Laipsnių savybės ir laipsninės funkcijos

Laipsnio pagrindas ir rodiklis atlieka skirtingus vaidmenis

Kai n yra teigiamas sveikasis skaičius, aⁿ reiškia n vienodų daugiklių a sandaugą. Pagrindas yra kartojamas dydis, o rodiklis nurodo daugiklių skaičių. Taigi 3⁴ = 3·3·3·3 = 81. Reiškinyje (−3)⁴ pagrindas yra visas neigiamas skaičius; reiškinyje −3⁴ pirmiausia apskaičiuojamas laipsnis, o minuso ženklas pritaikomas po to. Prieš pasirinkdami savybę, atkreipkite dėmesį į reiškinio grupavimą.

Rodiklis nebūtinai turi likti teigiamas sveikasis skaičius. Apibrėžimą išplečiame nuliniam ir neigiamiems sveikiesiems rodikliams, naudodami tapatybes, kurios išlieka suderintos, kai pagrindai nelygūs nuliui, o paskui – racionaliesiems rodikliams, naudodami realiąsias šaknis. Kiekvienas išplėtimas turi savo sąlygas. Formulėje, kurioje yra atvirkštinis skaičius arba lyginio laipsnio šaknis, negalima automatiškai įrašyti bet kurios realiosios argumento reikšmės vien todėl, kad tai galima daryti laipsnyje su teigiamu sveikuoju rodikliu.

Taisyklėje x^p rodiklis p yra pastovus, o argumento reikšmė yra pagrindas. Taisyklėje, pavyzdžiui, 3^x, argumento reikšmė yra rodiklis. Šios taisyklės aprašo skirtingas funkcijų šeimas. Čia nagrinėjame pastovius sveikuosius ir racionaliuosius rodiklius; augimas, kai rodiklis kintamas, bus nagrinėjamas kitoje pamokoje. Jei reikšmės negalima užrašyti baigtine dešimtaine trupmena, palikite tikslią trupmeną arba šaknies reiškinį, užuot pakeitę jo apibrėžimą apytiksle dešimtaine reikšme.

Sveikųjų rodiklių laipsnių savybės kyla iš sandaugų ir atvirkštinių skaičių

Kai rodikliai yra teigiami sveikieji skaičiai, dauginant laipsnius su tuo pačiu pagrindu sujungiami jų daugikliai, todėl a^m·a^n = a^(m + n). Dalijant suprastinami vienodi nenuliniai daugikliai, todėl a^m/a^n = a^(m − n), jei pradinis vardiklis nelygus nuliui. Keliant laipsnį sveikuoju laipsniu, rodikliai dauginami. Tai skirtingi veiksmai: x³·x² sujungia penkis daugiklius, o (x³)² sujungia dvi grupes po tris daugiklius, taigi iš viso gaunami šeši.

Lentelėje taikomos vienodos aiškios sąlygos: a ir b yra nenuliniai realieji skaičiai, o m ir n – bet kurie sveikieji skaičiai. Šiomis sąlygomis visi pateikti reiškiniai yra apibrėžti, įskaitant laipsnius su nuliniais ir neigiamais rodikliais, ir visos savybės galioja. Kai rodikliai yra teigiami sveikieji skaičiai, kai kurios sandaugų ir laipsnių tapatybės galioja ir nuliniams pagrindams, pavyzdžiui, 0³·0² = 0⁵. Tikrinkite kiekvieną pradinį reiškinį, užuot išplėtę kiekvienos tapatybės taikymą nuliui: 0³/0² vis tiek nėra apibrėžtas.

Sandaugos taisyklė taikoma tik laipsniams su tuo pačiu pagrindu; ji neleidžia 2³·3² sujungti į vieną laipsnį sudedant rodiklius. Keliant sandaugą laipsniu, tuo laipsniu keliami visi jos dauginamieji, o keliant dalmenį laipsniu taip elgtis galima tik tada, kai vardiklis yra leistinas ir nelygus nuliui. Prieš trumpindami užrašykite neleistinas reikšmes: x⁴/x² lygu x² tik tada, kai x ≠ 0. Paprastesnio reiškinio reikšmę galima apskaičiuoti ir ties nuliu, tačiau dėl to nulis netampa leistina pradinio dalmens argumento reikšme.

