Kvantoriai ir tikslūs matematiniai teiginiai

Pradėkite nuo objektų ir apibrėžto predikato

Pradėkite nuo trijų skaičių: −1, 0 ir 1. Paklauskite, kurių kvadratas lygus 1: −1 ir 1 tinka, o 0 netinka. Leidžiamų objektų aibę užrašykite kaip D = {−1, 0, 1}, o sąlygą – kaip P(x): x² = 1. P yra predikatas: įrašius leidžiamą objektą x, gaunama teisinga arba klaidinga sąlyga. Teisingumą žymime T, o klaidingumą – F.

Prieš sakydami „kiekvienas“ ar „kuris nors“, nurodykite sritį D – leidžiamų objektų aibę. Čia ℤ žymi visus sveikuosius skaičius, o ℝ – visus realiuosius skaičius. Riestiniuose skliaustuose išvardijami baigtinės aibės elementai. Pakeitus sritį, teiginys su kvantoriumi gali pasikeisti, net jei jo sąlyga lieka ta pati: x² = 1 galioja kiekvienam aibės {−1, 1} elementui, bet ne kiekvienam aibės {−1, 0, 1} elementui.

Naudokite visoje nurodytoje srityje apibrėžtą predikatą: kiekvienai leidžiamai įvesčiai turi būti priskirta viena apibrėžta klasikinė teisingumo reikšmė. Predikatas x² = 1 yra apibrėžtas kiekvienam realiajam x. Palyginimas su atvirkštiniu dydžiu Q(x): 1/x > 0 yra apibrėžtas srityje ℝ ∖ {0}, kurią sudaro realieji skaičiai, išskyrus nulį. Ties nuliu tai nėra realiųjų skaičių palyginimas, todėl nulio negalima be atskiro paaiškinimo laikyti atveju, kuriam tas pats predikatas yra klaidingas.

Prieš taikydami kvantorių teiginiui su atvirkštiniu dydžiu, apribokite sritį. Vien tai, kad užrašoma materialioji implikacija su prielaida x ≠ 0, neapibrėžia palyginimo 1/0 > 0. Atskirai nurodytu išplėtimu, apibrėžtu visoje srityje, būtų galima priskirti reikšmę ties nuliu, tačiau tai būtų kitas predikatas. Visos toliau pateiktos kvantorių ekvivalencijos remiasi prielaida, kad jų predikatai yra apibrėžti visose nurodytose srityse.

Kvantorius susieja kintamąjį savo veikimo srityje

Simbolis ∀ reiškia „kiekvienam“, o ∃ – „egzistuoja“. Formulėje ∀x ∈ D, P(x) kvantorius susieja kintamojo x įrašus išraiškoje P(x). Kai teiginys su kvantoriumi yra didesnės formulės dalis, skliaustai rodo, kur baigiasi kvantoriaus veikimo sritis. Už šios srities esantis kintamojo įrašas nėra susietas šiuo kvantoriumi.

Pavyzdžiui, ∀x ∈ ℤ, x + y = 4 vis dar turi laisvąjį kintamąjį y. Kol y nepriskirta reikšmė arba jis nesusietas kvantoriumi, tai yra sąlyga apie y, o ne vienas uždaras teiginys. Formulėje ∀x ∈ ℤ, ∃y ∈ ℤ, x + y = 4 abu kintamieji susieti, todėl sakinys yra uždaras. Kai nustatyti visi laisvieji parametrai ir simbolių reikšmės, sakinys su kvantoriumi turi tiesos reikšmę.

Susietasis kintamasis yra vietinis vardas. Pakeitus ∀x ∈ D, P(x) į ∀t ∈ D, P(t), teiginys išlieka toks pats, jei visi susieti kintamojo įrašai pervadinami nuosekliai ir naujasis vardas nesusieja esamo laisvojo kintamojo. Konkrečiai, susietąjį x formulėje ∀x ∈ ℤ, x < y pervadinkite į t, o ne į y: pakeitus formulę į ∀y ∈ ℤ, y < y, anksčiau laisvas y taptų susietas ir prasmė pasikeistų.

