Implikacija, ekvivalencija ir neigimas

Pradėkite nuo sąlygos ir išvados

Jei sveikasis skaičius dalijasi iš 4, tai jis yra lyginis. Patikrinkite 4, 2 ir 1: 4 tenkina abi sąlygas, 2 yra lyginis, bet nesidalija iš 4, o 1 netenkina nė vienos sąlygos. Dalytis iš 4 reiškia, kad n = 4k su kuriuo nors sveikuoju skaičiumi k; būti lyginiam reiškia, kad n = 2j su kuriuo nors sveikuoju skaičiumi j. Šie apibrėžimai apima ir neigiamus sveikuosius skaičius bei nulį.

Tegu P(n) reiškia „n dalijasi iš 4“, o Q(n) reiškia „n yra lyginis“. Rodyklė ⇒ skaitoma „jei …, tai …“: P(n) ⇒ Q(n). Visoje baigtinėje srityje D = {−4, −2, −1, 0, 1, 2, 4} numatykite, ar yra elementas, kuriam P teisingas, o Q klaidingas. Taip pat numatykite, ar pakeitus rodyklės kryptį pasikeičia rezultatas. T reiškia „teisinga“, o F – „klaidinga“.

Diagramoje visi D elementai sugrupuoti pagal dvi sąlygas. Nėra elemento, tenkinančio tik P, tačiau −2 ir 2 tenkina tik Q. Taigi tiesioginis teiginys srityje D yra teisingas, o atvirkštinis – klaidingas. Visiems sveikiesiems skaičiams tiesioginis teiginys įrodomas atskiru argumentu: jei n = 4k, tai n = 2(2k), o 2k yra sveikasis skaičius. Vien baigtinė diagrama neapima visų sveikųjų skaičių.

Nagrinėjant pavyzdžius pravers reikšmių įstatymas iš temos „Kintamieji, reiškiniai ir reikšmių įstatymas“. Sveikųjų skaičių dalumas apibrėžtas aukščiau. Tema „Teiginiai ir teisingumo lentelės“ pateikia logikos žymėjimą, kurį čia įvedame pagal poreikį. Vėlesnis skyrius apie įdėtinius kvantorius remiasi tema „Kvantoriai ir tikslūs matematiniai teiginiai“; skaitydami pirmą kartą, dabar išmokite pavyzdžius su dviem sąlygomis, o prie to skyriaus grįžkite išnagrinėję sritis ir liudytojus.

Implikacija klaidinga tik tada, kai sąlyga tenkinama, o išvada klaidinga

Kai P ir Q turi apibrėžtas klasikinės logikos teisingumo reikšmes, materialioji implikacija P ⇒ Q yra klaidinga tada ir tik tada, kai P reikšmė yra T, o Q reikšmė yra F. P yra antecedentas, dalis „jei“; Q yra konsekventas, dalis „tai“. Kitais trimis reikšmių deriniais implikacija yra teisinga. Šį apibrėžimą supraskite kaip atmetantį atvejį, kai sąlyga tenkinama, o išvada klaidinga.

Kai P klaidingas, implikacija teisinga nepriklausomai nuo to, ar Q teisingas, ar klaidingas. Tai nereiškia, kad P įvyksta, kad Q įvyksta ar kad vienas sukelia kitą. Tai reiškia, kad šiuo atveju nepasitaikė draudžiama pora: P teisingas, o Q klaidingas. Implikacijos teisingumas taip pat nepasako, ar žinome jos dėmenų tiesos reikšmes.

Simboliai ¬, ∧ ir ∨ reiškia „ne“, „ir“ ir neišskiriamąjį „arba“. Neišskiriamasis „arba“ leidžia abiem dėmenims būti teisingiems. Reiškinio ¬P ∨ Q tiesos reikšmių stulpelis visiškai sutampa su P ⇒ Q stulpeliu: jis klaidingas tik tada, kai P teisingas, o Q klaidingas. Žymėjimas A ≡ B nusako loginį ekvivalentiškumą esant nurodytoms prielaidoms; visa lentelė patvirtina (P ⇒ Q) ≡ (¬P ∨ Q) kiekvienam klasikiniam P ir Q tiesos reikšmių priskyrimui.

