Veiksmai su trupmenomis

Veiksmą pasirinkite pagal klausimą

Jungiant du ilgius tinka sudėtis; ieškant jų skirtumo – atimtis. Imant du trečdalius išmatuoto kiekio tinka daugyba. Klausiant, kiek pusės litro porcijų sudaro turimą tūrį, tinka dalyba. Prieš skaičiuodami trupmenomis, nusakykite, ką uždavinyje reiškia veiksmas ir kokį dydį norite rasti.

Aiškiai nurodykite atskaitos vienetą. Sudedant 1/2 metro ir 1/3 metro, abi trupmenos skaičiuoja to paties metro dalis. Tačiau pusė 20 cm juostelės ir trečdalis 30 cm juostelės reiškia 10 cm ir 10 cm: prieš sudėdami šiuos ilgius, išreikškite juos tuo pačiu matavimo vienetu. Trupmenos kaip skaičiai turi pastovų skaitinį vienetą, o fizinių visumų dalims svarbūs ir tų visumų dydžiai.

Sudėkite arba atimkite vienodo dydžio dalių skaičius

Trys aštuntadaliai ir du aštuntadaliai sudaro penkis aštuntadalius: 3/8 + 2/8 = 5/8. Sujungėme 1/8 dydžio dalių skaičius, tačiau nepakeitėme pačių dalių dydžio. Kai skaitikliai a ir c yra sveikieji skaičiai, o vardiklis b teigiamas, a/b + c/b = (a + c)/b. Vardiklis lieka b, nes trupmeninis vienetas tebėra 1/b. Sudėję vardiklius pavadintume kitokio dydžio dalis ir gautume kitą skaičių.

Atimant taip pat naudojamas bendras vienetas: 5/8 − 2/8 = 3/8, o 2/8 − 5/8 = −3/8. Rezultatas su ženklu gali nusakyti pokytį, likutį sąskaitoje arba tašką skaičių tiesėje. Jei ieškome įprasto likusios juostelės ilgio, neigiamas atsakymas reiškia, kad norima nukirpti daugiau, nei turime. Atimties veiksmas galioja, tačiau reikia patikrinti fizinio veiksmo galimybę. Atimant neigiamą skaičių taip pat galioja ženklų taisyklė: 1/4 − (−1/2) = 1/4 + 1/2 = 3/4.

Prieš sujungdami skirtingas dalis suvienodinkite jų dydį

Trečdaliai ir ketvirtadaliai yra skirtingo dydžio dalys. Skaičiuodami 2/3 + 3/4, pasirinkite dvyliktadalius: 2/3 = 8/12 ir 3/4 = 9/12. Tuomet 8/12 + 9/12 = 17/12 = 1 5/12. Suma gali būti didesnė už vienetą; pats atskaitos vienetas nesikeičia. Atimant gauname 2/3 − 3/4 = 8/12 − 9/12 = −1/12. Bendras vardiklis suvienodina dalių dydį nepakeisdamas pradinių reikšmių.

Galite pasirinkti bet kurį teigiamą bendrą vardiklių kartotinį; mažiausias bendras kartotinis dažnai leidžia skaičiuoti mažesniais skaičiais. Kai b ir d teigiami, jų sandauga b × d visada tinka: a/b ± c/d = (a × d ± c × b)/(b × d). Kiekvienos pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį dauginkite iš to paties skaičiaus. Tuomet sujunkite gautus skaitiklius, palikite bendrą vardiklį ir, jei visas rezultatas turi bendrą daliklį, sutrumpinkite jį.

Trupmena gali keisti kiekio mastelį

Du trečdaliai devynių litrų reiškia devynis litrus padalyti į tris lygias dalis ir paimti dvi: (2/3) × 9 L = 6 L. Trupmena yra mastelio daugiklis be matavimo vieneto, o rezultatas išlaiko tūrio vienetą. Ta pati mintis tinka ir tada, kai pradinis kiekis trupmeninis: pusė trijų ketvirtadalių litro yra (1/2) × (3/4 L) = 3/8 L.

