiklį išskaidykite dauginamaisiais: (x − 1)(x + 1). Arti −1 skaitiklis yra neigiamas, todėl iš kairės h(x) → −∞, o iš dešinės h(x) → +∞. Arti 1 skaitiklis yra teigiamas, todėl iš kairės h(x) → −∞, o iš dešinės h(x) → +∞. Sekite visų likusių dauginamųjų ženklus, įskaitant bet kokį pastovų neigiamą koeficientą; ties poliumi su kvadratiniu vardiklio daugikliu grafikas nebūtinai kyla aukštyn, jei skaitiklis yra neigiamas.

Horizontalioji asimptotė apibūdina elgesį tolumoje

Tiesė y = L yra horizontalioji asimptotė, kai funkcijos reikšmės ir L skirtumas artėja prie nulio, kai x neribotai didėja arba mažėja. Patikrinkite kiekvieną aktualią kryptį. Racionaliosioms funkcijoms jų natūraliosiose apibrėžimo srityse realiųjų skaičių aibėje laipsnių palyginimas abiem kryptimis duoda tą patį horizontaliosios asimptotės aukštį. Šis teiginys nusako elgesį, kai argumento reikšmės neribotai didėja arba mažėja, o ne tiesės pasiekimą esant baigtinei argumento reikšmei; jis taip pat neapriboja reikšmių srities.

Jei skaitiklis nenulinis, palyginkite jo laipsnį su nenulinio vardiklio laipsniu. Jei skaitiklio laipsnis mažesnis, asimptotės aukštis yra 0; jei laipsniai lygūs, aukštis yra vyriausiųjų koeficientų santykis. Norėdami pagrįsti šiuos rezultatus, padalykite skaitiklį ir vardiklį iš didžiausio nagrinėjamo x laipsnio: nariai, kurių vardiklyje lieka teigiamas x laipsnis, artėja prie nulio, kai x neribotai didėja arba mažėja. Jei skaitiklio laipsnis didesnis, horizontaliosios asimptotės nėra. Jei skaitiklis yra nulinis, funkcijos reikšmė visoje leistinoje apibrėžimo srityje lygi nuliui, todėl jos skirtumas nuo y = 0 yra tapatingai lygus nuliui ir laipsnių lyginti nereikia.

Funkcijos (2x − 1)/(x − 1) = 2 + 1/(x − 1) reikšmės skirtumas nuo 2 artėja prie nulio, kai x neribotai didėja arba mažėja, ir tai įrodo, kad y = 2 yra horizontalioji asimptotė. Šis aukštis niekada nepasiekiamas, nes 1/(x − 1) negali būti lygus nuliui. O funkcijos x/(x² + 1) horizontalioji asimptotė yra y = 0, nes (1/x)/(1 + 1/x²) artėja prie nulio, kai x neribotai didėja arba mažėja, tačiau esant leistinai argumento reikšmei 0, funkcijos reikšmė yra 0. Funkcijos reikšmė yra neigiama, kai x neigiamas, ir teigiama, kai x teigiamas, todėl jos grafikas kerta šią horizontaliąją asimptotę koordinačių pradžioje.

Pasvirajai tiesei naudokite visą polinominį dalmenį

Pasvirosios, arba įstrižosios, asimptotės lygtis yra y = mx + b, kur m ≠ 0. Ją apibrėžianti sąlyga yra ta, kad f(x) − (mx + b) artėja prie nulio, argumentui tolstant į begalybę atitinkama kryptimi. Tai yra funkcijos ir tiesės reikšmių skirtumas ties ta pačia argumento reikšme; kai tiesė fiksuota, šio skirtumo artėjimas prie nulio taip pat lemia, kad statmenas atstumas tarp jų artėja prie nulio. Lyginant tik aukščiausiųjų laipsnių narių santykį, galima nustatyti nuolydį, bet nepastebėti laisvojo nario b.

