Formulės ir paprastų ryšių pertvarkymas

Formulė įvardija dydžių ryšį

Formulė yra lygtis, apibrėžtais simboliais išreiškianti ryšį. Stačiakampiui A = L W reiškia, kad plotas A lygus kraštinės ilgio L ir kraštinės ilgio W sandaugai. Greta užrašyti simboliai žymi daugybą: L W = L × W. Formulė aprašo daug leidžiamų stačiakampių; pasirinkus konkrečias žinomas reikšmes, gaunama konkreti lygtis, kurioje galima skaičiuoti arba ieškoti nežinomojo.

Prieš naudodami taisyklę, apibrėžkite simbolius ir situaciją. Čia L ir W yra teigiami ilgio dydžiai, o A – teigiamas plotas. Tai kraštinių žymenys, o ne sąlyga, kad L privalo būti ilgesnė kraštinė. Ryšys skirtas stačiakampiui; jis nenusako kiekvienos figūros, kuriai įvardyti du ilgiai, ploto. Formulės sąlygos yra jos prasmės dalis.

Nuspręskite, kas žinoma ir ką norite rasti

Tas pats ryšys gali atsakyti į skirtingus klausimus. Jei žinoma L = 3 m ir W = 2 m, iš A = L W gauname A = 6 m². Jei žinoma A = 6 m² ir W = 2 m, ieškomas dydis yra L. Stačiakampio ryšys lieka tas pats, tačiau pasikeičia žinomų dydžių ir nežinomojo vaidmenys.

Formulėje galima išreikšti norimą dydį taip, kad vienoje lygybės pusėje jis liktų vienas. Užraše A = L W taip išreikštas A. Norint išreikšti L, reikia lygiavertiškai pertvarkyti ryšį ir nurodyti būtinas sąlygas. Pasirinkus kitą išreiškiamą dydį, pats daiktas ar jo matmenys nepasikeičia; pasikeičia tai, kurį dydį užrašyta taisyklė apskaičiuoja iš kitų.

Skirkite reikšmių įstatymą nuo taisyklės pertvarkymo

Įstatant žinomų dydžių simboliai pakeičiami jų reikšmėmis, išlaikant formulės sandarą. Kai A = 6 m² ir W = 4 m, pradinis ryšys tampa 6 m² = L × 4 m. Abi puses padaliję iš 4 m, gauname L = 3/2 m. Taigi skaitinę lygtį galima išspręsti įstačius žinomas reikšmes.

Galima ir pirmiausia simboliais pertvarkyti A = L W į L = A/W, nurodant W ≠ 0, o tada įstatyti: L = (6 m²)/(4 m) = 3/2 m. Abiem būdais remiamasi tuo pačiu samprotavimu ir tomis pačiomis sąlygomis. Iš anksto pertvarkyti naudinga, kai skaičiavimą kartosite su keliais žinomų dydžių rinkiniais. Jei pradinės reikšmės tikslios, trupmenas išlaikykite tikslias.

Abiem ištisoms pusėms atlikite grįžtamuosius veiksmus

Simbolinis pertvarkymas turi išlaikyti visus dydžių reikšmių rinkinius, kurie nurodytoje srityje tenkina pradinį ryšį. Prie abiejų pusių pridėkite arba iš jų atimkite tą patį suderinamą dydį, arba abi puses dauginkite ar dalykite iš to paties nenulinio dydžio. Atvirkštiniu veiksmu turi būti galima atkurti pradinį ryšį nepridedant ir neprarandant leidžiamų reikšmių rinkinių.

Iš A = L W dalydami iš W gaunate A/W = L tik tada, kai W ≠ 0; sukeitę puses, gaunate L = A/W. Toje srityje daugyba iš W grąžina pradinį užrašą. Vien pasakymas, kad W perkeliamas į kitą lygybės pusę, nepaaiškina nei dalybos, nei jos sąlygos. Jei pradinis ryšys leidžia W = 0, dalmens užrašas šio atvejo neaprašo, todėl jį reikia nagrinėti atskirai.