Teigiamą pradinį kiekį dauginant iš skaičiaus tarp nulio ir vieneto, kiekis sumažėja; dauginant iš skaičiaus, didesnio už vienetą, padidėja. Dauginant iš vieneto jis nekinta, o dauginant iš nulio gaunamas nulis. Taigi daugyba skaičių ne visada padidina. Dydžiams su ženklu neigiamas daugiklis taip pat pakeičia ženklą: (−2/3) × (1/2) = −1/3, o (−2/3) × (−1/2) = 1/3. Čia galioja tos pačios ženklų taisyklės kaip ir sveikiesiems skaičiams.

Ploto modelis paaiškina sandaugos taisyklę

Imkime vienetinį kvadratą, kurio plotis ir aukštis lygūs vienetui. Plotį padalykite į trečdalius, o aukštį – į ketvirtadalius. Susidaro dvylika vienodo dydžio mažų stačiakampių. Pasirinkite du trečdalius pločio ir tris ketvirtadalius aukščio; šių sričių sankirtoje yra 2 × 3 = 6 maži stačiakampiai. Ji užima 6/12 = 1/2 vienetinio kvadrato, todėl (2/3) × (3/4) = 1/2.

Neneigiamoms trupmenoms, ne didesnėms už vienetą, dalijimas į b stulpelių ir d eilučių sukuria b × d vienodų langelių; a stulpelių ir c eilučių sankirtoje yra a × c langelių. Tai paaiškina taisyklę (a/b) × (c/d) = (a × c)/(b × d). Ji galioja ir netaisyklingosioms bei neigiamoms trupmenoms, naudojant ištisus vienetus ir daugybos ženklų taisykles. Vien riboto vienetinio kvadrato piešinys neparodo neigiamo ploto. Jei tikrieji kraštinių ilgiai yra 2/3 metro ir 3/4 metro, plotas yra 1/2 kvadratinio metro: ilgį dauginant iš ilgio gaunamas plotas, todėl dauginami ir matavimo vienetai.

Trumpinkite bendrus daugiklius, matydami visą reiškinį

Sandaugoje (2/3) × (9/4) gauname (2 × 9)/(3 × 4). Skaitiklis ir vardiklis turi bendrą daliklį 2, taip pat bendrą daliklį 3. Iš jų padaliję abi visas sandaugas gauname (1 × 3)/(1 × 2) = 3/2. Šias dauginamųjų poras galima trumpinti dar prieš dauginant, nes išlaikoma vienos bendros trupmenos reikšmė. Iš pradžių sudauginus gaunama 18/12, kuri sutrumpėja iki to paties 3/2.

Šis pagrindimas taikomas daugyba sujungtiems dauginamiesiems. Reiškinyje (2 + 3)/3 skaitiklis yra suma, o 3 nėra viso skaitiklio daugiklis. Tiesiog išbraukus du sutampančius trejetus reikšmė neišliktų: (2 + 3)/3 = 5/3. Jei bendrą daugiklį turi visi nariai, pirmiausia jį iškelkite: (6 + 9)/3 = 3 × (2 + 3)/3 = 5. Patikrinkite, ar siūlomas trumpinimas visą skaitiklį ir visą vardiklį padalija iš to paties nenulinio skaičiaus.

Dalyba gali parodyti, kiek grupių sudaro kiekį

Kiek pusės litro porcijų atitinka tris ketvirtadalius litro? Abu tūrius išreikškite ketvirtadaliais litro. Pusės litro porciją sudaro du ketvirtadaliai, o turimą tūrį – trys ketvirtadaliai. Porcijų skaičius yra 3 ÷ 2 = 3/2, todėl (3/4) ÷ (1/2) = 3/2. Tai reiškia vieną pilną porciją ir dar pusę porcijos, o ne tris puslitrius.