Dalyba iš daugianario leidžia racionaliosios funkcijos išraišką užrašyti kaip daugianarį dalmenį ir liekanos bei pradinio vardiklio santykį. Liekanos laipsnis mažesnis už to vardiklio laipsnį, todėl šis trupmeninis skirtumas abiejuose galuose artėja prie nulio. Jei skaitiklio laipsnis vienetu didesnis už vardiklio laipsnį, daugianaris dalmuo yra nekonstantinė tiesinė funkcija ir nusako visą pasvirąją asimptotę. Jei laipsnių skirtumas didesnis, dalmens laipsnis yra aukštesnis, todėl funkcijos elgesys abiejuose galuose lyginamas su daugianariu, o ne su horizontaliąja ar pasvirąja tiese.

Išraiškai f(x) = x³/(x² − 1) atlikus dalybą gaunama f(x) = x + x/(x² − 1), kai x ≠ −1 ir x ≠ 1. Nuokrypis nuo tiesės y = x yra x/(x² − 1) = (1/x)/(1 − 1/x²), kai argumentas nelygus nuliui; šis nuokrypis abiejuose galuose artėja prie nulio. Kai argumento reikšmė yra 0, pradinės funkcijos reikšmė lygi tiesės aukščiui 0. Skirtumas yra teigiamas iškart kairėje nuo 0 ir neigiamas iškart dešinėje nuo 0, todėl grafikas ten kerta savo pasvirąją asimptotę. Grafikas gali kirsti horizontaliąją arba pasvirąją asimptotę. Pagal šį apibrėžimą, grindžiamą skirtumo artėjimu prie nulio, funkcija, kurios grafikas sutampa su tiese ties kiekviena leistina argumento reikšme, taip pat tenkina elgesio galuose kriterijų; tokį sutapimą apibūdinkite aiškiai, o ne vadinkite jį kirtimu.

Išimtas taškas nebūtinai pašalina jo aukštį iš reikšmių srities

Funkcijai f(x) = 2 + 1/(x − 1), kai x ≠ 1, reikšmė 2 neįmanoma, o kiekviena realioji reikšmė y ≠ 2 pasiekiama ties x = 1 + 1/(y − 2). Ši argumento reikšmė skiriasi nuo 1, o ją įstačius gaunama y, taigi įrodoma, kad reikšmių sritį sudaro visi realieji skaičiai, išskyrus 2. Funkcijos g(x) = 1/(x − 1)² visos reikšmės teigiamos. Ir atvirkščiai, kiekviena y > 0 pasiekiama ties x = 1 + 1/√y; ši argumento reikšmė yra apibrėžta ir skiriasi nuo 1. Taigi tiksli funkcijos reikšmių sritis yra y > 0, o ne y ≥ 0.

Funkcijai (x² − 1)/(x − 1) = x + 1, kai x ≠ 1, aukštis 2 būtų pasiekiamas tik ties vienintele argumento reikšme x = 1, todėl jo nėra reikšmių srityje. Kiekviena kita realioji reikšmė y pasiekiama ties x = y − 1, todėl tiksli reikšmių sritis neapima tik 2. Tačiau funkcijai 0/(x − 1), kai x ≠ 1, trūkstamo grafiko taško ordinatė 0 pasiekiama ties kiekviena leistina argumento reikšme, pavyzdžiui, 0; jos reikšmių sritis yra {0}. Abiejų funkcijų grafikuose trūksta taškų, tačiau jų poveikis reikšmių sritims skiriasi.

Kitas pavyzdys yra išraiška (x² − 1)²/(x − 1)², kuri lygi (x + 1)², kai x ≠ 1, ir kurios grafike trūksta taško (1, 4). Reikšmė 4 vis tiek pasiekiama ties x = −3. Iš tiesų tiksli jos reikšmių sritis yra visos reikšmės y ≥ 0: kvadratai yra neneigiami, o kiekviena y ≥ 0 gaunama ties x = −1 − √y, kuri yra ne didesnė už −1, todėl niekada nesutampa su neleistina argumento reikšme 1. Prieš nuspręsdami, ar pašalinus grafiko tašką pašalinamas ir atitinkamas aukštis iš reikšmių srities, patikrinkite visus leistinus pirmavaizdžius.

