Dešimtainiai skaičiai, apvalinimas ir keitimas

Dešimtainės skiltys skaičiuoja dešimtąsias, šimtąsias ir tūkstantąsias

Dešimtainis užrašas pratęsia tą pačią dešimtainę pozicinę sistemą, kuri naudojama sveikiesiems skaičiams. Kairėje kablelio pusėje yra vienetai, dešimtys ir šimtai; dešinėje – dešimtosios, šimtosios ir tūkstantosios. Kiekviena skiltis lygi dešimtadaliui iškart kairiau esančios skilties. Taigi 2,407 = 2 + 4/10 + 0/100 + 7/1000. Nulis išlaiko šimtųjų skiltį, todėl 7 ir toliau reiškia septynias tūkstantąsias.

Kai nėra ištisų vienetų, prieš kablelį rašykite nulį: 0,5 reiškia penkias dešimtąsias, o 0,05 – penkias šimtąsias. Skaitmens vieta tokia pat svarbi kaip ir pats skaitmuo. Lietuviškuose pavyzdžiuose naudojamas dešimtainis kablelis, o angliškuose – dešimtainis taškas. Tai skirtingi tų pačių dešimtainės sistemos reikšmių užrašai. Taškas arba kablelis atskiria sveikąsias skiltis nuo trupmeninių; jis nereiškia daugybos.

Galiniai nuliai reikšmės nekeičia; tvarką lemia skiltys

Baigtinės trupmeninės dalies gale prirašyti nuliai reikšmės nekeičia: 0,5 = 0,50 = 0,500, nes 5/10 = 50/100 = 500/1000. Prieš esamą trupmeninį skaitmenį įterptas nulis gali pakeisti jo vietą ir reikšmę: 0,05 nėra 0,5. Sveikojo skaičiaus užrašo pratęsimas nuo 5 iki 50 taip pat pakeičia reikšmę. Klauskite, ar pradiniai skaitmenys liko savo skiltyse.

Dešimtainius skaičius lyginkite pagal skilčių reikšmes, o ne užrašo ilgį. Norėdami 0,7 palyginti su 0,65, perrašykite jį kaip 0,70: septyniasdešimt šimtųjų daugiau nei šešiasdešimt penkios šimtosios, todėl 0,7 > 0,65. Lyginant 2,04 ir 2,4, sveikosios dalys sutampa, tačiau nulis dešimtųjų mažiau už keturias dešimtąsias, todėl 2,04 < 2,4. Neigiamų reikšmių tvarka priešinga jų teigiamų modulių tvarkai: −0,75 < −0,7, nes −0,75 skaičių tiesėje yra toliau į kairę.

Baigtinis dešimtainis užrašas yra tiksli dešimties laipsnio dalis

Trys skiltys po kablelio nurodo tūkstantąsias: 0,375 = 375/1000 = 3/8. Baigtiniam dešimtainiam skaičiui, turinčiam k skilčių po kablelio, pasirinkite vardiklį 10 pakeltą k laipsniu, o skaitiklyje rašykite skaičių su jo ženklu, gautą pašalinus kablelį. Pavyzdžiui, 1,205 = 1205/1000 = 241/200. Trumpinimas pakeičia trupmenos užrašą, bet ne skaičių. Papildomi galiniai nuliai duoda didesnį dešimties laipsnio vardiklį, tačiau tą pačią reikšmę.

Ženklas taikomas visai dešimtainio skaičiaus reikšmei. Todėl −1,25 = −125/100 = −5/4 = −(1 + 1/4), o ne −1 + 1/4. Sveikasis skaičius taip pat tinka: 3 = 3/1, kai po kablelio nėra skilčių. Nurodyto baigtinio užrašo keitimas yra tikslus. Jei pats užrašas jau buvo suapvalintas matavimas ar skaičiavimo rezultatas, tikslus jo pavertimas trupmena neatkuria prieš apvalinimą buvusios reikšmės.

Dalyba kampu seka liekanas

Trupmena a/b reiškia a padalyti iš b, kai b nenulinis. Dalijant 3/8 nėra ištisų vienetų, todėl pradėkite nuo 0. Liekaną 3 padauginkite iš dešimties: 30 ÷ 8 duoda skaitmenį 3 ir liekaną 6. Tada 60 ÷ 8 duoda skaitmenį 7 ir liekaną 4; galiausiai 40 ÷ 8 duoda skaitmenį 5 ir liekaną 0. Gauti skaitmenys užima dešimtųjų, šimtųjų ir tūkstantųjų skiltis, todėl tiksliai 3/8 = 0,375. Nulinė liekana užbaigia dalybą; visi papildomi skaitmenys būtų nuliai.

