Grafikų transformacijos ir dalimis apibrėžtos funkcijos

Koordinačių transformavimas išlaikant funkcijos taisyklę

Grafiko taškas (u, v) nurodo leistiną argumentą u ir jį atitinkančią funkcijos reikšmę v = f(u). Transformacija pagal šią taisyklę sukuria naują funkciją, pakeisdama funkcijai f perduodamą argumentą, jos grąžinamą reikšmę arba abu. Pradinį argumentą u skirkite nuo naujojo argumento x: jie gali atitikti skirtingas horizontaliąsias koordinates.

Tarkime, funkcijos f argumentai ir reikšmės yra realieji skaičiai. Nagrinėdami g(x) = a f(b(x − h)) + k, laikykime a ir b nenulinėmis realiosiomis konstantomis, o h ir k – realiaisiais skaičiais. Norėdami panaudoti pradinį tašką (u, v), išspręskite b(x − h) = u. Gauname x = h + u/b, o naujoji funkcijos reikšmė yra y = av + k. Taigi tiksli taškų atvaizdavimo taisyklė yra (u, v) → (h + u/b, av + k). Tai įrodo įstatymas: naujasis vidinis argumentas lygus u, todėl f grąžina v. Ši taisyklė galioja kiekvienam pradinio grafiko taškui, o ne tik keliems nubraižytiems pavyzdžiams.

Išoriniai pakeitimai tiesiogiai veikia reikšmių koordinates

Kai g(x) = f(x) + k, argumento koordinatė nesikeičia, o prie kiekvienos funkcijos reikšmės pridedama k. Teigiamas k pastumia grafiką aukštyn, neigiamas – žemyn. Kai g(x) = a f(x), kiekvienos funkcijos reikšmės koordinatė dauginama iš a. Koeficientas |a|, didesnis už 1, padidina vertikaliuosius atstumus nuo x ašies; koeficientas tarp 0 ir 1 juos sumažina. Žymėjimas |a| reiškia neneigiamą skaičiaus a modulį.

Jei a neigiamas, daugyba taip pat atspindi grafiką x ašies atžvilgiu: prieš bet kokį vertikalųjį poslinkį teigiamos reikšmės tampa neigiamomis, o neigiamos – teigiamomis. Pavyzdžiui, g(x) = −2f(x) + 5 atvaizduoja (u, v) į (u, 5 − 2v). Pirmiausia pakeiskite vertikaliosios koordinatės ženklą ir ją padvigubinkite, tada pridėkite 5. Taško, kurio funkcijos reikšmė yra 3, naujoji reikšmė bus −1; pridėję 5 prieš daugybą, gautumėte −2(3 + 5) = −16, o tai jau kita taisyklė.

Keičiant argumentą, reikia apskaičiuoti naują horizontaliąją koordinatę

Kai turime g(x) = f(x − h), pradinės funkcijos argumento reikšmė u pasiekiama, kai x = u + h. Todėl h > 0 pastumia grafiką į dešinę, o h < 0 – į kairę. Minuso ženklas argumente nereiškia, kad grafikas juda į kairę: kryptį nustato lygtis, siejanti senąją ir naująją argumento reikšmes. Kai turime f(x + 2), užrašykite h = −2; atitinkamas taškas pasislenka į kairę per 2.

Kai turime g(x) = f(bx), pradinės funkcijos argumento reikšmė u pasiekiama, kai x = u/b. Taigi |b| > 1 suspaudžia horizontaliuosius atstumus koeficientu 1/|b|, o 0 < |b| < 1 juos ištempia tuo pačiu koeficientu. Neigiamas b taip pat apverčia horizontaliąją kryptį: grafikas atspindimas y ašies atžvilgiu prieš bet kokį horizontalųjį poslinkį. Kai turime f(−2(x − 1)), visas atvaizdis yra x = 1 − u/2: pakeiskite pradinės horizontaliosios koordinatės ženklą, padalykite ją iš dviejų, tada pastumkite į dešinę per 1.

Prieš aprašydami veiksmų seką, perskaitykite sugrupuotą reiškinį

Dvi taisyklės f(2x − 6) ir f(2(x − 6)) yra skirtingos. Pirmąjį vidinį reiškinį išskaidykite dauginamaisiais, kad gautumėte 2(x − 3); jo taškų atvaizdavimo formulė yra x = 3 + u/2. Antrojo taškų atvaizdavimo formulė yra x = 6 + u/2. Jei kurią nors iš šių taisyklių aprašytumėte vien pastebėję 6 ir pavadinę tai poslinkiu per 6, neatsižvelgtumėte į grupavimą. Kai reiškinys užrašytas sugrupuota forma f(b(x − h)), pirmiausia pakeiskite pradinio grafiko horizontaliosios koordinatės mastelį ir prireikus ją atspindėkite, tada pridėkite h.