Kiekvienai siūlomai reikšmei pateikite algebriškai rastą leistiną argumentą arba egzistavimo argumentą

Funkcijai f(x) = x/(x² + 1), apibrėžtai visoms realiosioms argumento reikšmėms, teigiamas vardiklis leidžia taikyti nelygybes. Kadangi (x − 1)² ≥ 0, turime x² + 1 ≥ 2x, taigi f(x) ≤ 1/2. Kadangi (x + 1)² ≥ 0, turime x² + 1 ≥ −2x, taigi f(x) ≥ −1/2. Norėdami pasiekti bet kurią y, tenkinančią −1/2 ≤ y ≤ 1/2, išspręskite yx² − x + y = 0. Kai y = 0, imkite x = 0. Kai y ≠ 0, diskriminantas 1 − 4y² yra neneigiamas, o x = (1 + √(1 − 4y²))/(2y) yra realioji argumento reikšmė, tenkinanti šią lygtį. Vardiklis x² + 1 yra teigiamas, todėl pertvarkę gauname f(x) = y. Taip įrodoma visa reikšmių sritis, įskaitant abu jos galus, pasiekiamus ties argumento reikšmėmis −1 ir 1.

Funkcijai g(x) = x³/(x² − 1), kai x ≠ −1 ir x ≠ 1, pasiekiama kiekviena realioji reikšmė. Norėdami tai įrodyti netaikydami kubinės lygties sprendinių formulės, pasirinkite bet kokį realųjį y ir sudarykite daugianarį H(x) = x³ − yx² + y. Jis tolydus intervale [−1, 1], o H(−1) = −1 ir H(1) = 1, nepriklausomai nuo y. Tarpinių reikšmių teorema teigia, kad intervale tolydi funkcija įgyja kiekvieną reikšmę tarp jos reikšmių intervalo galuose, todėl H turi nulį a, esantį griežtai tarp −1 ir 1. Tai yra pagalbinio daugianario H reikšmės; pradinė racionalioji funkcija abiejuose intervalo galuose neapibrėžta.

Šiame vidiniame taške a reiškinys a² − 1 nelygus nuliui. Pertvarkius lygtį H(a) = 0, gaunama a³ = y(a² − 1), taigi g(a) = y. Kadangi y pasirinktas bet koks, tiksli reikšmių sritis yra visi realieji skaičiai. Šis argumentas įrodo, kad kiekvienam y egzistuoja leistina argumento reikšmė; juo neteigiama, kad keliais valdikliais randami visi pirmavaizdžiai ar kad grafikas yra monotoniškas. Remkitės tolydumu tik tame intervale, kuriame funkcija iš tiesų tolydi: ženklo pasikeitimas pereinant per polių, pavyzdžiui, tarp −1 ir 1 funkcijai 1/x, neįrodo, kad tarp jų yra šios racionaliosios funkcijos nulis.

Leistinos modelio argumento reikšmės gali keisti asimptočių prasmę

Tarkime, pateiktame užsakymo modelyje taikomas fiksuotas 12 eurų mokestis ir papildomai mokama po 2 eurus už prekę. Kai prekių skaičius n yra teigiamas sveikasis skaičius, bendra kaina yra T(n) = 12 + 2n eurų, o vidutinė vienos prekės kaina – A(n) = (12 + 2n)/n = 2 + 12/n eurų už prekę. Dalijant iš n, prekių skaičius turi būti nelygus nuliui, o vidutinė kaina užsakymui, kuriame nėra nė vienos prekės, neapibrėžta. Trupmeniniai ir neigiami prekių skaičiai į šį modelį nepatenka, nors atitinkamos realiosios formulės reikšmę galima apskaičiuoti daugeliui tokių skaičių.

