Grafikų skaitymas ir klaidinančių skalių atpažinimas

Pradėkite nuo to, ką grafikas vaizduoja ir ko klausiate

Grafikas reikšmes pateikia vaizdu, kad galėtumėte perskaityti atvejus, palyginti dydžius arba nagrinėti ryšį. Pirmiausia paklauskite, kas vaizduojama: išmatuotas dydis, daiktų skaičius, nurodytas matematinis modelis ar pasirinkti įrašai? Pavadinimas padeda suprasti klausimą, bet nepakeičia ašių žymenų ir duomenų aprašo.

Pamokoje naudojama pavyzdinė rezervuaro lentelė su tiksliomis nurodytomis reikšmėmis: nulinę dieną 100 L, pirmąją 102 L, trečiąją 104 L, šeštąją 106 L. Tai duotos pavyzdžio reikšmės, o ne teiginys apie tikrą išmatuotą rezervuarą. Lentelė pateikia keturis atvejus; ji nepateikia nenutrūkstamo pildymo taisyklės ir nepaaiškina, kodėl kiekis keičiasi.

Perskaitykite ašis, vienetus, intervalą ir papildomus žymenis

Nustatykite horizontaliąjį ir vertikalųjį dydžius, jų vienetus, didėjimo kryptis ir padalų žingsnius. Čia laikas t horizontaliai išreikštas dienomis, o tūris V vertikaliai – litrais. Patikrinkite mažiausią ir didžiausią matomą kiekvienos ašies reikšmę. Koordinačių pradžia (0, 0) gali nepatekti į priartintą vaizdą; apačia nebūtinai yra skaitinis nulis.

Jei grafike yra kelios duomenų sekos, prieš aiškindami spalvą, žymeklį ar liniją perskaitykite legendą. Taip pat patikrinkite reikšmių kilmę, apimamą laikotarpį ir nurodytas sąlygas. Rodoma viršutinė riba 120 L yra ašies pasirinkimas, o ne įrodymas, kad rezervuaro talpa 120 L. Skirkite vaizdo langą nuo informacijos apie objektą.

Pažymėtas priartinimas keičia vaizdą, o ne reikšmes

Tuos pačius rezervuaro įrašus galima nubrėžti su tūrio intervalu nuo nulio iki 120 L arba priartinus nuo 99 iki 107 L. Antras vaizdas leidžia lengviau nagrinėti skirtumus, o pirmas suteikia daugiau konteksto nulio atžvilgiu. Linijų ar taškų grafike galima naudoti aiškiai pažymėtą priartinimą; vien nenulinė apatinė riba savaime nereiškia, kad grafikas klaidingas.

Modelis abiejuose vaizduose išlaiko tą patį piešinio aukštį. Galinių reikšmių 6 L skirtumas visame vaizde užima 12 brėžinio vienetų, priartintame – 180, taigi penkiolika kartų daugiau vietos. Įrašytos reikšmės lieka 100 ir 106 L, o skirtumas 6 L. Paslėpus intervalą arba didesnį matomą tarpą pavadinus didesniu skaitiniu pokyčiu, ta pati informacija būtų pateikta klaidingai.

Skirkite skirtumą nuo procento pagal įvardytą atskaitą

Absoliutus pokytis yra galinė reikšmė minus pradinė, su dydžio vienetu. Nuo 100 L iki 106 L padidėjimas yra 106 L − 100 L = 6 L. Santykiniam procentiniam pokyčiui skirtumas dalijamas iš nurodytos nenulinės atskaitos reikšmės ir dauginamas iš 100%. Pradinė 100 L atskaita duoda (6 L)/(100 L) × 100% = 6%.

Galinis kiekis yra 106% pradinio kiekio; tai skiriasi nuo 106% padidėjimo. Apvertus palyginimą, pasikeičia ir atskaita: nuo 106 L atgal iki 100 L sumažėjimas yra (6/106) × 100% = (300/53)%, maždaug 5,66%, o ne šeši procentai. Grafiko apatinės ribos, pavyzdžiui, 99 L, nenaudokite kaip atskaitos, nebent užduotis aiškiai prašo lyginti būtent su ja.