Klausimas lemia, kaip pateikti atsakymą. Jei skaičiuojami tik visiškai pripildyti pusės litro buteliai, trijų ketvirtadalių litro užtenka vienam buteliui, ir lieka ketvirtadalis litro; dviejų pilnų butelių šiuo kiekiu nepripildysime. Tūrį dalijant iš tūrio tais pačiais vienetais gaunamas grupių skaičius be matavimo vieneto. Dalyba gali reikšti ir dalijimą po lygiai: (3/4 L) ÷ 3 žmonės = 1/4 L žmogui. Aiškiai išlaikykite daliklio prasmę, kad grupių skaičiaus nesupainiotumėte su vienam žmogui tenkančiu kiekiu.

Atvirkštinis skaičius grąžina pradinę reikšmę

Nenulinės trupmenos c/d atvirkštinis skaičius yra d/c, nes (c/d) × (d/c) = 1. Pavyzdžiui, daugybą iš 1/2 panaikina daugyba iš 2. Todėl dalyti iš 1/2 reiškia dauginti iš 2: (3/4) ÷ (1/2) = (3/4) × 2 = 3/2. Ir pradinis vardiklis d, ir daliklio skaitiklis c turi būti nenuliniai. Neigiamo skaičiaus atvirkštinis skaičius taip pat neigiamas: −2/3 atvirkštinis skaičius yra −3/2.

Dalyba ieško skaičiaus, kurį padauginę iš daliklio gautume dalinį. Jei q = (a/b) ÷ (c/d), tai q × (c/d) = a/b. Abi lygybės puses padauginę iš atvirkštinio skaičiaus d/c gauname q = (a/b) × (d/c) = (a × d)/(b × c). Todėl apverčiame daliklį, o dalinį paliekame. Pavyzdį patikrinkite daugyba: (3/2) × (1/2) = 3/4. Teigiamiems skaičiams dalyba iš skaičiaus, mažesnio už vienetą, duoda rezultatą, didesnį už dalinį, o dalyba iš skaičiaus, didesnio už vienetą, duoda mažesnį rezultatą.

Mišrusis skaičius sujungia sveikąją dalį ir trupmeninį likutį

Mišrusis skaičius 1 2/3 reiškia 1 + 2/3 = 5/3; tarpas nereiškia daugybos. Pavertę jį netaisyklingąja trupmena, veiksmų metu vienu trupmenos užrašu išreiškiame visą skaičių. Pavyzdžiui, (1 2/3) × (3/4) = (5/3) × (3/4) = 5/4 = 1 1/4. Sveikąsias ir trupmenines dalis galima sudėti ir atskirai, tačiau skolinamą arba į sveikąją dalį perkeliamą vienetą reikia išreikšti tuo pačiu trupmeniniu vienetu.

Priekyje esantis minuso ženklas taikomas visam mišriajam dydžiui: −1 1/2 = −(1 + 1/2) = −3/2. Jis nereiškia −1 + 1/2, nes ši suma lygi −1/2. Jungdami trupmenas su ženklais, išsaugokite visą jų reikšmę prieš pasirinkdami bendrą vardiklį arba atlikdami daugybą ir dalybą. Pavyzdžiui, −1 1/2 + 2/3 = −3/2 + 2/3 = −9/6 + 4/6 = −5/6. Naudokite skliaustus, kai be jų ženklo taikymo sritis galėtų būti neaiški.

Keiskite veiksmą palikdami tuos pačius du skaičius

Tyrinėjimo įrankyje pradėkite nuo 2/3 ir 3/4. Paeiliui pasirinkite sudėtį, atimtį, daugybą ir dalybą. Sudėtis ir atimtis pirmiausia suvienodina abiejų skaičių trupmeninį vienetą; daugyba gali parodyti sričių sankirtą vienetiniame kvadrate; dalyba klausia, iš kokio skaičiaus padauginus antrąjį būtų gaunamas pirmasis. Paaiškinkite, kodėl tie patys du skaičiai, atliekant skirtingus veiksmus, duoda skirtingus atsakymus. Simboliai pasirenka skirtingus matematinius klausimus.