Jei modelyje leidžiamas kiek norima didelis teigiamas sveikasis prekių skaičius, didėjant n vidutinės vienos prekės sąnaudos artėja prie 2 eurų iš viršaus; esant bet kuriam baigtiniam leidžiamam prekių skaičiui, jos niekada nelygios 2. Tolydusis plėtinys realiesiems argumentams turi vertikaliąją asimptotę ties n = 0, tačiau teigiami sveikieji prekių skaičiai negali artėti prie nulio vis mažesniais teigiamais skaičiais. Šis plėtinio polius neatspindi tikrojo prekių skaičiaus modelio pasiekiamos elgsenos arti nulio. Jei užsakyme gali būti ne daugiau kaip šešios prekės, visa jo apibrėžimo sritis yra {1, 2, 3, 4, 5, 6}; šioje baigtinėje srityje argumentas negali didėti be ribų. Tuomet bet kuris teiginys apie asimptotę begalybėje susijęs su formulės plėtiniu, o ne su nurodytame modelyje leidžiamais užsakymais.

Aiškiai žymėkite neįtrauktus taškus, šakas ir teiginius apie elgseną begalybėje

Racionalioji funkcija yra tolydi visur, kur jos vardiklis nelygus nuliui, todėl leidžiamą baigtinį argumentą atitinkantis taškas priklauso tolydžiai šakai. Pradinėje apibrėžimo srityje neįtrauktas argumentas gali atskirti šakas arba palikti pašalinamąją skylę. Braižant kreivę negalima sujungti šakų per polių ar užpildyti skylės. Vertikalioji asimptotė yra vertikali tiesė, einanti per neįtraukto argumento vietą; skylę nusako ir neįtrauktas argumentas, ir baigtinė reikšmė, prie kurios artėjama. Nei begalybė, nei suprastinta formulė nesuteikia naujos pradinės funkcijos reikšmės tame taške.

Fiksuotas grafiko rodymo langas gali nukirsti dideles reikšmes arti polių, paslėpti mažas skyles ir sudaryti įspūdį, kad kreivė tiksliai sutampa su asimptote. Skaitiniais metodais nubraižytos kreivės iliustruoja formą, bet nenustato tikslios apibrėžimo srities, reikšmių srities, sankirtų su ašimis ar vienpusių ribų. Greta grafiko pateikite pradinius daugiklius ir tikslius skirtumus. Nagrinėdami racionaliosios funkcijos formulę, užrašykite pradinę apibrėžimo sritį, sutrumpinkite visus bendrus daugiklius, nustatykite kiekvieno neįtraukto argumento tipą, raskite leidžiamas sankirtas su ašimis, nustatykite ženklus abiejose pusėse, pagrįskite palyginimus begalybėje ir įrodykite bet kurią nurodytą visą reikšmių sritį. Tada atsižvelkite į uždavinio kontekstą ir matavimo vienetus.

Atskirkite pasirinktą reikšmę nuo visos apibrėžimo srities, reikšmių srities ir elgsenos begalybėje

Interaktyvioje tyrinėjimo priemonėje pateikiamos šešios pradinės formulės: (2x − 1)/(x − 1), 1/(x − 1)², (x² − 1)/(x − 1), 0/(x − 1), x/(x² + 1) ir x³/(x² − 1). Pirmųjų keturių apibrėžimo srityse nėra argumento 1; penktoji apibrėžta visiems realiesiems argumentams; paskutinės apibrėžimo srityje nėra −1 ir 1. Polius ir skyles su baigtinėmis ribinėmis reikšmėmis nagrinėkite atskirai. Trečiosios formulės grafikas sutampa su y = x + 1, išskyrus skylę, o ketvirtosios – su y = 0, išskyrus skylę; sutapimas visoje leidžiamoje apibrėžimo srityje skiriasi nuo pavienės sankirtos.

