Funkcijų kompozicija ir atvirkštinės funkcijos

Pirmiausia taikykite vidinę funkciją

Kompozicijoje argumentui paeiliui taikomos dvi funkcijų taisyklės. Reiškinyje f(g(x)) pradėkite nuo x, pritaikę g gaukite g(x), tada šį rezultatą naudokite kaip funkcijos f argumentą. Šią naują funkciją žymėkite f ∘ g ir skaitykite „f kompozicija su g“: (f ∘ g)(x) = f(g(x)). Arčiausiai x užrašyta funkcija taikoma pirmiausia. Jos reikšmė turi būti leistinas išorinės funkcijos argumentas.

Funkcijoms f(x) = 3x − 2 ir g(x) = x + 4, kurios abi apibrėžtos visiems realiesiems argumentams, gauname f(g(x)) = 3(x + 4) − 2 = 3x + 10. Kiekvieną argumento pasikartojimą funkcijos f reiškinyje pakeiskite visu reiškiniu x + 4. Kai x = 2, pirmiausia g duoda 6, o tada f duoda 16. Sudauginę atskiras funkcijų reikšmes, gauname f(2)g(2) = 4 × 6 = 24; tai kitas veiksmas. Kompozicija nėra sandauga f(x)g(x).

Tikrinkite kiekvieno etapo tvarką, apibrėžimo sritį ir prasmę

Taikant tas pačias taisykles, g(f(x)) = (3x − 2) + 4 = 3x + 2, taigi sukeitus tvarką gaunama kita funkcija. Apskritai kompozicija nėra komutatyvi: skirtinga tvarka sudarytos kompozicijos nebūtinai sutampa. Tačiau tam tikrų taisyklių atveju jos gali sutapti. Jei a(x) = x + 3 ir b(x) = x − 1 apibrėžtos visiems realiesiems argumentams, tai ir a(b(x)), ir b(a(x)) yra lygios x + 2 kiekvienam realiajam x. Lyginkite visas formules ir apibrėžimo sritis; vien reikšmių sutapimas vienam argumentui neįrodo funkcijų lygybės.

Pastovaus greičio modelyje funkcija D praėjusį laiką t ≥ 0, išreikštą valandomis, paverčia atstumu D(t) = 4t, išreikštu kilometrais, o funkcija F atstumą d ≥ 0, išreikštą kilometrais, paverčia degalų kiekiu F(d) = d/20, išreikštu litrais. Nurodytas greitis yra 4 kilometrų per valandą, o degalų sąnaudos – 1/20 litro kilometrui. Tuomet F(D(t)) = t/5 nusako šiame modelyje sunaudotą degalų kiekį litrais. Sukeitus įvardytus etapus, litrai būtų pateikti taisyklei, kuriai reikia valandų, todėl D(F(d)) šiems dydžiams neturi prasmės, net jei jų skaitines reikšmes galima įstatyti į formulę. Nurodytas funkcijos modelis aprašo numanomą ryšį; vien žymėjimas neįrodo fizinės priežasties.

Ir pradinis argumentas, ir tarpinė reikšmė turi būti leistini

Kompozicijos f ∘ g apibrėžimo sritį sudaro tik tie x, kurie priklauso nurodytai funkcijos g apibrėžimo sričiai ir kurių g(x) priklauso nurodytai funkcijos f apibrėžimo sričiai. Pradinis argumentas x nebūtinai turi priklausyti funkcijos f apibrėžimo sričiai: funkcijos f argumentas yra g(x), o ne x. Pirmiausia taikykite vidinės funkcijos apribojimus, tada patikrinkite, ar jos reikšmė tenkina išorinės funkcijos apribojimus. Jei uždavinyje kurios nors funkcijos apibrėžimo sritis jau susiaurinta, išlaikykite šį apribojimą kartu su natūraliais formulės apribojimais.

