Tiesinės lygtys ir lygiaverčiai pertvarkymai

Raskite visas leistinąsias reikšmes, o ne vieną atspėtą

Lygtimi teigiama, kad dviejų reiškinių reikšmės yra lygios. Sprendinys yra leistinoji nežinomojo reikšmė, kuriai esant šis teiginys yra teisingas. Jei kontekste nenurodyta kitaip, šioje pamokoje dirbame realiųjų skaičių aibėje. Išspręsti lygtį reiškia rasti visas tokias reikšmes; vienos galimos reikšmės patikrinimas suteikia informacijos tik apie tą reikšmę.

Dabar nuo vienu veiksmu išsprendžiamų lygčių ir formulių pertvarkymo pereiname prie lygčių, kuriose nežinomasis kartojasi, yra skliaustų ir nežinomasis yra abiejose pusėse. Pavyzdžiui, 3x − 4 = 2x + 5 nėra veiksmų seka, taikoma vienam nežinomajam tik vienoje pusėje. Abu reiškiniai priklauso nuo tos pačios x reikšmės.

Sutraukite narius su vienoda raidine dalimi

Narys yra sudėties arba atimties ženklais atskirta reiškinio dalis; jo ženklas yra jo dalis. Reiškinyje 3x + 2 − x + 4 nariai su kintamuoju yra 3x ir −x, o pastovieji nariai – 2 ir 4. Kadangi 3x − x = (3 − 1)x = 2x, reiškinys tampa 2x + 6 esant bet kuriai realiajai x reikšmei.

Sutraukiant panašiuosius narius, skirstomumo dėsnis taikomas atvirkščiai. Tai neleidžia 3x + 2 = 5x: konstanta 2 nėra dviejų x suma. Koeficientas 1 paprastai nerašomas, todėl x = 1x; panašiai ir −x = (−1)x. Pertvarkydami sumą, minuso ženklą išlaikykite prie viso nario.

Daugiklį taikykite kiekvienam nariui skliaustuose

Taikant skirstomumo dėsnį gaunama 2(x + 3) = 2x + 6. Neigiamu daugikliu taip pat dauginamas kiekvienas narys: −2(x − 3) = −2x + 6. Norėdami supaprastinti 5 − (2x + 1), skliaustuose esančio reiškinio atėmimą supraskite kaip jam priešingo reiškinio pridėjimą: 5 − 2x − 1 = 4 − 2x.

Reiškinį pakeisti jam lygiu reiškiniu galima esant bet kuriai leistinai kintamųjų reikšmei. Tai skiriasi nuo lygties pertvarkymo atliekant veiksmą abiejose jos pusėse. Atskleisti skliaustus tik vienoje pusėje galima, jei tos pusės reikšmė išlieka tokia pati; atėmus narį tik iš vienos pusės, lygtis paprastai pasikeičia.

Rinkitės grįžtamus pertvarkymus

Lygiavertės lygtys nurodytoje srityje turi lygiai tuos pačius sprendinius. Prie abiejų pusių pridėjus tą patį reiškinį arba iš jų atėmus tą patį reiškinį, sprendiniai nesikeičia, jei tas reiškinys apibrėžtas visoje srityje: galima atlikti atvirkštinį veiksmą. Abiejų pusių dauginimas iš to paties pastovaus nenulinio skaičiaus arba dalijimas iš jo taip pat yra grįžtamas.

Dauginant iš nulio galima prarasti informaciją. Padauginus x = 3 iš nulio gaunama 0 = 0; šią lygtį tenkina kiekvienas realusis x, o ne tik 3. Dalyba iš x nėra savaime leistinas veiksmas, nes x gali būti lygus nuliui; lygtyje 2x = x taip būtų prarastas teisingas sprendinys – nulis. Šioje pamokoje naikinami tik skaitiniai vardikliai. Vardikliams su kintamaisiais ir kėlimui kvadratu reikia papildomų apibrėžimo srities ir implikacijų patikrų; jos bus atliekamos vėlesnėse pamokose.