Nepriklausomai pasirinkite pradinės formulės argumentą ir siūlomą funkcijos reikšmę. Tikrinant argumentą nustatoma, ar pradinė išraiška yra apibrėžta ir, jei taip, kokia jos tiksli reikšmė. Tikrinant funkcijos reikšmę nustatoma, ar bent vienas leidžiamas argumentas duoda siūlomą aukštį; tai nebūtinai turi būti jūsų pasirinktas argumentas. Perskaitykite ir visos reikšmių srities įrodymą, ir visus rodomus pirmavaizdžius. Palyginkite tikslius skirtumus nuo horizontaliųjų ar pasvirųjų atskaitos tiesių ir atskirkite lygybę ties pasirinktu argumentu nuo teiginio apie elgseną argumentui neribotai tolstant abiem kryptimis. Pagal atrinktus taškus nubraižyto grafiko rodymo langas yra ribotas, o kreivės – apytikslės; algebriniai skaičiavimai nusako visą apibrėžimo sritį ir elgseną. Kitoje pamokoje lyginamos funkcijų šeimos, renkantis modelį priklausomybei aprašyti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Nurodykite f(x) = (x² − 9)/(x − 3) pradinę apibrėžimo sritį, suprastintą formulę, pašalinamojo trūkio tašką ir leistinus susikirtimo su koordinačių ašimis taškus. Ar neleistina argumento reikšmė lemia vertikaliąją asimptotę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžimo sritis: x ≠ 3; suprastinta formulė šioje srityje: x + 3; pašalinamojo trūkio taškas: (3, 6). Susikirtimo su koordinačių ašimis taškai: (−3, 0) ir (0, 3). Vertikaliosios asimptotės nėra.

   Išskaidykite skaitiklį dauginamaisiais: (x − 3)(x + 3), bet išlaikykite pradinį apibrėžimo srities apribojimą. Kai argumentas artėja prie 3, suprastintos formulės reikšmė artėja prie baigtinės reikšmės 6, todėl susidaro pašalinamojo trūkio taškas, o ne polius. Galimas skaitiklio nulis 3 yra neleistinas, o −3 yra leistinas; argumento reikšmė 0 taip pat leistina.

2. Nustatykite, kokio tipo trūkis yra ties neleistina argumento reikšme 2 funkcijoje f(x) = (x − 2)/(x − 2)². Raskite horizontaliąją asimptotę ir nustatykite, kuria kryptimi funkcijos reikšmės neribotai kinta abipus 2. Paaiškinkite, kodėl suprastinus bendrą daugiklį čia nesusidaro pašalinamojo trūkio taškas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Argumento reikšmė 2 yra neleistina ir ties ja yra tikras polius bei vertikalioji asimptotė x = 2. Iš kairės funkcijos reikšmės neribotai mažėja, o iš dešinės – neribotai didėja. Horizontalioji asimptotė yra y = 0; pašalinamojo trūkio taško nėra.

   Suprastinus gaunama 1/(x − 2), kai x ≠ 2: vardiklyje tas pats daugiklis pasikartojo vienu kartu daugiau. Likęs skaitiklis yra 1, todėl artėjant prie 2 atvirkštinio dydžio modulis neribotai didėja, o jo ženklas sutampa su vardiklio ženklu. Argumentui neribotai didėjant arba mažėjant, atvirkštinis dydis artėja prie nulio.

3. Funkcijai f(x) = −3/(x + 2)² nurodykite apibrėžimo sritį, vertikaliąją ir horizontaliąją asimptotes, abiejų vienpusių ribų ties poliumi kryptis ir visą reikšmių sritį. Įrodykite, kad kiekviena nurodyta funkcijos reikšmė yra įgyjama.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžimo sritis: x ≠ −2; vertikalioji asimptotė: x = −2, prie kurios artėjant iš abiejų pusių funkcijos reikšmės mažėja be ribos; horizontalioji asimptotė: y = 0. Tiksli reikšmių sritis – visi realieji y < 0.