„Kiekvienam“ reiškia, kad nėra leistino kontrpavyzdžio

Teiginys ∀x ∈ D, P(x) yra teisingas tada ir tik tada, kai P(x) yra teisingas kiekvienam D elementui. Jis yra klaidingas, jei kuriam nors leistinam elementui a teiginys P(a) yra klaidingas. Toks a yra kontrpavyzdys. Parodžius, kad vienas pasirinktas elementas tenkina sąlygą, negalima įrodyti visuotinio teiginio, nebent nagrinėjamoje aibėje yra tik tas vienas elementas.

Baigtinėje aibėje patikrinkite kiekvieną skirtingą elementą. Begalinėje aibėje pateikite argumentą, tinkantį bet kuriai leistinai reikšmei. Pavyzdžiui, ∀n ∈ ℤ, n² + 6n + 9 ≥ 0 yra teisingas, nes n² + 6n + 9 = (n + 3)², o bet kurio realiojo skaičiaus kvadratas yra neneigiamas. Bet kuris sveikasis skaičius n yra realusis, todėl argumentas apima kiekvieną sveikąjį skaičių, o ne tik kelias patikrintas reikšmes.

Žodžiai „bet kuris“ yra svarbūs: įrodyme nesiremta jokiu specialiu n pasirinkimu. Simbolis, žymintis bet kurią leistiną reikšmę, nereiškia slapta pasirinkto konkretaus skaičiaus. Išvesdami reikiamą išvadą, aiškiai nurodykite visas tai reikšmei taikomas prielaidas.

„Kai kurie“ reiškia bent vieną ir neatmeta visų

Teiginys ∃x ∈ D, P(x) yra teisingas tada ir tik tada, kai bent vienas leistinas elementas tenkina P. Elementas a ∈ D, kuriam patikrinta, kad P(a) yra teisingas, vadinamas liudytoju. Egzistavimo teiginys nereiškia, kad a yra vienintelis liudytojas ar kad kuris nors kitas elementas netenkina sąlygos.

Matematinėje logikoje „kai kurie“ reiškia „bent vienas“. Jei kiekvienas netuščios srities elementas tenkina P, egzistavimo teiginys taip pat yra teisingas. Norint pasakyti „kai kurie, bet ne visi“, reikia užrašyti abu reikalavimus: (∃x ∈ D, P(x)) ∧ (∃y ∈ D, ¬P(y)). Čia ∧ reiškia „ir“, o ¬ reiškia „ne“. Antrasis liudytojas yra sąlygos netenkinantis elementas; vien žodis „kai kurie“ jo egzistavimo nereiškia.

Kai D = {1, 2, 3} ir P(x): x > 0, teisingi abu teiginiai: ir „kiekvienas“, ir „bent vienas“. Kai D = {−1, 1}, kai kurie, bet ne visi elementai yra teigiami: 1 yra P liudytojas, o −1 – jo neiginio liudytojas. Siūlomas liudytojas iš tiesų turi priklausyti nurodytai sričiai; realusis sprendinys nėra savaime liudytojas teiginiui, kurio sritis apribota sveikaisiais skaičiais.

„Lygiai vienas“: būtinas egzistavimas ir vienatis

Simbolis ∃! reiškia „egzistuoja lygiai vienas“. Teiginys ∃!x ∈ D, P(x) sako, kad lygiai vienas D elementas tenkina P. Pirmiausia įrodykite egzistavimą pateikdami liudytoją a. Tada įrodykite vienatį: jei bet kuris b ∈ D taip pat tenkina P, įrodykite, kad b = a. Radus vieną liudytoją, įrodomas egzistavimas, tačiau neatmetama galimybė, kad yra ir kitas.