Neigiamas rodiklis reiškia atvirkštinį skaičių

Kai a ≠ 0, padalijus laipsnį su teigiamu sveikuoju rodikliu iš jo paties, gaunama 1, o atėmus jo rodiklius, gaunamas nulis. Tai pagrindžia nuoseklų apibrėžimą a⁰ = 1. Jis taikomas ir neigiamiems nenuliniams pagrindams: (−7)⁰ = 1. Šioje pamokoje 0⁰ reikšmė nepriskiriama. Nepriskirkite jam reikšmės remdamiesi taisykle, taikoma laipsniui su nenuliniu pagrindu ir nuliniu rodikliu. Kituose kontekstuose kitais tikslais gali būti nustatytas susitarimas; čia toks susitarimas neįvedamas.

Kai a ≠ 0, o n yra teigiamas sveikasis skaičius, apibrėžiame a^(−n) = 1/a^n. Pavyzdžiui, 4⁻² = 1/16. Neigiamas rodiklis nereiškia neigiamo rezultato. Kai pagrindas yra −4, lyginis neigiamas rodiklis duoda (−4)⁻² = 1/16, o nelyginis – (−4)⁻³ = −1/64. Atvirkštinio skaičiaus ženklas sutampa su pradinės nenulinės laipsnio reikšmės ženklu.

Nulio negalima kelti laipsniu su neigiamu sveikuoju rodikliu, nes pagal apibrėžimą reikėtų dalyti iš nulio. Taip pat perkeliant dauginamąjį į kitą trupmenos brūkšnio pusę, jo rodiklio ženklas pasikeičia tik tada, kai pradinis dauginamasis nėra nulis. Supaprastinus x³·x⁻³ iki 1, sąlyga x ≠ 0 išlieka. Daugyba iš nulio nepadaro neapibrėžto dauginamojo apibrėžtu: 0·0⁻¹ yra neapibrėžta, o ne lygu nuliui.

Skliaustai nurodo, kas keliama laipsniu

Palyginkite (−5)² = 25 ir −5² = −25: pirmuoju atveju pagrindas apima minuso ženklą, o antruoju imama 5² priešinga reikšmė. Panašiai (2x)³ = 8x³, nes ir 2, ir x yra pagrindo dauginamieji, o 2x³ reiškia, kad tik x keliamas kubu. Kai laipsnio rodiklis yra nelyginis teigiamas sveikasis skaičius, pakeitus pagrindo ženklą pasikeičia ir rezultato ženklas; kai rodiklis lyginis, neigiami dauginamieji sudaro poras, todėl rezultatas yra neneigiamas.

Kai tenkinamos dėsnio sąlygos, sandaugos laipsnis lygus dauginamųjų laipsnių sandaugai, tačiau sumai tokia taisyklė negalioja. Pavyzdžiui, (1 + 1)² = 4, o 1² + 1² = 2. Sumos kvadratas turi papildomą dvigubos sandaugos narį: (a + b)² = a² + 2ab + b². Laipsniu kelkite visą skliaustuose esantį reiškinį; neperkelkite laipsnio per pliuso ar minuso ženklą taip, tarsi jis būtų daugybos ženklas.

Viršutiniame indekse esantis minuso ženklas priklauso laipsnio rodikliui, o ne rezultatui. Taigi −5⁻² = −1/25, o (−5)⁻² = 1/25. Prieš pertvarkydami dalmenį, kuriame yra laipsnių su neigiamais rodikliais, nurodykite pradines sąlygas, pagal kurias atitinkamos reikšmės turi būti nelygios nuliui. Tikslus leistinos neigiamos argumento reikšmės įstatymas padeda patikrinti ženklą, o dėsnio ir jo apibrėžimo srities sąlygos pagrindžia visą supaprastinimą.

Šaknies ženklas nusako vieną realiąją reikšmę

Kai y ≥ 0, √y žymi neneigiamą aritmetinę kvadratinę šaknį iš y. Todėl √25 = 5, o ne ±5. Lygties t² = 25 sprendimas yra kita užduotis; ši lygtis turi du sprendinius: 5 ir −5. Bendruoju atveju realioji lyginio laipsnio šaknis apibrėžta tik tada, kai pošaknis yra neneigiamas, ir žymi neneigiamą pagrindinę reikšmę. Kai šaknies laipsnis nelyginis, kiekvienas realusis pošaknis turi vieną realiąją šaknį, kurios ženklas toks pat kaip pošaknio: ∛(−27) = −3.

Kiekvienam realiajam x galioja √(x²) = |x|. Pakėlus kvadratu ženklas prarandamas, o aritmetinė kvadratinė šaknis jo neatkuria. Kai x = −3, √(x²) reikšmė yra 3, o ne −3. Atliekant veiksmus priešinga tvarka, lygybė (√x)² = x galioja tik pradinėje apibrėžimo srityje x ≥ 0. Supaprastintų reiškinių lygybė neišplečia ankstesnės šaknies apibrėžimo srities.