Tegu s(x) = √x, kai x ≥ 0, o h(x) = x − 2 – visiems realiesiems argumentams. Kompozicijoje s(h(x)) = √(x − 2) funkcijai h tinka bet kuris pradinis argumentas, tačiau jos reikšmė turi tenkinti sąlygą x − 2 ≥ 0, todėl apibrėžimo sritis yra x ≥ 2. Kompozicijoje h(s(x)) = √x − 2 vidinė šaknies funkcija reikalauja, kad x ≥ 0, o funkcijai h tinka visos gautos reikšmės, todėl apibrėžimo sritis yra x ≥ 0. Kai pradinis argumentas yra 1, pirmąja tvarka sudaryta kompozicija nėra apibrėžta realiųjų skaičių aibėje, o antrosios kompozicijos reikšmė yra −1.

Supaprastinę formulę, išlaikykite pradinius apribojimus

Tarkime, r(x) = 1/x, kai x ≠ 0. Kompozicijai r(r(x)) = 1/(1/x) pradinis argumentas x turi būti nelygus nuliui. Tuomet tarpinė reikšmė 1/x taip pat nelygi nuliui, todėl išorinę funkciją galima taikyti. Rezultatas supaprastinamas iki x, tačiau jo apibrėžimo sritis lieka x ≠ 0. Tai tapatybės funkcija nenulinių realiųjų skaičių aibėje, o ne visų realiųjų skaičių aibėje. Iš naujo apibrėžta tapatybės funkcija, kurios argumentai gali būti visi realieji skaičiai, būtų kita funkcija.

Kai p(t) = (t − 1)/(t − 1) apibrėžta su sąlyga t ≠ 1, o g(x) = 1/x – su sąlyga x ≠ 0, p(g(x)) lygi 1 tik tada, kai x ≠ 0 ir 1/x ≠ 1, todėl jos apibrėžimo sričiai nepriklauso nei 0, nei 1. Taikant funkcijas kita tvarka, g(p(x)) pirmiausia reikia, kad x ≠ 1; tada p(x) lygi 1, o šiai reikšmei g yra apibrėžta. Šia tvarka sudarytos kompozicijos apibrėžimo sritis yra x ≠ 1, ir ji taip pat duoda pastovią reikšmę 1. Supaprastintos konstantų formulės sutampa, bet jų apibrėžimo sritys skiriasi, todėl šios dvi sudėtinės funkcijos nėra lygios.

Apgręžiama funkcija negali sutapatinti skirtingų argumentų

Funkcija yra injektyvi, kai skirtingi leistini argumentai visada duoda skirtingas reikšmes. Lygiavertė sąlyga: bet kuriems leistiniems a ir b iš f(a) = f(b) išplaukia a = b. Įprasta funkcijos sąlyga kiekvienam argumentui priskiria vieną reikšmę; injektyvumo sąlyga papildomai reikalauja, kad kiekvieną reikšmę atitiktų ne daugiau kaip vienas argumentas. Kėlimo kvadratu funkcija, apibrėžta visiems realiesiems argumentams, yra funkcija, bet ji nėra injektyvi: argumentai −2 ir 2 abu duoda 4.

Horizontalioji tiesė nustato vieną funkcijos reikšmę. Funkcija yra injektyvi tada ir tik tada, kai kiekviena horizontalioji tiesė turi ne daugiau kaip vieną bendrą tašką su visu jos grafiku. Tai horizontaliosios tiesės kriterijus, kuris skiriasi nuo vertikaliosios tiesės kriterijaus, skirto nustatyti, ar grafikas vaizduoja funkciją. Apkirptame grafike ar keliuose atrinktuose taškuose antrojo susikirtimo gali nesimatyti. Jei pateikta visa baigtinė lentelė, patikrinkite, ar kuri nors reikšmė nepriskirta skirtingiems argumentams; jei taisyklė apima begalinę argumentų aibę, pateikite bendrą argumentą arba raskite kontrpavyzdį. Pavyzdžiui, iš 3a − 2 = 3b − 2 išplaukia a = b, ir tai įrodo, kad 3x − 2 yra injektyvi visų realiųjų argumentų aibėje.

