Koordinatės, lentelės ir taškų žymėjimas

Sutvarkytosios poros reikšmės turi skirtingas vietas

Sutvarkytoji pora užrašo dvi reikšmes nurodyta tvarka. Pagal čia naudojamą koordinačių susitarimą (x, y) pirmiausia nurodo horizontaliąją, o tada vertikaliąją koordinatę. Taško (2, 3) horizontalioji koordinatė yra du, vertikalioji – trys. Taške (3, 2) šie vaidmenys sukeisti, todėl tai kitas taškas.

Prieš aiškindami reikšmes, įvardykite ašis. Skaliarinėje schemoje jas galima žymėti x ir y. Situacijos schemoje horizontaliai gali būti praėjęs laikas t valandomis, o vertikaliai – kelias d kilometrais; tada poros tvarka yra (t, d). Pati pora nepaaiškina savo vienetų ar prasmės. Kartu su ja išlaikykite ašių pavadinimus ir vienetus.

Raskite nulį ir perskaitykite kiekvieną kryptį su ženklu

Šiame Dekarto koordinačių susitarime horizontalioji ašis didėja į dešinę, o vertikalioji – į viršų. Jų susikirtimas yra koordinačių pradžia (0, 0). Teigiamas x yra dešinėje, neigiamas – kairėje; teigiamas y yra viršuje, neigiamas – apačioje. Ženklai aprašo padėtį ašių atžvilgiu, o ne taško dydį ar svarbą.

Porai (−2, 3) horizontalioje ašyje raskite −2, o vertikalioje – tris. Taškas yra dviem koordinačių vienetais kairiau vertikaliosios ašies ir trimis aukščiau horizontaliosios. Taškas (2, −3) yra dviem vienetais dešiniau ir trimis žemiau. Kiekvieną ženklą skaitykite atskirai; viena neigiama koordinatė nereiškia, kad abi neigiamos.

Dvi koordinates pažymėkite viename susikirtime

Norėdami pažymėti (2, 3), horizontalioje ašyje raskite du, tada raskite lygį trimis vienetais aukščiau horizontaliosios ašies. Atitinkamos vertikalioji ir horizontalioji pagalbinės linijos susikerta tame taške. Jos aprašo koordinates, o ne teigia, kad taškas fiziškai juda keliu.

Norėdami perskaityti pažymėtą tašką, atlikite atvirkštinį veiksmą. Vertikaliai projektuokite į horizontaliąją ašį ir perskaitykite pirmąją koordinatę, o horizontaliai į vertikaliąją – antrąją. Pasirenkamos projekcijų linijos šį ryšį parodo. Patikrinkite padalų reikšmes ir porą užrašykite nurodyta tvarka; aiškiai matoma vieta su sukeistomis koordinatėmis vis tiek duoda klaidingą atsakymą.

Ketvirtį nustatykite pagal ženklus, o ašis laikykite atskirai

Abi ašys plokštumą padalija į keturis atvirus ketvirčius. I ketvirtis yra viršuje dešinėje, kur x > 0 ir y > 0; II – viršuje kairėje, kur x < 0 ir y > 0; III – apačioje kairėje, kur abi koordinatės neigiamos; IV – apačioje dešinėje, kur x > 0 ir y < 0. Romėniški numeriai eina prieš laikrodžio rodyklę, pradedant viršutiniu dešiniuoju ketvirčiu.

Ašies taškas nepriklauso jokiam ketvirčiui. Poros (0, 3) horizontalioji koordinatė nulinė, todėl taškas yra vertikalioje ašyje. Poros (2, 0) vertikalioji koordinatė nulinė, todėl taškas yra horizontalioje ašyje. Koordinačių pradžia priklauso abiem ašims. Nepriskirkite ašies taško ketvirčiui vien pagal jo nenulinę koordinatę.

Skaitykite padalų reikšmes, o ne vien skaičiuokite langelius

Ašies mastelis pasako, kurios skaitinės reikšmės atitinka jos vietas. Vienodi tarpai tiesinėje ašyje reiškia vienodus tos ašies dydžio pokyčius. Abiejose schemos ašyse gali būti skirtingi žingsniai arba vienetai. Jei horizontaliosios padalos yra 0, 2, 4, o vertikaliosios – 0, 5, 10, taškas per vieną padalų tarpą į dešinę ir per vieną į viršų nuo pradžios yra (2, 5), o ne (1, 1).

Laiko ir kelio schemoje horizontaliąją ašį žymėkite t (h), vertikaliąją – d (km). Vienodas skaitinis žingsnis vienas tada vienoje ašyje reiškia valandą, o kitoje – kilometrą. Tai skirtingos dimensijos; vienodas tarpas ekrane nepaverčia valandos kilometru. Prieš skaitydami tašką, visada nustatykite dydį, vienetą, didėjimo kryptį ir padalų žingsnį.

