Tiesioginis įrodymas ir kontrapozicijos argumentai

Dviejų nelyginio dydžio grupių suma yra lyginė

Penki objektai ir septyni objektai kartu sudaro dvylika. Kiekvienoje nelyginio dydžio grupėje yra poros ir vienas likęs objektas; abu likę objektai sudaro dar vieną porą. Skaičiavimas 5 + 7 = 12 patikrina vieną išdėstymą. Kodėl ta pati išvada galioja bet kuriems dviem nelyginiams sveikiesiems skaičiams, įskaitant neigiamus?

Sveikasis skaičius yra lyginis, jei jis lygus 2k su kuriuo nors sveikuoju skaičiumi k, ir nelyginis, jei jis lygus 2k + 1 su kuriuo nors sveikuoju skaičiumi k. Tai algebrinės apibrėžtys, todėl −3 = 2(−2) + 1 yra nelyginis skaičius, o 0 = 2 × 0 yra lyginis. Fizinių objektų grupių piešinys iliustruoja teigiamus kiekius; vien jo nepakanka neigiamiems sveikiesiems skaičiams aprėpti.

Užrašykite du bet kuriuos nelyginius sveikuosius skaičius taip: m = 2a + 1 ir n = 2b + 1, kur a ir b yra sveikieji skaičiai. Tuomet m + n = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1). Skliaustuose esantis reiškinys a + b + 1 yra sveikasis skaičius, nes sveikųjų skaičių aibė yra uždara sudėties atžvilgiu. Taigi suma yra reikiamos formos 2k ir yra lyginė.

Įrodyme nei a, nei b nepriskiriama konkreti reikšmė ir nereikalaujama, kad jie būtų lygūs. Kiekvieną nelyginių sveikųjų skaičių porą galima užrašyti parodytomis formomis, ir kiekvienas toks užrašymas duoda lyginę sumą. Būtent tai pakeičia sėkmingų skaičiavimų sąrašą.

Naudokite pažįstamą algebrą; aiškiai parodykite loginę kryptį

Tema „Simboliai, apibrėžimai ir matematinė kalba“ padeda tiksliai suprasti teiginį. Tema „Kintamieji, reiškiniai ir įstatymas“ suteikia reikiamų algebros žinių, o tema „Skliaustų atskleidimas, skaidymas dauginamaisiais ir algebrinės tapatybės“ paaiškina toliau naudojamus pertvarkymus. Atvirkštinių skaičių ir modulio pavyzdžiuose taip pat remiamasi tema „Nelygybės, intervalai ir modulis“.

Temos „Teiginiai, teisingumo reikšmės ir loginės jungtys“ bei „Implikacija, ekvivalencija ir neigimas“ suteikia loginį pagrindą rodyklei ⇒ suprasti ir teiginiui paneigti. Čia ⇒ reiškia „jei …, tai …“. Įrodymo eigos pakeitimą dar kartą paaiškiname ten, kur jo prireikia; šios logikos temos yra pasirengimas, o ne pagrindas laikyti norimą išvadą teisinga iš anksto.

Skaitydami pirmą kartą, sekite nelyginių skaičių sumos teoremos įrodymą, tiesioginio įrodymo struktūrą ir veiksmų taikymo sąlygas. Tada susipažinkite su kontrapozicija, nagrinėdami modulio pavyzdį. Prie žymėjimo su kvantoriais ir racionaliųjų skaičių pavyzdžio grįžkite tada, kai galėsite pasakyti, kokios pradinės reikšmės leistinos ir kokiu faktu remiamasi kiekviename žingsnyje.

Įvardykite pradines reikšmes, prielaidas ir išvadą

Mūsų nelyginių skaičių sumos teorema nagrinėja m ir n iš sveikųjų skaičių aibės ℤ. Jos prielaida yra „m ir n yra nelyginiai“, o išvada – „m + n yra lyginis“. Visas teiginys nusako, kad kiekviena sveikųjų skaičių pora, tenkinanti prielaidą, tenkina ir išvadą.