Kai išorinės transformacijos forma yra a f(x) + k, pirmiausia padauginkite pradinės funkcijos reikšmę, tada pridėkite k. O reiškinyje a(f(x) + k) padauginamas ir poslinkis. Horizontalias ir vertikalias koordinačių transformacijas galima atlikti bet kuria tvarka, nes jos veikia skirtingas koordinates; dvi tos pačios koordinatės transformacijos nebūtinai yra komutatyvios. Taškų atvaizdavimas pateikia vieną nuoseklų aprašymą net tada, kai išskleistoje formulėje sunku įžvelgti transformacijų seką.

Skirtingos transformacijos gali duoti tą patį grafiką

Kvadrato funkcijai, apibrėžtai visiems realiesiems argumentams, galioja f(−x) = (−x)² = x² = f(x). Atspindėjus jos grafiką y ašies atžvilgiu, grafikas nepasikeičia. Tokia funkcija vadinama lygine, kai jos apibrėžimo sritis yra simetriška nulio atžvilgiu ir f(−x) = f(x) kiekvienam leistinam argumentui. Koordinačių atvaizdavimas vis tiek atvaizduoja (u, u²) į (−u, u²); jis kitaip susieja taškus, nors visas grafikas sutampa su pradiniu.

Tai pačiai pradinei funkcijai galioja f(2x) = (2x)² = 4x² = 4f(x). Todėl horizontalus suspaudimas taikant koeficientą 1/2 ir vertikalus ištempimas taikant koeficientą 4 duoda tą pačią grafiko taškų aibę. Jų taškų atvaizdavimai skiriasi: pirmuoju atveju (u, u²) tampa (u/2, u²), o antruoju – (u, 4u²). Kartais formulę ar visą grafiką galima aprašyti daugiau nei vienu transformacijų būdu; dėl to nė vienas tikslus atvaizdavimas netampa neteisingas. Nemanykite, kad atspindys būtinai turi akivaizdžiai pakeisti kiekvieną pradinį grafiką.

Atvaizduokite visą apibrėžimo ir reikšmių sritį

Transformuotai funkcijai priskirkite iš pradinės funkcijos paveldėtą apibrėžimo sritį: visus realiuosius x, kuriems b(x − h) priklauso nurodytai pradinės funkcijos apibrėžimo sričiai. Tuomet kiekvienas leistinas pradinės funkcijos argumentas u turi naują argumentą h + u/b, o kiekvienas transformuotos funkcijos argumentas atitinka vieną leistiną u. Todėl jos visą reikšmių sritį sudaro visos reikšmės av + k, kai v priklauso visai pradinės funkcijos reikšmių sričiai. Papildomai apribojus naują apibrėžimo sritį, kai kurios funkcijos reikšmės gali išnykti, todėl tokiu atveju iš naujo patikrinkite reikšmių sritį.

Funkcijos f(u) = u², apibrėžtos visiems realiesiems u, reikšmių sritis yra v ≥ 0: kvadratai yra neneigiami, o bet kuri reikšmė v ≥ 0 gaunama pasirinkus u = √v. Atlikus horizontaliąją transformaciją su nenuliniu koeficientu, paveldėta apibrėžimo sritis vis dar apima visus realiuosius x, nes išreiškus x galima pasiekti kiekvieną realųjį u. Jei a > 0, transformuotos funkcijos reikšmių sritis yra y ≥ k; jei a < 0, ji yra y ≤ k. Kiekviena leistina y reikšmė gaunama pasirinkus pradinės funkcijos argumentą, kurio kvadratas yra (y − k)/a ≥ 0, ir tada atvaizdavus tą argumentą. Keli grafike pažymėti taškai pateikia pavyzdžių, o šis argumentas pagrindžia visą reikšmių sritį.

Prielaidos, kad koeficientai nelygūs nuliui, yra svarbios. Jei b = 0, vidinis argumentas visada yra 0: kad reiškinys duotų pastovią reikšmę, f(0) turi būti apibrėžta. Jei a = 0, daugyba iš nulio nepadaro neapibrėžtos f reikšmės apibrėžta; išlaikykite pradinio reiškinio argumento apribojimus. Atskirai apibrėžtai pastoviajai funkcijai galima priskirti kitą apibrėžimo sritį, tačiau tai jau naujas apibrėžimas.

