Lygybė ir vieno žingsnio lygtys

Lygybės ženklą skaitykite abiem kryptimis

Užrašas 3 + 4 = 7 teigia, kad kairėje ir dešinėje esančių reiškinių reikšmės sutampa. Sukeitus puses, teiginys 7 = 3 + 4 taip pat yra teisingas. Lygybė yra simetriška: sukeitus jos puses, ryšys nepasikeičia. Lygybės ženklas nereiškia, kad atsakymas visada privalo būti jo dešinėje.

Kiekviena užrašyta lygybė turi būti teisinga. Grandinė 3 + 4 = 7 = 14 yra klaidinga, nes septyni ir keturiolika yra skirtingi skaičiai. Norėdami septynis padvigubinti, rašykite atskirą skaičiavimą: 2 × 7 = 14. Sprendžiant lygtį x + 3 = 5, ieškoma, su kuriomis leidžiamomis x reikšmėmis abi pusės tampa lygios.

Klauskite, su kuriomis reikšmėmis lygtis teisinga

Tikrinama reikšmė dar nebūtinai yra sprendinys. Ji yra sprendinys tik tada, kai priklauso nurodytai sričiai ir ją įstačius pradinė lygybė tampa teisinga. Skaliarinėje lygtyje x + 3 = 5, kai leidžiami visi realieji skaičiai, x = 2 yra sprendinys, nes 2 + 3 = 5. Reikšmė x = 5 nėra sprendinys: kairė pusė lygi aštuoniems, o dešinė – penkiems. Sprendinių aibėje yra visos leidžiamos reikšmės, su kuriomis lygtis teisinga.

Tapatybė yra lygybė, teisinga su kiekviena jos srityje leidžiama reikšme. Pavyzdžiui, 0x = 0 teisinga su kiekvienu realiuoju x, nes nulį padauginę iš bet kurio realiojo skaičiaus gauname nulį. Lygtis 0x = 5, priešingai, neturi realiųjų sprendinių. Lygtis nebūtinai turi tik vieną sprendinį. Skirkite vieno sprendinio lygtį, tapatybę, kurios sprendiniai yra visos leidžiamos reikšmės, ir lygtį be leidžiamų sprendinių.

Išlaikykite visą sprendinių aibę

Dvi lygtys toje pačioje nurodytoje srityje yra lygiavertės, kai turi lygiai tuos pačius sprendinius. Grįžtamasis veiksmas paaiškina, kodėl sprendinių neprarandama ir nepridedama: kiekvienas pradinės lygties sprendinys tenkina naująją, o atvirkštinis veiksmas kiekvieną naujosios lygties sprendinį grąžina į pradinę.

Iš abiejų x + 3 = 5 pusių atėmę tris, gauname x = 2. Prie abiejų pusių pridėję tris, grįžtame prie pradinės lygties. Tai pagrindžia vienintelį realųjį sprendinį ir pasako daugiau nei kelių reikšmių patikrinimas. Visą laiką išlaikykite pradinę leidžiamų reikšmių sritį. Pertvarkymas nepaverčia neleistinos reikšmės leistina.

Prie abiejų pusių pridėkite arba iš jų atimkite tiek pat

Jei dviejų realiųjų skaičių reiškinių reikšmės lygios, prie abiejų pridėjus tą patį žinomą skaičių lygybė išlieka. Atėmus tą skaičių, pakeitimas panaikinamas. Atimtis taip pat grįžtama: pridėjus atimtą skaičių, atkuriamas pradinis teiginys. Veiksmą rašykite su abiem ištisomis lygties pusėmis, o ne keiskite tik vieną pusę.

Iš abiejų x + 3 = 5 pusių atėmę tris, gauname (x + 3) − 3 = 5 − 3, o supaprastinę – x = 2. Atėmę tris tik iš kairės pusės, klaidingai gautume x = 5. Su neigiamais skaičiais galioja tas pats principas: prie abiejų x − 3 = −5 pusių pridėję tris, gauname (x − 3) + 3 = −5 + 3, taigi x = −2.

