Santykiai, spartos ir proporcinis samprotavimas

Santykis lygina dydžius nurodyta tvarka

Grupėje yra šeši A žetonai ir keturi B žetonai. A ir B skaičių santykis yra 6:4, skaitomas šeši su keturiais. Tvarka svarbi: B ir A skaičių santykis yra 4:6. Nurodykite, kuris dydis pirmas, o kuris antras, užuot palikę du skaičius be pavadinimų. Abu santykiai aprašo tą pačią grupę, bet atsako į skirtingus palyginimus.

Kai antras dydis nenulinis, skaitinį santykį a:b galima išreikšti dalmeniu a/b. Čia A/B = 6/4 = 3/2, todėl A skaičių gauname B skaičių padauginę iš 3/2. Jei antras skaičius nulis, šis dalmuo neapibrėžtas. Skaičių pora, pavyzdžiui, 3:0, gali užfiksuoti, kad vienos kategorijos nėra, tačiau nepaverčia 3/0 leistina dalyba. Pora 0:0 nenustato vienintelio santykinio mišinio.

Dalių tarpusavio santykis nėra tas pats kaip dalis visumoje

Receptas 3 A žetonai ir 2 B žetonai viename pilname rinkinyje turi penkis žetonus. Dalių tarpusavio santykis yra 3:2, tačiau A dalis visumoje yra 3/(3 + 2) = 3/5, o B dalis – 2/5. Abi dalys kartu sudaro vienetą. Užrašę 3/2 kaip A dalį, palyginimą tik su B supainiotume su palyginimu su visa grupe.

Neneigiamiems skaičiams a ir b, kurių suma a + b teigiama, dalys visumoje yra a/(a + b) ir b/(a + b). Šešių A ir keturių B žetonų grupėje jos lygios 6/10 = 3/5 ir 4/10 = 2/5. Visuma yra žetonų skaičius, o ne bendra jų masė ar dydis. Jei atskirų žetonų masės skiriasi, toks pats skaičių santykis nebūtinai duoda tokias pačias masės dalis. Įvardykite dydį, kurio dalys skaičiuojamos ar matuojamos.

Santykį išlaikykite tuo pačiu dauginamuoju pakeitimu

Du pilni 3:2 rinkiniai duoda 6 A žetonus ir 4 B žetonus; keturi rinkiniai – 12 ir 8. Todėl 3:2, 6:4 ir 12:8 yra lygiaverčiai santykiai. Abi reikšmes padauginus iš to paties teigiamo daugiklio, jų tarpusavio santykis nekinta. Dalmeniu tai užrašoma a/b = (k × a)/(k × b), kai b ir k nenuliniai. Abu sveikuosius skaičius padalijus iš bendro teigiamo daliklio, gaunamas paprastesnis lygiavertis santykis, pavyzdžiui, 18:12 tampa 3:2.

Pridėti tą patį kiekį nėra bendra santykio išlaikymo taisyklė: prie abiejų 3:2 reikšmių pridėję 1 gauname 4:3, o 3/2 nėra 4/3. Skirtumas liko vienas, tačiau dauginamasis palyginimas pasikeitė. Receptą padauginę iš nulio gauname tuščią pasirinkimą, kuriame abu skaičiai yra 0. Receptas tebėra žinomas, tačiau tuščias pasirinkimas neturi tikro dalių tarpusavio dalmens ar dalių visumoje. Nedalomiems žetonams pilnais rinkiniais mastelio daugiklis yra sveikasis skaičius; tolydūs matuojami kiekiai gali leisti ir trupmeninius daugiklius.

Naudokite palyginamus dydžius ir bendrą vienetą

Dviejų metrų ir 50 centimetrų santykio nerandame palyginę vien plikus skaičius 2 ir 50. Paverskite į bendrą vienetą: 2 m = 200 cm, todėl 200 cm:50 cm = 4:1. Dalmuo yra 4, nes centimetrų vienetai susiprastina. Abu ilgius pavertę metrais gauname 2 m:0,5 m ir tą patį skaitinį santykį. Tos pačios rūšies dydžių santykis neturi priklausyti nuo pasirinkto bendro matavimo vieneto.

Skirtingų rūšių dydžių palyginimas išlaiko sudėtinį vienetą. Dešimt litrų, patiektų per penkias minutes, duoda 10 L ÷ 5 min = 2 L/min. Tai sparta, išreiškianti tūrį per laiką. Palikite matomus abu vienetus; vien skaičius 2 gali reikšti žetonų santykį, ilgių palyginimą arba litrus per minutę. Objektų skaičių santykis taip pat turi išlaikyti kategorijų pavadinimus: trys A žetonai kiekvieniems dviem B žetonams.