Pasirinkite porą 3/4 ir 1/2 ir išnagrinėkite dalybos rezultatą 3/2: jis skaičiuoja vieną pilną grupę ir dar pusę grupės. Išbandykite porą su neigiamu skaičiumi, porą su netaisyklingosiomis trupmenomis, nulinį dalinį su nenuliniu dalikliu ir nulinį daliklį. Sekite ištisų vienetų skaičių, trupmeninį likutį ir kiekvieno rodomo skaičiaus ženklą. Įrankis naudoja pasirinktus pavyzdžius veiksmų pagrindimui atskleisti; kiekvieną rezultatą patikrinkite lygiavertėmis trupmenomis, atvirkštiniu veiksmu arba numatomu dydžiu.

Aiškiai išlaikykite nulio apribojimus ir veiksmų tvarką

Bet kuriai apibrėžtai trupmenai x galioja x + 0 = x, x − 0 = x, x × 0 = 0, x × 1 = x ir x ÷ 1 = x. Taip pat 0 ÷ x = 0 ir x ÷ x = 1, kai x nenulinis. Dalyba iš nulio neapibrėžta, įskaitant 0 ÷ 0. Kai dalinys nenulinis, joks skaičius, padaugintas iš nulio, jo neduoda; kai dalinys nulinis, kiekvienas skaičius, padaugintas iš nulio, duoda nulį, todėl nėra vienintelio dalmens. Trupmena su nuliniu vardikliu jau neapibrėžta prieš atliekant bet kokį tolesnį veiksmą.

Reiškiniams su trupmenomis galioja įprasta veiksmų tvarka: pirmiausia skliaustai, tada laipsniai ir šaknys, po jų daugyba ir dalyba iš kairės į dešinę, o galiausiai sudėtis ir atimtis iš kairės į dešinę. Todėl 1/2 + (2/3) × (3/4) = 1/2 + 1/2 = 1. Pakeitus grupavimą pasikeičia klausimas: (1/2 + 2/3) × (3/4) = (7/6) × (3/4) = 7/8. Trupmenos brūkšnys grupuoja visą skaitiklį ir visą vardiklį; (2 + 3)/4 reiškia jų sumą padalyti iš 4.

Patikrinkite reikšmę, tada grįžkite prie dydžio

Prieš tikslų skaičiavimą arba po jo įvertinkite atsakymo dydį. Kadangi 2/3 yra tarp 1/2 ir 1, pridėjus 3/4 suma turi būti tarp 1 1/4 ir 1 3/4; 17/12 patenka į šį intervalą. Iš 2/3 atėmus truputį didesnį 3/4 gaunamas mažas neigiamas skaičius, tad −1/12 tinka. Šių teigiamų trupmenų sandauga turi būti mažesnė už kiekvieną iš jų, tad 1/2 tinka. Jų dalmuo mažesnis už vienetą, nes 2/3 mažesnis už daliklį 3/4; 8/9 taip pat tinka.

Atimtį patikrinkite pridėdami atimtą skaičių, o dalybą – daugindami dalmenį iš daliklio. Įsitikinkite, kad lygiavertis perrašymas ar trumpinimas išlaikė reikšmę, visi naudoti vardikliai ir dalikliai buvo leistini, o galutinis matavimo vienetas ar grupės pavadinimas atsako į pradinį klausimą. Tiksli trupmena gali likti galutiniu atsakymu; šiai patikrai nereikia jos paversti dešimtainiu skaičiumi. Kita pamoka susies trupmenas su dešimtaine pozicine sistema ir paaiškins baigtinius bei periodinius dešimtainius užrašus.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Apskaičiuokite 3/8 + 2/8, 2/8 − 5/8 ir 1/4 − (−1/2). Paaiškinkite, kodėl pirmojo atsakymo vardiklis nėra 16.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   5/8, −3/8 ir 3/4. Pirmoji suma tebėra aštuntadalių skaičius.