Visoje srityje galiojanti implikacija turi apimti kiekvieną leistiną objektą

Visur apibrėžtiems predikatams P(x) ir Q(x) nurodytoje srityje D universalusis teiginys ∀x ∈ D, (P(x) ⇒ Q(x)) reiškia, kad nėra leistino x, kuriam P būtų teisingas, o Q – klaidingas. Čia predikatas yra visur apibrėžtas, jei kiekvienai leistinai įvesčiai priskiria vieną apibrėžtą klasikinę teisingumo reikšmę. Simbolis ∀ reiškia „kiekvienam“.

Vienas teisingas atvejis negali įrodyti šio universaliojo teiginio. Baigtinėje srityje patikrinkite kiekvieną skirtingą leistiną elementą. Begalinėje srityje įrodykite išvadą bet kuriam leistinam x, tenkinančiam P, arba pateikite kitą visą sritį apimantį argumentą. Vienas leistinas elementas, kuriam P yra teisingas, o Q – klaidingas, paneigia universalųjį teiginį.

Predikatus tenkinančių elementų aibes užrašykite kaip S_P = {x ∈ D: P(x)} ir S_Q = {x ∈ D: Q(x)}. Universalioji implikacija galioja tada ir tik tada, kai S_P yra S_Q poaibis. Viena kryptimi kiekvienas P tenkinantis elementas turi tenkinti Q. Kita kryptimi aibių įtrauktis neleidžia būti elementui, tenkinančiam tik P. Tai abiejų krypčių argumentas apie visas aibes, o ne išvada, padaryta pagal jų vaizdą tik imtį vaizduojančioje iliustracijoje.

Jei D yra tuščia, universalioji implikacija yra teisinga, nes nėra leistino kontrpavyzdžio. Ji nenustato jokio objekto ar prielaidos tenkinimo atvejo egzistavimo. Tas pats teiginys gali būti teisingas netuščioje srityje, kurioje kiekviena implikacijos prielaida yra klaidinga. Egzistavimą skirkite nuo atvejų, kai implikacija negalioja, nebuvimo.

Būtinumas ir pakankamumas nusako skirtingas kryptis

Jei iš P išplaukia Q visoje nurodytoje srityje, P yra pakankama sąlyga Q: P teisingumas garantuoja Q teisingumą. Q yra būtina sąlyga P: P negali būti teisingas, jei Q nėra teisingas. Mūsų sveikųjų skaičių pavyzdyje dalumas iš 4 yra pakankama lyginumo sąlyga, o lyginumas yra būtina dalumo iš 4 sąlyga.

Frazė „P tik jei Q“ reiškia P ⇒ Q. Žodžius „tik jei“ supraskite kaip P būtiną sąlygą. O „P, jei Q“ reiškia Q ⇒ P. Taigi „P yra būtina sąlyga Q“ taip pat reiškia Q ⇒ P. Pirmiausia užrašykite rodyklę, tada pagal jos kryptį priskirkite žodžius „būtina“ ir „pakankama“.

Sąlyga gali būti būtina, bet nepakankama. Kad realusis skaičius būtų teigiamas, būtina, kad jis būtų nelygus nuliui, tačiau nuliui nelygus realusis skaičius −1 nėra teigiamas. Sąlyga gali būti ir būtina, ir pakankama: sveikojo skaičiaus lyginumas ir jo kvadrato lyginumas yra vienas kitam būtinos ir pakankamos sąlygos, kaip parodoma vėliau pateiktame lyginumo įrodyme.