Pasirinkite pradinį veiksmą panaikinantį veiksmą

Lygtyje x + c = b iš abiejų pusių atimkite žinomą skaičių c ir gausite x = b − c. Lygtyje x − c = b prie abiejų pusių pridėkite c ir gausite x = b + c. Taip pagrindžiamas trumpinys, kartais vadinamas nario perkėlimu į kitą lygybės pusę: iš tiesų abiem pusėms atliekamas tas pats veiksmas.

Žinomi skaičiai gali būti neigiami arba trupmeniniai. Iš abiejų x + 1/2 = −3/2 pusių atimkite 1/2: x = −3/2 − 1/2 = −2. Lygtyje x − (−3) = 5 prie abiejų pusių pridėkite −3: x = 5 + (−3) = 2. Skaičių su ženklu laikykite skliaustuose ir patikrinkite, kokį veiksmą nurodo pradinė lygtis.

Grįžtamajai daugybai rinkitės nenulinį daugiklį

Abi puses padauginus iš to paties žinomo nenulinio realiojo skaičiaus, lygybė išlieka, o padalijus iš to skaičiaus galima grįžti atgal. Abi puses padalijus iš žinomo nenulinio skaičiaus, atvirkštinis veiksmas yra daugyba. Lygtims tinka ir neigiamas daugiklis: pavyzdžiui, abi lygias reikšmes padauginus iš −2, jos lieka lygios.

Nulis yra kitoks atvejis. Lygtį x = 2 padauginę iš nulio, gauname 0x = 0, tačiau ši nauja lygtis teisinga su kiekvienu realiuoju x. Veiksmas pridėjo sprendinių, todėl lygtys nėra lygiavertės. Dalyba iš nulio neapibrėžta ir negali šio pakeitimo panaikinti. Vadinasi, vien lygybės išlaikyti nepakanka: sprendimo žingsnis turi išlaikyti sprendinių aibę ir grįžtant atgal.

Dalykite iš viso nenulinio koeficiento

Lygtyje ax = b, kai žinomas koeficientas a yra nenulinis, abi puses padalykite iš a ir gausite x = b/a. Iš 3x = 3/2 gauname x = (3/2) ÷ 3 = 1/2. Lygties −2x = −10 abi puses padaliję iš −2, gauname x = (−10) ÷ (−2) = 5. Abiem atvejais pradinį žingsnį panaikina daugyba iš pradinio koeficiento.

Trupmeninis koeficientas taip pat yra vienas ištisas daugiklis. Lygtyje (3/4)x = −3/2 dalykite iš 3/4 arba, lygiaverčiai, abi puses dauginkite iš atvirkštinio skaičiaus 4/3: x = (−3/2) × (4/3) = −2. Koeficientas 3/4 yra nenulinis. Patikrinkite įstatydami: (3/4) × (−2) = −3/2. Tikslios trupmenos leidžia išlaikyti tikslią lygybę neapvalinant.

Dalybą panaikinkite daugyba

Lygtyje x/a = b žinomas daliklis a turi būti nenulinis. Abi puses padauginę iš a, gaunate x = ab. Lygties x/4 = 0 abi puses dauginkite iš keturių: x = 4 × 0 = 0. Pradinės lygties patikra yra 0/4 = 0; nulinis skaitiklis leidžiamas, nes daliklis yra keturi.

Lygtyje x/(−2) = 3/2 abi puses padauginę iš −2, gaunate x = (−2) × (3/2) = −3. Patikrinkite pradinę dalybą: (−3) ÷ (−2) = 3/2. Šiose lygtyse x dalijamas iš žinomo nenulinio skaičiaus. Vardiklis, kuriame yra pats nežinomasis, reikalauja papildomo leidžiamų reikšmių srities nagrinėjimo ir nepatenka į šią vieno žingsnio seką.