Kai prasmę turi stulpelio ilgis, rinkitės prasmingą atskaitos lygį

Kai stulpelių ilgiais lyginami dydžių didumai, atskaitos lygis paprastai turi reikšti nulį. Nuo nulio nubrėžtų 100 L ir 106 L stulpelių ilgių santykis 100:106. Jei abu prasideda ties 99 L, matomi ilgiai reiškia vieną ir septynis litrus virš šio poslinkio, o ne visus tūrius. Perskaičius tuos ilgius kaip visus tūrius, antras klaidingai atrodytų septynis kartus didesnis už pirmą.

Aiškiai įvardytas viršijimas virš atskaitos gali būti kitas vaizduojamas dydis, tačiau paaiškinkite atskaitą ir tą dydį pažymėkite. Reikšmėms su ženklu nulis gali būti grafiko viduje: teigiami stulpeliai nuo jo eina į vieną pusę, neigiami – į kitą. Šis samprotavimas skirtas stulpelio ilgio prasmei; tai nėra taisyklė, kad kiekvieno taškų ar linijų grafiko vertikalioji ašis privalo prasidėti nuliu. Modelyje naudojami taškai ir pasirenkamos atkarpos, o ne stulpeliai.

Nevienodiems laiko intervalams suteikite tinkamą plotį

Tiesinėje laiko ašyje vienodi atstumai ekrane turi reikšti vienodą praėjusį laiką. Nulinės, pirmosios, trečiosios ir šeštosios dienų gretimos trukmės yra viena, dvi ir trys dienos. Todėl horizontaliųjų tarpų santykis turi būti 1:2:3. Išdėsčius jas vienodais tarpais, bet ašį toliau žymint kaip tiesinį praėjusį laiką, trukmės vaizduojamos klaidingai.

Kiekvienas gretimas tūrio padidėjimas yra 2 L, bet vidutiniai intervalų pokyčio tempai skiriasi: per vieną dieną tai 2 L/dieną, per dvi dienas 1 L/dieną, o per tris dienas 2/3 L/dieną. Per visas šešias dienas neto pokytis yra 6 L, todėl bendras vidutinis tempas 1 L/dieną. Tai intervalų neto vidurkiai; jie nenustato pastovaus pildymo tempo ar visų svyravimų tarp įrašų.

Tempą apskaičiuokite, o ne spręskite vien iš kampo

Matomas atkarpos kampas priklauso nuo to, kiek vietos ekrane skirta kiekvienam horizontaliojo ir vertikaliojo dydžio vienetui. Vertikaliai ištęstas grafikas, siauresnis horizontalusis vaizdas ar priartintas tūrio intervalas gali tą patį skaitinį pokytį parodyti statesnį. Intervalo tempas vis tiek gaunamas tūrio pokytį dalijant iš laiko pokyčio pagal ašių reikšmes ir vienetus.

Pirmąjį rezervuaro intervalą palyginkite visame ir priartintame vaizduose. Jis lieka 2 L pokytis per vieną dieną, taigi 2 L/dieną. Priartintame vaizde jis užima daugiau vertikalios vietos, nes kiekvienas litras piešiamas didesnis. Klaidingų tarpų pavyzdyje vienodi horizontalieji tarpai paslepia didėjančias praėjusio laiko trukmes. Nuolydžiams aiškinti reikia teisingų žymenų ir proporcingų laiko tarpų.

Įverčius tarp įrašų ar už jų ribų aiškiai įvardykite

Teisingą mastelį turinčiose ašyse pavyzdžių sujungimas tiesiomis atkarpomis yra tiesinio interpoliavimo tarp įrašų susitarimas. Norint įvertinti neįrašytas reikšmes, daroma tiesinio kitimo kiekviename intervale prielaida. Tarp pirmos dienos su 102 L ir trečios su 104 L šis susitarimas antrą dieną įvertina 103 L. Įvertis nėra papildomas lentelėje pateiktas stebėjimas.

