Tiesės, nuolydis ir sankirtos su ašimis

Nurodyta tiesė apima visus leidžiamus jos taškus

Skaliarinė lygtis y = 2x + 1, kai leidžiami realieji x, aprašo tiesę: kiekviena leidžiama pora, tenkinanti lygtį, jai priklauso. Poros (−1, −1), (0, 1) ir (1, 3) yra pavyzdžiai, o ne visa tiesė. Matomame lange nubrėžta atkarpa rodo matomą šio nurodyto ryšio dalį.

Du skirtingi taškai apibrėžia vieną tiesę. Šis faktas neįrodo, kad stebima situacija tarp dviejų stebėjimų ir už jų ribų atitinka tiesės modelį. Prieš pratęsdami pavyzdžius, nurodykite lygtį arba tiesinio modelio prielaidą ir jos sritį. Čia modelyje nurodytos septynios skaliarinės tiesės; visus jų taškus nusako duotos lygtys.

Įvardykite du taškus ir išlaikykite pokyčių ženklus

Pirmą tašką žymėkite A = (xA, yA), antrą B = (xB, yB). Horizontalusis pokytis iš A į B yra Δx = xB − xA, vertikalusis – Δy = yB − yA. Simbolis Δ reiškia pokytį. Skirtumams naudojamos koordinačių reikšmės, o ne rodyklių ilgiai ekrane.

Kai A = (−1, −1) ir B = (0, 1), Δx = 0 − (−1) = 1, o Δy = 1 − (−1) = 2. Abu pokyčiai teigiami. Grįžtant iš B į A, horizontalusis pokytis yra −1, vertikalusis – −2. Pokytis su ženklu apima kryptį; jis nebūtinai yra neneigiamas atstumas.

Vertikalųjį pokytį dalykite iš nenulinio horizontaliojo

Nevertikaliosios tiesės nuolydis yra m = (yB − yA)/(xB − xA) = Δy/Δx, kai Δx ≠ 0. Jis nusako vertikalųjį pokytį vienam horizontaliosios koordinatės vienetui. Kai A = (−1, −1) ir B = (0, 1), m = 2/1 = 2: šioje tiesėje x padidėjus vienetu, y padidėja dviem.

Tarp bet kurių dviejų skirtingų tos pačios nevertikaliosios tiesės taškų nuolydis pastovus. Ryšyje y = mx + b iš B taško lygties atėmus A taško lygtį, gaunama yB − yA = m(xB − xA); fiksuotas b duoda b − b = 0. Dalyba iš nenulinio Δx paaiškina, kodėl santykis lygus m. Pasirinkus ilgesnį intervalą, abu skirtumai keičiasi proporcingai, o nuolydis lieka tas pats.

Abu skirtumus apverskite kartu

Skaitiklyje ir vardiklyje koordinates atimkite ta pačia taškų tvarka. Kai A = (−1, −1) ir B = (1, 3), m = (3 − (−1))/(1 − (−1)) = 4/2 = 2. Sukeitus vaidmenis, gaunama (−1 − 3)/(−1 − 1) = (−4)/(−2) = 2. Abu skirtumai su ženklu apsiverčia, todėl nuolydis išlieka.

Apvertus tik vieną skirtumą, ženklas tampa klaidingas. Nesuderintas santykis (3 − (−1))/(−1 − 1) = 4/(−2) = −2 šios tiesės neaprašo. Prieš supaprastindami užrašykite taškų žymenis ir abu skirtumus. Vertikalusis ir horizontalusis pokyčiai turi ženklus; jų negalima pakeisti vien teigiamais atstumais.

Pokyčių santykio nekeiskite taško y ir x dalmeniu

Nuolydis lygina pokyčius tarp taškų. Tiesės y = 2x + 1 taške (1, 3) gauname y/x = 3, nors tiesės nuolydis yra du. Poslinkis vienas padaro koordinačių santykį kitokį. Taškas (0, 1) vis tiek priklauso šiai tiesei, nors jame y/x neapibrėžtas.

Per koordinačių pradžią einančios tiesės y = mx taškuose, kur x ≠ 0, santykis y/x lygus m, nes tas taškas lyginamas su (0, 0). Tai specialus atvejis, o ne bendras apibrėžimas. Pačioje pradžioje 0/0 nuolydžio neduoda; pasirinkite du tinkamus skirtingus taškus.

Perskaitykite daugiklį ir reikšmę ties horizontaliuoju nuliu

Ryšyje y = mx + b m yra nuolydis, o b – lygties y reikšmė, kai x = 0. Visa skaliarinė tiesė vertikaliąją ašį kerta taške (0, b). Tiesėje y = 2x + 1 nuolydis yra du, sankirtos su vertikaliąja ašimi taškas – (0, 1). Taškas turi dvi koordinates; vien b yra jo vertikalioji koordinatė.