Šaknies žymenį naudokite tikslioms reikšmėms, kurios nebūtinai yra racionaliosios, apibrėžti. Dydis ∛2 yra vienintelis realusis skaičius, kurio kubas yra 2, o √2 yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas yra 2. Dešimtainiu užrašu galima apytiksliai išreikšti šias reikšmes, tačiau suapvalinta apytikslė reikšmė negali patvirtinti tikslios laipsnių tapatybės, sankirtos su koordinačių ašimi ar pirmavaizdžio. Čia nagrinėjame tik realiąsias šaknis; šioje pamokoje lyginio laipsnio šaknis iš neigiamo pošaknio neturi realiosios reikšmės.

Prieš nustatydami realiąją apibrėžimo sritį, suprastinkite racionalųjį rodiklį

Racionalųjį rodiklį užrašykite nesuprastinama trupmena m/n, kur m yra sveikasis skaičius, o n – teigiamas sveikasis skaičius. Kai pagrindas x teigiamas, apibrėžkite x^(m/n) = (√[n]x)^m, imdami teigiamą n-tojo laipsnio šaknį; kai n = 1, tai yra laipsnio su sveikuoju rodikliu apibrėžimas. Kai rodiklis teigiamas, nulis taip pat leidžiamas ir rezultatas yra nulis. Kai rodiklis neigiamas, nulis neleidžiamas, nes keliant laipsniu reikia imti atvirkštinį dydį.

Kai pagrindas neigiamas, taikome aiškiai apribotą realiosios šaknies susitarimą: suprastintos trupmenos vardiklis n turi būti nelyginis, o x^(m/n) reiškia vienintelės realiosios n-tojo laipsnio šaknies iš x laipsnį su sveikuoju rodikliu m. Taigi (−32)^(1/5) = −2 ir (−32)^(2/5) = 4. Jei suprastintas vardiklis lyginis, pagal šį susitarimą laipsnis su neigiamu pagrindu neturi realiosios reikšmės. Jei m = 0, suprastintas rodiklis yra 0/1, o atskira nulinio rodiklio taisyklė vis tiek reikalauja, kad pagrindas būtų nelygus nuliui.

Suprastinti būtina. Rodiklis 2/6 yra tas pats racionalusis skaičius kaip 1/3, todėl pagal šį susitarimą (−8)^(2/6) reiškia (−8)^(1/3) = −2. Kito reiškinio √[6]((−8)²) reikšmė yra 2. Taigi laipsnį su neigiamu pagrindu ir nesuprastintu rodikliu pakeitus reiškiniu, kuriame pirmiausia keliama laipsniu, o paskui traukiama lyginio laipsnio šaknis, reikšmė gali pasikeisti. Taikykite apibrėžimą su suprastintu rodikliu, pagal kurį pirmiausia traukiama šaknis, ir išlaikykite paties reiškinio su šaknimi pradinę apibrėžimo sritį, užuot priskyrę jam naują sritį dėl viliojančio perrašymo laipsniu.

Bendrosioms trupmeninių laipsnių taisyklėms naudokite teigiamus pagrindus

Kai a ir b yra griežtai teigiami realieji skaičiai, o r ir s – racionalieji skaičiai, galioja įprastos tapatybės: a^r·a^s = a^(r + s), a^r/a^s = a^(r − s), (a^r)^s = a^(rs), (ab)^r = a^r b^r ir (a/b)^r = a^r/b^r. Teigiami pagrindai užtikrina, kad visos reikalingos šaknys ir atvirkštiniai dydžiai yra apibrėžti ir teigiami. Vardikliuose esantys laipsniai negali būti lygūs nuliui. Šios sąlygos taikomos šioje pamokoje atliekant bendruosius reiškinių su trupmeniniais laipsniais supaprastinimus.

Šaknies apibrėžimas paaiškina laipsnių su tuo pačiu pagrindu daugybos taisyklę. Užrašykime r ir s su bendru teigiamu vardikliu N, o teigiamą N-ojo laipsnio šaknį iš a pažymėkime t. Tuomet a^r ir a^s yra to paties nenulinio t laipsniai su sveikaisiais rodikliais, todėl sudėję jų sveikuosius rodiklius gauname a^(r + s). Teigiamos šaknys taip pat užtikrina, kad nuoseklus kėlimas laipsniais su racionaliaisiais rodikliais būtų suderinamas. Atskira tapatybė kartais gali galioti, kai pagrindas lygus nuliui arba yra neigiamas, tačiau tokiu atveju reikia atskirai patikrinti apibrėžimo sritį ir reikšmes; pirmiau nurodytos bendrosios trupmeninių laipsnių taisyklių sąlygos tokių pagrindų neapima.