Ekstrapoliavimas pratęsia prielaidą už įrašyto intervalo. Nuo šeštos dienos tęsiant paskutinio intervalo vidutinį 2/3 L/dieną tempą, devintą dieną būtų prognozuojama 108 L, bet lentelė tokio tęsinio nenustato. Rezervuaro kitimas gali pasikeisti arba turėti čia nepateiktų ribų. Nurodykite pasirinktą prielaidą, prognozę skirkite nuo įrašo ir patikrinkite, ar situacija leidžia pratęsimą.

Nepateiktą reikšmę skirkite nuo nulio ir neapibrėžties

Antrai dienai įrašo nepateikta. Tai nereiškia, kad rezervuare buvo nulis litrų, ir savaime nereiškia, kad interpoliuoti 103 L buvo išmatuoti. Stebėjimų grafike trūkstamą informaciją tinkamai pažymėkite arba palikite tarpą; paaiškinkite bet kokią per jį jungiančią taisyklę. Tikras nulis yra įrašyta arba kitaip pagrįsta skaitinė reikšmė, o ne tuščio įrašo pakaitalas.

Tikri matavimai taip pat gali turėti neapibrėžtį. Paklaidų juostos gali nusakyti diapazoną, stebėjimų sklaidą, pasikliautinąjį intervalą arba nurodytą matavimo neapibrėžtį; perskaitykite apibrėžtą jų prasmę ir nelaikykite šių dalykų sukeičiamais. Juostų nebuvimas neįrodo matavimų tikslumo. Čia keturios reikšmės yra tiksliai nurodyti pavyzdžiai; matavimo neapibrėžtis nepateikta ir nėra išvedama iš sveikųjų skaičių užrašo.

Vaizduojamas bendras kitimas nepateikia priežasties

Rezervuaro lentelėje kiekvieną vėlesnę pasirinktą dieną nurodytas didesnis tūris. Šis palyginimas nustato tas keturias reikšmes ir jų skirtumus; jis neįvardija įtekėjimo, ištekėjimo ar pokyčių priežasties. Laikas ašyje sutvarko įrašus, bet kylantis vaizdas savaime nepaaiškina mechanizmo.

Apskritai du vaizduojami dydžiai gali kisti kartu, o grafikas neįrodo, kad vienas sukelia kitą. Gali būti svarbūs kiti veiksniai, bendros sąlygos arba atvejų atrankos būdas. Grafiku aprašykite vaizduojamą bendrą kitimą, o priežastinį paaiškinimą laikykite atskirai ir klauskite, kokia papildoma informacija jį pagrįstų. Teisingai apskaičiuotas nuolydis šio klausimo neišsprendžia.

Keiskite pateikimą, išlaikydami įrašus

Pradėkite nuo viso vaizdo, pasirinktos šeštos dienos ir išjungto interpoliavimo. Lentelė ir taškų grafikas išlaiko tikslius įrašus (0 dienų, 100 L), (1 diena, 102 L), (3 dienos, 104 L) ir (6 dienos, 106 L). Pasirinktas galinis įrašas rodo 6 L ir šešių procentų padidėjimą pradinių 100 L atžvilgiu. Atkarpos tarp pavyzdžių nebraižomos, kol nepasirenkate interpoliavimo.

Pasirinkite visą tūrio intervalą nuo 0 iki 120 L, pažymėtą priartinimą nuo 99 iki 107 L arba aiškiai klaidingų tarpų pavyzdį. Pirmieji du išlaiko proporcingas nulinės, pirmosios, trečiosios ir šeštosios dienų vietas. Klaidingas pavyzdys sąmoningai nevienodas trukmes išdėsto vienodais horizontaliojo vaizdo tarpais ir kiekviename pateikimo apraše pažymėtas kaip klaidingas. Teisinga lentelė lieka matoma palyginimui.