   Vardiklio kvadratas yra teigiamas visur, kur funkcija apibrėžta, todėl visos funkcijos reikšmės yra neigiamos ir mažėja be ribos, kai vardiklis artėja prie nulio. Bet kuriam y < 0 pasirinkite x = −2 + √(−3/y). Pošaknis yra teigiamas, o šaknis nelygi nuliui, todėl x ≠ −2, ir įstatę gauname f(x) = y. Nulis niekada neįgyjamas, tačiau skirtumas nuo nulio artėja prie nulio abiem begalybės kryptimis.

4. Funkcijai f(x) = x/(x² + 4) raskite apibrėžimo sritį, horizontaliąją asimptotę ir jos kirtimo tašką. Įrodykite, kokia yra visa funkcijos reikšmių sritis, įskaitant kraštines reikšmes.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai; horizontalioji asimptotė: y = 0, kertama taške (0, 0). Visa reikšmių sritis yra −1/4 ≤ y ≤ 1/4; kraštinės reikšmės įgyjamos, kai argumento reikšmės yra −2 ir 2.

   Vardiklis yra teigiamas. Nelygybės (x − 2)² ≥ 0 ir (x + 2)² ≥ 0 duoda viršutinį ir apatinį rėžius ±1/4. Imkime bet kurį y tarp šių rėžių: y = 0 įgyjamas, kai x = 0; kai y ≠ 0, spręskite yx² − x + 4y = 0, kurios diskriminantas 1 − 16y² yra neneigiamas. Kvadratinės lygties šaknis yra leistina realioji argumento reikšmė, kuriai funkcija įgyja pasirinktą y, todėl reikšmių srityje nėra spragų. Padalijus iš x² matyti, kad abiem begalybės kryptimis dalmuo artėja prie nulio; neigiamos ir teigiamos argumento reikšmės duoda atitinkamai neigiamas ir teigiamas funkcijos reikšmes, todėl grafikas kerta asimptotę ties nuliu.

5. Funkcijai f(x) = (x³ + x²)/(x² + 1) raskite pradinę apibrėžimo sritį ir visą pasvirosios asimptotės lygtį. Įrodykite, kad skirtumas artėja prie nulio abiem begalybės kryptimis, ir raskite visas leistinas argumento reikšmes, kurioms grafikas susikerta su šia tiese.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžimo sritis – visi realieji skaičiai; pasviroji asimptotė: y = x + 1. Skirtumas yra −(x + 1)/(x² + 1), todėl vienintelis susikirtimas yra, kai x = −1, taške (−1, 0); šiame taške grafikas kerta tiesę.

   Vardiklis visada teigiamas. Atlikę dalybą gauname f(x) = x + 1 − (x + 1)/(x² + 1); rezultatą patikriname sudauginę. Liekanos ir vardiklio dalmens skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklio laipsnį, todėl šis dalmuo artėja prie nulio abiem begalybės kryptimis. Lygybei su tiesės reikšme būtina x + 1 = 0, todėl x = −1 yra vienintelė argumento reikšmė. Kadangi vardiklis išlieka teigiamas, pereinant per −1 skirtumas iš teigiamo tampa neigiamas; tai įrodo, kad grafikas tiesę kerta, o ne vien su ja susitinka.

6. Pradinei funkcijos išraiškai f(x) = (x² − 4)²/(x − 2)² raskite pašalintą grafiko tašką ir visą reikšmių sritį. Ar pašalinto taško ordinatės nėra šioje reikšmių srityje? Kiekvienai nurodytai funkcijos reikšmei pateikite leistiną argumento reikšmę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžimo sritis: x ≠ 2; suprastinta išraiška: (x + 2)²; pašalintas grafiko taškas: (2, 16). Visa funkcijos reikšmių sritis yra y ≥ 0, o pašalinto taško ordinatė 16 vis tiek įgyjama, kai x = −6.

   Suprastinus apribojimas išlieka. Kiekviena leistina funkcijos reikšmė yra kvadratas, todėl yra neneigiama. Bet kuriam y ≥ 0 pasirinkite x = −2 − √y; ši argumento reikšmė yra ne didesnė už −2 ir niekada nelygi neleistinai argumento reikšmei 2; tuomet (x + 2)² = y. Kai y = 16, taip gauname −6, todėl pašalinus tašką (2, 16) ordinatė 16 iš reikšmių srities nepašalinama.