Laipsnio kėlimo laipsniu taisyklė gali negalioti, kai pagrindas neigiamas, net jei abi lygybės pusės apibrėžtos realiųjų skaičių aibėje. Pavyzdžiui, ((−1)²)^(1/2) = 1, o sudauginę rodiklius gautume (−1)¹ = −1. Be to, (−8)^(2/3) = 4, todėl ((−8)^(2/3))^(3/2) = 8, tačiau (−8)^1 = −8. Vėlesniame žingsnyje imant aritmetinę lyginio laipsnio šaknį prarandamas pradinis ženklas. Netaikykite trupmeninių laipsnių taisyklių, skirtų teigiamiems pagrindams, neigiamiems pagrindams vien todėl, kad pagal suprastinta trupmena grindžiamą realiosios šaknies susitarimą atskiri laipsniai turi reikšmes.

Laipsninės funkcijos rodiklis yra vienas ir pastovus

Laipsninė funkcija turi vienanarę išraišką f(x) = kx^p, kur koeficientas k ir rodiklis p yra pastovūs. Čia pateiktuose pavyzdžiuose naudojame nenulinį k ir sveikąjį arba racionalųjį p, o apibrėžimo sritį realiųjų skaičių aibėje pagrindžiame pradine išraiška. Daugyba iš k keičia funkcijos reikšmių mastelį, bet nepadaro neapibrėžto laipsnio apibrėžtu. Funkciją, kurios reikšmės lygios nuliui, galima apibrėžti atskirai, tačiau užrašius neapibrėžtos išraiškos daugybą iš 0, reikšmė nepriskiriama tam argumentui, kuriam išraiška neapibrėžta.

Laipsniai su teigiamais sveikaisiais rodikliais yra daugianarių nariai ir yra apibrėžti visiems realiesiems argumentams. Išraiška 3x² nusako ir laipsninę funkciją, ir kvadratinį daugianarį, o 3x² + 1 yra kvadratinis daugianaris, turintis du narius, bet ne vienanarė laipsninė išraiška. Trupmeniniai laipsniai, tokie kaip √x, nėra daugianarių nariai, o laipsniai su neigiamais sveikaisiais rodikliais, tokie kaip x⁻² = 1/x², yra racionaliosios funkcijos, apibrėžtos, kai x ≠ 0, o ne daugianariai, apibrėžti visiems realiesiems argumentams. Šios funkcijų klasės gali persidengti, kai tai leidžia jų apibrėžimai ir apibrėžimo sritys.

Kai laipsnio rodiklis lygus nuliui, svarbi apibrėžimo srities ypatybė. Pagal šioje pamokoje taikomą susitarimą x⁰ lygu 1, kai x ≠ 0, o ties nuliu reikšmės neturi. Pastovusis daugianaris 1, apibrėžtas visiems realiesiems argumentams, yra tęsinys, kurio apibrėžimo sritis kitokia. Taip pat dalmenį supaprastinus iki laipsninio reiškinio išlieka pradiniai dalmens apibrėžimo srities apribojimai. Klasifikuokite pateiktą funkciją atsižvelgdami ir į jos apibrėžimo sritį, o ne vien į supaprastintos formulės išvaizdą.

Visai reikšmių sričiai reikia leistino argumento kiekvienai nurodytai reikšmei

Lentelėje pateiktos aštuonių taisyklių, kurių koeficientas lygus vienetui, natūraliosios apibrėžimo sritys realiųjų skaičių aibėje ir visos reikšmių sritys. Funkcijos x² visos reikšmės yra neneigiamos, o bet kuri y ≥ 0 gaunama, kai x = √y; kai y > 0, yra ir neigiamas pirmavaizdis. Funkcijos x³ bet kuri realioji reikšmė y gaunama, kai x = ∛y. Funkcijos 1/x jokia reikšmė nėra nulis, o bet kuri nenulinė reikšmė y gaunama, kai x = 1/y. Funkcijos 1/x² visos reikšmės yra teigiamos, o bet kuri y > 0 gaunama, kai x = 1/√y; priešingas šiam argumentui skaičius taip pat yra leistinas.