Fiksuotas b nustato pradinį šio užrašo lygį, o m aprašo pokytį vienam x vienetui. Jei žinomi m ir taškas, ta pati lygtis duoda b = y − mx. Situacija gali leisti tik dalį x reikšmių. Tikra sankirta su vertikaliąja ašimi priklauso leidžiamam grafikui tik tada, kai x = 0 leistinas; kitaip b aprašo pratęstos lygties reikšmę ties nuliu.

Sankirtai su ašimi kitą koordinatę prilyginkite nuliui

Sankirtoje su horizontaliąja ašimi y = 0. Ryšiui y = mx + b, kai m ≠ 0, išspręskite 0 = mx + b ir gausite x = −b/m. Tiesei y = 2x + 1 tai duoda x = −1/2 ir tašką (−1/2, 0). Patikra: 2 × (−1/2) + 1 = 0. Situacijos apribojimas gali atmesti gautą x, net jei pratęsta skaliarinė tiesė ten kerta ašį.

Kai m = 0, lygtis yra y = b. Jei b ≠ 0, sankirtų su horizontaliąja ašimi nėra. Jei b = 0, tiesė sutampa su horizontaliąja ašimi, todėl visoje skaliarinėje srityje sankirtos yra visi tos ašies taškai. Nepriskirkite vienintelio x visai su ašimi sutampančiai tiesei. Vertikaliąsias tieses reikia atskirai tikrinti pagal jų lygtį.

Aiškinkite teigiamą, neigiamą ir nulinį pokytį

Teigiamas nuolydis reiškia, kad x didėjant y didėja; neigiamas – kad x didėjant y mažėja. Tiesėje y = −x + 2 x padidinus vienetu, y sumažėja vienetu, todėl m = −1. Tiesėje y = (1/2)x − 1 x padidinus dviem, y padidėja vienetu, todėl m = 1/2. Tikslus trupmeninis nuolydis yra pokyčių santykis, o ne apytikslis piešinio apibūdinimas.

Horizontaliosios tiesės skirtinguose x taškuose y koordinatės lygios. Kai A = (−1, 2) ir B = (1, 2), m = (2 − 2)/(1 − (−1)) = 0/2 = 0. Nulinis vertikalusis pokytis su nenuliniu horizontaliuoju duoda leistiną nulinį nuolydį. Tai skiriasi nuo nulinio horizontaliojo pokyčio, iš kurio dalyti negalima.

Neapibrėžtą vertikaliosios tiesės nuolydį skirkite nuo pakartoto taško

Vertikaliosios tiesės x = 2 skirtinguose taškuose, pavyzdžiui, (2, −2) ir (2, 2), Δx = 0 ir Δy = 4. Nuolydžio santykiui reikėtų dalyti iš nulio, todėl nuolydis neapibrėžtas. Jis nėra nulis ar labai didelis baigtinis skaičius. Vertikaliosios tiesės negalima užrašyti kaip y = mx + b su baigtiniais realiaisiais m ir b: vienai x reikšmei toje tiesėje tenka daug y reikšmių.

Jei A ir B yra tas pats taškas, abu pokyčiai nuliniai, todėl santykis 0/0 taip pat neapibrėžtas. Vienas pakartotas taškas neapibrėžia vienintelės tiesės; per jį eina daug tiesių. Tai skiriasi nuo dviejų skirtingų taškų, apibrėžiančių vertikaliąją tiesę. Modelyje A ir B visada skirtingi, todėl sutampančių taškų samprotavimas aiškinamas čia, bet nėra pasirinkimo būsena.

Išlaikykite vienetus, sritį ir perskaitykite mastelį

Tarkime, nurodytas kaupiamas kelio dydis jau pasiekė 3 km, kai laikrodis nustatomas į t = 0, o toliau didėja pastoviu 2 km/h tempu. Modelis yra D = (2 km/h)t + 3 km praėjusiam laikui t ≥ 0. Nuolydžio vienetas km/h, o reikšmė vertikalioje ašyje yra 3 km. Pratęsta lygtis horizontaliąją ašį pasiekia ties t = −3/2 h, bet neigiamas praėjęs laikas nepatenka į šį modelį, todėl leidžiamas grafikas sankirtos su horizontaliąja ašimi neturi.

Matomas tiesės statumas priklauso ir nuo piešinio ašių mastelių bei proporcijų. Padidinus vertikalųjį atstumą ekrane vienam y vienetui, tas pats skaitinis ryšys atrodo statesnis, nors m nepasikeičia. Perskaitykite padalų reikšmes bei vienetus ir apskaičiuokite pokyčių santykį. Modelyje palyginimams naudojami vienodi nekintantys skaliariniai masteliai; situacijos schemos tempo vienetai vis tiek priklauso nuo įvardytų ašių.