Lygiavertiškai, egzistavimas ir vienatis reiškia ∃a ∈ D, (P(a) ∧ (∀b ∈ D, P(b) → b = a)). Rodyklė → skaitoma „jei …, tai …“. Abi kryptys išplaukia iš to paties reikalavimo: nurodytasis a turi tenkinti sąlygą, o kiekvienas kitas ją tenkinantis elementas turi sutapti su a. Kadangi P apibrėžtas visoje D, šioje implikacijoje naudojamos apibrėžtos teisingumo reikšmės.

Sveikųjų skaičių srityje lygties n + 4 = 9 liudytojas yra n = 5, o atėmus 4 matyti, kad kiekvienas sprendinys lygus 5. O lygtis x² = 9 turi du realiuosius liudytojus, −3 ir 3, todėl jos realusis sprendinys nėra vienintelis. Neneigiamų realiųjų skaičių srityje lieka tik 3. Egzistavimo ir vienaties neiginys reiškia, kad arba nėra nė vieno liudytojo, arba yra bent du skirtingi liudytojai; jis nereiškia, kad jų yra lygiai du.

Liudytojas ir kontrpavyzdys įrodo skirtingus dalykus

Norėdami įrodyti egzistavimo teiginį, pateikite liudytoją ir patikrinkite, ar jis priklauso sričiai ir tenkina predikatą. Norėdami paneigti visuotinį teiginį, pateikite kontrpavyzdį ir patikrinkite, ar jis priklauso sričiai ir netenkina predikato. Šie pavieniai objektai yra lemiami, nes atitinka atitinkamų kvantorių prasmę.

Norėdami įrodyti visuotinį teiginį, aprėpkite visus leistinus objektus bendru argumentu arba išsamiai išvardykite baigtinės srities elementus. Norėdami paneigti egzistavimą, įrodykite, kad nė vienas leistinas objektas netenkina predikato. Nesėkminga paieška tarp kelių kandidatų negali įrodyti, kad begalinėje srityje nėra liudytojo.

Norint įrodyti vienatį, reikia ir liudytojo, ir visai sričiai galiojančio argumento, kad bet kuris kitas sprendinys yra jam lygus. Norėdami paneigti vienatį, arba atmeskite visus galimus liudytojus, arba pateikite du skirtingus leistinus liudytojus. Užrašykite, ką pagrindžia turimi duomenys, prieš nuspręsdami, kad skaičiavimas patvirtino arba paneigė teiginį.

„Kiekvienas“ nesukuria objekto

Aprėžto kvantoriaus sritis gali būti tuščioji aibė ∅. Tuomet ∀x ∈ ∅, P(x) yra teisingas teiginys: nėra nė vieno elemento, kuris pažeistų sąlygą. Tai vadinama tuščiąja tiesa. Šis teiginys netvirtina, kad iš tiesų yra objektas, tenkinantis P, ir lieka teisingas net tada, kai pateikta visur apibrėžta sąlyga būtų neteisinga kiekvienai įvesties reikšmei už tos tuščiosios srities ribų.

Toje pačioje tuščiojoje srityje ∃x ∈ ∅, P(x) ir ∃!x ∈ ∅, P(x) yra klaidingi teiginiai, nes joks liudytojas negali priklausyti ∅. Šios taisyklės atitinka reikšmes „nė vienas leistinas elementas nepažeidžia sąlygos“, „bent vienas leistinas elementas tenkina sąlygą“ ir „lygiai vienas leistinas elementas tenkina sąlygą“.

Taigi iš visuotinio teiginio egzistavimas išplaukia tik tada, kai taip pat žinoma, kad sritis netuščia. Jei D netuščia ir kiekvienas jos elementas tenkina P, pasirinkę elementą gauname liudytoją. Jei srities netuštumas neužtikrintas, taip pasirinkti negalima. Naudojame aiškiai nurodytas aprėžtas sritis, įskaitant tuščiąsias; tam nereikia, kad visa pirmosios eilės interpretacijos visata būtų tuščia.