Kėlimo nuliniu laipsniu taisyklė kiekvienam nenuliniam argumentui priskiria 1, todėl visa jos reikšmių sritis yra {1}; šios reikšmės visų pirmavaizdžių aibė yra visa nenulinių argumentų apibrėžimo sritis, o ne trumpas pavyzdžių sąrašas. Funkcijos √x visos reikšmės yra neneigiamos, o bet kuri y ≥ 0 gaunama su leistinu argumentu x = y²; siūloma neigiama y reikšmė atmetama dėl aritmetinės šaknies sąlygos. Funkcijos ∛x bet kuri realioji reikšmė y gaunama, kai x = y³.

Funkcijai x^(2/3) = (∛x)² neigiami argumentai yra leistini, o reikšmės yra neneigiamos. Kai y > 0, iš lygties (∛x)² = y gauname ∛x = √y arba −√y, todėl visi pirmavaizdžiai yra x = y√y ir x = −y√y. Kai y = 0, vienintelis pirmavaizdis yra 0. Taip ir apribojamos visos reikšmės, ir gaunama kiekviena siūloma neneigiama reikšmė, todėl įrodoma, kad reikšmių sritis yra visa. Apibrėžimo sritis su papildomais konteksto apribojimais gali susiaurinti bet kurią iš šių reikšmių sričių; lentelė taikoma nurodytoms natūraliosioms apibrėžimo sritims.

Keičiant argumento mastelį, grynosios laipsninės funkcijos reikšmė dauginama iš žinomo daugiklio

Kai x ir mastelio koeficientas r yra teigiami, grynajai laipsninei funkcijai f(x) = kx^p galioja f(rx) = r^p f(x) su čia naudojamais racionaliaisiais laipsnio rodikliais, jei ir x, ir rx priklauso modelio apibrėžimo sričiai. Padvigubinus argumentą, x² reikšmė padauginama iš 4, x³ reikšmė – iš 8, x⁻¹ reikšmė – iš 1/2, o x⁻² reikšmė – iš 1/4. Tai dauginamasis palyginimas, o ne teiginys, kad argumentui padidėjus vienu vienetu reikšmė padidėja pastoviu dydžiu.

Prieš skaičiuodami įvardykite matavimo vienetus. Jei visi dėžės matmenys padauginami iš bedimensio dydžio koeficiento q, kiekvienos sienos plotas padauginamas iš q², o tūris – iš q³. Patogi išraiška yra V(q) = V₀q³, kur V₀ yra prototipo tūris, išreikštas kubiniais ilgio vienetais, o q – atitinkamų ilgių, išreikštų tais pačiais vienetais, santykis. Laipsnio pagrindas yra bedimensis, o padauginus jį iš V₀ gaunamas rezultato matavimo vienetas. Kai kintamieji reiškia skaitines matavimo vertes, išreikštas įvardytais vienetais, koeficientai turi turėti lygtį atitinkančius matavimo vienetus.

Grynosios laipsninės funkcijos mastelio tapatybė priklauso nuo šios funkcijos pavidalo ir nekintančių jos sąlygų. Reiškinyje x² + 1 padvigubinus x pasikeičia tik kvadratinis narys, todėl visa reikšmė nepadauginama iš keturių. Kūnui, kurio proporcijos keičiasi, taip pat nebūtinai galioja nekintančios formos tūrio dėsnis. Leistinas mastelio koeficientas taip pat nesuteikia teisės naudoti argumento, viršijančio didžiausią dydį, ar nulio, jei jis iš pradžių nepriklausė apibrėžimo sričiai. Kartu nurodykite sąryšį, jo sąlygas ir leistiną argumentų palyginimą.

Atskirkite tikslią laipsnio reikšmę nuo visos taisyklės

Tyrinėjimo įrankis siūlo aštuonias reikšmių sričių lentelėje pateiktas taisykles: x², x³, 1/x, 1/x², x⁰, √x, ∛x ir x^(2/3). Nepriklausomai pasirinkite pradinį argumentą ir siūlomą rezultato reikšmę. Tikrinant argumentą nustatoma, ar pradinis laipsnis apibrėžtas, ir tada pateikiama tiksli jo reikšmė. Tikrinant rezultato reikšmę nustatoma, ar yra bent vienas leistinas argumentas, kuriam gaunamas siūlomas y; šis argumentas nebūtinai sutampa su jūsų pasirinktuoju. Kartu su pasirinktomis reikšmėmis skaitykite visą reikšmių srities ir pirmavaizdžių įrodymą, įskaitant atskirus atvejus, kai rezultato reikšmė lygi nuliui.