Keiskite taškų porą, nekeisdami tiesės

Pradėkite nuo y = 2x + 1 ir poros A = (−1, −1), B = (0, 1). Modelis rodo Δx = 1, Δy = 2 ir m = 2. Horizontalioji ir vertikalioji pokyčio atkarpos parodo koordinačių pokyčius su ženklu tarp dviejų įvardytų taškų. Jos padeda perskaityti santykį ir nevaizduoja nueito kelio.

Pasirinkite vieną iš septynių nurodytų skaliarinių tiesių ir vieną iš keturių taškų porų – iš viso 7 × 4 = 28 būsenos. Nevertikaliosioms tiesėms poros naudoja x reikšmes (−1, 0), (0, 1), (−1, 1) arba sukeistą tvarką (1, −1). Vertikaliosioms tiesėms atitinkamos y reikšmės yra (−2, 0), (0, 2), (−2, 2) arba sukeista tvarka (2, −2). Kiekvienoje poroje yra du skirtingi pasirinktos tiesės taškai. Sukeitus jų vaidmenis, kiekvienas pokytis pakeičiamas priešingu. Nulinis pokytis lieka nulinis, o apibrėžtas nuolydis išlieka tas pats.

Skaitinės ašys išlaiko nekintantį intervalą nuo −4 iki 4 ir vienodą mastelį. Kiekviena visa tiesė apribojama matomu langu, o A, B ir jų pokyčio atkarpos parodomi. Horizontaliosioms tiesėms pateikiamas nulinis nuolydis, vertikaliosioms – neapibrėžtas. Sankirtos su ašimis pagal visą nurodytą tiesę pateikiamos kaip vienas taškas, visi tos ašies taškai arba jų nebuvimas. Pakeitus tiesę, išlaikomas poros pasirinkimas; pakeitus porą, išlaikoma tiesė.

Prieš aiškindami vaizdą, patikrinkite lygtį

Patikrinkite, kad abu pasirinkti taškai tenkina nurodytą lygtį, abu skirtumus apskaičiuokite ta pačia tvarka ir dalykite tik iš nenulinio horizontaliojo pokyčio. Sankirtas su ašimis tikrinkite atitinkamą nulinę koordinatę įstatydami į pradinį ryšį. Išlaikykite neapibrėžto nuolydžio ar visos sutampančios ašies išvadą, kai matematiškai teisingas būtent toks atvejis.

Poros skaičiavimas nusako tiesės nuolydį pagal nurodytą tiesinį ryšį; jis neįrodo, kad nežinoma tikra situacija tiesinė su kiekviena pradine reikšme. Išlaikykite situacijos sritį ir tempo vienetus, o prieš lygindami vaizdą perskaitykite piešinio mastelius. Kita pamoka „Grafikų skaitymas ir klaidinančių skalių atpažinimas“ nagrinės, kaip vertinti grafiko informaciją ir jo įspūdį keičiančius pasirinkimus.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kai A = (−1, −1) ir B = (0, 1), apskaičiuokite Δx, Δy ir nuolydį. Sukeiskite abu taškų vaidmenis. Kas nutinka apvertus tik vardiklio atimties tvarką?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Iš A į B Δx = 1, Δy = 2, m = 2. Sukeitus abu taškus, Δx = −1, Δy = −2, bet m = 2. Apvertus tik vardiklį, klaidingai gaunama −2.

   Abu koordinačių skirtumai turi naudoti tą pačią taškų tvarką. Sukeitus pasikeičia abu ženklai, o apibrėžtas santykis lieka tas pats.

2. Taškas (1, 3) priklauso y = 2x + 1. Ar jo santykis y/x = 3 yra tiesės nuolydis? Ar taškas (0, 1) padaro tiesės nuolydį neapibrėžtą todėl, kad jame y/x neapibrėžtas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne: nuolydis yra du, skaičiuojamas iš pokyčių tarp tinkamų taškų. Neapibrėžtas koordinačių dalmuo taške (0, 1) nepadaro tiesės nuolydžio neapibrėžto.

   Koordinačių santykis lygus per pradžią einančios tiesės nuolydžiui tik tada, kai x nenulinis. Bendrai tiesei su poslinkiu naudokite Δy/Δx, o ne y/x.

3. Tiesėje y = −x + 2 palyginkite (−1, 3) ir (1, 1). Tiesėje y = (1/2)x − 1 palyginkite (−1, −3/2) ir (1, −1/2). Raskite abu nuolydžius ir paaiškinkite pokyčius didėjant x.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmoje m = (1 − 3)/(1 − (−1)) = −2/2 = −1. Antroje m = (−1/2 − (−3/2))/2 = 1/2. Kai x padidėja dviem, y atitinkamai pasikeičia −2 ir vienetu.