Simboliais: ∀m, n ∈ ℤ, ((m yra nelyginis ∧ n yra nelyginis) ⇒ (m + n yra lyginis)). Simbolis ∀ reiškia „kiekvienam“, o ∧ reiškia „ir“. Abu kintamieji nepriklausomai vienas nuo kito gali įgyti reikšmes iš tos pačios nurodytos sveikųjų skaičių aibės. Tarp leistinų jų reikšmių yra nulis ir neigiami sveikieji skaičiai, nors šią konkrečią prielaidą tenkina tik nelyginės pradinės reikšmės.

Norėdami tiesiogiai įrodyti teiginį ∀x ∈ D, (P(x) ⇒ Q(x)), imkite bet kurį x iš D ir tarkite, kad P(x) teisingas. Remdamiesi apibrėžimais ir jau nustatytais faktais, išveskite Q(x). Čia tiek P, tiek Q turi turėti apibrėžtą klasikinę teisingumo reikšmę kiekvienai leistinai pradinei reikšmei. Bet kuri pradinė reikšmė reiškia reikšmę, kuriai netaikomi jokie papildomi apribojimai, išskyrus priklausymą nurodytai aibei ir nurodytą prielaidą.

Jei nagrinėjamoje aibėje nėra nė vienos pradinės reikšmės, tenkinančios P, visuotinė implikacija yra teisinga, nes nėra leistino kontrpavyzdžio. Implikacijos įrodymas netvirtina, kad jos prielaida iš tiesų tenkinama. Mūsų teiginys apie nelyginių skaičių sumą turi pavyzdžių, tačiau egzistavimas ir visuotinė implikacija lieka atskiri klausimai.

Apibrėžimas pateikia tinkamą užrašymo būdą

Apibrėžimo žodžiai „tam tikras sveikasis skaičius“ leidžia pasirinkti liudytoją, priklausantį nuo pradinės reikšmės. Skaičiaus m nelyginumas suteikia liudytoją a, o skaičiaus n nelyginumas – galbūt kitą liudytoją b. Abu skaičius užrašius kaip 2a + 1, būtų nepastebimai padaryta prielaida, kad m = n, ir praleista dauguma leistinų porų.

Galutinis liudytojas yra k = a + b + 1. Nepakanka rasti išraišką, kuri atrodo kaip 2k, jei k gali nebūti sveikasis skaičius. Nurodykite, kodėl šis liudytojas priklauso reikiamai sričiai. Sveikųjų skaičių sudėties, atimties ir daugybos rezultatai priklauso ℤ; dalyba tokios uždarumo savybės be apribojimų neturi.

Pavyzdžiui, 3 = 2 × (3/2) neįrodo, kad 3 yra lyginis skaičius. Siūlomas liudytojas 3/2 nėra sveikasis skaičius. O liudytojas −4 įrodo, kad −8 = 2(−4) yra lyginis skaičius. Apibrėžimai nustato, kokio tipo liudytojas leistinas, o ne vien tai, kaip turi atrodyti formulė.

Kurkite grandinę nuo prielaidos, pagrįsdami kiekvieną žingsnį

Tiesioginis įrodymas gali būti trumpas ir kartu išsamus. Pirmiausia pasirinkite bet kurią pradinę reikšmę ir užrašykite prielaidą. Tada reikiamus žodžius pakeiskite jų apibrėžimais. Toliau skaičiuokite arba taikykite jau įrodytą rezultatą, aiškiai nurodydami jo prielaidas. Baigdami parodykite, kad gautas rezultatas tiksliai atitinka reikiamą išvadą.

Lygybė leidžia keisti išraiškas lygiomis ir atlikti algebrinius išskleidimus. Jei A = B ir B = C, tai A = C. Implikacijų grandinėse, jei nagrinėjamoje srityje iš P išplaukia R, o iš R išplaukia Q, tai iš P išplaukia Q. Kiekvieną žingsnį reikia pagrįsti: užrašyti iš pažiūros įtikinamų formulių seką nėra tas pats, kas parodyti, kodėl kiekviena iš jų išplaukia.