Vienetinė sparta nusako kiekį vienam kito dydžio vienetui

Vienetinė sparta išreiškia palyginimą vienam vienetui, pavyzdžiui, litrus per minutę, kilometrus per valandą arba eurus už kilogramą. Pirmą dydį padalykite iš antro ir išlaikykite gautus vienetus. Jei 12 litrų patiekiama per 6 minutes, vidutinė tiekimo sparta šiame intervale yra 2 L/min. Kai pateikiama pastovaus srauto prielaida, ta pati sparta aprašo kiekvieną mažesnį intervalą; vien bendras kiekis ir praėjęs laikas neįrodo, kad srautas buvo pastovus.

Prieš lygindami spartas, suvienodinkite vienetus. Du litrai per minutę yra 120 litrų per valandą, nes valanda turi šešiasdešimt minučių: 2 L/min × 60 min/h = 120 L/h. Tai lygios spartos su skirtingais skaičiais, o ne tiekimo pasikeitimas. Kainoms palyginti pakuočių kiekius paverskite tuo pačiu masės vienetu ir lyginkite kainą už kilogramą. Mažesnė vienetinė kaina atsako į šį palyginimą, bet nebūtinai reiškia mažesnę bendrą mokėtiną sumą, kai galima pirkti tik pilnas pakuotes.

Proporcinė priklausomybė turi vieną pastovų daugiklį

Tiesioginėje proporcinėje priklausomybėje y = k × x, kur daugiklis k išlieka pastovus visoms leistinoms x reikšmėms. Į pradžioje tuščią baką vandeniui tekant pastovia 2 L/min sparta, tūris y litrais yra du kartus praėjęs laikas t minutėmis: y = 2 × t. Praėjus t = 1, 2 ir 3 minutėms, tūriai yra 2, 4 ir 6 litrai. Daugiklis turi vienetus: kai pasirenkami šie tūrio ir laiko vienetai, jis yra 2 L/min.

Kai x nenulinis, dalmuo y/x lygus pastoviam k. Formulė y = k × x taip pat duoda y = 0, kai x = 0; jei nulis priklauso modelio sričiai, grafikas eina per koordinačių pradžią. Dalmuo 0/0 vis tiek neapibrėžtas: nulio atvejis gaunamas iš daugybos taisyklės, o ne dalijant nulį iš nulio. Pagal šią taisyklę padvigubinus x, padvigubėja y. Kai k teigiamas, o x neneigiamas, didėjant x didėja ir y. Nurodykite modelio taikymo ribas, įskaitant turimą talpą ir bet kokius sąlygų pasikeitimus.

Sulygiuokite atitinkančius dydžius

Santykių lentelė užrašo atitinkančias reikšmes stulpeliuose su pavadinimais. Žetonų receptui 3:2 rinkinių skaičius 1, 2 ir 3 atitinka A skaičius 3, 6 ir 9 bei B skaičius 2, 4 ir 6. Pereinant tarp eilučių, atitinkami dydžiai dauginami iš to paties daugiklio. Dviguba skaičių tiesė rodo tą patį atitikimą: 0, 3, 6, 9 A žetonų sutampa su 0, 2, 4, 6 B žetonų. Masteliai skiriasi, tačiau kiekvienas sulygiavimas aprašo vieną pasirinkimą.

Tuščiam bakui laikus 0, 1, 2, 3 minutės sulygiuokite su tūriais 0, 2, 4, 6 litrai. Grafikas kiekvieną atitinkančią porą pateikia vienu tašku; proporcinė taisyklė duoda tiesę per koordinačių pradžią. Lentelės, skaičių tiesės ir grafikai padeda pamatyti sandarą ir aptikti netinkančias eilutes. Kelių parodytų porų sutapimas savaime neįrodo, kad taisyklė tęsiasi visur: priklausomybė turi kilti iš nurodytų sąlygų arba pagrįstos matematinės taisyklės.

Proporcija teigia, kad du santykiai lygūs

Tarkime, receptas 3:2 naudojamas su aštuoniais B žetonais. Keičiant B skaičių nuo 2 iki 8, mastelio daugiklis yra 4, todėl A skaičius 3 × 4 = 12. Proporcija yra 3/2 = A/8. Tą patį atsakymą galima gauti per vienetinį santykį: A = (3/2) × 8 = 12. Prieš spręsdami nurodykite, kurie nariai reiškia A ir B, kad trupmenose išliktų ta pati tvarka.