   Sudėtis sujungia tris aštuntadalio dydžio vienetus su dviem tokiais vienetais; jų dydis nemažinamas perpus iki šešioliktadalių. Atimtis duoda skirtumą su ženklu: −3 aštuntadalius. Atimti −1/2 reiškia pridėti 1/2 = 2/4, todėl 1/4 + 2/4 = 3/4.

2. Naudodami dvyliktadalius apskaičiuokite 5/6 + 3/4 ir 1/3 − 3/4. Kiekvieno atsakymo dydį arba ženklą patikrinkite pagal pradines reikšmes.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   5/6 + 3/4 = 19/12 = 1 7/12; 1/3 − 3/4 = −5/12.

   Pirmą porą perrašykite kaip 10/12 ir 9/12, tada sudėkite dalių skaičius. Abi pradinės reikšmės didesnės už 1/2 ir mažesnės už 1, todėl suma turi būti tarp 1 ir 2. Antroje poroje 1/3 = 4/12 ir 3/4 = 9/12, todėl gauname −5/12. Iš mažesnės teigiamos reikšmės atėmus didesnę, rezultatas turi būti neigiamas.

3. Stačiakampio kraštinės yra 2/3 metro ir 3/4 metro. Raskite jo plotą ir apibūdinkite dvylikos langelių modelį. Atskirai padauginkite 2/3 litro iš 3/2 ir paaiškinkite, ar daugyba visada sumažina kiekį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Plotas yra 1/2 kvadratinio metro: kvadratinio metro modelyje tai šeši iš dvylikos vienodų langelių. Pakeisto mastelio tūris yra 1 litras; daugyba teigiamą kiekį gali padidinti arba sumažinti.

   Vienetinis kvadratas, padalytas į tris stulpelius ir keturias eilutes, turi dvylika langelių. Dviejų stulpelių ir trijų eilučių sankirtoje yra šeši, todėl sandauga 6/12 = 1/2, o vienetai – kvadratiniai metrai. Tūriui gauname (3/2) × (2/3 L) = 1 L. Daugiklis 3/2 didesnis už vienetą, todėl pradinį 2/3 litro padidina; teigiamas daugiklis tarp nulio ir vieneto kiekį sumažintų.

4. Sutrumpinkite (2/3) × (9/4). Ar reiškinyje (2 + 3)/3 galima tiesiog sutrumpinti sutampančius trejetus? Paaiškinkite, kaip (6 + 9)/3 galima suprastinti iškeliant bendrą daugiklį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Sandauga yra 3/2. Tiesioginis trumpinimas reiškinyje (2 + 3)/3 netinka; jo reikšmė 5/3. Iškėlus daugiklį gauname (6 + 9)/3 = 3 × (2 + 3)/3 = 5.

   Reiškinyje (2 × 9)/(3 × 4) visą skaitiklį ir visą vardiklį dalijant iš bendrų daliklių, jų dalmens reikšmė nekinta. Vienas sumos narys nėra visas skaitiklis, todėl jo išbraukimas neatlieka tokios pačios dalybos. Paskutiniame reiškinyje abu skaitiklio nariai turi daugiklį 3; sumą užrašę kaip 3 × (2 + 3), šį bendrą daugiklį parodome aiškiai.

5. Apskaičiuokite (5/6) ÷ (2/3) ir patikrinkite daugyba. Tuomet nurodykite, ar 0 ÷ (2/3), (2/3) ÷ 0 ir 0 ÷ 0 turi reikšmę, ar yra neapibrėžti reiškiniai.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (5/6) ÷ (2/3) = 5/4. Atvejai su nuliu atitinkamai yra 0, neapibrėžtas reiškinys ir neapibrėžtas reiškinys.