Dalijant 1/6, veiksmas 10 ÷ 6 duoda skaitmenį 1 ir liekaną 4. Kitas žingsnis, 40 ÷ 6, duoda skaitmenį 6 ir vėl liekaną 4. Grįžus prie tos pačios liekanos, grįžtama prie to paties tolesnio skaitmens ir liekanos, todėl šešetas kartojasi be galo: 1/6 = 0,1666…. Tai rašome kaip 0,1(6), kur skliaustai žymi pasikartojantį bloką, o ne daugybą. Neigiamai trupmenai padalykite jos modulį, o ženklą pritaikykite visam rezultatui.

Vardiklį tikrinkite tik sutrumpinę trupmeną

Nesuprastinamoji trupmena su teigiamu vardikliu turi baigtinį dešimtainį užrašą tada ir tik tada, kai jos vardiklis neturi kitų pirminių daugiklių, išskyrus 2 ir 5. Vardiklis 1 taip pat tinka: jis neturi pirminių daugiklių ir duoda sveikąjį skaičių. Trupmenos 3/8 vardiklis yra 2 × 2 × 2, o 7/20 – 2 × 2 × 5. Abi baigtinės: 0,375 ir 0,35. Trupmena 3/6 pirmiausia sutrumpėja iki 1/2, todėl jos dešimtainis užrašas baigtinis, nors pradinis vardiklis turėjo daugiklį 3. Nulis sutrumpėja iki 0/1 ir taip pat turi baigtinį užrašą.

Priežastis yra pats sistemos pagrindas: 10 = 2 × 5, todėl kiekvienas dešimties laipsnio vardiklis turi tik šiuos pirminius daugiklius. Sutrumpintą vardiklį, sudarytą tik iš dvejetų ir penketų, galima padidinti iki dešimties laipsnio padauginus iš trūkstamų daugiklių. Trupmenai 3/8 skaitiklį ir vardiklį padauginę iš 125 gauname 375/1000. Ir priešingai: trumpindami tikslią trupmeną su dešimties laipsnio vardikliu negalime įvesti naujo pirminio daugiklio. Todėl likęs daugiklis, pavyzdžiui, 3 trupmenose 1/3 ar 1/6, neleidžia dalybai baigtis; gaunamas periodinis užrašas.

Pasikartojantis blokas tiksliai nusako racionalųjį skaičių

Esant pastoviam teigiamam sveikajam vardikliui b, dalyboje yra tik b galimų liekanų: nuo 0 iki b − 1. Arba liekana tampa nuliu, arba kuri nors nenulinė liekana galiausiai pasikartoja. Vienodos liekanos duoda tuos pačius tolesnius skaitmenis, todėl kiekvienas racionalusis skaičius turi baigtinį arba galiausiai periodinį dešimtainį užrašą. Periodas nebūtinai prasideda iškart po kablelio: 1/6 = 0,1(6), o 1/3 = 0,(3). Skliaustai nurodo visą begalinį pasikartojimą, todėl šie užrašai tikslūs; 0,333 yra tik baigtinis 1/3 artinys.

Periodinį skaičių galima paversti paprastąja trupmena. Jei x = 0,(27), tai 100 × x = 27,(27); atėmę x panaikiname vienodą pasikartojančią uodegą, todėl 99 × x = 27 ir x = 27/99 = 3/11. Iracionaliųjų skaičių, pavyzdžiui, √2, dešimtainiai užrašai nei baigiasi, nei tampa periodiniai. Jų iracionalumą reikia pagrįsti matematiškai: baigtinės skaitmenų sekos apžiūra neįrodo, kad periodas niekada neprasidės. Vien daugtaškis nenusako dėsningumo, o baigtinis skaičiuotuvo ekranas nenustato, ar nežinomas tikslus skaičius racionalus.