Vėlesni liudytojai gali priklausyti nuo ankstesnių pasirinkimų

Kai predikatas R(x, y) apibrėžtas visoje X × Y, teiginyje ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, R(x, y) liudytojas y gali priklausyti nuo jau pasirinkto x. Teiginyje ∃y ∈ Y, ∀x ∈ X, R(x, y) viena fiksuota y reikšmė turi tikti kiekvienam x. Kvantorių veikimo sritis skaitykite nuo išorės į vidų; šie reikalavimai paprastai skiriasi.

Sveikųjų skaičių srityje ∀x ∈ ℤ, ∃y ∈ ℤ, x + y = 5 yra teisingas teiginys: bet kuriam duotam sveikajam skaičiui x pasirinkite sveikąjį skaičių y = 5 − x. Teiginys su sukeistais kvantoriais ∃y ∈ ℤ, ∀x ∈ ℤ, x + y = 5 yra klaidingas. Jo fiksuota y reikšmė turėtų būti lygi 5, kai x = 0, ir 4, kai x = 1, o tai neįmanoma.

Iš bendro liudytojo egzistavimo išplaukia galimai priklausomo liudytojo egzistavimas: jei vienas y tinka visiems x, kiekvienam x naudokite tą patį y. Atvirkštinė implikacija negalioja, kaip rodo pavyzdys. Šis samprotavimas tiesiogine kryptimi galioja ir tuščiosioms aprėžtoms aibėms: egzistuojantis bendras y jau priklauso Y, o jei X tuščia, gautas visuotinis reikalavimas yra tuščioji tiesa.

Toliau pateiktoje baigtinėje matricoje naudojamos visos sritys X = {0, 1, 2} ir Y = {3, 4, 5}. Kiekvienoje eilutėje yra teisinga reikšmė, todėl kiekvienam x yra tinkamas y. Kiekviename stulpelyje yra bent viena klaidinga reikšmė, todėl nėra vieno y, tinkančio visiems x. Matrica įrodo šiuos teiginius apie baigtines sritis; pirmiau pateikta išvada apie visus sveikuosius skaičius remiasi formule y = 5 − x, o ne trimis eilutėmis.

Neigiant pakeičiamas kvantorius ir paneigiama jo sąlyga

Simbolis ≡ reiškia, kad esant nurodytoms prielaidoms abu teiginiai turi tą pačią teisingumo reikšmę. Visur apibrėžtam klasikiniam predikatui toje pačioje srityje D galioja ¬(∀x ∈ D, P(x)) ≡ ∃x ∈ D, ¬P(x). Abi pusės teigia, kad egzistuoja leistinas elementas, netenkinantis sąlygos. Ir atvirkščiai, dėl tokio elemento ne visi elementai tenkina P. Taip pat ¬(∃x ∈ D, P(x)) ≡ ∀x ∈ D, ¬P(x): sąlygą tenkinančių elementų nėra tada ir tik tada, kai nė vienas leistinas elementas jos netenkina. Šios ekvivalencijos galioja abiem kryptimis ir taip pat tuščiose srityse.

Perkelkite neigimą per kiekvieną įdėtinį kvantorių nekeisdami sričių ar jų tvarkos. Pavyzdžiui, ¬(∀x ∈ X, ∃y ∈ Y, R(x, y)) ≡ ∃x ∈ X, ∀y ∈ Y, ¬R(x, y). Išorinio visuotinumo kvantoriaus kontrpavyzdys yra vienas x, kuriam netinka joks y. Panašiai, ¬(∃y ∈ Y, ∀x ∈ X, R(x, y)) ≡ ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, ¬R(x, y): kiekvienam siūlomam bendram y yra x, kuriam sąlyga netenkinama.

Paneikite ir vidinę sąlygą. Sąlygos x < y neiginys yra x ≥ y, įskaitant lygybę. Vienintelio elemento egzistavimo pilnas neiginys yra (∀x ∈ D, ¬P(x)) ∨ (∃a ∈ D, ∃b ∈ D, (a ≠ b ∧ P(a) ∧ P(b))). Jei neegzistuoja lygiai vienas sąlygą tenkinantis elementas, tai arba nėra nė vieno, arba šalia pirmojo yra dar vienas nuo jo skirtingas sąlygą tenkinantis elementas; abiem atvejais atmetama galimybė, kad toks elementas yra lygiai vienas.