Raskite stačiakampio kraštinę iš ploto ir kitos kraštinės

Kai stačiakampio kraštinės teigiamos, A = L W galima užrašyti kaip L = A/W arba W = A/L. Dalikliai nenuliniai, nes geometrinė sritis reikalauja teigiamų kraštinių. Kai tikslios reikšmės yra A = 6 m² ir W = 4 m, L = (6 m²)/(4 m) = 3/2 m. Ploto vienetą padalijus iš ilgio vieneto, lieka ilgio vienetas.

Patikrinkite pradinį plotą: (3/2 m) × (4 m) = 6 m². Rezultatas teigiamas ir turi tikėtiną dimensiją. Nulinė ar neigiama kraštinė nepatenka į šį stačiakampio modelį, net jei su tokiomis reikšmėmis galima užrašyti kokį nors aritmetinį teiginį. Dalyba iš duoto nulinio pločio būtų neapibrėžta, o ne būdas stačiakampio ilgiui rasti.

Perimetro taisyklės veiksmus panaikinkite tinkama tvarka

Stačiakampiui P = 2(L + W), kur P yra perimetras, o abi kraštinės – teigiami ilgiai. Norėdami išreikšti L, abi ištisas puses dalykite iš dviejų: P/2 = L + W. Tada iš abiejų pusių atimkite W: L = P/2 − W. Norėdami išreikšti W, naudokite atitinkamą užrašą W = P/2 − L. Skaičius du yra bedimensis ir nenulinis.

Išlaikykite pradinės taisyklės skliaustus ir pertvarkytame užraše suderinamus ilgio vienetus. Kai P = 13 m ir L = 6 m, W = (13 m)/2 − 6 m = 1/2 m. Patikra: 2 × (6 m + 1/2 m) = 13 m. Leidžiamo stačiakampio rasta kraštinė turi būti teigiama; nulinis ar neigiamas aritmetinis rezultatas reiškia, kad pateikti duomenys neaprašo stačiakampio šioje srityje.

Nurodykite kelio, greičio ir laiko ryšio sąlygas

Pastovaus greičio modelyje d = v t sieja nueitą kelią d, neneigiamą greitį v ir praėjusį laiką t. Tarkime, d ≥ 0, v ≥ 0 ir t ≥ 0. Formulė iš greičio ir laiko apskaičiuoja kelią, tačiau greičiui rasti v = d/t reikia t ≠ 0; šioje situacijoje tai reiškia teigiamą praėjusį laiką. Laikui rasti t = d/v reikia v ≠ 0, taigi čia greitis turi būti teigiamas.

Kai tikslus kelias d = 9 km, o laikas t = 3/4 h, v = (9 km)/(3/4 h) = 12 km/h. Pradinė patikra: (12 km/h) × (3/4 h) = 9 km. Laiko vienetą suderinkite su greičio vienetu. Jei kelionėje greitis keičiasi, vienas pastovus greitis yra papildoma modelio prielaida; visos kelionės vidutinis greitis apskaičiuojamas visą nueitą kelią dalijant iš teigiamo praėjusio laiko.

Nulinį parametrą nagrinėkite pradiniame ryšyje

Ryšyje d = v t pasirinkus t = 0, dešinė pusė lygi nuliui su kiekvienu leidžiamu v. Jei d = 0, lygtį tenkina kiekvienas leidžiamas greitis ir vienintelio greičio ji nenustato. Jei d > 0, lygties netenkina joks leidžiamas greitis. Dalmuo d/t neapibrėžtas, kai laikas nulinis; net 0/0 nėra apskaičiuotas greitis. Užuot daliję iš nulio, nagrinėkite pradinę sandaugą.

Taip pat, jei v = 0 ir ieškoma laiko, d = 0 atveju tinka kiekvienas leidžiamas t ≥ 0, o d > 0 atveju šiame modelyje sprendinių nėra. Todėl t = d/v taikomas tik tada, kai v nenulinis. Visų sprendinių ar jų nebuvimo išvados priklauso nuo to, kurie dydžiai fiksuoti, ir nuo pradinės leidžiamų reikšmių srities. Atvirkštinė formulė, reikalaujanti nenulinio parametro, turi būti pateikiama kartu su šia sąlyga.