Apibrėžkite atvirkštinę funkciją faktinėje reikšmių srityje

Injektyvios funkcijos f, kurios apibrėžimo sritis yra D, o faktinė reikšmių sritis – R, atvirkštinė funkcija kiekvienai reikšmei iš R priskiria vienintelį ją davusį pradinį argumentą iš D. Jei f(a) = b, tai f⁻¹(b) = a. Taigi atvirkštinės funkcijos apibrėžimo sritis yra R, o reikšmių sritis – D. Didesnėje nurodytoje tikslinėje aibėje, arba kodomene, esanti neįgyjama reikšmė neturi pradinio argumento, kurį būtų galima atkurti. Jei kodomenas didesnis už R, funkcija f nėra apgręžiama visoje šioje tikslinėje aibėje; norėdami apibrėžti jos atvirkštinę funkciją srityje R, laikykite, kad f atvaizduoja į R. Funkcija, įgyjanti kiekvieną nurodytos tikslinės aibės reikšmę, vadinama surjektyvia.

f⁻¹ skaitykite kaip „f atvirkštinė funkcija“. Viršutinis indeksas −1 yra funkcijos žymėjimo dalis ir nereiškia atvirkštinio dydžio 1/f(x). Kai f(x) = 3x − 2 apibrėžta visiems realiesiems argumentams, jos atvirkštinė funkcija yra f⁻¹(y) = (y + 2)/3, apibrėžta visiems realiesiems y; atvirkštinio dydžio formulė yra 1/f(x) = 1/(3x − 2), ir ji neapibrėžta, kai x = 2/3. Kai argumentas yra 4, atvirkštinė funkcija duoda 2, o atvirkštinis dydis yra 1/10. Atvirkštinė funkcija sukeičia argumento ir reikšmės poros narius; atvirkštinis dydis gaunamas dalijant 1 iš funkcijos reikšmės.

Raskite pradinį argumentą ir patikrinkite abi tapatybes

Norėdami rasti atvirkštinės funkcijos formulę, užrašykite y = f(x) kartu su pradinės apibrėžimo srities sąlygomis. Išreikškite pradinį argumentą x per reikšmę y, išsaugodami visus apribojimus ir šakų pasirinkimus. Gautos taisyklės argumentas yra y. Tuomet šį argumentą galite pervadinti raide x, tačiau pervadinimas neatkuria pradinės apibrėžimo srities: atvirkštinės funkcijos argumentai vis tiek priklauso pradinei reikšmių sričiai. Jei sprendžiant vienai reikšmei gaunami keli leistini pradiniai argumentai, pradinė funkcija nurodytoje apibrėžimo srityje neturi atvirkštinės funkcijos.

Funkcijai f(x) = ax + b, apibrėžtai visiems realiesiems argumentams, kai a ≠ 0 yra fiksuotas, išsprendę y = ax + b gauname x = (y − b)/a. Kiekviena realioji y reikšmė gaunama su šiuo leistinu argumentu, todėl atvirkštinės funkcijos apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai. Apibrėžkime k(y) = (y − b)/a. Tuomet k(f(x)) = (ax + b − b)/a = x kiekvienam realiajam pradinės funkcijos argumentui ir f(k(y)) = a((y − b)/a) + b = y kiekvienam realiajam atvirkštinės funkcijos argumentui. Šios dvi tapatybės įrodo atvirkštinį ryšį visose apibrėžimo srityse. Jei a = 0, funkcija yra pastovi ir negali atkurti vienintelio argumento visoje realiųjų skaičių aibėje.

Prieš pasirinkdami kvadratine šaknimi išreiškiamą atvirkštinę funkciją, apribokite kėlimo kvadratu funkciją

Kėlimo kvadratu funkcija, apibrėžta visiems realiesiems argumentams, neturi atvirkštinės funkcijos, nes kiekviena teigiama reikšmė gaunama su dviem argumentais. Apribokite ją iki x ≥ 0. Apribotos funkcijos q₊(x) = x² reikšmių sritis yra y ≥ 0, o atvirkštinė funkcija yra q₊⁻¹(y) = √y. Šaknies ženklas žymi pagrindinę, neneigiamą šaknį. Kiekvienam x ≥ 0 galioja √(x²) = x; kiekvienam y ≥ 0 galioja (√y)² = y. Atvirkštinės funkcijos argumentai yra visi neneigiami realieji skaičiai, įskaitant iracionaliuosius, o ne tik neneigiamų sveikųjų skaičių kvadratai.