Kai a/b = c/d ir b bei d nenuliniai, abi puses padauginę iš b × d gauname a × d = c × b. Šios kryžminės sandaugos išreiškia santykių lygybę. Proporcijai 3/2 = A/8 gauname 3 × 8 = 2 × A, todėl A = 12. Patikrinkite įstatydami: 12/8 = 3/2. Kryžminės sandaugos nepadaro nulinio vardiklio leistino ir nenustato, kad fizinė priklausomybė proporcinė, jei uždavinio sąlygos tokios prielaidos nepagrindžia.

Pradinis kiekis atskiria visą kiekį nuo papildomo

Palyginkite du bakus su ta pačia pastovia 2 L/min įtekėjimo sparta. Vienas prasideda tuščias, kitame jau yra 3 litrai. Jų bendri tūriai yra y = 2 × t ir y = 3 + 2 × t. Abiem atvejais kiekviena papildoma minutė prideda 2 litrus, tačiau tik tuščio bako bendras tūris proporcingas praėjusiam laikui. Antroji taisyklė turi nenulinį pradinį kiekį; tiesinė taisyklė su pastoviu pridedamuoju nariu vadinama afinine.

Bako su pradiniais 3 litrais bendras tūris, padalytas iš praėjusio laiko, po 2 minučių yra 7/2 = 3,5 L/min, o po 4 minučių – 11/4 = 2,75 L/min. Šie dalmenys apima pradinį kiekį; jie nėra tikroji įtekėjimo sparta. Įtekėjimą randame pagal pokyčius: (11 − 7) L ÷ (4 − 2) min = 2 L/min. Papildomas tūris y − 3 proporcingas laikui, nors visas y – ne. Vien pastovūs prieaugiai per vienodus laiko tarpus neįrodo proporcingumo; svarbus ir pradinis kiekis.

Keiskite recepto mastelį, tada palyginkite du vienodus įtekėjimus

Tyrinėjimo įrankyje pradėkite nuo žetonų recepto ir daugiklio 2. Suskaičiuokite du pilnus rinkinius, kiekviename po tris A ir du B žetonus. Pasirinkti skaičiai yra 6:4 = 3:2, bendra suma 10, o dalys 3/5 ir 2/5. Keiskite daugiklį išlaikydami receptą. Ties nuliu atskirkite žinomą receptą nuo tuščio pasirinkimo: tikrieji skaičiai yra 0:0, o jo dalmuo ir dalys visumoje neapibrėžti.

Perjunkite į bakus ir abiem pasirinkite tą patį praėjusį laiką. Lentelėje bei grafike perskaitykite bendrą tūrį, palyginkite vienodą papildomą tūrį ir, kai laikas nenulinis, išnagrinėkite dalmenį bendras tūris/laikas. Abiejų tiesių įtekėjimo sparta lieka pastovi 2 L/min, tačiau su 3 litrais prasidedančio bako bendro tūrio ir laiko dalmuo kinta. Laiko nuliui abu tūriai apibrėžti savo formulėmis, o dalyba iš praėjusio laiko neapibrėžta. Paaiškinkite, kuris dydis proporcingas, užuot sprendę vien iš pasikartojančio žodžio sparta.

Atskirkite tiesioginį, atvirkštinį mastelį ir sveikus skaičius

Tiesioginis proporcingumas išlaiko pastovų dalmenį: y = k × x. Atvirkštinis proporcingumas išlaiko pastovią nenulinę sandaugą: y = c/x, kai x nenulinis, o c pastovus ir nenulinis. Norint pastovia teigiama sparta r patiekti nustatytus 12 litrų, reikalingas laikas t = 12/r. Esant 2 L/min reikia 6 minučių; esant 4 L/min – 3 minučių. Padvigubinus srautą, laikas sumažėja perpus, o r × t lieka 12 litrų. Tai kita priklausomybė nei vieno bako tūrio didėjimas esant pastoviam srautui.