7. Pagal nurodytą modelį taikomas fiksuotas 15 eurų mokestis ir papildomai mokama po 3 eurus už kiekvieną vienetą; leidžiami tik sveikieji vienetų skaičiai n = 1, 2, 3, 4, 5. Raskite vidutinę vieneto kainą ir visą jos reikšmių sritį. Ar 3 eurai už vienetą yra pasiekiama reikšmė, ar ribinė reikšmė šioje baigtinėje apibrėžimo srityje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A(n) = 3 + 15/n eurų už vienetą. Reikšmių sritis yra {6, 27/4, 8, 21/2, 18} eurų už vienetą. Trys eurai už vienetą nėra nei pasiekiama šio baigtinio modelio reikšmė, nei jo ribinė reikšmė, kai argumentas neribotai didėja.

   Padaliję bendrą 15 + 3n eurų kainą iš leidžiamo nenulinio vienetų skaičiaus, gauname vidurkį. Penkiems vienetų skaičiams gauname 18, 21/2, 8, 27/4 ir 6 eurus už vienetą. Hipotetiškai išplėtus modelį iki neribotai didelių teigiamų vienetų skaičių, vidutinė kaina artėtų prie 3 iš viršaus, tačiau tikroji apibrėžimo sritis baigiasi ties 5; būtina aiškiai nurodyti baigtinę reikšmių sritį ir apribojimus.

Ką verta įsidėmėti

• Racionalioji išraiška yra daugianarių su realiaisiais koeficientais dalmuo, kurio vardiklis nėra tapatus nuliui. Prieš prastindami užrašykite visas reikšmes, kurias atmeta pradinis vardiklis, ir visus pasirinktus konteksto apribojimus.
• Visiškai suprastinus neleistiną argumento reikšmę lemiančius vardiklio dauginamuosius, baigtinė funkcijos riba reiškia pašalinamąjį trūkį. Jei likęs vardiklis lygus nuliui, o likęs skaitiklis nelygus nuliui, gaunamas polius; vien prastinimo nepakanka jiems atskirti.
• Skaitiklio nulis yra pasiekiamas funkcijos nulis tik tada, kai ta argumento reikšmė leidžiama pradinėje funkcijoje. Suprastinta išraiška negali sukurti trūkstamo susikirtimo su koordinačių ašimi.
• Artėjimas iš vienos pusės apibūdina artimas leidžiamas argumento reikšmes, o ne funkcijos reikšmę neleistiname taške. Stebėkite visų daugiklių ženklus, kad atskirtumėte +∞ ir −∞; begalybė tame taške nėra realioji funkcijos reikšmė.
• Kad tiesė būtų horizontalioji arba pasviroji asimptotė, skirtumas tarp funkcijos ir tos tiesės reikšmių turi artėti prie nulio, kai argumentas neribotai didėja arba mažėja. Grafikas gali kirsti šias asimptotes; pasvirosios asimptotės susikirtimui su ordinačių ašimi rasti naudokite visą dalybos dalmenį.
• Norėdami įrodyti, kad reikšmių sritis yra visa, nustatykite visoms funkcijos reikšmėms taikomus apribojimus ir kiekvienai siūlomai reikšmei pateikite leidžiamą argumento reikšmę arba įrodykite jos egzistavimą. Trūkstamas grafiko taškas pašalina atitinkamą reikšmę iš reikšmių srities tik tada, kai nebelieka jokio kito leidžiamo jos pirmavaizdžio.
• Grafiko rodymo langai, apytikslės kreivės ir matematiniai plėtiniai turi ribotumų. Išlaikykite tikslius grafiko šakų apribojimus, skirkite lygybę pasirinktame taške nuo ribinės elgsenos ir modelį interpretuokite tik jo nurodytoje apibrėžimo srityje, atsižvelgdami į matavimo vienetus.