Trupmenas raskite tarp pažymėtų reikšmių

Koordinatės nebūtinai yra sveikieji skaičiai ar matomos tinklelio sankirtos. Skaliarinis taškas (1/2, −3/2) yra puse koordinačių vieneto dešiniau vertikaliosios ašies ir pusantro vieneto žemiau horizontaliosios. Jo pirmoji koordinatė yra per vidurį tarp nulio ir vieno, o antroji – per vidurį tarp −1 ir −2.

Duotą tikslią trupmeną išlaikykite. Ašyje, kurios padalų žingsnis yra du vienetai, 1/2 vieneto pokytis užima ketvirtadalį tarpo, o ne pusę. Apytikslis mažos schemos nuskaitymas skiriasi nuo lentelėje nurodytos tikslios poros. Modelis naudoja tikslias duotas koordinates ir atitinkamus žymeklius išdėsto neapvalindamas jų reikšmių.

Kiekvieną lentelės eilutę perkelkite kaip vieną sutvarkytąją porą

Dviejų stulpelių lentelėje galima įrašyti kiekvieno taško abi koordinates. Abu įrašus skaitykite iš tos pačios eilutės ir ašių tvarka. Skaliarinėje lentelėje su x ir y stulpeliais eilutė x = −1, y = −1 duoda (−1, −1). Paėmę x iš vienos eilutės, o y iš kitos, sudarote naują porą, kurios lentelė galbūt niekada nepateikė.

Formulei y = 2x + 1 pirmiausia pasirinkite leidžiamą x, apskaičiuokite y ir abi reikšmes įrašykite kartu. Kai x = 1/2, y = 2 × (1/2) + 1 = 2, todėl lentelės eilutė ir pažymėtas taškas yra (1/2, 2). Stulpelių antraštės išlaiko tuos pačius vaidmenis kaip ašių pavadinimai. Jei dydžiai turi vienetus, juos įrašykite antraštėse ir išlaikykite aiškindami eilutę.

Skirkite duotus pavyzdžius nuo juos generuojančios taisyklės

Baigtinė lentelė užrašo pateiktas poras. Ji savaime nenustato vienintelio ryšio su kiekviena kita pradine reikšme. Jei stebėti sveikieji pradiniai skaičiai nulis, vienas ir du duoda reikšmes vieną, tris ir penkis, kiekvieną kartą pridedant po du kita reikšmė būtų septyni. Kartojant reikšmių bloką vienas, trys, penki, kita reikšmė būtų vienas. Abu aprašai atitinka tas tris eilutes.

Nurodyta taisyklė yra papildoma informacija. Kai užduotyje duota y = 2x + 1 ir leidžiamos realiosios pradinės reikšmės, kitas poras galite apskaičiuoti pagal šią taisyklę ir jos sritį. Kai x = 2, gaunate y = 5. Ši pora leidžiama, nors nepatenka į modelio vertikalųjį matomą intervalą nuo −4 iki 4. Matomas langas nėra taisyklės leidžiamų reikšmių sritis, o penki pažymėti pavyzdžiai nėra visas grafikas.

Kiekvienoje poroje išlaikykite situaciją ir vienetus

Modelio situacijos lentelėje nurodytas judėjimas pastoviu 2 km/h greičiu, kai t = 0 kelias lygus nuliui. Naudojamas d = (2 km/h)t praėjusiam laikui t ≥ 0. Kai t = 1/2 h, d = 1 km; pora reiškia (1/2 h, 1 km). Pirmasis įrašas yra laikas, antrasis – kelias, o ne du sukeičiami ilgiai.

Šis nurodytas modelis taip pat duoda d = 3/2 km, kai t = 3/4 h, nors ši pora nėra viena iš keturių pasirinktų lentelės eilučių. Neigiamas praėjęs laikas neleidžiamas pagal modelio sritį, nors nekintančiame koordinačių lange matomos neigiamos skaitinės vietos. Tikros kelionės stebėjimams reikėtų jų sąlygų ir matavimo informacijos; šie pavyzdžiai iliustruoja nurodytą tikslų modelį.

Taškus junkite tik pagrindę jungties prasmę

Atskiri pavyzdiniai taškai rodo pasirinktas poras. Sujungus juos atkarpomis, pridedamas teiginys apie vietas tarp tų porų. Tai gali reikšti nurodytą tolydų modelį, interpoliavimo susitarimą arba tikrą sujungtą kontūrą, bet nė viena iš šių prasmių savaime nekyla iš baigtinio taškų sąrašo. Nesusijusių vietų sąrašas nėra kelias vien todėl, kad jo eilutės eina viena po kitos.