Atskirai apriboję iki x ≤ 0, gauname q₋(x) = x² su ta pačia reikšmių sritimi y ≥ 0, bet atvirkštine funkcija q₋⁻¹(y) = −√y. Kiekvienam x ≤ 0 galioja −√(x²) = −|x| = x; kiekvienam y ≥ 0 galioja (−√y)² = y. Čia |x| yra neneigiamas x modulis, ir apskritai √(x²) = |x|. Šaką pasirinkite pagal nurodytą pradinės funkcijos apibrėžimo sritį. Užrašas ±√y teigiamam y duoda du atsakymus, todėl apibrėžia sąryšį, o ne vieną atvirkštinę funkciją. Vien patikrinimas, kad pakėlus √y kvadratu gaunamas y, neįrodytų, jog tai yra neapribotos kėlimo kvadratu funkcijos atvirkštinė funkcija, nes √(x²) negrąžina neigiamo x.

Sukeiskite grafiko koordinates ir jų žymas

Jei injektyvios realiosios funkcijos grafike yra taškas (a, b), jos atvirkštinės funkcijos grafike yra (b, a). Funkcijos f(x) = 3x − 2 taškas (2, 4) virsta (4, 2), nes f⁻¹(4) = 2. Matematinėje koordinačių plokštumoje, kurios abiejų ašių masteliai vienodi, koordinačių sukeitimas atspindi visą grafiką tiesės y = x atžvilgiu. Taip pat sukeiskite įtrauktų ir neįtrauktų galinių taškų koordinates: sukeitus poros elementus, neįtrauktas taškas netampa įtrauktu.

Atspindint neapribotos kėlimo kvadratu funkcijos grafiką taip pat sukeičiamos jo koordinatės, tačiau atspindėtas sąryšis kiekvienam teigiamam y priskiria ir −√y, ir √y, todėl nėra funkcija. Atspindėjus bet kurią iš nurodytų kėlimo kvadratu funkcijos grafiko pusių, gaunama atitinkama vienintelė atvirkštinės funkcijos šaka. Kai funkcijos sieja fizikinius dydžius, taip pat sukeiskite ašių žymas ir matavimo vienetus: atvirkštinė funkcija, kainą susiejanti su kiekiu, priima kainą kaip argumentą ir grąžina kiekį. Grafiko lange rodoma tik nubraižyta dalis; visą atvirkštinę funkciją nusako apibrėžimo ir reikšmių sritys.

Atkurkite tik pradiniame kontekste leistinus argumentus

Tarkime, nurodytame užsakymo modelyje už n prekių mokama C(n) = 4n + 3 eurų, o n gali būti tik 0, 1, 2, 3 arba 4. Tiksli jo reikšmių sritis yra {3, 7, 11, 15, 19} eurų, ir šios penkios kainos yra skirtingos. Atvirkštinė funkcija kainą c iš šios gaunamų reikšmių aibės susieja su (c − 3)/4 prekių. Taigi iš 11 eurų kainos atkuriamas 2 prekių kiekis. Platesnė deklaruota tikslinė aibė, pavyzdžiui, visos neneigiamos sumos eurais, nepadaro kiekvienos jos sumos leistinu atvirkštinės funkcijos argumentu.

Kai kaina yra 9 eurų, algebrinis reiškinys duoda 3/2, tačiau trupmeniniai prekių kiekiai neleidžiami ir joks leistinas užsakymas nekainuoja 9 eurų. Todėl pradiniame kontekste atvirkštinė funkcija čia neturi reikšmės. Diskrečioje apibrėžimo srityje abiejų atvirkštinės funkcijos tapatybių patikrinimas kiekvienam leistinam elementui yra išsamus įrodymas, nes baigtiniai sąrašai sudaro visą apibrėžimą. Begalinėje realiojoje apibrėžimo srityje keli sėkmingi skaičiavimai lieka tik pavieniais pavyzdžiais; naudokite tapatybes, galiojančias kiekvienam leistinam argumentui.