Sutelkite narius su kintamuoju, aiškiai nurodydami tą patį veiksmą abiejose pusėse

Iš abiejų lygties 3x − 4 = 2x + 5 pusių atimkite 2x. Supaprastinę gausite x − 4 = 5. Prie abiejų pusių pridėkite 4, kad gautumėte x = 9. Įstatę gautą reikšmę į pradinę lygtį, gauname 3 × 9 − 4 = 23 ir 2 × 9 + 5 = 23, taigi ši reikšmė yra sprendinys.

Narys savaime nepereina per lygybės ženklą. Įprastas ženklo pakeitimas žymi abiejose pusėse atliktą sudėtį arba atimtį. Kitas tinkamas būdas – pirmiausia atimti 3x, gaunant −4 = −x + 5, tada −9 = −x ir galiausiai 9 = x. Rinkitės patogų būdą ir užrašykite pakankamai žingsnių, kad paaiškintumėte, kodėl sprendiniai nesikeičia.

Panaikinkite nenulinius skaitinius vardiklius visoje lygtyje

Norėdami išspręsti (x − 2)/3 = (x + 4)/6, visą kairiąją ir visą dešiniąją lygties pusę padauginkite iš 6 – nenulinio bendrojo kartotinio. Kairioji pusė tampa 2(x − 2), o dešinioji – x + 4. Atskleidę skliaustus gausite 2x − 4 = x + 4; atėmę x ir pridėję 4, gausite x = 8. Abi pradinės lygties pusės lygios 2.

Lygtyje, kurioje yra keli nariai, daugiklis taikomas kiekvienam nariui, įskaitant tuos, kurie neturi vardiklio. Padauginus lygtį x/2 + 1 = x/3 + 4 iš 6, gaunama 3x + 6 = 2x + 24, taigi x = 18. Padauginus tik trupmeninius narius, būtų gauta kita lygtis. Naudojant tikslias trupmenas išvengiama apvalinimo paklaidų tiksliuose algebriniuose skaičiavimuose.

Prieš dalydami patikrinkite koeficientą

Supaprastinus, šios lygtys įgyja pavidalą ax + b = cx + d su pastoviais realiaisiais koeficientais. Iš abiejų lygybės pusių atimkite cx, o tada b, kad gautumėte (a − c)x = d − b. Pažymėkite A = a − c ir B = d − b; tada galutinis sąryšis yra Ax = B.

Jei A nelygus nuliui, padaliję iš A gauname vienintelį realųjį sprendinį x = B/A. Jei A lygus nuliui, dalyti negalima. Kai B taip pat lygus nuliui, 0 = 0 galioja kiekvienam realiajam x. Kai B nelygus nuliui, 0 = B negalioja jokiam realiajam x. Šie trys atvejai išplaukia iš supaprastintos lygties, o ne iš to, kiek bandymui pasirinktų galimų sprendinių tenkino lygtį.

Tikrinkite tas pačias reikšmes grįžtamųjų pertvarkymų grandinėje

Toliau pateiktas modelis prasideda nuo nurodytos pradinės lygties: prireikus atskleidžiami skliaustai, tada sugrupuojami nariai su kintamuoju ir pastovieji nariai. Pasirinkite tikrinamą reikšmę nepriklausomai nuo pertvarkymo etapo. Kiekviename etape lygybės teisingumas su šia reikšme išlieka toks pat; abiejų pusių skaitinės reikšmės gali keistis.

Kai koeficientas lygus nuliui, grandinė baigiama teisingu arba klaidingu skaitiniu teiginiu, o ne dalyba iš nulio. Baigtinis tikrinamų reikšmių sąrašas iliustruoja pertvarkymus; simbolinė klasifikacija nustato visą realiųjų sprendinių aibę. Visi pateikti aritmetiniai skaičiavimai yra tikslūs.

Patikrinkite pradinį sąryšį, vienetus ir leistinąsias reikšmes

Atliekant tikslią algebrinę patikrą, rezultatas įstatomas į pradinę lygtį, atsižvelgiant į jos skliaustus ir vardiklius. Taip galima aptikti aritmetinę ar perrašymo klaidą. Grįžtamaisiais pertvarkymais paremtas išvedimas paaiškina, kodėl nepraleistas nė vienas kitas leistinasis sprendinys. Jei naudojote apytiksliai pateiktą reikšmę, šiai patikrai išsaugokite tikslų rezultatą.