Patikrinkite, kokias reikšmes gali įgyti dydžiai. Dvylikos nedalomų žetonų negalima tiksliai padalyti pagal receptą 3:2: reikalingos dalys yra 36/5 = 7,2 A žetono ir 24/5 = 4,8 B žetono. Šių skaičių apvalinimas pakeičia santykį. Pilniems žetonų rinkiniams bendras kiekis turi būti penkių kartotinis. Tolydūs ilgiai, kurių suma 12 metrų, gali būti 7,2 m ir 4,8 m tuo pačiu santykiu. Bako įrankis pasirenka sveikų minučių pavyzdinius taškus, tačiau nurodytas pastovaus srauto modelis gali aprašyti ir tarpinius laikus, kol galioja fizinės sąlygos.

Patikrinkite, kas lieka pastovu ir kodėl

Santykiui patikrinkite tvarką ir bendrą mastelio daugiklį. Vienetinei spartai patikrinkite skaitinę reikšmę ir jos vienetus. Proporciniam modeliui patikrinkite pastovų dalmenį nenuliniams įvesties dydžiams ir nulio atvejį pagal formulę. Atvirkštiniam modeliui patikrinkite pastovią sandaugą. Tiesės dėsningumui su pradiniu kiekiu reikia pokyčio spartos ir pradinės reikšmės, o ne vieno pastovaus viso kiekio ir įvesties santykio.

Po skaičiavimo grįžkite prie sąlygų. Ar srautas pastovus? Ar bake pakanka vietos ir ar niekas iš jo neišteka? Ar daiktai dalomi, ar parduodami tik pilnais vienetais? Ar pasirinktas palyginimas nusako skaičių, masę, ilgį ar tūrį? Skaičiavimas gali būti aritmetiškai teisingas, tačiau aprašyti kitą dydį nei prašoma. Aiškiai nurodykite numanomą taisyklę ir prognozuokite tik ten, kur ji galioja. Kita pamoka naudos visumos dalis ir dauginamuosius pokyčius procentams bei procentiniam pokyčiui paaiškinti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Grupėje yra šeši A ir keturi B žetonai. Užrašykite supaprastintus A:B ir B:A santykius, tada A bei B dalis visumoje. Ar 3/2 nusako A dalį visumoje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A:B = 3:2; B:A = 2:3. Dalys yra 3/5 ir 2/5. Dalmuo 3/2 lygina A su B, o ne A su visuma.

   Kiekvieno tvarka nusakyto santykio abu skaičius padalykite iš 2. Visuma yra dešimt, todėl dalys 6/10 ir 4/10. Jų vardikliai nurodo bendrą skaičių, o A/B vardiklis – tik B skaičių.

2. Pradėję nuo 3:2 palyginkite abiejų reikšmių daugybą iš 4 su 4 pridėjimu prie abiejų. Tada aprašykite nulio rinkinių pasirinkimą: ar tikroji skaičių pora 0:0 yra lygiavertis skaitinis santykis arba apibrėžtų dalių pora?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Daugyba duoda lygiavertį santykį 12:8. Sudėtis duoda kitokį 7:6. Nulio rinkinių pasirinkimas neturi apibrėžto tikro santykio dalmens ar dalių visumoje, nors receptas tebėra žinomas.

   12/8 = 3/2, o 7/6 nėra 3/2. Dauginamąjį palyginimą išlaiko tas pats nenulinis daugiklis, o ne bet koks vienodas pridėjimas. Nulio rinkinių atveju abu skaičiai ir jų suma lygūs nuliui, todėl reikalingi dalmenys būtų 0/0 ir neapibrėžti.

3. Raskite 2 m ir 50 cm santykį. Raskite spartą 10 litrų, patiektų per penkias minutes, ir išreikškite ją litrais per valandą. Kuris palyginimas netenka matavimo vieneto, o kuris išlaiko sudėtinius vienetus?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ilgių santykis yra 4:1, jo dalmuo be matavimo vieneto yra 4. Tiekimo sparta 2 L/min = 120 L/h išlaiko tūrio per laiką vienetus.

   2 m paverskite į 200 cm, tada 200 cm padalykite iš 50 cm, kad vienodi vienetai susiprastintų. Tiekimui 10 L padalykite iš 5 min. Padauginę 2 L/min iš 60 min/h pakeičiame laiko vienetą ir gauname tą pačią spartą litrais per valandą.

4. Santykis A:B yra 3:2, o B = 8. Raskite A pagal mastelį ir proporciją 3/2 = A/8, tada patikrinkite. Kokia vardiklių sąlyga leidžia taikyti kryžmines sandaugas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A = 12. Patikra yra 12/8 = 3/2. Abu vardikliai turi būti nenuliniai.