Įrodymą gali padėti rasti samprotavimas atgal nuo norimos formos. Nelyginių skaičių sumos atveju siekiama forma 2k leidžia numatyti, kad verta iškelti 2 prieš skliaustus. Tai parengiamasis darbas: jis padeda nustatyti naudingą tikslą. Tačiau galutinis argumentas vis tiek turi prasidėti nuo tikrųjų prielaidų apie pradinių skaičių nelyginumą ir parodyti, kad tas tikslas pasiekiamas.

Priėmus išvadą kaip prielaidą ir išvedus teisingą tapatybę, nieko neįrodoma apie tai, ar išvada išplaukia iš prielaidos. Taip pat remtis įrodoma teorema kaip vienu iš žingsnių reiškia samprotauti ratu. Nurodykite ankstesnį apibrėžimą arba jau įrodytą rezultatą, kuris iš tiesų pagrindžia tą žingsnį.

Algebriniam veiksmui reikia savų sąlygų

Tegu x yra bet kuris realusis skaičius, toks, kad x > 1. Tuomet x yra teigiamas ir nelygus nuliui, todėl 1/x egzistuoja ir yra teigiamas. Padalykite nelygybę 1 < x iš teigiamo x ir gausite 1/x < 1. Taigi iš x > 1 išplaukia 0 < 1/x < 1. Pagrįstas ir dalmens egzistavimas, ir nelygybės kryptis.

Šiems pradiniams predikatams su atvirkštiniais dydžiais patogi sritis, kurioje jie visur apibrėžti, yra D = ℝ ∖ {0}. Prielaida x > 1 jau užtikrina, kad x priklauso šiai sričiai be nulio, tačiau baigtiniame pavyzdyje gali būti parodytas ir neįtrauktas nulis, kad matytumėte, kodėl jo eilutė nėra leistina. Jam niekada nepriskiriamas nei atvirkštinis dydis, nei viso pradinio palyginimo teisingumo reikšmė.

Dalybos iš teigiamo skaičiaus metu nelygybės kryptis išlieka, o dalijant iš neigiamo skaičiaus ji pasikeičia į priešingą. Kai x = −2, padaliję nelygybę 1 < 2 iš x gauname −1/2 > −1, o ne −1/2 < −1. Dalyba iš nulio negalima. Todėl skaičiaus ženklą reikia nustatyti prieš dalijant, o ne spėti po dalybos.

Suprastinus trupmeną, jos pradinė apibrėžimo sritis taip pat išlieka. Iš (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 galima daryti išvadą apie tapatybę tik tada, kai x ≠ 1. Skaitiklio skaidymas dauginamaisiais nesuteikia pradiniam dalmeniui reikšmės taške 1. Nurodytoje apibrėžimo srityje neleistina argumento reikšmė negali paneigti teoremos apie leistinas argumento reikšmes.

Tą pačią implikaciją įrodykite pradėdami nuo išvados neiginio

Apibrėžtiems klasikinės logikos teiginiams P ir Q implikacijos P ⇒ Q kontrapozicija yra ¬Q ⇒ ¬P, kur ¬ reiškia „ne“. Ji pakeičia implikacijos kryptį į priešingą ir paneigia abi ištisas dalis. Tiesioginis kontrapozicijos įrodymas yra pradinės implikacijos įrodymas, nes jų teisingumo reikšmės sutampa kiekvienai galimai P ir Q porai.

Toliau pateikta išsami lentelė patvirtina šį sutapimą. Abi implikacijos klaidingos tik tada, kai P yra teisingas, o Q klaidingas. Įrodymo būdas keičiasi, bet teiginys ir jo apibrėžimo sritis nesikeičia. Įrodydami visoje apibrėžimo srityje galiojančią teoremą, pasirinkite bet kurią argumento reikšmę iš tos pačios srities D, tarkite, kad visa išvada Q yra klaidinga, ir išveskite, kad visa prielaida P yra klaidinga.