Kontekstas gali nustatyti papildomų apribojimų realiojo nežinomojo reikšmėms. Tarkime, du pateikti bendrųjų išlaidų modeliai yra C = 5 + 2n ir C = 2 + 4n, kur n žymi nedalomų vienetų skaičių. Sulyginę gauname n = 3/2. Tai vienintelis realusis algebrinis sprendinys, tačiau jis nėra leistinas sveikasis vienetų skaičius, todėl modelių bendrosios išlaidos nesutampa esant jokiai leistinai n reikšmei. Tolydžiojo dydžio modelyje ta pati skaitinė reikšmė galėtų būti leistina. Prieš interpretuodami atsakymą, įvardykite dydį, vienetus, prielaidas ir leistinųjų reikšmių sritį.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Supaprastinkite 7x − 3 + 2 − 4x. Paaiškinkite, kodėl šį reiškinį galima užrašyti kaip 3x − 1.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   3x − 1

   Kintamojo koeficientai susumuojami taip: 7 − 4 = 3; pastovieji nariai susumuojami taip: −3 + 2 = −1. Taip išsaugoma reiškinio reikšmė kiekvienam realiajam skaičiui x.

2. Išspręskite −2(x − 3) = x ir patikrinkite sprendinį pradinėje lygtyje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = 2

   Atskliaudę gausite −2x + 6 = x, tada atimkite x ir 6, kad gautumėte −3x = −6. Padalykite iš −3. Pradinės lygties kairiojoje pusėje yra −2(2 − 3) = 2, o dešiniojoje – 2.

3. Išspręskite x/2 + 1 = x/3 + 4 naudodami nenulinį bendrą daugiklį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = 18

   Padauginkite kiekvieną narį iš 6: 3x + 6 = 2x + 24. Atimkite 2x ir 6. Pradinėje lygtyje 18/2 + 1 = 10 ir 18/3 + 4 = 10.

4. Išspręskite 2x = x. Kodėl dalijant iš x būtų prarastas sprendinys?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vienintelis sprendinys yra x = 0.

   Iš abiejų lygties pusių atimkite x ir gausite x = 0. Dalijant iš x daroma prielaida, kad x nelygus nuliui, todėl atmetama būtent ta leistina reikšmė, kuri tenkina pradinę lygtį.

5. Suklasifikuokite 3(x + 2) = 3x + 6 ir 3(x + 2) = 3x + 5 realiųjų skaičių aibėje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmosios lygties sprendinys yra bet kuris realusis skaičius; antroji sprendinių neturi.

   Atskliaudus ir atėmus 3x, pirmuoju atveju gaunama 6 = 6, o antruoju – 6 = 5. Teisinga tapatybė nereikalauja, kad x būtų lygus nuliui; prieštaravimas nepriklauso nuo x.

6. Ar esant sveikajam vienetų skaičiui n ≥ 0 dydis 5 + 2n gali būti lygus 2 + 4n?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nėra tokio leistino sveikojo vienetų skaičiaus, kad bendros sumos būtų lygios.

   Iš lygties gauname 2n = 3, taigi n = 3/2. Ši reikšmė tenkina lygtį realiųjų skaičių aibėje, tačiau nėra sveikasis vienetų skaičius. Sprendinys turi tenkinti pradinius modelius ir priklausyti konteksto apibrėžtai leistinųjų reikšmių sričiai.

Ką verta įsidėmėti

• Prieš pasirinkdami lygties sprendimo veiksmą, sutraukite panašiuosius narius ir išskleiskite skliaustus, daugindami kiekvieną juose esantį narį.
• Ekvivalentūs pertvarkymai išsaugo visą sprendinių aibę; paaiškinkite abiejose pusėse atliekamą tą patį veiksmą ir jo grįžtamumą.
• Suvedę lygtį į pavidalą Ax = B, prieš dalydami patikrinkite A reikšmę: lygtis gali turėti vieną sprendinį, jos sprendiniai gali būti visi realieji skaičiai arba ji gali neturėti sprendinių.
• Patikrinkite pradinę lygtį ir interpretuokite rezultatą atsižvelgdami į uždavinio matavimo vienetus, prielaidas ir leistinas reikšmes.