Pertvarkykite skaliarinę taisyklę su daugikliu ir poslinkiu

Skaliariniame ryšyje y = a x + b laikykite a ir b fiksuotais realiaisiais parametrais. Jei y žinomas ir ieškoma x, iš abiejų pusių atimkite b: y − b = a x. Kai a ≠ 0, abi puses padalykite iš a ir gausite x = (y − b)/a. Skliaustai rodo, kad iš a dalijamas visas skirtumas, o ne tik antrasis narys.

Kai a = −2, b = 3 ir y = 2, x = (2 − 3)/(−2) = 1/2; patikra yra −2 × (1/2) + 3 = 2. Jei a = 0, pradinis ryšys tampa y = b nepriklausomai nuo x. Kai y fiksuotas, tinka kiekvienas realusis x, jei y = b, ir netinka joks realusis x, jei y ≠ b. Nenaudokite dalmens užrašo, kai a = 0, ir nepriskirkite vienintelio x ryšiui, kuris jo nenustato.

Tikrinkite vienetus, leidžiamas reikšmes ir pradinę formulę

Sudedami arba atimami dydžiai turi turėti suderinamas dimensijas ir vienetus. Formulėje P = 2(L + W) skirtingus ilgio vienetus suderinkite prieš sudėdami skaitines reikšmes: L = 150 cm = 3/2 m ir W = 4 m duoda P = 2 × (3/2 m + 4 m) = 11 m. Ryšyje A = L W ilgio vienetai dauginami ir gaunamas ploto vienetas, o dalmuo L = A/W turi turėti ilgio vienetą.

Rezultatą įstatykite į pradinį ryšį, patikrinkite jo leidžiamų reikšmių sritį ir įvertinkite, ar dydis situacijoje atrodo pagrįstas. Teisingos dimensijos padeda pastebėti klaidas, bet savaime neįrodo, kad aritmetika ar modelis teisingi. Modelio pradinės reikšmės yra tikslūs pavyzdžiai. Praktinės užduoties matavimai gali būti apytiksliai; išlaikykite jų nurodytą tikslumą ir neapibrėžtį, o tikslios formulės nelaikykite įrodymu, kad jos pradiniai matavimai buvo tikslūs.

Keiskite ieškomą dydį, išlaikydami stačiakampį

Pradėkite nuo stačiakampio L = 3 m ir W = 2 m. Jo plotas yra 6 m², o perimetras – 10 m. Pasirinkite plotą arba perimetrą, tada ieškokite viso dydžio, L arba W. Visas dydis ploto ryšyje reiškia plotą A, o perimetro ryšyje – perimetrą P. Kraštinės pateikiamos metrais, plotas – kvadratiniais metrais, o perimetras – metrais.

Keturi teigiamų kraštinių stačiakampių rinkiniai, du ryšiai ir trys ieškomi dydžiai sudaro 4 × 2 × 3 = 24 tikslias būsenas. Keisdami ieškomą nežinomąjį, išlaikote pasirinktą stačiakampį: pasikeičia, kurios reikšmės pateikiamos kaip žinomos ir kuris lygiavertis užrašas apskaičiuoja rezultatą. Visų rinkinių schemose naudojamas tas pats mastelis – 40 vaizdo taškų vienam metrui. Kraštinių žymenys įvardija L ir W net tada, kai W yra ilgesnė kraštinė.

Kiekvienoje būsenoje perskaitykite simbolinį ryšį, žinomus dydžius, reikšmių įstatymą arba pertvarkymą ir pradinės formulės patikrą. Trupmeninės kraštinių reikšmės išlieka tikslios. Nulinių matmenų pasirinkti negalima; anksčiau aptartos nenulinės sąlygos ir leidžiamų reikšmių sritis paaiškina, kodėl šie atvirkštiniai stačiakampio užrašai leistini. Pakeitus plotą perimetru, pasikeičia ieškomo viso dydžio rūšis, o ne geometrinis objektas.