Atvaizduokite ir galų reikšmes, ir jų įtraukimą

Tarkime, pradinė funkcija yra f(u) = u² tik tada, kai 0 ≤ u < 2. Jos reikšmių sritis yra 0 ≤ v < 4: kiekvienas kvadratas tenkina šias ribas, o kiekviena jas tenkinanti v reikšmė gaunama pasirinkus u = √v nurodytoje apibrėžimo srityje. Apibrėžkime g(x) = −2f(−3(x − 1)) + 5 paveldėtoje apibrėžimo srityje. Vidinio argumento sąlyga 0 ≤ −3(x − 1) < 2 duoda 1/3 < x ≤ 1. Dalijant nelygybę iš neigiamo skaičiaus, jos ženklas apsiverčia.

Reikšmių atvaizdavimas y = 5 − 2v atvaizduoja pradinės funkcijos reikšmių sritį į −3 < y ≤ 5. Įtrauktas pradinės funkcijos argumentas u = 0 atvaizduojamas į įtrauktą tašką (1, 5); neįtrauktas intervalo galas u = 2 būtų atvaizduotas į (1/3, −3), todėl šis taškas lieka neįtrauktas. Po atspindžio kairysis intervalo galas gali tapti dešiniuoju. Nei horizontalus, nei vertikalus atspindys nekeičia to, ar pats atitinkamas intervalo galas buvo įtrauktas.

Prieš skaičiuodami reikšmę, pasirinkite šaką pagal argumento sąlygą

Dalimis apibrėžta funkcija skirtingose savo apibrėžimo srities dalyse nusakoma skirtingomis formulėmis. Kiekvienai formulei nurodoma sąlyga argumentui. Norėdami rasti funkcijos reikšmę, pirmiausia patikrinkite nurodytą bendrąją apibrėžimo sritį, tada pasirinkite tenkinamą sąlygą ir tik tuomet įstatykite argumento reikšmę į tos šakos formulę. Nesirinkite šakos pagal tai, kuri duoda pageidaujamą funkcijos reikšmę, ir nesudėkite atskirų šakų reikšmių.

Moduliui apskaičiuoti naudokite A(x) = −x, kai x < 0, ir A(x) = x, kai x ≥ 0. Kai argumento reikšmė yra −3, neigiamiems argumentams skirta šaka duoda A(−3) = −(−3) = 3. Kai argumento reikšmė yra 0, tenkinama tik antroji sąlyga, todėl A(0) = 0. Abi šakos kartu apima visas realiąsias argumento reikšmes, o jų sąlygos nepersidengia. Jų funkcijos reikšmės sudaro reikšmių sritį y ≥ 0: funkcijos reikšmės negali būti neigiamos, o kiekviena reikšmė y ≥ 0 gaunama antrojoje šakoje, kai argumentas x = y.

Patikrinkite aprėptį ir vienareikšmiškumą ties kiekviena riba

Nepersidengiančios sąlygos, apimančios visą nurodytą apibrėžimo sritį, leidžia aiškiai apibrėžti funkciją dalimis, jei kiekviena pasirinkta formulė toje dalyje yra apibrėžta. Esant sąlygoms x < 0 ir x ≥ 0, kiekvienas realusis argumentas priklauso lygiai vienai šakai. Sąlygos x < 0 ir x > 0 neapimtų 0, jei nurodyta apibrėžimo sritis būtų visi realieji skaičiai. Jos galėtų apibrėžti funkciją mažesnėje srityje x ≠ 0, tačiau tai pakeistų apibrėžimą.

Kai sąlygos persidengia, jų formulės turi duoti tas pačias reikšmes visur, kur galioja abi sąlygos. Jei naudojama x − 1, kai x ≤ 0, ir x + 1, kai x ≥ 0, argumentui 0 būtų priskirtos ir −1, ir 1 reikšmės, todėl tokia taisyklė neapibrėžia funkcijos visiems realiesiems argumentams. Sutampančios reikšmės persidengimo srityje nepažeidžia vienareikšmiškumo, tačiau nepersidengiančios sąlygos leidžia išvengti neaiškumo renkantis šaką. Dalimis apibrėžta taisyklė taip pat gali netikti, jei pasirinkta formulė neapibrėžta; vien argumento sąlyga nepašalina dalybos iš nulio ar neigiamo pošaknio realiųjų skaičių srityje problemos.