Atlikdami šias patikras, taikykite laipsnių taisykles su jų taikymo sąlygomis ir pasitelkite laipsnio kėlimo laipsniu kontrpavyzdį su neigiamu pagrindu. Dešimtainis artinys nėra tiksli tapatybė su šaknimis, o trumpas kontrolinių reikšmių sąrašas nėra visa apibrėžimo sritis ar pirmavaizdžių aibė. Aiškiai nurodykite susitarimą: racionalieji rodikliai užrašomi nesuprastinamomis trupmenomis, neigiamiems pagrindams leidžiami tik nelyginiai šaknies laipsniai, nurodyti suprastintos trupmenos vardikliu, bendrosios trupmeninių rodiklių taisyklės taikomos teigiamiems pagrindams, o šioje pamokoje x⁰ neapibrėžtas, kai x lygus nuliui.

Laipsninėje funkcijoje, pavyzdžiui, x³, rodiklis yra pastovus, o pagrindas kinta. Realiųjų skaičių rodiklinėje priklausomybėje, pavyzdžiui, 3^t, pagrindas 3 yra pastovus, o rodiklis kinta; įprasti rodiklinių funkcijų pagrindai yra teigiami ir nelygūs 1. Kai pagrindas lygus 1, gaunama pastovi priklausomybė, o neigiamas pastovus pagrindas nesuteikia realiosios reikšmės kiekvienam realiajam rodikliui, kaip rodo (−3)^(1/2). Šie skirtumai parengia temai „Rodiklinis augimas ir mažėjimas“, nereikalaujant logaritmų ir neišplečiant dabartinių skaičiavimų su realiosiomis šaknimis į kompleksinių skaičių sritį.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Apskaičiuokite (−5)², −5², (−5)⁻², −5⁻² ir (−5)⁻³. Paaiškinkite, kurių laipsnių pagrindai apima minuso ženklą ir ar neigiamas laipsnio rodiklis būtinai duoda neigiamą reikšmę. Nurodykite, kaip šioje pamokoje traktuojami 0⁰ ir 0⁻².

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Penkios reikšmės yra atitinkamai 25, −25, 1/25, −1/25 ir −1/125. Neigiamas laipsnio rodiklis nebūtinai duoda neigiamą reikšmę. Čia 0⁰ reikšmė nepriskirta, o 0⁻² yra neapibrėžtas.

   Dėl skliaustų pirmojo, trečiojo ir penktojo reiškinių laipsnio pagrindas yra −5. Be skliaustų minuso ženklas taikomas jau apskaičiuotam 5 laipsniui. Laipsniai su neigiamais rodikliais yra atvirkštinės atitinkamų nenulinių laipsnių su teigiamais rodikliais reikšmės; neigiamo pagrindo laipsnis su lyginiu rodikliu yra teigiamas, o su nelyginiu – neigiamas. Tapatybė, taikoma nuliniam laipsnio rodikliui, reikalauja nenulinio pagrindo, o keliant nulį neigiamu laipsniu tektų dalyti iš nulio.

2. Suprastinkite x³·x⁻⁵ ir x⁴/x⁴, nurodydami kiekvieno pradinio reiškinio apibrėžimo sritį realiųjų skaičių aibėje. Ar galutinės formulės leidžia pradiniams reiškiniams priskirti reikšmę, kai x lygus nuliui? Palyginkite su leistina sandauga 0³·0².

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x³·x⁻⁵ = 1/x², kai x ≠ 0, o x⁴/x⁴ = 1, kai x ≠ 0. Nė vienas pradinis reiškinys neturi reikšmės, kai x lygus nuliui. Atskira laipsnių su teigiamais rodikliais sandauga 0³·0² yra apibrėžta ir lygi 0⁵ = 0.

   Pirmajame pradiniame reiškinyje yra laipsnis su neigiamu rodikliu, o antrojo vardiklis yra x⁴, todėl abiejų apibrėžimo sritys neapima nulio. Šiose apibrėžimo srityse sudėję arba atėmę laipsnių rodiklius gauname −2 ir 0. Suprastinus gauta konstanta nepanaikina vardiklio nulemto apribojimo. Nulio laipsniai su teigiamais sveikaisiais rodikliais yra apibrėžti, todėl paskutinės sandaugos argumento sąlygos skiriasi.