Atvirkštinė implikacija Q ⇒ P pakeičia kryptį į priešingą, bet nepaneigia dalių, ir ją reikia įrodyti atskirai. Priešingoji implikacija ¬P ⇒ ¬Q paneigia dalis, bet nekeičia krypties, ir ją taip pat reikia įrodyti atskirai. Nė viena iš jų nėra kontrapozicija. Prieš atlikdami bet kokius algebrinius veiksmus, užrašykite visą pertvarkytą teiginį.

Kai x yra realusis skaičius, sąlygos x > 2 neiginys yra x ≤ 2, o ne x < 2. Lygybės atvejis priklauso neiginiui. Jei prielaida yra konjunkcija A ∧ B, jos neiginys yra ¬A ∨ ¬B, todėl pakanka, kad bent viena iš dalių būtų klaidinga. Keisdami įrodymo būdą, išlaikykite ištisas dalis, ribas ir apibrėžimo sritis.

Didelis kvadratas reiškia didelį modulį, bet ne teigiamą ženklą

Įrodykite, kad kiekvienam realiajam x galioja: jei x² > 4, tai |x| > 2. Modulis |x| yra neneigiamas skaičiaus x dydis, o |x|² = x². Nustatyti x ženklą tiesiogiai iš x² būtų klaida: tiek 3, tiek −3 kvadratas yra 9.

Kontrapozicija yra tokia: jei |x| ≤ 2, tai x² ≤ 4. Tegul x yra bet kuris realusis skaičius ir tarkime, kad |x| ≤ 2. Kadangi |x| ≥ 0, dauginant iš |x| nelygybės kryptis nesikeičia, todėl |x|² ≤ 2|x|. Padauginę |x| ≤ 2 iš teigiamo skaičiaus 2, gauname 2|x| ≤ 4. Sujungę šias nelygybes, gauname x² = |x|² ≤ 4.

Tai tiesioginis ¬Q ⇒ ¬P įrodymas, kai P: x² > 4, o Q: |x| > 2. Šio teiginio lygiavertiškumas P ⇒ Q įrodo norimą teoremą visiems realiesiems x. Ribiniai lygybės atvejai išsaugomi: kai x = 2 arba −2, pradinė prielaida yra klaidinga, o kontrapozicijos išvada x² ≤ 4 apima ir lygybę.

Palyginkite su kitu teiginiu: „iš x² > 4 išplaukia x > 2“. Jis negalioja, kai x = −3: jo prielaida teisinga, bet išvada klaidinga. Teisinga implikacija iš x > 2 į x² > 4 turi atskirą tiesioginį įrodymą: tiek x − 2, tiek x + 2 yra teigiami, todėl x² − 4 = (x − 2)(x + 2) > 0. Greta pateiktas palyginimas skaičių tiesėje tiksliai parodo papildomą neigiamų reikšmių sritį, dėl kurios šios vienpusės implikacijos negalima apgręžti.

Baigtinė patikra parodo atvejį, o argumentas apima teoremą

Tiksli lentelė gali parodyti kiekvieną reikšmę iš joje nurodytos baigtinės imties. Tai pagrindžia teiginį tai imčiai, bet ne begalinei sričiai, tokiai kaip ℤ ar ℝ. Visuotinis įrodymas turi pagrįsti teiginį bet kuriai leistinai reikšmei. Algebrinis nelyginių skaičių sumos įrodymas ir argumentas apie modulį tai pagrindžia nepriklausomai nuo parodytų imčių.

Leistina reikšmė, kuriai prielaida teisinga, o išvada klaidinga, paneigia visuotinę implikaciją. Reikšmė, kuriai prielaida klaidinga, nėra kontrpavyzdys vien dėl to, kad jos išvada klaidinga. Implikacijoje x > 2 ⇒ x² > 4, kai x = 0, abi dalys yra klaidingos, o pati implikacija teisinga; x = −3 paneigia ne ją, o jos atvirkštinę implikaciją.