Kontrapozicinis teiginys išlaiko implikacijos prasmę

Jei pradinis teiginys yra P ⇒ Q, jo atvirkštinis teiginys yra Q ⇒ P, priešingas teiginys yra ¬P ⇒ ¬Q, o kontrapozicinis teiginys yra ¬Q ⇒ ¬P. Kontrapozicinis teiginys pakeičia implikacijos kryptį ir paneigia abi dalis. Priešingas teiginys paneigia abi dalis, nekeisdamas jų tvarkos.

Visa keturių eilučių lentelė įrodo (P ⇒ Q) ≡ (¬Q ⇒ ¬P) ir (Q ⇒ P) ≡ (¬P ⇒ ¬Q). Pradinis ir kontrapozicinis teiginiai yra klaidingi tik tada, kai P teisingas, o Q klaidingas. Atvirkštinis ir priešingas teiginiai yra klaidingi tik tada, kai P klaidingas, o Q teisingas. Šios dvi formulių poros apskritai skiriasi.

Sveikasis skaičius n = 2 paneigia atvirkštinį teiginį „jei skaičius lyginis, tai jis dalus iš 4“ ir priešingą teiginį „jei skaičius nedalus iš 4, tai jis nelyginis“. Jis nepaneigia nei pradinio, nei jo kontrapozicinio teiginio. Kiekvienam sveikajam skaičiui teiginys „jei skaičius nelyginis, tai jis nedalus iš 4“ išplaukia iš jau įrodytos pradinės implikacijos.

Sudarydami kontrapozicinį teiginį, sudėtinę arba kvantoriumi susietą dalį laikykite viena visuma. Jei predikatas A apibrėžtas visoje srityje D, o teiginys B apibrėžtas, tai (∀x ∈ D, A(x)) ⇒ B kontrapozicinis teiginys yra ¬B ⇒ ¬(∀x ∈ D, A(x)), arba jam ekvivalentus ¬B ⇒ (∃x ∈ D, ¬A(x)). Kvantoriaus sritis lieka D; ∃ reiškia „egzistuoja“.

„Tada ir tik tada“ reikia abiejų krypčių

Ekvivalencija P ⇔ Q skaitoma „P tada ir tik tada, kai Q“. Esant konkrečiam teisingumo reikšmių priskyrimui, ji yra teisinga, kai P ir Q reikšmės sutampa, įskaitant atvejį, kai abu teiginiai klaidingi. Lygiavertiškai, galioja ir P ⇒ Q, ir Q ⇒ P. Norint įrodyti ∀x ∈ D, (P(x) ⇔ Q(x)), reikia įrodyti abi kryptis visoje toje pačioje srityje.

Skirkite tris aprėptis: reikšmių sutapimą vienoje pasirinktoje eilutėje, dviejų predikatų ekvivalentiškumą nurodytoje srityje ir formulių loginį lygiavertiškumą esant kiekvienam leistinam jų atominių teiginių teisingumo reikšmių priskyrimui. P ir Q reikšmės gali sutapti vienam argumentui, bet nesutapti kitiems. Išsami teisingumo lentelė įrodo teiginių logikos formulių lygiavertiškumą; baigtinis argumentų sąrašas įrodo tik jam suformuluotą baigtinės aprėpties teiginį.

Kiekvienam realiajam x lygybė x² = 1 galioja tada ir tik tada, kai x = −1 arba x = 1. Tiesioginė kryptis: x² − 1 = (x − 1)(x + 1) = 0, todėl pagal realiųjų skaičių sandaugos, lygios nuliui, savybę x = 1 arba x = −1. Atvirkštinė kryptis: bet kurios iš šių reikšmių kvadratas lygus 1. Kai x = 0, abi sąlygos klaidingos, todėl jų ekvivalencija vis tiek teisinga.

Kiekvienam algebriniam žingsniui būtinos jo pradinės prielaidos. Dalijant iš dydžio, kuris gali būti lygus nuliui, galima prarasti sprendinius; keliant kvadratu, gali atsirasti papildomų sprendinių. Apgręžiamų pertvarkymų grandinė yra ekvivalencija tik ten, kur kiekvienas pertvarkymas galioja abiem kryptimis. Kitu atveju implikacijas nagrinėkite atskirai ir galimus sprendinius tikrinkite pagal pradinę sąlygą.