Apvalinimas pasirenka gretimą skilties vieneto kartotinį

Prieš keisdami reikšmę pasirinkite skiltį. Apvalinimas iki vienetų renkasi tarp sveikųjų skaičių; iki vieno skaitmens po kablelio – tarp dešimtųjų; iki dviejų – tarp šimtųjų. Tiksli reikšmė 0,374 yra tarp 0,37 ir 0,38. Jų vidurio taškas 0,375, todėl 0,374 arčiau 0,37. Vidurio taške abu pasirinkimai vienodai arti, tad reikia susitarti dėl taisyklės. Apvalinimas pakeičia pradinę reikšmę pasirinkta artima reikšme; tai nėra lygiavertis trupmenos perrašymas.

Ši pamoka ir jos įrankis apvalina iki artimiausios reikšmės, o tikslų vidurio tašką – toliau nuo nulio. Kai atstumai vienodi, pasirinkite didesnio modulio kaimyną: 0,375 iki dviejų skaitmenų po kablelio tampa 0,38. Tai aiškus susitarimas, o ne vienintelė matematikos, programų ar mokslinių duomenų taisyklė. Kitas dažnas susitarimas vidurio tašką apvalina iki reikšmės, kurios paskutinis paliekamas skaitmuo lyginis; vadovaukitės užduotyje nurodyta taisykle. Naudokite =, kai reikšmės iš tiesų lygios, pavyzdžiui, 0,35 = 0,350, ir ≈, kai apvalinimas pakeičia reikšmę, pavyzdžiui, 3/8 ≈ 0,38.

Pagal mūsų taisyklę neigiamas vidurio taškas tolsta nuo nulio

Tikslus skaičius −53/40 = −1,325 yra per vidurį tarp −1,33 ir −1,32. Vidurio tašką apvalinant toliau nuo nulio, iki dviejų skaitmenų po kablelio gauname −1,33, nes šio kaimyno modulis didesnis. Nereikia rinktis −1,32 vien pagal bendrą nurodymą padidinti skaičių su ženklu. Kai nėra lygių atstumų, tiesiog pasirinkite artimesnį kaimyną: −1,324 apvalinama iki −1,32. Patikimas būdas taikyti mūsų susitarimą – modulį apvalinti iki artimiausios reikšmės, vidurio tašką toliau nuo nulio, tada grąžinti pradinį ženklą.

Perkėlimas gali pereiti per kablelį ir pakeisti sveikąją dalį. Tikslus skaičius 1999/200 = 9,995 yra per vidurį tarp 9,99 ir 10,00, todėl iki dviejų skaitmenų po kablelio apvalinamas į 10,00. Du galiniai nuliai rodo pasirinktą šimtųjų skiltį; skaitine prasme 10,00 = 10. Jie neįrodo, kad matuojamas dydis buvo tiksliai žinomas šimtosios dalies tikslumu. Jei mažo neigiamo skaičiaus apvalinimas pasirenka nulį, skaitinis rezultatas tiesiog nulis; papildomo neigiamo nulio ženklo šioje pamokoje nereikia.

Apvalinkite pradinę reikšmę; atskirkite skaitmenų atmetimą

Apvalinimas etapais gali pakeisti galutinį atsakymą. Tikslią reikšmę 1,249 tiesiogiai apvalinę iki dešimtųjų gauname 1,2: ji žemiau vidurio taško 1,25. Tačiau pirmiausia apvalinę iki šimtųjų gauname 1,25; šią naują reikšmę apvalinant iki dešimtųjų atsiranda lygūs atstumai, ir mūsų susitarimas duoda 1,3. Tarpinis apvalinimas prarado informaciją, kad pradinė reikšmė buvo žemiau vidurio taško. Skaičiavimams išlaikykite tikslią trupmeną arba pakankamai pradinių skaitmenų ir vieną kartą apvalinkite iki galutinės prašomos skilties.

Skaitmenų atmetimas pašalina vėlesnius trupmeninės dalies skaitmenis ir juda nulio link; jis nesirenka artimiausios reikšmės. Iki dviejų skaitmenų po kablelio atmetę vėlesnius −1,328 skaitmenis gauname −1,32, o apvalinę iki artimiausios reikšmės – −1,33. Apvalinant iki artimiausio skilties vieneto u kartotinio, absoliuti apvalinimo paklaida neviršija u/2, įskaitant vidurio taškus. Taigi apvalinant iki šimtųjų paklaida neviršija 0,005 naudojamo matavimo vieneto. Atmetant skaitmenis iki šios skilties paklaida mažesnė už 0,01, bet gali viršyti mažesnę apvalinimo paklaidos ribą. Šie teiginiai nusako žinomo tikslaus skaičiaus pakeitimą, o ne visus matavimo paklaidos šaltinius.