Patikrinkite abu etapus ir atskirkite pirmavaizdžius nuo atvirkštinių funkcijų

Pirmajame tyrinėjimo įrankio kompozicijos pavyzdyje naudojama f(t) = 1/t, kai t ≠ 0, ir g(t) = t − 2 visiems realiesiems argumentams. Palyginkite f(g(x)) = 1/(x − 2), kai x ≠ 2, su g(f(x)) = 1/x − 2, kai x ≠ 0. Antrajame pavyzdyje naudojama f(t) = (t − 1)/(t − 1), kai t ≠ 1, ir g(t) = 1/t, kai t ≠ 0: abiem komponavimo tvarkomis, kai argumentai leistini, gaunama 1, tačiau f ∘ g neapibrėžta ties 0 ir 1, o g ∘ f neapibrėžta tik ties 1. Prieš interpretuodami bet kurį supaprastintą rezultatą, perskaitykite vidinės ir išorinės funkcijų apibrėžimo sričių patikras.

Nagrinėjant atvirkštines funkcijas, lyginamos funkcijos 3x − 2, kai argumentas yra bet kuris realusis skaičius, kėlimo kvadratu funkcija, kai argumentas yra bet kuris realusis skaičius, kėlimo kvadratu funkcija, kai x ≥ 0, kėlimo kvadratu funkcija, kai x ≤ 0, ir 2n + 1, kai argumentai yra sveikieji skaičiai n = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Diskrečiuoju atveju nurodoma tikslinė sveikųjų skaičių aibė nuo 0 iki 12, tačiau įgyjamos tik reikšmės {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Nepriklausomai pasirinkite pradinį argumentą ir siūlomą funkcijos reikšmę. Tikrinant reikšmę klausiama, kurie leistini pradiniai argumentai ją duoda; tai yra jos pirmavaizdžiai. Vienintelis vienos pasirinktos reikšmės pirmavaizdis neįrodo, kad visa funkcija yra injektyvi. Remdamiesi išsamiais apibrėžimais ir įrodymais nustatykite, ar egzistuoja atvirkštinė funkcija, ir aiškiai nurodykite neigiamąją kvadratinės šaknies šaką bei apribojimus dėl neįgyjamų reikšmių, jei tokių yra. Kitoje pamokoje nagrinėjamos polinominės funkcijos.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Tegu f(x) = 2x + 3 ir g(x) = x − 4, abi funkcijos apibrėžtos visiems realiesiems argumentams. Raskite f(g(x)) ir g(f(x)), apskaičiuokite abiejų reikšmes, kai x = 1, ir palyginkite su f(1)g(1).

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   f(g(x)) = 2x − 5 ir g(f(x)) = 2x − 1; kai x = 1, gaunamos atitinkamai reikšmės −3 ir 1. Sandauga f(1)g(1) yra −15.

   Įstatykite visą vidinės funkcijos reiškinį: 2(x − 4) + 3 = 2x − 5, o (2x + 3) − 4 = 2x − 1. Atskirai f(1) = 5 ir g(1) = −3, todėl jų sandauga yra −15. Abiejų funkcijų kompozicijų apibrėžimo sritys apima visus realiuosius skaičius, tačiau jų formulės skiriasi.

2. Tegu s(x) = √(x + 1), kai x ≥ −1, ir r(x) = 1/x, kai x ≠ 0. Raskite r(s(x)) ir s(r(x)) formules bei tikslias apibrėžimo sritis realiųjų skaičių aibėje. Nurodykite, ar pradinė argumento reikšmė −1 leidžiama taikant funkcijas kiekviena iš šių tvarkų.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   r(s(x)) = 1/√(x + 1), kai x > −1. s(r(x)) = √(1/x + 1), kai x ≤ −1 arba x > 0. Argumento reikšmė −1 pirmuoju atveju neįtraukiama į apibrėžimo sritį, o antruoju – įtraukiama.

   Kompozicijoje r ∘ s reiškinys x + 1 turi būti neneigiamas, o jo šaknis turi būti nelygi nuliui, todėl x > −1. Kompozicijoje s ∘ r pirmiausia turi būti x ≠ 0, tada 1/x + 1 = (x + 1)/x ≥ 0. Kai x > 0, ši sąlyga tenkinama; kai x < 0, reikia, kad x + 1 ≤ 0, todėl x ≤ −1. Kai argumento reikšmė yra −1, antruoju atveju gauname √0 = 0, o pirmuoju tektų dalyti iš nulio.