Nulinį koeficientą nagrinėkite iš jo nedalydami

Kai koeficientas lygus nuliui, prieš rinkdamiesi atvirkštinį veiksmą įvertinkite, ką lygtis teigia. Lygtyje 0x = 0 kairė pusė lygi nuliui su kiekviena realiąja pradine reikšme. Lieka teisingas teiginys 0 = 0, todėl sprendiniai yra visi realieji skaičiai. Vienintelės išskirtinos reikšmės nėra, o dalyti iš nulio negalima.

Lygtyje 0x = 5 kairė pusė taip pat visada lygi nuliui, o dešinė – penkiems. Nė viena realioji reikšmė negali paversti 0 = 5 teisinga lygybe. Apskritai, lygties 0x = b sprendiniai yra visi realieji skaičiai, kai b = 0, ir sprendinių nėra, kai b ≠ 0. Jei pradinės situacijos sąlygos riboja x, visų sprendinių atvejis reiškia visas tos leidžiamos srities reikšmes.

Tikrinkite pradinę lygtį ir nežinomojo prasmę

Siūlomą sprendinį įstatykite į pradinę lygtį ir abi puses apskaičiuokite atskirai. Lygtyje x − 3 = −5 įstačius x = −2, kairė pusė yra (−2) − 3 = −5, o dešinė taip pat lygi −5. Jų lygybė patvirtina šį sprendinį. Grįžtamieji sprendimo veiksmai paaiškina, kodėl tai vienintelis realusis sprendinys; vien įstatymo patikra patvirtina tik duotą atvejį.

Kai nežinomasis įvardija dydį, išlaikykite suderinamus vienetus. Jei tikslus ilgis L tenkina L + 3 cm = 5 cm, iš abiejų pusių atėmę 3 cm gaunate L = 2 cm. Situacijos sąlygos taip pat gali atmesti algebrinę reikšmę. Jei n yra pilnų grupių skaičius ir kiekvienoje grupėje yra po keturis daiktus, 4n = 10 realusis sprendinys yra n = 5/2, tačiau neneigiamų sveikųjų sprendinių nėra. Dvi su puse pilnos grupės neatitinka šio skaičiavimo modelio.

Palyginkite abi puses ir pagrįskite sprendinį

Pradėkite nuo x + 3 = 5 ir tikrinamos reikšmės x = 2. Modelis pradinės lygties kairėje apskaičiuoja penkis, o dešinėje taip pat penkis. Viena nekintanti skaliarinių skaičių ašis abiejų pusių skaitines reikšmes pažymi atskirose žymeklių eilėse. Sutampančios vietos rodo lygias reikšmes šiame tikrinamame taške; schema vaizduoja skaičius, o ne fizines svarstykles.

Pasirinkite vieną iš septynių lygčių ir vieną iš penkių tikslių tikrinamų reikšmių: −2, 0, 1/2, 2 arba 5. Iš viso yra 7 × 5 = 35 būsenos, parodančios, ar pasirinkta reikšmė tenkina pradinę lygybę. Reikšmės su ženklu ir trupmenos išlieka tikslios. Greta pradinės lygties grįžtamasis atvirkštinis veiksmas parodo sprendinį kiekvienai iš penkių vienintelį sprendinį turinčių lygčių. Du nulinio koeficiento atvejai paaiškina, kodėl sprendiniai yra visi realieji skaičiai arba kodėl jų nėra, nedalijant iš nulio.

Pavyzdžius naudokite reikšmei patikrinti ir neatitikimui pastebėti. Penkios pasirinktos reikšmės neapima visos realiųjų skaičių srities. Lygtį 0x = 0 tenkina kiekviena realioji reikšmė todėl, kad nulis, padaugintas iš bet kurio realiojo skaičiaus, yra nulis; lygtyje 0x = 5 tas pats principas atmeta kiekvieną realiąją reikšmę. Išvada apie visą sprendinių aibę remiasi veiksmų savybėmis ir grįžtamuoju samprotavimu, o ne vien pažymėtais pavyzdžiais.