Išsamumas galioja nurodytai sričiai

Baigtinis sąrašas leidžia atlikti išsamią patikrą tik tada, kai jame yra visi leistini skirtingi elementai. Visa X × Y matrica apima visas tų baigtinių sričių elementų poras. Keli sveikųjų ar realiųjų skaičių įrašai tėra pavieniai pavyzdžiai, net jei visi su jais atlikti skaičiavimai yra tikslūs.

Pavyzdžiui, (n − 1)(n − 3)(n − 5) = 0 galioja, kai n = 1, 3 ir 5, bet negalioja, kai n = 7, nes 6 × 4 × 2 = 48. Šie teiginį tenkinantys pavyzdžiai negali įrodyti visuotinio teiginio apie sveikuosius skaičius. O n = 3 yra patikrintas egzistavimo teiginio sveikųjų skaičių srityje liudytojas, nes tada vienas dauginamasis lygus nuliui.

Simbolinė liudytojo parinkimo taisyklė gali apimti be galo daug įvesties reikšmių: kiekvienam sveikajam skaičiui n sveikasis skaičius m = n + 3 tenkina m − n = 3. Argumentas, taikomas laisvai pasirinktai įvesties reikšmei, taip pat gali įrodyti, kad liudytojo nėra, pavyzdžiui, nelygybei x² < 0 realiųjų skaičių srityje, nes kiekvieno realiojo skaičiaus kvadratas yra neneigiamas. Išvadoje būtina nurodyti sritį ir ją visą apimantį argumentą.

Tyrinėkite sritis, liudytojus, tvarką ir pilnuosius neiginius

Sričių scenoje palyginkite visur apibrėžtą predikatą baigtinėje srityje, atvirkštinio dydžio išraišką, kurios srityje yra neleistinas nulis, ir palyginimą su laisvu parametru. Priskyrus parametrui reikšmę, gaunamas apibrėžtas konkretus atvejis; tai nesusieja šio kintamojo kvantoriumi. Palikus neapibrėžtą atvirkštinio dydžio išraišką, reikšmė negaunama. Neatliktas įvertinimas rodomas nurodant jo priežastį, o ne kaip F.

Kvantorių scenoje tikrinamas kiekvienas kiekvienos nurodytos baigtinės srities elementas ir atskirai pateikiami rezultatai „kiekvienas“, „bent vienas“ ir „lygiai vienas“. Išsaugomi visi teiginį tenkinantys ir jo netenkinantys elementai, todėl tuščia liudytojų aibė skiriasi nuo vieno ar kelių liudytojų. Tuščios srities atvejais nepridedama jokio išgalvoto elemento ar įvertinimo.

Kvantorių tvarkos vaizde rodomos visos pasirinktų baigtinių aibių elementų poros. Atskirai nagrinėkite eilutėse pateiktas priklausomas teiginį tenkinančias reikšmes ir stulpeliuose pateiktus bendrus kandidatus. Tuščia X, tuščia Y ir abi tuščios aibės yra skirtingi atvejai; įdėtinių teiginių teisingumo reikšmės priklauso nuo aiškiai nurodytų kvantorių veikimo sričių.

Neigimo vaizde kiekvieno viso teiginio priešinga teisingumo reikšmė lyginama su jo visiškai pertvarkyta vienviete arba įdėtine formule. Diagramos ir pasirinkti įrašai iliustruoja būtent šias baigtines sritis. Užrašytos semantinės ekvivalencijos ir argumentai, taikomi bet kuriam sveikajam skaičiui, pagrindžia bendresnius teiginius, apimančius ir sritis, kurių neįmanoma išsamiai pavaizduoti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Nurodykite susietuosius ir laisvuosius kintamuosius formulėje ∀x ∈ ℤ, x + y = 4. Saugiai pervadinkite susietąjį kintamąjį ir nustatykite uždarojo teiginio ∀x ∈ ℤ ∃y ∈ ℤ, x + y = 4 teisingumą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x yra susietas, o y – laisvas. Saugus pervadinimas: ∀t ∈ ℤ, t + y = 4. Uždarasis teiginys su priklausomu liudytoju yra T.