3. Pagal susitarimą, kai naudojamos suprastintos trupmenos ir realiosios šaknys, apskaičiuokite (−32)^(3/5), (−32)^(−2/5) ir 81^(−3/4). Ar (−16)^(3/4) turi realiąją reikšmę? Paaiškinkite šaknies laipsnio, ženklo ir atvirkštinės reikšmės sąlygas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Trys realiosios reikšmės yra −8, 1/4 ir 1/27. Pagal šį susitarimą reiškinys (−16)^(3/4) neturi realiosios reikšmės.

   Penktojo laipsnio šaknis iš −32 yra −2: pakėlę ją kubu gauname −8, o pakėlę neigiamu antruoju laipsniu gauname 1/(−2)² = 1/4. Aritmetinė ketvirtojo laipsnio šaknis iš 81 yra 3, todėl jos neigiamas trečiasis laipsnis yra 1/27. Neigiamas pagrindas nepatenka į apibrėžimo sritį realiųjų skaičių aibėje, kai suprastintos trupmenos vardiklis 4, nusakantis šaknies laipsnį, yra lyginis; teigiamas skaitiklis, nusakantis laipsnio rodiklį, nepašalina šios šaknies nebuvimo.

4. Palyginkite H(x) = √(x²) ir J(x) = (√x)². Nurodykite kiekvienos pradinės funkcijos apibrėžimo sritį realiųjų skaičių aibėje ir teisingą suprastintą formulę. Remdamiesi x = −3, paaiškinkite, kodėl bendroji laipsnio kėlimo laipsniu taisyklė su trupmeniniais rodikliais negali būti taikoma be sąlygos, kad pagrindas teigiamas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   H apibrėžta visiems realiesiems x ir H(x) = |x|. J apibrėžimo sritis yra x ≥ 0, o joje J(x) = x. Kai x = −3, H(−3) = 3, o ne −3; J neapibrėžta.

   H išraiškoje esantis kvadratas visada yra neneigiamas, o išorinė aritmetinė šaknis parenka jo neneigiamą šaknį. Sudauginus laipsnių rodiklius ir teigiant, kad (x²)^(1/2) = x, būtų klaidingai išlaikytas neigiamas ženklas. J pirmiausia traukia lyginio laipsnio šaknį, todėl neigiamos argumento reikšmės neleistinos, o vėlesnis kėlimas kvadratu neišplečia pradinės apibrėžimo srities.

5. Nurodykite visą funkcijos F(x) = (x + 1)^(−1/2) apibrėžimo sritį realiųjų skaičių aibėje ir reikšmių sritį, apskaičiuokite F(3) ir kiekvienai reikšmių srities reikšmei pateikite leistiną argumento reikšmę. Ar funkcija įgyja nulinę reikšmę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžimo sritis: x > −1; reikšmių sritis: y > 0. F(3) = 1/2. Bet kuriam y > 0 leistina argumento reikšmė x = 1/y² − 1 duoda F(x) = y; nulinė reikšmė neįgyjama.

   Funkcijos formulė yra 1/√(x + 1), todėl lyginio laipsnio šaknies pošaknis turi būti teigiamas, kad vardiklis nebūtų lygus nuliui. Visos funkcijos reikšmės yra teigiamos. Kai y teigiamas, siūlomai argumento reikšmei galioja x + 1 = 1/y² > 0, o aritmetinė šaknis lygi 1/y, todėl jai atvirkštinis skaičius yra y. Baigtinė teigiamo vardiklio atvirkštinė reikšmė negali būti lygi nuliui.

6. Priskirkite 3x², 3x² + 1, 3x⁻² ir 3^x laipsninėms, polinominėms, kvadratinėms arba rodiklinėms funkcijoms, kur tinka. Nurodykite pradinę 3x⁻² apibrėžimo sritį ir paaiškinkite, kodėl pagal šioje pamokoje taikomą susitarimą formulė x⁰ skiriasi nuo pastovaus polinomo 1, apibrėžto visiems realiesiems x.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   3x² yra laipsninė funkcija ir kvadratinis polinomas. 3x² + 1 yra kvadratinis polinomas, bet ne vienas grynasis laipsnis. 3x⁻² yra laipsninė ir racionalioji funkcija, apibrėžta, kai x ≠ 0, o ne polinomas, apibrėžtas visiems realiesiems x. 3^x yra rodiklinė funkcija. Čia x⁰ lygu 1 tik tada, kai x ≠ 0; pastovus polinomas turi reikšmę ir ties nuliu.