Braižykite kiekvieną šaką jos srityje ir sujunkite tikrąsias reikšmes

Kai p(x) = x − 1 taikoma, jei x < 0, o p(x) = x + 1 – jei x ≥ 0, pirmąją tiesę braižykite tik į kairę nuo 0, o antrąją – tik nuo 0 į dešinę. Pirmosios šakos galinis taškas (0, −1) neįtrauktas; antrosios šakos taškas (0, 1) įtrauktas. Tuščiaviduris apskritimas žymi tai šakai nepriklausantį tašką, o užpildytas apskritimas – jai priklausantį tašką. Nebraižykite juos jungiančios vertikalios atkarpos: taip pridėtumėte reikšmių, kurių funkcija niekada nepriskiria argumentui 0.

Pirmosios šakos reikšmės yra tiksliai y < −1: ši riba išplaukia iš jos formulės, o bet kuri tokia y reikšmė gaunama, kai x = y + 1 < 0. Antrosios šakos reikšmės yra tiksliai y ≥ 1, kai argumentas x = y − 1 ≥ 0. Todėl visa reikšmių sritis yra y < −1 arba y ≥ 1. Sujunkite šakų reikšmių sritis įtraukdami kiekvieną reikšmę, kurią įgyja bent viena šaka, o ne užpildydami tarpą tarp mažiausios ir didžiausios pavaizduotų reikšmių.

Šis šuolis nepažeidžia funkcijos sąlygos: kiekvienam argumentui vis tiek priskiriama tik viena reikšmė, o p(0) = 1. Tolydumas nusako, ar grafikas jungiasi be trūkio; reikšmės vienareikšmiškumas – ar argumentui priskiriama daugiau nei viena reikšmė. Tai skirtingi klausimai. Modulio funkcijos pirmosios šakos neįtraukto galinio taško ir antrosios šakos įtraukto taško koordinatės sutampa: (0, 0); įtrauktas taškas priklauso visam grafikui.

Palyginkite transformuotą bazinį tašką su nepriklausomu nauju argumentu

Tyrinėjimo įrankyje pateiktos septynios visiems realiesiems skaičiams apibrėžtos bazinės kvadratinės funkcijos f(u) = u² transformacijos: (x − 2)² + 1, −x², (−x)², 2x², (2x)², (x/2)² ir −[−2(x − 1)]² + 3. Paskutinėje naudojama a = −1, b = −2, h = 1 ir k = 3, todėl jos taškų atvaizdis yra (u, u²) → (1 − u/2, 3 − u²). Atkreipkite dėmesį ir į po atspindžio nepakitusius grafikus, ir į sutampančius grafikus, gautus skirtingai aprašius mastelio keitimą.

Nepriklausomai pasirinkite naują argumentą x ir bazinės funkcijos argumentą u. Apskaičiuodami g reikšmę taške x, patikrinate vieną transformuotos taisyklės reikšmę; transformuodami bazinį tašką, patikrinate jį atitinkantį tašką, kurio naujas argumentas yra h + u/b. Šie du nauji argumentai nebūtinai sutampa. Likę du atvejai yra modulio funkcijos šakos ir taisyklė su šuoliu: x − 1, kai x < 0, ir x + 1, kai x ≥ 0; šiais atvejais šaką pasirinkite pagal pasirinktą argumentą.

Ribotos valdiklių parinktys ir rodomas grafiko langas negali apimti visų realiųjų argumentų ar reikšmių. Norėdami pagrįsti teiginius apie visą funkciją, naudokite bendrąjį taškų atvaizdį, apibrėžimo srities sąlygas ir reikšmių srities įrodymus. Prieš interpretuodami neįtrauktą ar įtrauktą tašką, patikrinkite pradinės formulės apribojimus ir galinių taškų sąlygas. Toliau nagrinėjama bendresnė funkcijų kompozicija; čia vidinis afininis argumento pakeitimas yra išreikštas aiškiai ir gali būti išspręstas tiksliai.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pradinės funkcijos grafikas eina per tašką (−4, 7). Funkcijai g(x) = −3f(2(x + 1)) + 5 jos paveldėtoje apibrėžimo srityje raskite atitinkamą naują tašką ir patikrinkite vidinį argumentą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naujasis taškas yra (−3, −16); jo vidinis argumentas yra −4.