Trys pateikimai, keturi pasirenkami įrašai ir įjungtas arba išjungtas interpoliavimas duoda 3 × 4 × 2 = 24 būsenas. Kiekvienas valdiklis išlaiko kitus pasirinkimus ir visas duotas reikšmes. Dviejuose teisingo laiko vaizduose pasirenkamos tiesios atkarpos pažymėtos kaip interpoliavimas tarp pavyzdžių, o ne stebėta taisyklė ar momentinis tempas. Klaidingų tarpų pavyzdyje jungiančios atkarpos negali teisingai vaizduoti interpoliavimo pagal tikrą praėjusį laiką, nes laiko ašis iškreipta. Palyginkite abu mastelius bei intervalų trukmes, tada skaitinę išvadą patikrinkite lentelėje.

Pateikite skaitinę išvadą su jos sąlygomis

Nurodykite dydį, reikšmes, vienetus, intervalą ir atskaitą, kurie pagrindžia išvadą. Šiame pavyzdyje neto padidėjimas yra 6 L per šešias dienas, lygus šešiems procentams pradinių 100 L. Pažymėtas priartinimas keičia matomą dydį, o vienodi nevienodo praėjusio laiko tarpai pakeičia grafiko laiko vaizdavimą. Interpoliavimą, trūkstamą informaciją ir galimus paaiškinimus skirkite nuo duotų įrašų.

Taip užbaigiamas pagrindų kelias nuo dydžių ir skaičių iki formulių, koordinačių bei grafikų skaitymo. Kita suplanuota pamoka „Tiesinės lygtys ir ekvivalentūs pertvarkymai“ toliau plėtos lygčių sprendimą, išlaikant leidžiamas reikšmes ir pagrįstus veiksmus. Įprotis išlieka tas pats: perskaitykite ryšį ir jo sąlygas, skaičiuokite atidžiai ir patikrinkite, ką rezultatas iš tikrųjų nustato.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Grafike horizontaliai pažymėtas laikas dienomis, vertikaliai tūris litrais, o matomas tūrio intervalas nuo nulio iki 120 L. Ar 120 L nustato rezervuaro talpą? Ką dar perskaityti prieš aiškinant spalvotą liniją?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne: 120 L yra rodoma ašies riba, o ne nurodyta rezervuaro talpa. Perskaitykite legendą, padalų reikšmes bei vienetus, duomenų aprašą, laikotarpį ir sąlygas ar kilmės informaciją.

   Grafiko langas ir objekto savybės yra skirtinga informacija. Spalvai ar linijai reikia įvardytos prasmės, kad ji galėtų pagrįsti skaitinę išvadą.

2. Nuo 100 L iki 106 L raskite padidėjimą ir skirkite šešių procentų prieaugį nuo 106% pradinio kiekio. Jei palyginimas apverčiamas, ar sumažėjimas taip pat tiksliai šeši procentai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Padidėjimas 6 L, lygus 6% pradinio kiekio, o galinis tūris yra 106% jo. Apverstas palyginimas naudoja 106 L atskaitą: sumažėjimas (6/106) × 100% = (300/53)%, maždaug 5,66%.

   Procentinis pokytis priklauso nuo atskaitos vardiklio. Tas pats absoliutus skirtumas, pakeitus atskaitą, gali turėti skirtingus santykinius procentus.

3. Ar aiškiai pažymėtas taškų grafiko priartinimas nuo 99 iki 107 L savaime klaidingas? Kodėl stulpelių, skirtų visiems 100 L ir 106 L tūriams lyginti, matomi ilgiai nuo 99 L reikalautų kitos prasmės?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pažymėtas taškų grafiko priartinimas gali pagrįstai parodyti mažus skirtumus. Ties 99 L prasidedančių stulpelių ilgiai reiškia vieno ir septynių litrų viršijimus, o ne visus tūrius; ilgio palyginimui pagal visą dydį paprastai naudojamas nulis.

   Mastelį rinkitės pagal žymeklių prasmę ir jį aiškiai įvardykite. Stulpelių ilgio palyginimas ir taškų ar linijų grafikas nesukuria vienos visuotinės nulinės atskaitos taisyklės.