   Susieti yra tik kintamojo pasirodymai kvantoriaus veikimo srityje; y čia nepriskirta reikšmė. Pervadinus x į y, šis laisvasis kintamasis būtų susietas ir formulė pasikeistų. Uždarajame teiginyje bet kuriam sveikajam skaičiui x tinka sveikasis liudytojas y = 4 − x, o jų suma yra 4.

2. Kai D = {−3, −1, 1, 3} ir P(x): x² = 1, pateikite visą teisingumo reikšmių stulpelį ir nustatykite teiginių „visiems“, „bent vienam“, „lygiai vienam“ ir „bent vienam, bet ne visiems“ teisingumą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Stulpelis yra F, T, T, F. „Visiems“ yra F, „bent vienam“ yra T, „lygiai vienam“ yra F, o „bent vienam, bet ne visiems“ yra T.

   Kvadratų reikšmės yra 9, 1, 1 ir 9. Du skirtingi liudytojai −1 ir 1 įrodo egzistavimą ir paneigia vienatį. Kontrpavyzdys −3 paneigia teiginį „visiems“ ir kartu su liudytoju įrodo teiginį „bent vienam, bet ne visiems“. Vien loginiam teiginiui „bent vienam“ šio kontrpavyzdžio nereikia.

3. Įrodykite ∃!n ∈ ℤ, n + 4 = 9. Tada nustatykite, ar lygtis x² = 9 turi vienintelį sprendinį aibėje ℝ ir neneigiamųjų realiųjų skaičių aibėje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vienintelis sveikasis sprendinys yra n = 5. Kvadratinės lygties sprendinys aibėje ℝ nėra vienintelis, tačiau neneigiamųjų realiųjų skaičių aibėje vienintelis sprendinys yra x = 3.

   Penki priklauso ℤ ir tenkina lygtį; bet kuris kitas sprendinys turi būti lygus 9 − 4 = 5. Lygtį x² = 9 išskaidžius dauginamaisiais, (x − 3)(x + 3) = 0, realiųjų skaičių aibėje gaunami tik sprendiniai −3 ir 3. Abu tinka, todėl šioje aibėje vienatis negalioja. Apribojus sritį sąlyga x ≥ 0, atmetamas −3 ir lieka patikrintas liudytojas 3.

4. Užrašykite teiginio ∃x ∈ ℤ ∀y ∈ ℤ, x + y = 5 neiginį. Įrodykite neiginį tiesiogiai, pateikdami liudytojo parinkimo taisyklę, ir išlaikykite abi kintamųjų sritis.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Neiginys yra ∀x ∈ ℤ ∃y ∈ ℤ, x + y ≠ 5, ir jis yra T.

   Perkelkite neigimą per ∃, o tada per ∀, pakeisdami juos į ∀ ir ∃ bei paneigdami lygybę. Kiekvienam laisvai pasirinktam sveikajam skaičiui x parinkite sveikąjį skaičių y = 6 − x. Tada x + y = 6, o tai nelygu 5. Ši formulė apima visus x ir yra bendras įrodymas, o ne baigtinė paieška.

5. Kai D = ∅, nustatykite teiginių ∀x ∈ D, x² < 0, ∃x ∈ D, x² < 0 ir ∃!x ∈ D, x² < 0 teisingumą. Jei X = Y = ∅, taip pat nustatykite teiginių ∀x ∈ X ∃y ∈ Y, x = y ir ∃y ∈ Y ∀x ∈ X, x = y teisingumą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vienviečių formulių reikšmės yra T, F ir F. Dviejų formulių su įdėtiniais kvantoriais reikšmės yra atitinkamai T ir F.