Keiskite rodomą tikslumą išlaikydami tikslią trupmeną

Tyrinėjimo įrankyje pradėkite nuo 3/8 ir dviejų skaitmenų po kablelio. Sekite sutrumpintą trupmeną, vardiklio daugiklius ir dalybos žingsnius iki tikslaus dešimtainio skaičiaus 0,375. Palyginkite gretimas šimtąsias 0,37 ir 0,38 bei raskite jų vidurio tašką. Pasirinkta apvalinimo taisyklė duoda 0,38, todėl teiginyje naudojamas ≈. Pasirinkite tris skaitmenis po kablelio: dabar galima tiksliai parodyti 0,375, ir naudojamas =. Pradinė trupmena visą laiką išliko ta pati.

Išbandykite 1/3 ir 1/6, kad išnagrinėtumėte periodą ir prieš jį esančią nepasikartojančią dalį. Didinant baigtinį tikslumą gaunamas artimesnis suapvalintas užrašas; nė vienas periodinis užrašas dėl to netampa baigtine tikslia reikšme. Su 7/20 stebėkite, kaip galiniai nuliai išlaiko tikslią reikšmę; su −53/40 – neigiamą vidurio tašką; su 1999/200 – perkėlimą į kitą ištisą vienetą. Nulinė trupmena 0/7 sutrumpėja iki 0/1 ir lieka nuliu kiekvienoje pasirinktoje skiltyje. Atskirai paaiškinkite, koks yra tikslus skaičius, kaip dalyba jį išreiškia ir ką pakeičia pasirinktas apvalinimo užrašas.

Dešimtainiai veiksmai remiasi tais pačiais trupmeniniais vienetais

Sudėčiai ir atimčiai sulygiuokite vienodas skiltis. Skaičiuodami 0,4 + 0,35, perrašykite 0,4 kaip 0,40: keturiasdešimt šimtųjų ir trisdešimt penkios šimtosios sudaro septyniasdešimt penkias šimtąsias, todėl suma yra 0,75. Lygiuojama pagal vienetus, o ne pagal užrašų ilgius. Dauginant vienetai sujungiami: 0,2 × 0,3 = (2/10) × (3/10) = 6/100 = 0,06. Dviejų teigiamų reikšmių, mažesnių už vienetą, sandauga mažesnė už kiekvieną iš jų; taip patikrinamas jos mastelis.

Dalybos dalmuo nekinta, jei dalinį ir daliklį padauginame iš to paties nenulinio skaičiaus: 0,75 ÷ 0,5 = 75 ÷ 50 = 3/2 = 1,5. Pats daliklis vis tiek turi būti nenulinis. Matavimams galioja ankstesnės pamokos dydžių taisyklės: 0,4 m + 0,35 m = 0,75 m; ilgį dauginant iš ilgio gaunamas plotas; tūrį dalijant iš tuo pačiu vienetu išreikšto porcijos dydžio gaunamas porcijų skaičius. Veiksmų metu išlaikykite tikslius baigtinius skaičius arba trupmenas, paisykite skliaustų ir veiksmų tvarkos, o galutinį rezultatą apvalinkite tik tada, kai to prašo klausimas.

Užrašo tikslumas ir matavimo patikimumas skiriasi

Jei tikslus matematinis ilgis yra 0,375 m, o pateikiame 0,38 m, apvalinimas jį pakeitė 0,005 m, arba 5 mm. Tai tiksliai pusės šimtosios ribinė paklaida, kai apvaliname metrais. Pakeitus pateikimo vienetą pasikeičia skilties vienetas: apvalinimas iki šimtosios metro nėra tas pats, kas iki šimtosios centimetro. Prie paklaidos ribos visada nurodykite matavimo vienetą. Žinomos reikšmės apvalinimo paklaida yra tik vienas galimas tikro matavimo neapibrėžties dėmuo.