3. Tegu p(t) = (t² − 1)/(t − 1), kai t ≠ 1, ir g(x) = x − 2 visiems realiesiems argumentams. Suprastinkite p(g(x)) ir raskite tikslią apibrėžimo sritį. Ar remiantis suprastinta formule galima į apibrėžimo sritį įtraukti x = 3?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   p(g(x)) = x − 1, kai x ≠ 3. Argumento reikšmė 3 ir toliau neįtraukiama į apibrėžimo sritį.

   Tarpinė argumento reikšmė x − 2 turi skirtis nuo 1, todėl x ≠ 3. Išskaidę dauginamaisiais gauname p(t) = t + 1 tik ten, kur pradinio reiškinio vardiklis nelygus nuliui; tada įstatę t = x − 2 gauname x − 1. Kai x = 3, pradinio išorinės funkcijos reiškinio vardiklis lygus nuliui. Formulė x − 1 be šio apribojimo apibrėžtų kitą funkciją.

4. Visiškai apibrėžtos funkcijos apibrėžimo sritis yra {0, 1, 2}, nurodytas kodomenas yra {2, 5, 8, 11}, o poros yra (0, 2), (1, 5), (2, 8). Ar ši funkcija injektyvi? Nurodykite jos atvirkštinės funkcijos poras ir apibrėžimo sritį. Kas pasikeičia, jei paskutinė pora pakeičiama pora (2, 5)?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pradinė funkcija yra injektyvi. Jos atvirkštinės funkcijos poros yra (2, 0), (5, 1), (8, 2), o apibrėžimo sritis yra {2, 5, 8}. Pakeitus paskutinę porą pora (2, 5), funkcija nebėra injektyvi, todėl pakeista funkcija neturi atvirkštinės funkcijos savo įgyjamų reikšmių aibėje.

   Pradinėje pilnoje lentelėje kiekviena funkcijos reikšmė atitinka vieną argumento reikšmę. Kodomeno reikšmė 11 neįgyjama, todėl negali būti atvirkštinės funkcijos argumento reikšmė. Atvirkštinės funkcijos reikšmių aibė yra {0, 1, 2}; f turi atvirkštinę funkciją, kai jos kodomenas apribojamas iki įgyjamų reikšmių aibės. Pakeistoje lentelėje funkcijos reikšmė 5 gaunama iš dviejų skirtingų argumento reikšmių – 1 ir 2, todėl sukeitus porų elementus argumento reikšmei 5 būtų priskirtos dvi funkcijos reikšmės.

5. Tegu f(x) = 4x − 7 visiems realiesiems argumentams. Raskite f⁻¹, nurodykite jos apibrėžimo sritį, įrodykite abi atvirkštinių funkcijų tapatybes ir apskaičiuokite f⁻¹(1). Ar jos formulė sutampa su 1/f(x)?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   f⁻¹(y) = (y + 7)/4 visiems realiesiems y, o f⁻¹(1) = 2. Ji skiriasi nuo atvirkštinio dydžio 1/(4x − 7).

   Išsprendę lygtį y = 4x − 7, gauname x = (y + 7)/4 – leistiną pradinės funkcijos argumento reikšmę kiekvienam realiajam y. Tuomet f⁻¹(f(x)) = (4x − 7 + 7)/4 = x ir f(f⁻¹(y)) = 4((y + 7)/4) − 7 = y. Atvirkštinė funkcija atkuria argumento reikšmę, o skaičiuojant atvirkštinį dydį dalijama iš funkcijos reikšmės, todėl x = 7/4 neleistinas.

6. Tegu q(x) = x² + 3 tik kai x ≤ 0. Raskite šios funkcijos reikšmių sritį ir atvirkštinę funkciją, nurodydami jos apibrėžimo ir reikšmių sritis. Atkurkite argumento reikšmę, kai funkcijos reikšmė yra 5, ir įrodykite abi atvirkštinės funkcijos tapatybes.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Funkcijos q reikšmių sritis yra y ≥ 3. Jos atvirkštinė funkcija yra q⁻¹(y) = −√(y − 3), apibrėžta, kai y ≥ 3, o jos reikšmių sritis yra x ≤ 0. Iš funkcijos reikšmės 5 atkuriama argumento reikšmė −√2.