Neiginys tiksliai nusako, kada teiginys klaidingas

P ⇒ Q neiginys yra P ∧ ¬Q: sąlyga tenkinama, o išvada klaidinga. Tai nėra nei Q ⇒ P, nei ¬P ⇒ ¬Q. Išsamus implikacijos teisingumo apibrėžimas nusako abi kryptis: klaidinga implikacija turi būtent tokią teisingumo reikšmių porą, o dėl tokios poros implikacija yra klaidinga.

P ⇔ Q neiginys yra (P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q): teisinga lygiai viena dalis. De Morgano dėsniai yra ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P ∨ ¬Q) ir ¬(P ∨ Q) ≡ (¬P ∧ ¬Q). Konjunkcija klaidinga, kai klaidingas bent vienas jos dėmuo; neišskirtinė disjunkcija klaidinga, kai klaidingi abu dėmenys. Šie paaiškinimai pagrindžia abi kryptis apibrėžtoms klasikinėms teisingumo reikšmėms.

Neikite visą išvadą kaip vieną visumą. P ⇒ (Q ∧ R) neiginys yra P ∧ (¬Q ∨ ¬R), nes bent viena reikalaujama išvada klaidinga. (P ∧ R) ⇒ Q neiginys yra P ∧ R ∧ ¬Q: abi prielaidos sąlygos turi būti tenkinamos. Skliaustai nurodo, kuriai sąlygai taikomas neiginys.

Visuotinės implikacijos neiginys nurodo vieną kontrpavyzdį

Kai predikatai apibrėžti visoje toje pačioje srityje, ¬(∀x ∈ D, (P(x) ⇒ Q(x))) ≡ ∃x ∈ D, (P(x) ∧ ¬Q(x)). Jei visuotinis teiginys klaidingas, egzistuoja leistinas srities elementas, kuriam jis negalioja; tam elementui P yra teisingas, o Q – klaidingas. Ir atvirkščiai, dėl tokio elemento visuotinis teiginys yra klaidingas. Abu predikatai taikomi tam pačiam elementui x.

Taip pat ¬(∃x ∈ D, (P(x) ⇒ Q(x))) ≡ ∀x ∈ D, (P(x) ∧ ¬Q(x)). Teisingos implikacijos egzistavimas gali būti silpnas teiginys: jį jau patvirtina leistinas argumentas, kuriam P klaidingas, nesvarbu, ar Q teisingas, ar klaidingas. Tai nėra lygiavertiška argumento, tenkinančio ir P, ir Q, egzistavimui. Kai D tuščia, egzistencinis teiginys klaidingas, o jo neiginys teisingas.

Prieš taikydami teisingumo reikšmių taisykles, įsitikinkite, kad reiškiniai apibrėžti. Lygindami realiųjų skaičių atvirkštines reikšmes, pirmiausia pasirinkite D = ℝ ∖ {0}. Šioje srityje teiginio 1/x > 0 neiginys yra 1/x ≤ 0. Kai x lygus nuliui, nė vienas palyginimas neturi realiosios reikšmės. Sąlygos x ≠ 0 įtraukimas į materialiąją implikaciją savaime neapibrėžia 1/0, net kai antecedentas klaidingas. Atskirai nurodytas visur apibrėžtas plėtinys būtų kitas predikatas.

Kontrpavyzdys gali būti susijęs su visu liudytojo parinkimu

Visur apibrėžtam sąryšiui R(x, y) aibėje X × Y teiginys ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, R(x, y) leidžia kiekvienam x parinkti skirtingą y. Visas jo neiginys yra ∃x ∈ X, ∀y ∈ Y, ¬R(x, y): yra vienas leistinas x, kuriam netinka joks atsakas. Tvarka išlieka ta pati: pirma x, tada y; kiekvienas kvantorius pakeičiamas priešingu, o vidinė sąlyga paneigiama.