Liniuotė, stebėjimas ar skaičiavimas gali turėti savų apribojimų. Užrašas 2,00 m vietoj 2 m gali nurodyti pateikimo skiltį, tačiau pats savaime nepagerina matavimo ir neįrodo jo tikslumo. Patikrinkite, kad tikslus keitimas naudotų =, pakeista reikšmė – ≈, o apvalinimas remtųsi nurodyta taisykle ir pradine reikšme. Palyginkite rezultato dydį su pradine trupmena ir paprastus veiksmus patikrinkite trupmenomis arba atvirkštiniais veiksmais. Kita pamoka naudos dydžius bei jų vienetus santykiams, spartai ir proporciniam samprotavimui paaiškinti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Užrašykite 0,407 kaip trupmeninių skilčių reikšmių sumą. Kurios lygybės teisingos: 0,4 = 0,400 ir 0,4 = 0,04? Palyginkite 0,7 su 0,65 ir −0,75 su −0,7.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   0,407 = 4/10 + 0/100 + 7/1000. Pirmoji lygybė teisinga, antroji – ne. 0,7 > 0,65 ir −0,75 < −0,7.

   Nulis išlaiko šimtųjų skiltį. Galiniai nuliai palieka esamus skaitmenis jų vietose, o papildomas nulis užraše 0,04 priverčia 4 skaičiuoti šimtąsias vietoj dešimtųjų. Skaičius 0,70 ir 0,65 palyginkite šimtosiomis. Neigiamų skaičių didesnis modulis yra toliau kairėje, todėl −0,75 mažesnis.

2. Skaičius 1,205 ir −1,25 paverskite tiksliomis nesuprastinamosiomis trupmenomis. Ar −1,25 reiškia −1 + 1/4? Jei 1,205 jau buvo suapvalintas rodmuo, ar keitimas į trupmeną atkuria nesuapvalintą rodmenį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   1,205 = 241/200 ir −1,25 = −5/4. Neigiama reikšmė reiškia −(1 + 1/4). Suapvalinto užrašo keitimas neatkuria ankstesnės reikšmės.

   Naudokite 1205/1000 ir sutrumpinkite iš 5; naudokite −125/100 ir sutrumpinkite iš 25. Minuso ženklas taikomas visam moduliui, o −1 + 1/4 būtų −3/4. Keitimas tiksliai išreiškia pateiktą užrašą; prieš jo pateikimą prarasta informacija lieka prarasta.

3. Trupmenas 7/20 ir 1/6 paverskite dešimtainiais skaičiais. Nurodykite, kuri dalyba baigiasi, o kuri kartojasi. Trupmenai 1/6 nurodykite prieš periodą esančią dalį, periodą ir pasikartojančią liekaną.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   7/20 = 0,35 baigiasi. 1/6 = 0,1(6) kartojasi: prieš periodą yra 1, periodas 6, pasikartojanti liekana 4.

   Trupmenai 7/20 veiksmas 70 ÷ 20 duoda skaitmenį 3 ir liekaną 10; tada 100 ÷ 20 duoda skaitmenį 5 ir liekaną 0. Trupmenai 1/6 pirmas skaitmuo 1 palieka liekaną 4; kiekvienas vėlesnis 40 ÷ 6 duoda skaitmenį 6 ir liekaną 4. Pasikartojusi liekana be galo kartoja tolesnį skaitmenų gavimo procesą.

4. Kurios trupmenos – 6/15, 7/28, 1/12, 5/8 ir 0/7 – turi baigtinius dešimtainius užrašus? Pirmiausia sutrumpinkite ir paaiškinkite pagal vardiklio daugiklius. Ar baigtinis skaičiuotuvo ekranas gali įrodyti nežinomos tikslios reikšmės iracionalumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   6/15 = 2/5, 7/28 = 1/4, 5/8 ir 0/7 = 0/1 turi baigtinius užrašus. Trupmena 1/12 periodinė. Baigtinis ekranas iracionalumo neįrodo.

   Sutrumpinti teigiami vardikliai 5, 4 = 2 × 2, 8 = 2 × 2 × 2 ir 1 neturi kitų pirminių daugiklių, išskyrus 2 ir 5. Vardiklyje 12 po trumpinimo lieka daugiklis 3, todėl 1/12 užrašas nebaigtinis. Baigtinis dešimtainių skaitmenų pavyzdys neatmeta toliau prasidedančio periodo; iracionalumui nustatyti reikia žinių apie tikslų skaičių.

5. Apvalindami iki artimiausios reikšmės, o vidurio taškus toliau nuo nulio, skaičius 0,125, −1,325 ir 9,995 apvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio, o 1/3 – iki trijų. Tuomet užrašykite 3/8 trimis skaitmenimis po kablelio. Kiekvienam ryšiui su pradine reikšme pasirinkite = arba ≈.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   0,125 ≈ 0,13; −1,325 ≈ −1,33; 9,995 ≈ 10,00; 1/3 ≈ 0,333; 3/8 = 0,375.