Pagrįskite atsakymą ir susiekite jį su formulėmis

Reiškinio reikšmės skaičiavimas prasideda nuo duotos pradinės reikšmės. Tikrinant galimą sprendinį, su ta reikšme palyginamos abi lygties pusės. Sprendžiant lygtį, randamos visos leidžiamos reikšmės, su kuriomis ji teisinga, ir pagrindžiama, kad atsakymas išsamus. Lygtyje x + 3 = 5 įstatę du į reiškinį x + 3 gauname penkis; sprendimas paaiškina, kodėl du yra vienintelė realioji reikšmė, tenkinanti lygybę.

Perskaitykite pradinį veiksmą, nurodykite leidžiamų reikšmių sritį, abiem pusėms atlikite tą patį grįžtamąjį veiksmą ir rezultatą patikrinkite pradinėje lygtyje. Pagal atvejį pateikite reikšmę su vienetais arba išvadą, kad sprendiniai yra visos leidžiamos reikšmės ar kad sprendinių nėra. Kita pamoka „Formulės ir paprastų ryšių pertvarkymas“ šias idėjas susies su taisyklėmis, kuriose įvardijami dydžiai ir jų vienetai.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ar x + 3 = 5 ir 5 = x + 3 turi tuos pačius realiuosius sprendinius? Pradiniame teiginyje patikrinkite x = 2 ir x = 5. Kas negerai užraše 2 + 3 = 5 = 8?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pusių sukeitimas išlaiko sprendinius. Kai x = 2, abi pusės lygios penkiems; kai x = 5, jos lygios aštuoniems ir penkiems, todėl penki nėra sprendinys. Grandinė klaidinga, nes penki nelygu aštuoniems.

   Lygybės ženklas abiem kryptimis teigia, kad reikšmės sutampa. Kiekviena užrašytos grandinės lygybė turi būti teisinga, o tikrinama reikšmė turi tenkinti pradinį teiginį.

2. Realiųjų skaičių srityje išspręskite x + 1/2 = −3/2 ir x − (−3) = 5. Įvardykite abiem pusėms atliktą veiksmą ir patikrinkite abi pradines lygtis.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atėmę 1/2, gaunate x = −2; patikra yra −2 + 1/2 = −3/2. Prie abiejų antrosios lygties pusių pridėję −3, gaunate x = 2; patikra yra 2 − (−3) = 5.

   Panaikinkite užrašytą sudėtį arba atimtį. Skaičius su ženklu čia naudojamas kaip vientisa reikšmė, todėl išlaikykite jo skliaustus ir abiem pusėms atlikite tą patį grįžtamąjį veiksmą.

3. Realiųjų skaičių srityje išspręskite −2x = −10 ir 3x = 3/2. Ar galima dalyti iš neigiamo nenulinio koeficiento? Abu atsakymus patikrinkite pradinėse lygtyse.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Padaliję iš −2, gaunate x = 5; patikra: (−2) × 5 = −10. Padaliję iš trijų, gaunate x = 1/2; patikra: 3 × (1/2) = 3/2. Neigiamas nenulinis koeficientas leidžiamas.

   Esminė sąlyga yra nenulinis daliklis. Dalyba iš viso koeficiento yra grįžtama, o trupmeninį rezultatą galima užrašyti tiksliai, jo neapvalinant.

4. Realiųjų skaičių srityje išspręskite x/4 = 0 ir x/(−2) = 3/2. Kodėl pirmosios lygties nulis leidžiamas ir kodėl pakeitus jos daliklį nuliu kiltų kita problema?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Padauginę iš keturių, gaunate x = 0, ir 0/4 = 0. Padauginę iš −2, gaunate x = −3, ir (−3)/(−2) = 3/2. Nulinis skaitiklis leidžiamas, kai daliklis nenulinis; dalyba iš nulio neapibrėžta.