   Perskaitykite visą skirtumą su ženklu, išlaikykite tikslias trupmenas ir dalykite iš to paties nenulinio horizontaliojo pokyčio. Neigiamas nuolydis mažina y, o teigiamas trupmeninis didina nurodytu tempu.

4. Nurodykite y = 2x + 1, y = 2 ir y = 0 sankirtas su horizontaliąja ašimi. Nurodykite x = 2 ir x = 0 sankirtas su vertikaliąja ašimi. Kur yra vienintelė sankirta, nėra nė vienos arba tinka visi ašies taškai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   y = 2x + 1 turi vieną horizontaliosios ašies tašką (−1/2, 0); y = 2 neturi nė vieno; y = 0 turi visus horizontaliosios ašies taškus. x = 2 neturi sankirtos su vertikaliąja ašimi, o x = 0 turi visus tos ašies taškus.

   Horizontaliąją ašį tikrinkite su y = 0, vertikaliąją su x = 0. Su ašimi sutampanti tiesė turi visus jos taškus kaip sankirtas, o ne vieną išgalvotą tašką.

5. Kodėl horizontalioji pora su Δy = 0 ir Δx = 2 turi nulinį nuolydį, o skirtingų vertikaliųjų taškų poros su Δy = 4 ir Δx = 0 nuolydis neapibrėžtas? Ar tą patį tašką pakartojus du kartus išsprendžiamas vertikalusis atvejis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   0/2 apibrėžtas ir lygus nuliui, o 4/0 neapibrėžtas. Pakartojus tašką, gaunama 0/0, taip pat neapibrėžta, ir neįvardijama vienintelė tiesė.

   Patikrinkite vardiklį ir tai, ar taškai skirtingi. Leistinas nulinis skaitiklis skiriasi nuo nulinio vardiklio arba pakartoto taško poros.

6. Nurodytas kaupiamo kelio modelis D = (2 km/h)t + 3 km praėjusiam laikui t ≥ 0. Kokie nuolydžio vienetai ir reikšmė vertikalioje ašyje? Ar pratęstos lygties t = −3/2 h, kai D = 0, priklauso leidžiamam modeliui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nuolydis yra 2 km/h, o reikšmė vertikalioje ašyje – 3 km, kai t = 0. Pratęstas horizontaliosios ašies taškas su −3/2 h neleidžiamas, todėl leidžiamas modelis sankirtos su horizontaliąja ašimi neturi.

   Pokyčio tempas turi vertikaliojo dydžio, padalyto iš horizontaliojo, vienetą, o poslinkis – vertikaliojo dydžio vienetą. Algebrinis pratęsimas nepanaikina praėjusio laiko apribojimo.

7. Du stebėjimai tinka siūlomai tiesei. Ar jie įrodo, kad visa situacija su kiekviena pradine reikšme ją atitinka? Jei grafikas vertikaliai ištempiamas, o padalų reikšmės išlieka, ar skaitinis nuolydis pasikeitė? Kokią informaciją reikia perskaityti?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vien stebėjimai neįrodo viso tiesinio modelio. Vertikalusis ištempimas pakeičia matomą statumą, o ne koordinačių pokyčių santykį. Perskaitykite nurodytą taisyklę bei sritį, koordinačių reikšmes, padalų mastelius ir vienetus.

   Taškais apibrėžta geometrinė tiesė ir teiginys apie tikros situacijos modelį yra skirtingi dalykai. Vaizdas priklauso nuo rodymo mastelių, o nuolydis skaičiuojamas pagal vaizduojamus dydžius.

Ką verta įsidėmėti

• Visa nurodyta tiesė apima visas leidžiamas jos lygtį tenkinančias poras; vien pasirinkti stebėjimai neįrodo tiesinio modelio.
• Nuolydis yra Δy/Δx, kai Δx ≠ 0. Naudokite tą pačią atimties tvarką ir sukeisdami porą kartu apverskite abu pokyčius.
• Ryšyje y = mx + b m nusako pokytį vienam x vienetui, o b yra lygties reikšmė ties x = 0; bendrai nuolydis nėra y/x.
• Sankirta su ašimi gali būti vienintelė, jos gali nebūti arba tiesė gali sutapti su visa ašimi. Horizontaliosios tiesės nuolydis nulinis; vertikaliosios tiesės ir pakartoto taško santykiai neapibrėžti.
• Išlaikykite vienetus ir srities apribojimus, patikrinkite pradinę lygtį ir prieš aiškindami matomą statumą perskaitykite ašių mastelius.