   Pirmos trys reikšmės yra tikslūs vidurio taškai, todėl pasirinkite didesnio modulio kaimyną. Ketvirtosios tikslus užrašas yra periodinis 0,(3); ketvirtas skaitmuo 3, todėl artimiausia tūkstantoji yra 0,333, vis dar artinys. Paskutinis baigtinis užrašas jau telpa į tris skiltis ir išlaiko tikslią reikšmę. Kiti susitarimai gali pakeisti vidurio taškų atsakymus, todėl pasirinkta taisyklė svarbi.

6. Skaičių 1,249 apvalinkite tiesiogiai iki dešimtųjų, tada per šimtąsias iki dešimtųjų, vidurio taškus pasirinkdami toliau nuo nulio. Atskirai skaičiaus −1,328 skaitmenis atmeskite iki šimtųjų ir jį apvalinkite iki artimiausios šimtosios. Kurie procesai pasirenka artimiausią reikšmę pradiniam skaičiui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tiesioginis apvalinimas duoda 1,2, o etapais gaunama 1,25 ir tada 1,3. Atmetimas duoda −1,32, o apvalinimas iki artimiausios reikšmės – −1,33.

   Pradinis 1,249 yra žemiau dešimtųjų vidurio taško 1,25; tarpinis šimtųjų rezultatas sukuria lygius atstumus, kurių pradinė reikšmė neturėjo. Atmetus −1,328 skaitmenis judama nulio link, tačiau lieka 0,008 paklaida. Artimesnės šimtosios −1,33 paklaida yra 0,002 ir neviršija apvalinimo ribos 0,005. Tiesioginis apvalinimas iki artimiausios reikšmės pasirenka artimiausią pradinio skaičiaus reikšmę.

7. Tiksliai apskaičiuokite 0,4 + 0,35, 0,2 × 0,3 ir 0,75 ÷ 0,5. Žinomas tikslus ilgis 0,375 m pateikiamas kaip 0,38 m: raskite apvalinimo paklaidą metrais ir milimetrais. Ar matavimo užrašas 2,00 m įrodo šimtosios metro tikslumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   0,75, 0,06 ir 1,5. Absoliuti apvalinimo paklaida yra 0,005 m = 5 mm. Vien užrašas 2,00 m tokio matavimo tikslumo neįrodo.

   Sudėčiai naudokite bendras šimtąsias, sandaugai dauginkite trupmeninius vienetus, o dalybai vienodai padidinkite dalinį ir daliklį. Žinomas ilgis nuo pateikto skiriasi 0,38 − 0,375 = 0,005 m, tiksliai puse pasirinkto skilties vieneto 0,01 m. Papildomi pateikti skaitmenys neįrodo prietaiso kokybės ir nenusako visos kitos matavimo neapibrėžties.

Ką verta įsidėmėti

• Dešimtainės skiltys yra dešimties laipsnių trupmeniniai vienetai. Galiniai nuliai reikšmę išlaiko; skaičius su ženklais lyginkite pagal skiltis ir tvarką skaičių tiesėje.
• Baigtiniai dešimtainiai skaičiai tiksliai keičiami į trupmenas su dešimties laipsnio vardikliu. Sutrumpinta trupmena baigtinė tada ir tik tada, kai teigiamas vardiklis turi tik pirminius daugiklius 2 ir 5; vardiklis 1 taip pat tinka.
• Pasikartojančios dalybos liekanos paaiškina periodinius racionaliųjų skaičių užrašus. Aiškiai nurodytas periodas yra tikslus, o baigtinis skaitmenų pavyzdys iracionalumo neįrodo.
• Pasirinkite apvalinimo skiltį ir nurodykite vidurio taško taisyklę. Čia apvalinama iki artimiausios reikšmės, vidurio taškus toliau nuo nulio; pradinę reikšmę apvalinkite vieną kartą ir atskirkite tai nuo skaitmenų atmetimo.
• Naudokite = lygioms reikšmėms ir ≈ pakeistiems artiniams. Apvalinimo iki artimiausios reikšmės paklaida neviršija pusės skilties vieneto; vien dešimtainio užrašo tikslumas neįrodo matavimo tikslumo.