Atvirkštinio skaičiaus pavyzdyje nulis nepriklauso sričiai D = ℝ ∖ {0} ir neturi realiojo atvirkštinio skaičiaus. Jo negalima laikyti leistina įvestimi, kuriai teiginys negalioja. Pernelyg platų teiginį apie atvirkštinius skaičius reikia taisyti nurodant numatytą apibrėžimo sritį, o ne priskiriant išgalvotą reikšmę ar laikant neapibrėžtą palyginimą klaidingu.

Užbaikite nurodyta išvada ir įvardykite, kuo rėmėtės

Skaitytojas turėtų galėti atpažinti laisvai pasirinktą įvestį, išlaikytą nagrinėjimo sritį, kiekvieną prielaidą ir galutinę išvadą, pats jų neatkurdamas. Žodį „todėl“ vartokite tik pateikę apibrėžimą, skaičiavimą ar ankstesnį rezultatą, kuris pagrindžia šį žingsnį. Kai įrodymo struktūra aiški, įprastus aritmetinius veiksmus galima praleisti, tačiau būtina išlaikyti sąlygą, nuo kurios priklauso išvada.

Prieš baigdami palyginkite paskutinį sakinį su teorema. Ar įrodėte reikiamą implikaciją, ar jai atvirkštinę? Ar egzistavimą liudijantis objektas yra reikiamo tipo? Ar reiškiniai apibrėžti? Ar patikrintas daliklio ženklas? Ar bendro argumento nepakeitė skaitinis pavyzdys? Net ir teisingas skaičiavimas gali atsakyti ne į tą loginį klausimą.

Teoremai su sąlyga „tada ir tik tada“ vienos implikacijos nepakanka; įrodykite abi kryptis toje pačioje srityje. Šioje pamokoje daugiausia dėmesio skiriama tiesioginiam įrodymui ir įrodymui taikant kontrapoziciją. Kitiems įrodymo būdams reikia savų struktūrų, todėl jie nagrinėjami atskirai.

Tikrinkite įrodymo sąlygas konkrečiais atvejais

Veikloje „Nelyginių skaičių sumos“ pasirinkite du sveikuosius skaičius iš pateikto nelyginių skaičių sąrašo. Prieš atskleisdami reikšmes, numatykite atskirus skaičius, liudijančius kiekvieno dėmens nelyginumą pagal apibrėžimą, ir skaičių, liudijantį sumos lyginumą. Visa 25 porų lentelė leidžia palyginti neigiamas, lygias ir nelygias įvestis; užrašytas įrodymas su laisvai pasirinktais sveikaisiais skaičiais paaiškina, kodėl išvada galioja ir už šios lentelės ribų.

Veikloje „Slenksčio implikacijų kryptys“ pasirinkite −3 ir atskirai numatykite pradinės implikacijos, jai atvirkštinės implikacijos ir kontrapozicijos reikšmes. Palyginkite ±2, kad nuspręstumėte, kur priklauso lygybės atvejis. Skaičių tiesės juostos vaizduoja visų realiųjų skaičių aibes x > 2 ir x² > 4, apribotas pažymėtu matomu intervalu ir su tęsinį žyminčiomis rodyklėmis; atrinktų reikšmių lentelė lieka baigtinė iliustracija.

Veikloje „Atvirkštinių skaičių sąlygos“ palyginkite −1, 1/2, 1 ir 2, tada patikrinkite neįtrauktą nulį. Numatykite, kurios įvestys tenkina prielaidą ir kurioms apibrėžtas atvirkštinis skaičius. Visos trupmenos yra tikslios, o jokiai eilutei su nuliu nepriskiriama išgalvota implikacijos reikšmė. Paaiškinkite, kodėl bendrą nelygybės įrodymą pagrindžia teigiamas daliklis, o ne lentelėje matomas dėsningumas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Įrodykite, kad kiekvieno lyginio sveikojo skaičiaus kubas yra lyginis. Nurodykite gautą apibrėžimą tenkinantį sveikąjį skaičių.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jei n = 2k, kur k ∈ ℤ, tai n³ = 8k³ = 2(4k³), todėl apibrėžimą tenkinantis sveikasis skaičius yra 4k³.