Tarkime, X = Y = {0, 1}, o R(x, y) reiškia x = y. Numatykite, ar kiekvienas x turi atsaką ir ar vienas fiksuotas y tinka abiem įvestims.

Visos matricos įstrižainės įrašai yra teisingi. Kiekviena eilutė turi liudytoją, tačiau nė vienas stulpelis netinka visoms eilutėms. Taigi teiginys apie priklausomą liudytoją yra teisingas, o teiginys apie bendrą liudytoją – klaidingas. Teiginys apie bendrą liudytoją yra ∃y ∈ Y, ∀x ∈ X, R(x, y). Jo neiginys yra ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, ¬R(x, y): kiekvienam siūlomam fiksuotam atsakui yra įvestis, kuriai jis netinka. Bendras liudytojas visada suteikia priklausomus liudytojus, pakartotinai naudojant tą patį y. Lygybės matricoje atvirkštinis teiginys negalioja.

Kiekvienam sveikajam skaičiui x parinkus sveikąjį skaičių y = x + 2, įrodomas teiginys ∀x ∈ ℤ, ∃y ∈ ℤ, y = x + 2. Visiems x bendras fiksuotas y turėtų būti ir 2, kai x = 0, ir 3, kai x = 1, o tai neįmanoma. Ši taisyklė ir prieštaravimas įrodo teiginius visoje sveikųjų skaičių aibėje; baigtinė lygybės matrica jų neįrodo.

Tuščios sritys aiškinamos taip pat. Jei X tuščia, teiginys su visuotiniu kvantoriumi apie priklausomą liudytoją yra teisingas; bendram y vis tiek reikia, kad Y turėtų bent vieną elementą. Jei X netuščia, o Y tuščia, teiginys apie priklausomą liudytoją yra klaidingas, nes reikiamas atsakas neegzistuoja. Pertvarkyti neiginiai išsaugo šiuos atvejus, nes vidiniai teiginiai su visuotiniais kvantoriais tuščioje srityje yra teisingi dėl leistinų kontrpavyzdžių nebuvimo.

Pasirinkite kelią, kuriame prielaidos lieka matomos

Norėdami tiesiogiai įrodyti visoje srityje galiojančią implikaciją, imkite bet kurį leistiną objektą, tenkinantį prielaidą, ir išveskite išvadą. Įrodydami kontrapozicijos būdu, imkite bet kurį leistiną objektą, netenkinantį išvados, ir parodykite, kad jis netenkina prielaidos. Visoje teisingumo lentelėje galiojantis lygiavertiškumas pagrindžia įrodymo būdo pakeitimą; vien rodyklės apgręžimas to nepagrindžia.

Kontrapozicijos būdu įrodykite, kad jei sveikojo skaičiaus n kvadratas yra lyginis, tai ir n yra lyginis. Jei n nėra lyginis, pagal sveikųjų skaičių lyginumą n = 2k + 1, kur k yra sveikasis skaičius. Tuomet n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, todėl n² yra nelyginis. Taip įrodoma, kad „jei n nėra lyginis, tai n² nėra lyginis“, taigi ir norima implikacija kiekvienam sveikajam skaičiui.

Atvirkštinė kryptis įrodoma tiesiogiai: jei n = 2k, tai n² = 4k² = 2(2k²), todėl n² yra lyginis. Vadinasi, sveikasis skaičius yra lyginis tada ir tik tada, kai jo kvadratas yra lyginis. Įrodymas remiasi sveikųjų skaičių lyginumu ir jų aibės uždarumu, įskaitant neigiamas k reikšmes ir nulį, o ne tinkamais skaitiniais pavyzdžiais.