   Užrašykite x + 1 kaip x − (−1), taigi h = −1, b = 2, a = −3 ir k = 5. Transformuojant gaunama x = −1 + (−4)/2 = −3 ir y = −3(7) + 5 = −16. Kai x = −3, gaunama 2(x + 1) = −4 – leistinas duotojo pradinės funkcijos taško argumentas.

2. Pradinės funkcijos reikšmė yra f(1) = 4. Palyginkite g(x) = 2f(x) + 3 ir j(x) = 2(f(x) + 3) reikšmes, kai argumento reikšmė yra 1. Taip pat palyginkite f(2x − 6) ir f(2(x − 6)) taškų horizontaliųjų koordinačių atvaizdavimą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   g(1) = 11 ir j(1) = 14. Horizontaliųjų koordinačių atvaizdavimo taisyklės yra atitinkamai x = 3 + u/2 ir x = 6 + u/2.

   Pirmoji reikšmė yra 2(4) + 3 = 11, o antroji – 2(4 + 3) = 14, nes jos poslinkis taip pat dauginamas. Išsprendus 2x − 6 = u, gaunama x = 3 + u/2, o iš 2(x − 6) = u gaunama x = 6 + u/2. Grupavimas lemia veiksmų seką ir poslinkį.

3. Kai f(x) = x² apibrėžta visoms realiosioms argumento reikšmėms, palyginkite f(−x) su −f(x) ir f(2x) su 4f(x). Ar skirtingos koordinačių atvaizdavimo taisyklės visada turi duoti skirtingus grafikus?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   f(−x) = x² nesikeičia; −f(x) = −x² sutampa su ja tik tada, kai x = 0. f(2x) = 4f(x) = 4x², nors pradinio grafiko taškų atvaizdavimo taisyklės skiriasi.

   Pakeitus argumento ženklą, taškas (u, u²) atvaizduojamas į (−u, u²), o pakeitus funkcijos reikšmės ženklą – į (u, −u²). Kad x² ir −x² būtų lygūs, turi būti 2x² = 0, taigi x = 0. Horizontaliai suspaudžiant, taškas (u, u²) atvaizduojamas į (u/2, u²), o vertikaliai ištempiant – į (u, 4u²). Abu būdai aprašo visą grafiką y = 4x². Skirtingos taškų atvaizdavimo taisyklės nebūtinai duoda skirtingus grafikus.

4. Tarkime, kad f(u) = u² tik tada, kai 0 ≤ u < 2. Nagrinėdami g(x) = −2f(−3(x − 1)) + 5 iš pradinės funkcijos perimtoje apibrėžimo srityje, nustatykite tikslią apibrėžimo sritį ir reikšmių sritį bei paaiškinkite, kodėl kiekvienas iš dviejų galinių taškų įtraukiamas arba neįtraukiamas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžimo sritis: 1/3 < x ≤ 1; reikšmių sritis: −3 < y ≤ 5. Taškas (1, 5) įtraukiamas, o (1/3, −3) neįtraukiamas.

   Padalijus iš neigiamo skaičiaus, sąlyga 0 ≤ −3(x − 1) < 2 virsta x ≤ 1 ir x > 1/3. Pradinės funkcijos reikšmių sritis yra 0 ≤ v < 4; tai įrodoma pasitelkus u = √v. Pritaikius y = 5 − 2v, gaunama −3 < y ≤ 5. Pradinės funkcijos argumento reikšmė u = 0 yra leistina, o u = 2 neįtraukiama, todėl jų atvaizdžius atitinkantys galiniai taškai išlaiko šias įtraukimo sąlygas.

5. Pradėdami nuo f(u) = 1/u, kai u ≠ 0, apibrėžkite r(x) = 2f(x + 3) − 4. Nurodykite iš pradinės funkcijos perimtą apibrėžimo sritį ir visą reikšmių sritį, tada pateikite argumento reikšmę, kuriai esant gaunama bet kuri pasirinkta šios reikšmių srities reikšmė y.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Apibrėžimo sritis: x ≠ −3; reikšmių sritis: y ≠ −4. Kiekviena reikšmė y ≠ −4 gaunama, kai x = 2/(y + 4) − 3.

   Vidinis vardiklis reikalauja, kad x + 3 ≠ 0. Narys 2/(x + 3) negali būti lygus nuliui, todėl atėmus 4 niekada negaunama −4. Kai y ≠ −4, pasiūlyta argumento reikšmė yra realioji ir tenkina x + 3 = 2/(y + 4) ≠ 0; ją įstačius gaunama 2/(2/(y + 4)) − 4 = y. Taip pagrindžiama ir tai, kad ši reikšmė neįtraukiama, ir tai, kad gaunama kiekviena kita reikšmė.