   Nenulinio daliklio 2/3 atvirkštinis skaičius yra 3/2, todėl (5/6) × (3/2) = 15/12 = 5/4. Patikrinę gauname (5/4) × (2/3) = 10/12 = 5/6. Nulį padaliję iš nenulinio skaičiaus gauname nulį. Dalyba iš nulio neturi vienintelio dalmens: joks skaičius, padaugintas iš nulio, neduoda 2/3, o kiekvienas skaičius, padaugintas iš nulio, duoda nulį.

6. Apskaičiuokite −1 1/2 + 2/3. Tuomet palyginkite 1/2 + (2/3) × (3/4) su (1/2 + 2/3) × (3/4). Paaiškinkite minuso ženklo ir skliaustų reikšmę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   −1 1/2 + 2/3 = −5/6. Abu skirtingai sugrupuoti reiškiniai atitinkamai lygūs 1 ir 7/8.

   Neigiamas mišrusis skaičius yra −(1 + 1/2) = −3/2, todėl gauname −9/6 + 4/6 = −5/6. Reiškinyje, kurio suma neapgaubta skliaustais, pirmiausia dauginame: (2/3) × (3/4) = 1/2, tada pridedame 1/2. Kitame reiškinyje pirmiausia apskaičiuojame skliaustuose esančią sumą: 1/2 + 2/3 = 7/6, tada dauginame iš 3/4 ir gauname 7/8.

7. Vienas gabalas yra pusė 20 cm juostelės, o kitas – trečdalis 30 cm juostelės. Raskite bendrą jų ilgį. Ar tiesioginė suma 1/2 + 1/3 = 5/6 nustato bendrą fizinį ilgį? Ką skaičiuoja 3/4 litro dalyba iš 1/2 litro?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Bendras ilgis yra 20 cm. Vien skaitinė suma 5/6 šio ilgio nenustato, nes atskaitos juostelės skirtingos. Tūrių dalyba skaičiuoja 3/2 pusės litro porcijos atitikmens.

   Pusė 20 cm yra 10 cm, o trečdalis 30 cm taip pat 10 cm; šiuos ilgius sudėkite centimetrais. Vien trupmenos 1/2 ir 1/3 ilgių nenusako: reikia žinoti ir kiekvieną atskaitos visumą. Šiuo atveju skirtingos trupmenos, pritaikytos skirtingiems pradiniams ilgiams, duoda vienodo ilgio gabalus. Tūrį dalijant iš tūrio tuo pačiu matavimo vienetu, vienetas susiprastina ir gaunamas grupių skaičius, galintis apimti ir grupės dalį.

Ką verta įsidėmėti

• Sudėtis ir atimtis sujungia to paties dydžio trupmeninių vienetų skaičius su ženklais; skirtingus vardiklius pirmiausia suvienodinkite naudodami lygiavertes trupmenas.
• Daugyba keičia kiekio mastelį. Ploto padalijimas paaiškina, kodėl dauginami skaitikliai ir vardikliai; atliekamam veiksmui paklūsta ir fiziniai matavimo vienetai.
• Dalyba iš nenulinės trupmenos yra daugyba iš jos atvirkštinio skaičiaus. Paaiškinkite, ar rezultatas skaičiuoja grupes, ar duoda vienai grupei tenkantį kiekį, ir patikrinkite daugyba.
• Trumpinkite viso skaitiklio ir viso vardiklio bendrus daliklius. Mišrusis skaičius yra sveikoji dalis ir trupmena, o priekyje esantis minusas taikomas visam jo dydžiui.
• Aiškiai išlaikykite veiksmų tvarką, atskaitos visumas ir matavimo vienetus. Nulis, padalytas iš nenulinio skaičiaus, yra nulis; nulinis vardiklis arba daliklis reiškia neapibrėžtą dalybą.