Modelio nurodyta formulė ir pastovaus greičio taisyklė leidžia apskaičiuoti papildomas leidžiamas poras. Modelis vis tiek žymi atskirus pavyzdžius, o ne braižo visą ryšį. Pasirenkamos projekcijų linijos sujungia pasirinktą žymeklį su ašimis, kad galėtumėte perskaityti jo koordinates; jos nejungia pavyzdžių tarpusavyje ir nenustato tarpinių reikšmių taisyklės.

Tą pačią porą perskaitykite lentelėje ir schemoje

Pradėkite nuo laisvai pateiktų skaliarinių taškų ir pasirinktos poros (2, 3), kai projekcijų linijos įjungtos. Lentelė paryškina šią porą, o schema – jos žymeklį. Palyginkite (3, 2), tada nagrinėkite neigiamų koordinačių, ašių, pradžios ir trupmenų pavyzdžius. Ši laisva kolekcija pateikia devynis atskirus taškus ir neteigia vienos juos generuojančios formulės.

Taisyklės lentelė pateikia penkias pasirinktas poras pagal y = 2x + 1, o situacijos lentelė – keturias pagal nurodytą 2 km/h modelį. Iš viso pasirenkama 9 + 5 + 4 = 18 pavyzdžių. Įjungus arba išjungus projekcijų linijas, gaunama 18 × 2 = 36 būsenos. Visi pasirinkto rinkinio pavyzdžiai lieka atskirais pažymėtais taškais, o pasirinktas paryškinamas; linijos tarp pavyzdžių nebraižomos.

Abiejų skaitinių ašių matomas intervalas lieka nuo −4 iki 4, o skaitinių žingsnių mastelis visuose rinkiniuose vienodas. Pirmuose dviejuose rinkiniuose x ir y skaitykite kaip skaliarines koordinates, o situacijos rinkinyje – kaip t (h) ir d (km). Pakeitus rinkinį, pasirenkama jo pirmoji pora ir išlaikomas projekcijų linijų pasirinkimas. Pakeitus pasirinktą porą arba linijas, rinkinio duotos reikšmės ar sritis nepasikeičia.

Patikrinkite, kad žodžiai, lentelė ir schema nusako tas pačias reikšmes

Aprašas, lentelės eilutė ir pažymėtas žymeklis gali vaizduoti tą patį tašką. Patikrinkite jų pirmosios ir antrosios koordinatės vaidmenis, ženklus, tikslias reikšmes, vienetus ir ašių mastelius. Ketvirtis priklauso nuo ženklų pagal nurodytą koordinačių susitarimą; ašių taškai ir koordinačių pradžia lieka atskiri atvejai. Prieš aiškindami vaizdą, perskaitykite pavadinimus.

Aiškiai išlaikykite teiginio apimtį: pasirinkta pora, stebėta kolekcija ir nurodytas ryšys yra skirtinga informacija. Papildomas reikšmes ar jungtis pagrįskite duota taisykle ir jos sritimi. Kita pamoka „Tiesės, nuolydis ir sankirtos su ašimis“ nagrinės, kaip tiesė išreiškia ryšį ir kaip aiškinami jo pokyčiai bei susikirtimai su ašimis.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ką reiškia (2, 3) ir (3, 2), kai skaliarinė horizontalioji ašis yra x, vertikalioji – y? Ar tai tas pats taškas? Jei situacijoje horizontaliai žymimas laikas, o vertikaliai kelias, kuris dydis rašomas pirmas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (2, 3) reiškia x = 2, y = 3, o (3, 2) reiškia x = 3, y = 2; taškai skiriasi. Kai laikas horizontalusis, o kelias vertikalusis, pirmiausia rašomas laikas, tada kelias.

   Sutvarkytoji pora išlaiko įvardytus koordinačių vaidmenis. Ašių pavadinimai ir vienetai suteikia prasmę; sukeitus įrašus, paprastai pasikeičia vaizduojamas taškas.

2. Nurodykite (−2, 3), (−2, −3), (2, −3), (0, 3), (2, 0) ir (0, 0) ketvirtį arba vietą ašyje. Kodėl (0, 3) nėra I ketvirčio taškas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmi trys yra II, III ir IV ketvirčiuose. (0, 3) yra vertikalioje ašyje, (2, 0) horizontalioje, o (0, 0) yra pradžia abiejose. Nulinė horizontalioji koordinatė palieka (0, 3) ribinėje ašyje, už ketvirčių.