4. Raskite tris gretimas trukmes nulinės, pirmosios, trečiosios ir šeštosios dienų įrašams bei jų tūrio pokyčio tempus. Koks bendras vidurkis nuo nulinės iki šeštos dienos? Ar tai įrodo, kad tūris kiekvieną dieną didėjo vienu litru?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Trukmės viena, dvi ir trys dienos, tempai 2, 1 ir 2/3 L/dieną. Bendras vidurkis yra 6 L, padalyti iš šešių dienų, taigi 1 L/dieną. Jis neįrodo vienodo kasdienio padidėjimo.

   Kiekvieną neto pokytį dalykite iš jo praėjusio laiko trukmės. Intervalo vidurkis nepateikia visų tarpinių reikšmių ar momentinio tempo.

5. Galinių reikšmių 6 L skirtumas visame vaizde užima 12 brėžinio vienetų, priartintame – 180. Raskite vaizdo padidinimo koeficientą. Ar pasikeitė tūriai, procentas pradinės reikšmės atžvilgiu arba pirmojo intervalo 2 L/dieną tempas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Padidinimo koeficientas 180/12 = 15. Įrašyti tūriai, šešių procentų padidėjimas ir pirmojo intervalo vidutinis 2 L/dieną tempas nepasikeičia.

   Vertikalusis intervalas ir vaizdo proporcijos veikia įspūdį. Skaitiniai skirtumai bei tempai gaunami iš reikšmių ir vienetų, o ne vien nubrėžto kampo ar tarpo.

6. Antrai dienai įrašo nepateikta. Ar jos tūris nulinis, ar išmatuotas 103 L? Jei kitame grafike yra paklaidų juostos, ar vien iš jų vaizdo galima nustatyti prasmę? Ar jų nepateikus įrodoma, kad matavimai tikslūs?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nei vienas, nei kitas: antra diena neįrašyta; 103 L yra įvertis tik darant tiesinio interpoliavimo prielaidą. Juostų prasmė turi būti nurodyta, o jų nebuvimas nenustato matavimų tikslumo.

   Skirkite trūkstamą informaciją, pagrįstą nulį, modelio įverčius ir matavimo neapibrėžtį. Sveikųjų skaičių žymenys ar pažįstamas juostų vaizdas nepateikia praleistų apibrėžimų.

7. Keturios nurodytos rezervuaro reikšmės kiekvieną vėlesnę pasirinktą dieną didesnės. Ar lentelė nustato nenutrūkstamą pildymą, jo priežastį ar devintos dienos tūrį? Kokia informacija pagrįsta ir kam reikia papildomos prielaidos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ji nustato keturias reikšmes, jų skirtumus ir atitinkamus intervalų vidurkius. Ji nenustato kiekvienos tarpinės reikšmės, priežasties ar būsimo tūrio. Nenutrūkstamoms atkarpoms bei ateities prognozėms reikia nurodytų prielaidų.

   Vaizduojamą bendrą kitimą aprašykite tik jo tikrąja apimtimi. Teisinga aritmetika ir kylantis vaizdas nepaverčia interpoliavimo susitarimo ar galimo paaiškinimo stebėtu faktu.

Ką verta įsidėmėti

• Prieš darydami išvadą iš grafiko, perskaitykite dydžius, vienetus, padalas, intervalus, legendą ir situaciją.
• Skirtumus ir tempus skaičiuokite iš reikšmių; procentui taip pat reikia įvardytos nenulinės atskaitos.
• Pažymėtas linijų ar taškų priartinimas gali būti naudingas. Stulpelių ilgiams reikia prasmingos atskaitos, o tiesinėse laiko ašyse būtina išlaikyti nevienodus praėjusio laiko tarpus.
• Interpoliavimas, ekstrapoliavimas, trūkstamos reikšmės, pagrįsti nuliai ir apibrėžta matavimo neapibrėžtis yra skirtinga informacija.
• Vien matomas statumas ir bendras kitimas nenustato pasikeitusio skaitinio tempo, visos kitimo tarp įrašų taisyklės ar priežastinio paaiškinimo.