Prieš baigdami patikrinkite sritį, abi kryptis, jei teigiama, kad jos galioja, ir pradinį reiškinį kiekvienai naudotai kandidatei reikšmei. Atvirkštinis teiginys gali būti klaidingas net tada, kai pradinis teiginys įrodytas; kartu gali būti klaidingas ir priešingas teiginys. Dalumo teiginio atvirkštinio teiginio kontrpavyzdys n = 2 paaiškina, kodėl šioms papildomoms kryptims reikia atskirų argumentų.

Numatykite, palyginkite ir atskleiskite visą baigtinį rezultatą

Lentelių scenoje pateikiami aštuoni formulių palyginimai, įskaitant implikaciją ir jos atvirkštinį teiginį. Pasirinkite teiginių reikšmių priskyrimą ir numatykite abi reikšmes, prieš atskleisdami, ar sutampa visi abiejų stulpelių įrašai. Išsaugomos visos keturios P, Q poros, todėl reikšmių lygybė pasirinktoje eilutėje atskiriama nuo lygiavertiškumo esant bet kuriam reikšmių priskyrimui.

Sąlygų scenoje pateikiamos aštuonios baigtinės sritys. Kiekviena leistina įvestis grupuojama pagal P ir Q, o tiesioginės ir atvirkštinės implikacijos pateikiamos atskirai, kartu nurodant būtinumo ir pakankamumo kryptis. Atvirkštinių dydžių atvejais atskiriama apribota sritis be nulio ir sritis, kurioje paliekamas nulis, kuriam reiškinys neapibrėžtas: nulio eilutė ir išvada apie visą klasikinę sritį lieka nenustatytos, o apibrėžtos eilutės išsaugomos.

Neiginių scenoje pateikiami trys vienviečiai teiginiai ir penkios pilnos lygybės matricos. Perskaitykite pradinę formulę ir visą jos pertvarkytą neiginį, tada atskirkite priklausomą atsakymą nuo vienodo visais atvejais. Tuščioms sritims nepriskiriamas išgalvotas įvertinimas. Lentelėse pateikiami visi baigtinių sričių teiginį patvirtinantys pavyzdžiai ir kontrpavyzdžiai; rašytiniai semantiniai argumentai ir įrodymai su bet kuriuo sveikuoju skaičiumi pagrindžia bendresnes išvadas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kai P = F ir Q = T, nustatykite pradinio, atvirkštinio, priešingo ir kontrapozicinio teiginių, ekvivalencijos ir pradinio teiginio neiginio reikšmes. Ar ši eilutė įrodo pradinio ir atvirkštinio teiginių ekvivalentumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Reikšmės atitinkamai yra T, F, F, T, F ir F. Ši eilutė iš tiesų paneigia pradinio ir atvirkštinio teiginių ekvivalentumą; viena eilutė, kurioje jų reikšmės sutaptų, taip pat jo neįrodytų.

   Kiekvienai kryptinei implikacijai taikykite reikšmių porą, kuriai esant implikacija yra klaidinga. Implikacijos P ⇒ Q prielaida yra klaidinga, o implikacijos Q ⇒ P prielaida yra teisinga ir išvada klaidinga. Priešingas teiginys turi tą pačią klaidingumą lemiančią porą; kontrapozicinio teiginio prielaida yra klaidinga. Ekvivalencija yra klaidinga, nes P ir Q reikšmės skiriasi, o paneigus teisingą pradinį teiginį gaunama F.

2. Užrašykite simboliais teiginį „realusis skaičius yra teigiamas tik tada, kai jis nelygus nuliui“. Nurodykite būtinąją ir pakankamąją sąlygas ir patikrinkite atvirkštinį teiginį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Aibėje ℝ užrašykite x > 0 ⇒ x ≠ 0. Teigiamumas yra pakankamoji sąlyga, kad skaičius būtų nelygus nuliui, o nelygumas nuliui yra būtinoji teigiamumo sąlyga. Atvirkštinis teiginys klaidingas, kai x = −1: šis skaičius nelygus nuliui, bet nėra teigiamas.