Ryšį išlaikykite matomą kiekviename užraše

Prieš skaičiuodami apibrėžkite dydžius, įvardykite žinomas reikšmes bei ieškomą nežinomąjį ir nurodykite leidžiamų reikšmių sritį. Pertvarkykite tik grįžtamaisiais veiksmais ir su jų sąlygomis, išlaikykite skliaustus bei vienetus ir rezultatą patikrinkite pradinėje formulėje. Jei nulinis parametras neleidžia gauti vienintelio atvirkštinio rezultato, pateikite sąlyginę visų sprendinių ar jų nebuvimo išvadą, o ne išgalvotą dalmens reikšmę.

Formulė taip pat gali padėti sudaryti leidžiamų pradinių ir gautų reikšmių porų lentelę. Lentelėje būtina įvardyti dydžius ir vienetus, o pavyzdinės eilutės nepakeičia viso ryšio. Kita pamoka „Koordinatės, lentelės ir taškų žymėjimas“ parodys, kaip tokias sutvarkytas poras pažymėti įvardytose ašyse ir susieti lentelę su schema.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Teigiamų kraštinių stačiakampiui palyginkite užduotis: rasti A, kai L = 3 m ir W = 2 m; rasti L, kai A = 6 m² ir W = 2 m. Ar pakeitus išreiškiamą dydį pasikeičia stačiakampio ryšys?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmoje užduotyje iš A = L W gauname A = 6 m². Antroje iš L = A/W gauname L = 3 m. Ryšys tas pats; skiriasi žinomi ir ieškomi dydžiai.

   Formulė išreiškia apibrėžtų dydžių ryšį. Išreiškiant kitą dydį, su būtinomis sąlygomis pasirenkamas naudingas lygiavertis užrašas, o ne pakeičiamas geometrinis objektas.

2. Raskite W, kai tikslaus stačiakampio A = 3 m² ir L = 6 m. Kodėl W = A/L reikalauja L ≠ 0? Ar A = 3 m² ir L = 0 m aprašytų stačiakampį šios pamokos srityje?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   W = (3 m²)/(6 m) = 1/2 m; patikra: (6 m) × (1/2 m) = 3 m². Atvirkštiniame užraše dalijama iš L, todėl L turi būti nenulinis. Nulinis ilgis nepatenka į teigiamų stačiakampio kraštinių sritį, o dalyba iš jo neapibrėžta.

   Ploto dalmuo turi ilgio vienetą. Pertvarkyta formulė turi būti pateikiama su savo veiksmų sąlygomis ir išlaikyti pradinę geometrinę sritį.

3. Tikslaus stačiakampio L = 150 cm ir W = 4 m. Pagal P = 2(L + W) raskite perimetrą metrais. Kodėl 2 × (150 + 4) m nėra nurodytas skaičiavimas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   L = 150 cm = 3/2 m, todėl P = 2 × (3/2 m + 4 m) = 11 m. Skaičiai 150 ir keturi iš pradžių naudoja skirtingus ilgio vienetus, todėl jų negalima sudėti taip, lyg abu būtų metrai.

   Vien suderinamų dimensijų nepakanka, kai skaitinės reikšmės išreikštos skirtingais vienetais. Perskaičiuokite į bendrą vienetą, išlaikykite skliaustus ir rezultatą patikrinkite pagal keturias ribos kraštines.

4. Tarkime, teigiamų kraštinių stačiakampiui pateikiami tikslūs duomenys P = 6 m ir W = 4 m. Naudokite L = P/2 − W, aritmetiškai patikrinkite pradinį ryšį ir nuspręskite, ar duomenys aprašo tokį stačiakampį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pertvarkytas užrašas duoda L = 3 m − 4 m = −1 m. Aritmetinė patikra 2 × (−1 m + 4 m) = 6 m pavyksta, bet neigiamas L neleidžiamas. Duomenys neaprašo stačiakampio su teigiamomis kraštinėmis.