   Laipsninės funkcijos formulėje kintantis pagrindas keliamas pastoviu laipsniu; polinome naudojami neneigiami sveikieji laipsnių rodikliai, o jo natūrali apibrėžimo sritis apima visus realiuosius skaičius. Tikro kvadratinio polinomo laipsnis yra du, o pridėjus konstantą grynajam laipsniui būdingas mastelio kitimas nebūtinai išlieka. Rodiklinės funkcijos pagrindas 3 yra pastovus ir teigiamas, o laipsnio rodiklis kinta. Pagal susitarimą dėl nulinio laipsnio argumento reikšmė nulis lieka neleistina, todėl šių dviejų iš pažiūros pastovių funkcijų apibrėžimo sritys skiriasi.

7. Įrodykite, kokia yra visa bedimensės funkcijos f(x) = 12x⁻², apribotos sritimi 1 ≤ x ≤ 4, reikšmių sritis, apskaičiuokite f(2) ir palyginkite f(2x) su f(x), kai abi argumento reikšmės priklauso apibrėžimo sričiai. Kurioms pradinėms argumento reikšmėms galimas toks palyginimas padvigubinus argumentą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visa reikšmių sritis yra 3/4 ≤ y ≤ 12; f(2) = 3. Kai abi argumento reikšmės leistinos, f(2x) = f(x)/4. Tokios pradinės argumento reikšmės yra 1 ≤ x ≤ 2.

   Apibrėžimo srityje galioja 1 ≤ x² ≤ 16, o imant teigiamą atvirkštinę reikšmę gaunama 3/4 ≤ 12/x² ≤ 12. Bet kuriam y šiose ribose pasirinkite x = √(12/y); tuomet 1 ≤ x ≤ 4 ir f(x) = y, taigi įrodoma visa reikšmių sritis. Padvigubinus argumentą, x² padidėja keturis kartus, todėl jo atvirkštinė reikšmė sumažėja keturis kartus. Suderinus 1 ≤ x ≤ 4 su 1 ≤ 2x ≤ 4, gaunama palyginimui leistina sritis 1 ≤ x ≤ 2.

Ką verta įsidėmėti

• Prieš keldami laipsniu, nustatykite visą laipsnio pagrindą. Skliaustai, priekyje esantis minuso ženklas ir minusas laipsnio rodiklyje atlieka skirtingus vaidmenis.
• Kai pagrindai yra nenuliniai realieji skaičiai, o rodikliai – sveikieji skaičiai, dauginant laipsnius su tuo pačiu pagrindu rodikliai sudedami, dalijant – atimami, o keliant laipsnį laipsniu – dauginami. Išlaikykite visus pradinius apribojimus, kylančius dėl vardiklių ar neigiamų rodiklių.
• Nenulinį pagrindą pakėlus nuliniu laipsniu, gaunama 1; 0⁰ reikšmė čia nepriskiriama. Neigiamas rodiklis reiškia atvirkštinį skaičių ir savaime nepadaro rezultato neigiamo.
• Aritmetinės lyginio laipsnio šaknys apibrėžtos tik neneigiamiems pošakniniams skaičiams, o jų reikšmės yra neneigiamos; nelyginio laipsnio realiosios šaknys apibrėžtos kiekvienam realiajam pošakniniam skaičiui. Visų pirma, visiems realiesiems x galioja √(x²) = |x|, o ne x.
• Racionaliuosius rodiklius užrašykite suprastintomis trupmenomis su teigiamu vardikliu. Pagal nurodytą realiųjų šaknų susitarimą neigiamiems pagrindams leidžiami tik nelyginiai suprastintų trupmenų vardikliai; bendrosios laipsnių su trupmeniniais rodikliais taisyklės taikomos tik griežtai teigiamiems pagrindams.
• Norint nustatyti visą laipsninės funkcijos reikšmių sritį, reikia ir apriboti funkcijos reikšmes, ir kiekvienai siūlomai reikšmei rasti leistiną argumento reikšmę. Tikrinkite atvejus su nuliu, pradines apibrėžimo sritis ir visus pirmavaizdžius, o ne spręskite apie išsamumą iš pavienių pavyzdžių.
• Grynoji laipsninė funkcija turi pastovų rodiklį, o jos reikšmė kinta žinomu dauginamuoju koeficientu, kai abi argumento reikšmės yra leistinos. Išlaikykite matavimo vienetus ir kontekstą, o laipsninę funkciją x^p su kintamu pagrindu skirkite nuo rodiklinės funkcijos b^x su pastoviu pagrindu.