   Sąlyga po žodžių „tik tada, kai“ yra būtina prieš ją nurodytai sąlygai. Kiekvienas teigiamas realusis skaičius skiriasi nuo nulio, todėl pradinė implikacija yra įrodyta. Leistina reikšmė −1 tenkina siūlomo atvirkštinio teiginio prielaidą, bet netenkina jo išvados, todėl vien nelygumo nuliui nepakanka.

3. Įrodykite, kad sveikasis skaičius yra lyginis tada ir tik tada, kai jo kvadratas yra lyginis; įrodymas turi apimti kiekvieną sveikąjį skaičių, o ne vien tikrinti skaičių sąrašą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jei n = 2k, tai n² = 2(2k²) yra lyginis. Kitai krypčiai įrodyti naudokite kontrapoziciją: nelyginio sveikojo skaičiaus n = 2k + 1 kvadratas n² = 2(2k² + 2k) + 1 yra nelyginis. Kiekvienas sveikasis skaičius yra lyginis arba nelyginis, todėl galioja abi kryptys.

   Abiejuose skaičiavimuose k laikykite bet kuriuo sveikuoju skaičiumi. Sveikųjų skaičių aibės uždarumas užtikrina, kad abu pateikti koeficientai prie 2 yra sveikieji skaičiai. Kiekvienas sveikasis skaičius yra lyginis arba nelyginis; skaičiavimas su nelyginiu skaičiumi atmeta galimybę, kad nelyginio skaičiaus kvadratas būtų lyginis, ir taip įrodo tiesioginę implikaciją per jai lygiavertę kontrapoziciją.

4. Ar teiginys ∀x ∈ ℝ, (x² = 9 ⇒ x = 3) yra teisingas? Užrašykite jo neiginį. Kas pasikeičia, jei nagrinėjama aibė yra neneigiamieji realieji skaičiai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Aibėje ℝ jis klaidingas, nes −3 kvadratas yra 9, o pats skaičius nelygus 3. Jo neiginys yra ∃x ∈ ℝ, (x² = 9 ∧ x ≠ 3), o jį tenkinantis pavyzdys yra −3. Išskaidžius dauginamaisiais gaunamos tik dvi realiosios kvadratinės šaknys: −3 ir 3; apribojus aibę neneigiamaisiais realiaisiais skaičiais, −3 atmetamas ir visuotinis teiginys tampa teisingas.

   Pritaikius realiųjų skaičių sandaugos lygybės nuliui savybę lygčiai (x − 3)(x + 3) = 0, gaunami tik du galimi sprendiniai, ir abu tenkina pradinę lygtį su kvadratu. Tik −3 yra argumentas, kuriam teisingas tik P. Apribojimas pakeičia teiginio nagrinėjamą aibę, o ne ankstesnio teiginio teisingumą; kai x ≥ 0, vienintelis leistinas galimas sprendinys yra 3.

5. Kai predikatai P, Q ir R apibrėžti visoje aibėje D, užrašykite teiginio ∀x ∈ D, (P(x) ⇒ (Q(x) ∧ R(x))) neiginį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Lygiavertis neiginys yra ∃x ∈ D, (P(x) ∧ (¬Q(x) ∨ ¬R(x))). Neiginį tenkinantis pavyzdys turi tenkinti P ir netenkinti bent vienos reikalaujamos išvados — visa tai turi galioti tam pačiam leistinam argumentui.

   Išorinį kvantorių „kiekvienam“ pakeiskite į „egzistuoja“ toje pačioje aibėje D, o implikaciją — į teisingą prielaidą ir klaidingą išvadą. Išvada su jungtuku „ir“ yra klaidinga, jei klaidingas Q arba R, taip pat ir tada, kai klaidingi abu. Egzistavimo teiginį tenkinantis pavyzdys lieka vienas x, o ne atskiri argumentai predikatui P ir klaidingai išvadai.