   Aritmetinės lygybės tenkinimas nepanaikina modelio leidžiamų reikšmių srities. Tikrinkite ir reikšmės leistinumą, ir pradinę formulę.

5. Ryšyje d = v t, kai d, v ir t neneigiami, raskite t, jei d = 9 km ir v = 12 km/h. Tada nagrinėkite žinomą v = 0: kurie laikai tenkina modelį, jei d = 0, ir jei d > 0? Kas nutinka, kai ieškoma greičio su t = 0 ir d = 0?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai v teigiamas, t = d/v = 3/4 h. Kai v = 0 ir d = 0, sandaugą tenkina kiekvienas leidžiamas t ≥ 0; kai v = 0 ir d > 0, netinka nė vienas. Kai t = 0 ir d = 0, sandaugą tenkina kiekvienas leidžiamas neneigiamas v, todėl modelis nenustato vienintelio greičio, o 0/0 neapibrėžtas.

   Atvirkštiniam dalmens užrašui reikia nenulinio daliklio. Kai jis nulinis, nagrinėkite pradinį ryšį ir pateikite visų leidžiamų sprendinių arba jų nebuvimo išvadą, užuot daliję iš nulio.

6. Ryšyje y = a x + b pasirinkite a = −2, b = 3 ir žinomą y = 2. Raskite x ir patikrinkite pradinę taisyklę. Jei vietoj to a = 0 ir b = 3, kurie realieji x tinka žinomam y = 3, o kurie – y = 2?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai a = −2, x = (2 − 3)/(−2) = 1/2; patikra: −2 × (1/2) + 3 = 2. Kai a = 0 ir b = 3, su y = 3 tinka kiekvienas realusis x, o su y = 2 netinka joks realusis x.

   Visas skirtumas y − b turi būti dalijamas iš nenulinio a. Kai a = 0, pradinis ryšys yra y = b, todėl fiksuotas y lemia sąlygų suderinamumą, o ne vienintelę atvirkštinę pradinę reikšmę.

7. Modelyje naudokite stačiakampio rinkinį L = 3/2 m ir W = 4 m. Raskite plotą ir perimetrą. Jei vietoj viso ploto ieškosite L, kurie dydžiai taps žinomi? Ar ieškant W arba pasirinkus perimetrą pasikeičia pati figūra?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A = 6 m², o P = 11 m. Ieškant L pagal plotą, žinomi dydžiai yra A = 6 m² ir W = 4 m, iš kurių gaunama L = 3/2 m. Ieškant W arba pakeitus ryšį, pasirinktas stačiakampis išlieka; perimetro ryšyje visas dydis yra ilgis, o ne plotas.

   Skirkite objektą nuo užduoties. Modelis keičia pateikiamus dydžius ir ieškomam rezultatui skirtą lygiavertę taisyklę, o nekintantis mastelis išlaiko galimybę palyginti rinkinius.

Ką verta įsidėmėti

• Formulė yra apibrėžtų dydžių ryšį išreiškianti lygtis; nurodykite jos leidžiamų reikšmių sritį, žinomas ir ieškomas reikšmes.
• Įstatant naudojamos žinomos reikšmės, o pertvarkant norimas dydis išreiškiamas abiem pusėms atliekant tuos pačius grįžtamuosius veiksmus.
• Atvirkštinius dalmens užrašus pateikite su nenulinėmis sąlygomis, o nulinius parametrus nagrinėkite pradiniame ryšyje dėl visų sprendinių ar jų nebuvimo.
• Išlaikykite skliaustus, suderinamus vienetus ir dimensijas; visas plotas ir perimetras yra skirtingų rūšių dydžiai.
• Rastą reikšmę patikrinkite pradinėje formulėje ir pagal situacijos sąlygas; vien teisinga aritmetika nepaverčia neleistinos geometrinės reikšmės leistina.