6. Visiems realiesiems argumentams apibrėžkime: j(x) = −2x, kai x < 1, ir j(x) = x + 2, kai x ≥ 1. Raskite j(−2), j(1), j(3) ir visą reikšmių sritį. Kurie galiniai taškai nepriklauso grafikui, o kurie priklauso?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   j(−2) = 4, j(1) = 3, j(3) = 5; visa reikšmių sritis yra y > −2. Pirmajai šakai nepriklauso taškas (1, −2); antrajai priklauso taškas (1, 3).

   Šaką pasirinkite pagal argumentą: kai argumentas yra −2, taikoma −2x, o kai 1 arba 3, taikoma x + 2. Pirmoji šaka įgyja visas reikšmes y > −2, nes x = −y/2 < 1; antroji šaka įgyja visas reikšmes y ≥ 3, nes x = y − 2 ≥ 1. Bendra abiejų šakų reikšmių sritis yra y > −2, kadangi antrosios šakos reikšmių sritis jau yra pirmosios poaibis. Kai x = 1, taikoma tik antroji šaka; šakas jungianti vertikali atkarpa grafikui nepriklauso.

7. Kiekvienoje taisyklėje nurodyta, kad apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai. A taiko x − 1, kai x ≤ 0, ir x + 1, kai x ≥ 0. B taiko x − 1, kai x < 0, ir x + 1, kai x > 0. C taiko x − 1, kai x < 0, ir x + 1, kai x ≥ 0. Kuri taisyklė apibrėžia funkciją nurodytoje apibrėžimo srityje ir ar jos šuolis tam trukdo?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tik C apibrėžia funkciją visiems realiesiems argumentams. A argumentui 0 priskiria dvi reikšmes; B neapima argumento 0. C šuolis nepažeidžia funkcijos reikšmės vienareikšmiškumo.

   Pagal A taisyklę argumentui 0 būtų priskirtos reikšmės −1 ir 1. B atveju argumentas 0 netenkina nė vienos sąlygos; šios taisyklės gali apibrėžti funkciją, jei apibrėžimo sritis pakeičiama į x ≠ 0. C atveju kiekvienas argumentas tenkina lygiai vieną sąlygą, o C(0) = 1. Jos reikšmių sritis yra y < −1 arba y ≥ 1, tačiau nei tarpas, nei šuolis nepriskiria jokiam argumentui daugiau nei vienos reikšmės.

Ką verta įsidėmėti

• Kai a ir b nelygūs nuliui, taisyklė g(x) = a f(b(x − h)) + k kiekvieną pradinio grafiko tašką (u, v) atvaizduoja į tašką (h + u/b, av + k).
• Išoriniai pakeitimai tiesiogiai daugina ir pastumia funkcijos reikšmių koordinates; atliekant vidinius pakeitimus, reikia išspręsti vidinę lygtį naujojo argumento atžvilgiu.
• Horizontalus mastelio koeficientas yra 1/|b|; kai b neigiamas, atliekamas atspindys. Vertikalus mastelio koeficientas yra |a|; kai a neigiamas, atliekamas atspindys. Poslinkius nustatykite pagal sugrupuotą reiškinį.
• Skirtingos transformacijos gali duoti tą patį visą grafiką. Dėl simetrijos arba algebrinės tapatybės grafikai gali sutapti net tada, kai pradinių taškų atvaizdžiai skiriasi.
• Atvaizduodami perkelkite pradinės funkcijos nurodytą apibrėžimo sritį, visą reikšmių sritį ir galinių taškų priklausymą grafikui. Papildomai apriboję apibrėžimo sritį, iš naujo patikrinkite reikšmių sritį.
• Kai funkcija apibrėžta dalimis, patikrinkite bendrą apibrėžimo sritį, pagal argumento sąlygą pasirinkite šaką ir tada apskaičiuokite reikšmę. Apimkite kiekvieną nurodytos apibrėžimo srities argumentą ir venkite skirtingų reikšmių priskyrimo tam pačiam argumentui ten, kur sąlygos persidengia.
• Kiekvienos šakos grafiką braižykite tik jos apibrėžimo srityje, pažymėkite nepriklausančius ir priklausančius galinius taškus ir sujunkite tikslias šakų reikšmių sritis. Net ir esant šuoliui, kiekvieną argumento reikšmę gali atitikti viena funkcijos reikšmė.