6. Aibėje D = ℝ ∖ {0} įrodykite, kad x > 0 tada ir tik tada, kai 1/x > 0. Paaiškinkite, kodėl nulis nesudaro šių pradinių predikatų teisingumo lentelės eilutės.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Realiųjų skaičių sandauga x(1/x) lygi 1 ir yra teigiama. Todėl abu nenuliniai dauginamieji yra to paties ženklo, o tai įrodo abi teigiamumo implikacijos kryptis. Nulis nepriklauso D, o 1/0 neapibrėžtas; prielaida, kurioje yra x ≠ 0, neapibrėžia atvirkštinio dydžio palyginimo ties nuliu.

   Prieš samprotaudami apie ženklus, remkitės tuo, kad nagrinėjamoje aibėje nėra nulio. Kad dviejų nenulinių realiųjų dauginamųjų sandauga būtų teigiama, jų ženklai turi sutapti. Taigi bet kurio dauginamojo teigiamumas lemia kito teigiamumą, o kai argumentas neigiamas, abu dauginamieji yra neigiami. Nė viena iš šių pradinių operacijų neapibrėžia reikšmės ties atmestu nuliu.

7. Kai X = Y = {1, 2}, o R(x, y): x = y, nustatykite teiginio su priklausomu pasirinkimu ir teiginio su vienodu pasirinkimu teisingumą ir užrašykite visus jų neiginius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ∀x ∈ X ∃y ∈ Y R(x,y) reikšmė yra T, pasirinkus y = x. Šio teiginio neiginio ∃x ∈ X ∀y ∈ Y ¬R(x,y) reikšmė yra F. ∃y ∈ Y ∀x ∈ X R(x,y) reikšmė yra F: kai y = 1, lygybė negalioja, kai x = 2, o kai y = 2, lygybė negalioja, kai x = 1. Šio teiginio neiginio ∀y ∈ Y ∃x ∈ X ¬R(x,y) reikšmė yra T, pasirinkus kitą aibės elementą kaip x.

   Keturios lygybės tiesos reikšmės yra T, F pirmoje eilutėje ir F, T antroje. Kiekvienos eilutės teisingas įrašas įrodo teiginį su priklausomu pasirinkimu, o kiekvieno siūlomo stulpelio klaidingas įrašas paneigia teiginį su vienodu pasirinkimu. Pakeitus kiekvieną visuotinį kvantorių egzistavimo kvantoriumi, o kiekvieną egzistavimo kvantorių – visuotiniu, ir paneigus lygybę, išsaugomos pradinės baigtinės sritys, o viso teiginio tiesos reikšmės tampa priešingos.

Ką verta įsidėmėti

• Kai klasikinės tiesos reikšmės apibrėžtos, P ⇒ Q yra klaidinga tada ir tik tada, kai P teisingas, o Q klaidingas.
• Universalioji implikacija atmeta kiekvieną leistiną kontrpavyzdį, kuriame P teisingas, o Q klaidingas; vienas pasirinktas teisingas atvejis jos neįrodo.
• P yra pakankama Q sąlyga reiškia P ⇒ Q; P yra būtina Q sąlyga reiškia Q ⇒ P.
• Implikacija yra ekvivalenti savo kontrapozicijai. Jos atvirkštinis ir priešingas teiginiai sudaro atskirą ekvivalenčių teiginių porą.
• Visoje srityje galiojančiai ekvivalencijai reikia abiejų krypčių toje pačioje srityje; ji leidžia, kad abi sąlygos tam tikram argumentui būtų klaidingos.
• Neikite visą teiginį: ne visais atvejais galiojanti implikacija reiškia, kad yra leistinas argumentas, kuriam P teisingas, o Q klaidingas.
• Išsaugokite visur apibrėžtus predikatus, sritis ir kvantorių tvarką; išsamios baigtinių sričių lentelės įrodo jose nagrinėjamus teiginius apie tas sritis, o teiginiams apie begalines sritis reikia išsamių argumentų.