   Imkite bet kurį lyginį sveikąjį skaičių, o ne konkrečią skaitinę reikšmę. Iš apibrėžimo gauname k ∈ ℤ; sveikųjų skaičių aibės uždarumas daugybos atžvilgiu užtikrina, kad 4k³ yra sveikasis skaičius. Galutinė išraiška yra būtent tokios formos, kokios reikalauja lyginumo apibrėžimas, taip pat ir tada, kai k yra neigiamas arba lygus nuliui.

2. Įrodykite, kad dviejų nelyginių sveikųjų skaičių sandauga yra nelyginė. Paaiškinkite, kodėl naudojami du atskiri apibrėžimą tenkinantys skaičiai.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai m = 2a + 1 ir n = 2b + 1, kur a, b ∈ ℤ, gauname mn = 2(2ab + a + b) + 1, taigi sandauga yra nelyginė.

   Išskleidę skliaustus, gauname 4ab + 2a + 2b + 1. Reiškinys skliaustuose 2ab + a + b yra sveikasis skaičius. Atskiri apibrėžimą tenkinantys skaičiai a ir b leidžia išlaikyti pradinių nelyginių skaičių pasirinkimo laisvę ir nepriklausomumą; naudojant vieną bendrą skaičių, įrodymas galiotų tik lygiems pradiniams skaičiams.

3. Įrodykite, kad realiųjų skaičių aibėje x > 3 ⇒ x² > 9. Tiksliai užrašykite šios implikacijos kontrapoziciją ir nustatykite, ar atvirkštinis teiginys teisingas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Iš to, kad daugikliai x − 3 ir x + 3 yra teigiami, gauname x² − 9 > 0. Kontrapozicija yra x² ≤ 9 ⇒ x ≤ 3. Atvirkštinis teiginys klaidingas, kai x = −4.

   Kai x > 3 yra bet kuris realusis skaičius, abiejų daugiklių ženklai yra pagrįsti, todėl pradinis tiesioginis įrodymas yra teisingas. Griežtųjų nelygybių neiginiai apima ir lygybę. Leistinos reikšmės −4 kvadratas yra 16 > 9, tačiau ši reikšmė netenkina x > 3, todėl paneigia tik atvirkštinį teiginį.

4. Įrodykite, kad kiekvienam realiajam x galioja x² > 9 ⇒ |x| > 3, tiesiogiai įrodydami šios implikacijos kontrapoziciją.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tarkime, kad |x| ≤ 3. Kadangi |x| ≥ 0, tai x² = |x|² ≤ 3|x| ≤ 9. Taigi kontrapozicija, o kartu ir pradinė implikacija, yra teisinga.

   Išvados neiginys yra |x| ≤ 3, o prielaidos neiginys yra x² ≤ 9. Dauginant pirmiausia iš neneigiamo |x|, o paskui iš teigiamo 3, negriežtųjų nelygybių kryptys išlieka tos pačios. Įrodymas apima visas realiąsias reikšmes ir ribinius lygybės atvejus; jokia prielaida apie x ženklą nedaroma.

5. Siūlomame įrodyme teigiama: „Tarkime, kad x² > 0. Ištraukę kvadratinę šaknį, gauname x > 0.“ Ar tai tiesioginis įrodymas realiųjų skaičių aibėje ℝ? Nurodykite klaidą ir teisingą išvadą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Įrodymas neteisingas: x = −1 yra teigiamos implikacijos kontrpavyzdys. Neneigiama kvadratinė šaknis duoda √(x²) = |x|, todėl teisinga išvada yra |x| > 0, arba, lygiavertiškai, x ≠ 0.