   Ketvirčiams abi koordinatės turi būti nenulinės ir turėti nurodytus ženklus. Ašys ir jų susikirtimas yra atskiri vietos atvejai.

3. Horizontaliosios padalos yra 0, 2, 4, vertikaliosios – 0, 5, 10. Žymeklis yra per vieną padalų tarpą dešiniau ir per vieną aukščiau pradžios. Užrašykite porą. Kodėl vienas langelis kiekviena kryptimi neduoda (1, 1)?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pora yra (2, 5). Vienas horizontalusis tarpas reiškia du vienetus, o vienas vertikalusis – penkis.

   Vietą reikia paversti reikšme pagal kiekvienos ašies padalas. Vienodi tarpai ekrane nebūtinai reiškia vienodus skaitinius pokyčius ar tą patį fizinį dydį.

4. Tiksliai aprašykite (1/2, −3/2) ir nurodykite ketvirtį. Jei horizontaliosios padalos žingsnis du vienetai, ar horizontalioji koordinatė yra per vidurį tarpo nuo nulio iki dviejų?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taškas yra puse vieneto dešiniau ir trimis antrosiomis vieneto žemiau, IV ketvirtyje. Dviejų vienetų horizontalioje padaloje 1/2 užima ketvirtadalį, o ne pusę tarpo.

   Koordinatės trupmena ir vaizdo tarpo dalis yra skirtingi dydžiai. Perskaitykite skaitinį mastelį ir išlaikykite duotą tikslią reikšmę.

5. Pagal nurodytą taisyklę y = 2x + 1, kai leidžiami realieji x, raskite poras su x = −1 ir x = 1/2. Kokia pora gaunama su x = 2 ir ar ji neleidžiama todėl, kad y už modelio matomo intervalo nuo −4 iki 4?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Poros yra (−1, −1), (1/2, 2) ir (2, 5). Paskutinę leidžia taisyklė ir jos sritis; vertikalioji reikšmė tiesiog nepatenka į matomą langą.

   Kiekvienai duotai pradinei reikšmei apskaičiuokite taisyklės rezultatą ir abu to paties atvejo įrašus išlaikykite kartu. Baigtinis vaizdo intervalas neapibrėžia matematinės srities.

6. Nurodytame 2 km/h modelyje su praėjusiu laiku t ≥ 0 užrašykite porą, kai t = 2 h, horizontaliajai t (h) ir vertikaliajai d (km) ašims. Ar įrašai sukeičiami? Ar matoma neigiama horizontalioji vieta leidžia neigiamą praėjusį laiką?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pora yra (2 h, 4 km). Laiko ir kelio įrašai nesukeičiami, o neigiamas praėjęs laikas lieka neleidžiamas, net jei matomos neigiamos skaitinės vietos.

   Ašių tvarka, vienetai ir situacijos sritis lieka tie patys. Vien ekrano geometrija neleidžia fiziškai atmestos pradinės reikšmės.

7. Stebėtoje lentelėje be nurodytos taisyklės duota (0, 1), (1, 3) ir (2, 5). Ar kita sveikoji pradinė reikšmė būtinai duos septynis? Ar taškus būtina sujungti? Kuo skiriasi užduotis, kurioje aiškiai nurodyta y = 2x + 1?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Septyni yra galimas tęsinys, tačiau vien stebėjimai jo vienareikšmiškai nenustato ir nereikalauja sujungti taškų. Nurodyta taisyklė y = 2x + 1 su x = 3 duoda septynis ir pagal taisyklę bei jos sritį nustato kitas leidžiamas poras.

   Baigtinė kolekcija ir nurodytas ryšys teigia skirtingus dalykus. Taškams jungti reikia paaiškinto modelio ar susitarimo, o projekcijų linijos tik padeda perskaityti vieno taško koordinates.

Ką verta įsidėmėti

• Sutvarkytoji pora turi nurodytus vaidmenis: pagal šį susitarimą pirmiausia rašoma horizontalioji, tada vertikalioji koordinatė.
• Ženklus skaitykite koordinačių pradžios atžvilgiu; ketvirčiams nepriklauso ašių taškai ir pati pradžia.
• Prieš vietą paversdami reikšme, perskaitykite ašių pavadinimus, vienetus bei padalų mastelius ir išlaikykite duotas tikslias trupmenas.
• Kiekviena lentelės eilutė duoda vieną suporuotą atvejį; žodžiai, lentelė ir schema turi išlaikyti tą pačią koordinačių tvarką bei prasmę.
• Pasirinkti pavyzdžiai nenustato vienintelio viso ryšio ir savaime nepagrindžia jungiančių linijų; naudokite nurodytą taisyklę, jos sritį ir paaiškintą susitarimą.