   Dalybą panaikinkite abi puses daugindami iš žinomo nenulinio daliklio. Skirkite nulinį skaitiklį nuo nulinio vardiklio.

5. Nurodykite 0x = 0 ir 0x = 5 realiųjų sprendinių aibes. Jei x = 2 padauginame iš nulio ir gauname 0x = 0, ar lygtys vis dar turi tuos pačius sprendinius? Ar dalyba iš nulio gali atkurti x = 2?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Lygties 0x = 0 sprendiniai yra visi realieji skaičiai, o 0x = 5 sprendinių nėra. Lygtį x = 2 padauginus iš nulio, sprendinių padaugėja, todėl nauja lygtis nėra lygiavertė. Dalyba iš nulio neapibrėžta ir negali atkurti vienintelio pradinio sprendinio.

   Nulį padauginę iš kiekvienos realiosios pradinės reikšmės, gauname nulį. Sprendimui naudojamas žingsnis turi išlaikyti sprendinius abiem kryptimis, o ne tik vieną teisingą lygybę paversti kita teisinga lygybe.

6. Tikslus ilgis L tenkina L + 3 cm = 5 cm ir turi būti teigiamas. Išspręskite lygtį su vienetais, patikrinkite ją ir nuspręskite, ar L = 2 m yra ta pati tikrinama reikšmė.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Iš abiejų pusių atėmę 3 cm, gaunate L = 2 cm. Patikra: 2 cm + 3 cm = 5 cm, o šis teigiamas ilgis leidžiamas. L = 2 m yra 200 cm, todėl tai kita reikšmė, kuri lygties netenkina.

   Nežinomasis įvardija ilgio dydį, o sudėčiai reikia suderinamų vienetų. Sutampantis skaitmuo be sutampančio vieneto nereiškia to paties dydžio.

7. Modelyje x = 1/2 paverčia 3x = 3/2 teisinga lygybe. Ar vien šios reikšmės patikra įrodo, kad jokia kita realioji reikšmė netinka? Kaip pagrįsti visą sprendinių aibę? Kodėl penki tinkantys 0x = 0 pavyzdžiai savaime neįrodo teiginio apie kiekvieną realiąją reikšmę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Patikra patvirtina, kad 1/2 yra sprendinys. Grįžtamai padaliję 3x = 3/2 abi puses iš trijų, gaunate x = 1/2 ir pagrindžiate vienintelį sprendinį. Lygtį 0x = 0 tenkina kiekviena realioji reikšmė, nes nulį padauginę iš bet kurio realiojo skaičiaus gauname nulį, o ne vien todėl, kad sutapo penki pavyzdžiai.

   Skirkite reikšmės apskaičiavimą su duota pradine reikšme, galimo sprendinio patikrą ir sprendimą visoje nurodytoje srityje. Išsamiai išvadai reikia samprotavimo, apimančio kiekvieną leidžiamą reikšmę.

Ką verta įsidėmėti

• Lygybė teigia, kad dvi reikšmės sutampa, ir gali būti skaitoma abiem kryptimis; sprendinys turi tenkinti pradinę lygtį nurodytoje srityje.
• Lygiavertės lygtys turi tą pačią sprendinių aibę. To paties žinomo skaičiaus pridėjimas prie abiejų pusių arba atėmimas iš jų yra grįžtamas.
• Abi puses dauginant ar dalijant iš to paties žinomo nenulinio skaičiaus, veiksmas yra grįžtamas; tai tinka ir neigiamiems skaičiams bei trupmenoms.
• Kai koeficientas nulinis, tikrinkite visų sprendinių arba jų nebuvimo atvejį; dalyba iš nulio niekada nėra atvirkštinis sprendimo veiksmas.
• Tikrinkite pradinę lygybę, vienetus ir situacijos sąlygas, o visą sprendinių aibę pagrįskite grįžtamuoju samprotavimu, ne vien pasirinktomis reikšmėmis.