   Keičiant 2 į 8 naudojamas daugiklis 4, todėl 3 pakeiskite į 12. Kryžminės sandaugos duoda 3 × 8 = 2 × A, vadinasi, A = 12. Vardikliai 2 ir 8 nenuliniai; nulinis vardiklis padarytų trupmeną neapibrėžtą dar prieš taikant kryžmines sandaugas.

5. Bakams su taisyklėmis y = 2 × t ir y = 3 + 2 × t raskite bendrus tūrius po dviejų ir keturių minučių. Kuris bendras tūris proporcingas laikui? Antro bako y/t palyginkite su tikrąja įtekėjimo sparta.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmo bako tūriai 4 L ir 8 L, antro – 7 L ir 11 L. Tik pirmo bako visas tūris proporcingas laikui. Antro y/t reikšmės 3,5 ir 2,75 L/min, o įtekėjimo sparta 2 L/min.

   Pirmo dalmuo nenuliniams laikams lieka 2, o pradinis tūris nulis. Antro dalmuo apima pradinius 3 litrus ir kinta. Jo pokyčio sparta yra (11 − 7) L ÷ (4 − 2) min = 2 L/min, todėl pastovus įtekėjimas nepanaikina pradinio kiekio.

6. Pastovia teigiama sparta reikia patiekti nustatytus 12 litrų. Raskite laiką esant 2 L/min ir 4 L/min: ar laikas tiesiogiai, ar atvirkščiai proporcingas srautui? Atskirai: ar 12 nedalomų žetonų gali sudaryti tikslią 3:2 grupę? Ar du ilgiai, kurių suma 12 m, galėtų turėti tokį santykį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Laikai yra 6 minutės ir 3 minutės; priklausomybė atvirkštinė. Dvylika nedalomų žetonų negali sudaryti tikslios grupės, tačiau ilgiai 7,2 m ir 4,8 m gali turėti santykį 3:2.

   Laikas yra 12 padalyta iš srauto, o srautas × laikas lieka 12 litrų. Grupei dalys 3/5 ir 2/5 reikalauja skaičių 7,2 ir 4,8; tai nėra sveiki žetonai, o apvalinimas pakeičia santykį. Tolydūs ilgiai gali įgyti šiuos trupmeninius kiekius, kurių suma teigiama ir reikalingas dalmuo 7,2/4,8 = 3/2.

7. Lentelėje pateikti laikai 1, 2 ir 3 minutės bei tūriai 2, 4 ir 6 litrai. Ar vien lentelė įrodo proporcinę taisyklę visiems būsimiems laikams? Nurodykite prielaidas, kurios bakui pagrindžia y = 2 × t, ir pagal jas prognozuokite tūrį po keturių minučių.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vien lentelė neįrodo taisyklės už parodytų porų ribų. Esant tuščiai pradžiai, pastoviam 2 L/min įtekėjimui, jokio ištekėjimo ir pakankamai talpos šiame intervale, po keturių minučių pagal taisyklę būtų 8 litrai.

   Pateikti dalmenys sutampa, todėl padeda patikrinti siūlomą taisyklę šiuose taškuose. Kitoks vėlesnis elgesys vis tiek galėtų atitikti visas pateiktas poras. Nurodytos fizinės sąlygos paaiškina, kodėl kiekviena praėjusi minutė prideda tą patį tūrį ir kodėl nėra pradinio poslinkio; prognozuokite tik laikotarpiui, kuriame šios sąlygos galioja.

Ką verta įsidėmėti

• Santykis turi tvarką ir įvardytus dydžius. Dalių tarpusavio santykis 3:2 duoda visumos dalis 3/5 ir 2/5, o ne 3/2 visumos.
• Lygiaverčiai santykiai atitinkančius dydžius keičia tuo pačiu nenuliniu daugikliu. Tuščias pasirinkimas 0:0 neturi vienintelio tikro santykio ar dalių, net kai jo receptas žinomas.
• Tos pačios rūšies matuojamų dydžių santykiams naudokite bendrus vienetus. Vienetinės spartos išlaiko sudėtinius vienetus; prieš lygindami juos suvienodinkite.
• Tiesioginis proporcingumas seka y = k × x ir turi pastovų y/x, kai x nenulinis. Nenulinis pradinis kiekis pakeičia viso kiekio taisyklę, net jei didėjimo sparta lieka pastovi.
• Kryžminėms sandaugoms reikia nenulinių vardiklių; atvirkštinis proporcingumas išlaiko pastovią sandaugą. Patikrinkite sveikų skaičių apribojimus ir prognozę pagrindžiančias sąlygas.