   Siūlomame žingsnyje skaičiaus modulis pakeičiamas pačiu skaičiumi, turinčiu ženklą. Tiek neigiamų, tiek teigiamų nenulinių reikšmių kvadratai yra teigiami. Tiesioginiame įrodyme būtina išlaikyti kiekvienos operacijos prasmę; klaidingos išvados negalima pataisyti pasirenkant tik teigiamus pavyzdžius.

6. Įrodykite, kad dviejų racionaliųjų skaičių r = p/q ir s = u/v skirtumas yra racionalusis skaičius. Ar vardikliai gali būti nuliniai arba neigiami?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   r − s = (pv − uq)/(qv) yra racionalusis skaičius, kai p, q, u, v yra sveikieji skaičiai ir q, v ≠ 0. Neigiami vardikliai leidžiami, o nuliniai – ne.

   Skaitiklis yra sveikasis skaičius, nes sveikųjų skaičių aibė yra uždara daugybos ir atimties atžvilgiu. Vardiklis yra nenulinis sveikasis skaičius, nes abu daugikliai yra nenuliniai. Pagal racionaliojo skaičiaus apibrėžimą vardiklis gali būti bet kurio ženklo, o skaičiuojant su bendru vardikliu išlaikomos pradinės sąlygos, kad vardikliai nebūtų nuliniai.

7. Taikydami kontrapoziciją, įrodykite, kad sveikiesiems skaičiams n galioja teiginys: jei 3n + 2 yra nelyginis, tai n yra nelyginis. Nurodykite, kokiu faktu apie sveikųjų skaičių lyginumą remiamasi neigiant abi teiginio dalis.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tarkime, kad n yra lyginis, taigi n = 2k, kur k ∈ ℤ. Tuomet 3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) yra lyginis. Taip įrodomas kontrapozicinis teiginys, o kartu ir pradinė implikacija.

   Kiekvienas sveikasis skaičius yra tik vienos iš dviejų formų: 2k arba 2k + 1, nes dalijant iš 2 liekana yra 0 arba 1. Taigi sveikųjų skaičių srityje „nėra nelyginis“ reiškia „yra lyginis“; tai nėra teiginys apie bet kokius realiuosius skaičius. Liudijančioji reikšmė 3k + 1 yra sveikasis skaičius, o 3n + 2 yra sveikasis skaičius kiekvienam leistinam n.

Ką verta įsidėmėti

• Tiesioginiame įrodyme pasirenkami bet kokie leistini pradiniai duomenys, daroma prielaida, kad nurodyta sąlyga tenkinama, ir išvedama būtent reikiama išvada.
• Apibrėžtys pateikia nurodyto tipo liudijančiąsias reikšmes. Nepriklausomas liudijančiąsias reikšmes laikykite nepriklausomomis ir pagrįskite, kad jos yra sveikosios arba nelygios nuliui, kai to reikalaujama.
• Kiekviename žingsnyje remiamasi apibrėžtimi, jau įrodytu rezultatu arba leistina operacija, turinčia savas taikymo sąlygas; prielaida, kad išvada teisinga, sukuria loginį ratą.
• Taikant kontrapoziciją, ta pati implikacija įrodoma per ¬Q ⇒ ¬P toje pačioje apibrėžtoje srityje. Neikite abi dalis kaip visumą ir įtraukite ribinius lygybės atvejus.
• Modulis ir ženklas yra skirtingi dalykai: iš x² > 4 būtinai išplaukia |x| > 2, bet nebūtinai x > 2. Atvirkštinis teiginys yra atskiras teiginys.
• Baigtiniai tikslūs modeliai iliustruoja juose nurodytus pradinius duomenis. Bendriesiems teiginiams reikia argumento, taikomo bet kokiems leistiniems pradiniams duomenims, o neleistiniems ar neapibrėžtiems pradiniams duomenims nepriskiriama išgalvota teisingumo reikšmė.