   Visos funkcijos reikšmės tenkina y ≥ 3, ir kiekviena tokia y reikšmė gaunama vieninteliu būdu – su leistina argumento reikšme −√(y − 3). Kiekvienam x ≤ 0, q⁻¹(q(x)) = −√(x²) = −|x| = x. Kiekvienam y ≥ 3, q(q⁻¹(y)) = (−√(y − 3))² + 3 = y. Pasirinkus teigiamąją šaknį, būtų atkurta argumento reikšmė už pradinės apibrėžimo srities ribų, išskyrus nulio atvejį.

7. Nurodytame modelyje sveikiesiems prekių vienetų skaičiams n = 0, 1, 2, 3 priskiriama kaina C(n) = 5n + 2 eurų. Nurodykite faktinę kainos reikšmių sritį ir atvirkštinės funkcijos taisyklę. Atkurkite prekių vienetų skaičių, kai kaina yra 12 eurų, ir nustatykite, ar 10 eurų arba 22 eurų yra leistina atvirkštinės funkcijos argumento reikšmė.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Reikšmių sritis yra {2, 7, 12, 17} eurų. C⁻¹(c) = (c − 2)/5 prekių vienetų tik šioms kainoms; iš 12 eurų kainos atkuriamas 2 prekių vienetų skaičius. Nei 10, nei 22 eurų nėra leistina atvirkštinės funkcijos argumento reikšmė.

   Keturi leistini prekių vienetų skaičiai duoda keturias skirtingas kainas, todėl visa baigtinėje aibėje apibrėžta funkcija yra injektyvi. Kai kaina yra 10 eurų, pagal reiškinį gauname 8/5 prekių vienetų – tai nėra leistinas sveikasis prekių vienetų skaičius. Kai kaina yra 22 eurų, gauname 4 prekių vienetus – šis skaičius yra sveikasis, bet nepatenka į nurodytą apibrėžimo sritį. Abi kainos nepasiekiamos; vien algebrinis skaičiavimas negali išplėsti konteksto nustatytos apibrėžimo srities.

Ką verta įsidėmėti

• Skaičiuodami f(g(x)), pirmiausia apskaičiuokite g reikšmę ir visą ją naudokite kaip funkcijos f argumentą. Funkcijų kompozicija nėra tas pats, kas dviejų atskirų funkcijų reikšmių daugyba.
• Skirtinga tvarka sudarytos funkcijų kompozicijos nebūtinai sutampa, nors kai kurių funkcijų kompozicija yra komutatyvi. Kad funkcijos būtų lygios, jų apibrėžimo sritys turi sutapti, o kiekvienai leistinai argumento reikšmei jos turi duoti tą pačią funkcijos reikšmę.
• Kompozicijos argumento reikšmė turi priklausyti vidinės funkcijos apibrėžimo sričiai, o tarpinė funkcijos reikšmė – išorinės funkcijos apibrėžimo sričiai. Supaprastinę reiškinį išlaikykite pradinius apribojimus ir patikrinkite modelio matavimo vienetus.
• Funkcija yra injektyvi, jei skirtingoms leistinoms argumento reikšmėms priskiria skirtingas funkcijos reikšmes. Ši sąlyga tikrinama horizontaliomis tiesėmis; kontrpavyzdys ją paneigia, tačiau vien atskiri pavyzdžiai jos neįrodo begalinėje apibrėžimo srityje.
• Atvirkštinė funkcija apverčia injektyvios funkcijos veikimą jos faktinėje reikšmių srityje, sukeisdama apibrėžimo ir reikšmių sritis. Neįgyjami platesnės tikslinės aibės (kodomeno) elementai nėra leistini atvirkštinės funkcijos argumentai.
• f⁻¹ žymi atvirkštinę funkciją, o ne atvirkštinį dydį 1/f. Spręsdami išlaikykite apribojimus ir įrodykite abi atvirkštinės funkcijos tapatybes visose nurodytose apibrėžimo srityse.
• Kvadrato funkcija be apribojimų neturi atvirkštinės funkcijos. Apribojus sritį iki x ≥ 0, atvirkštinė funkcija yra √y, o iki x ≤ 0 – −√y; abiejų apibrėžimo sritis yra y ≥ 0, įskaitant iracionaliuosius atvirkštinės funkcijos argumentus.