   Nė vienas srities elementas nepažeidžia vienviečio visuotinumo teiginio, tačiau nė vienas elementas negali būti nė vieno egzistavimo teiginio liudytoju. Pirmojoje formulėje su įdėtiniais kvantoriais išorinis visuotinumo kvantorius neturi jokio x, kurį galėtų patikrinti, todėl formulės reikšmė yra T. Formulėje su sukeistais kvantoriais, prieš nagrinėjant vidinį visuotinumo kvantorių, reikia tikro y iš tuščios srities Y, todėl jos reikšmė yra F. Teisingumas dėl srities tuštumo nesuteikia jokio objekto.

6. Kai X = Y = {0, 1} ir R(x, y): x = y, užrašykite visą dviejų eilučių ir dviejų stulpelių matricą. Nustatykite ∀x ∃y R ir ∃y ∀x R teisingumo reikšmes, tada nurodykite kiekvieno teiginio pilnojo neiginio teisingumo reikšmę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Matricos eilutės yra T, F ir F, T. Teiginio apie priklausomą liudytoją reikšmė yra T, o teiginio apie bendrą liudytoją – F; jų pilnųjų neiginių reikšmės yra F ir T.

   Kiekvienoje eilutėje yra ją atitinkantis y = x. Nė vienas stulpelis netinka abiem skirtingoms x reikšmėms. Pirmasis pilnasis neiginys yra ∃x ∀y, x ≠ y; jis klaidingas, nes kiekvienas x turi jį atitinkantį y. Antrasis yra ∀y ∃x, x ≠ y; jis teisingas, nes galima pasirinkti x = 1, kai y = 0, ir x = 0, kai y = 1. Visos keturios poros priklauso nurodytoms pilnoms sritims.

7. Įrodykite, kad ∀n ∈ ℤ, n² + 6n + 9 ≥ 0. Kitas besimokantysis patikrina (n − 1)(n − 3)(n − 5) = 0, kai n reikšmės yra 1, 3 ir 5, ir teigia, kad lygybė galioja kiekvienam sveikajam skaičiui. Pateikite kontrpavyzdį ir egzistavimo išvadą, kurią šie patikrinimai iš tiesų pagrindžia.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmojo teiginio reikšmė yra T, nes n² + 6n + 9 = (n + 3)² ≥ 0 bet kuriam n. Antrojo visuotinumo teiginio reikšmė yra F: kai n = 7, gaunama 48. Jo egzistavimo versijos reikšmė yra T, pavyzdžiui, kai n = 3.

   Kvadrato tapatybė ir neneigiamumas galioja kiekvienai sveikajai argumento reikšmei, įskaitant ir nepatikrintas reikšmes. Kiekvienu sėkmingai patikrintu antrojo skaičiavimo atveju vienas daugiklis lygus nuliui, tačiau kai argumento reikšmė yra 7, sandauga yra 6 × 4 × 2 = 48. Vienas patikrintas leistinas liudytojas įrodo egzistavimą; teiginį apie kiekvieną elementą galima įrodyti tik visą sritį apimančiu argumentu arba išsamiai patikrinus baigtinę sritį.

Ką verta įsidėmėti

• Nurodykite sritį ir reikalaukite, kad predikatas būtų apibrėžtas kiekvienai leistinai argumento reikšmei. Vien teisingumo reikšmėmis grindžiama implikacija nepadaro ties nuliu neapibrėžtos atvirkštinės reikšmės apibrėžtos.
• Kvantorius susaisto kintamojo pasirodymus tik savo veikimo srityje. Likusiam laisvajam kintamajam reikia priskirti reikšmę arba jį susaistyti kvantoriumi; saugiai pervadinant kintamuosius būtina išvengti netyčinio jo susaistymo.
• „Kiekvienas“ apima visas leistinas argumento reikšmes; „kai kurie“ reiškia bent vieną ir neatmeta galimybės, kad tinka visi. „Lygiai vienas“ reikalauja liudytojo ir įrodymo, kad bet kuris kitas liudytojas yra tas pats.
• Patikrintas liudytojas įrodo egzistavimą, o kontrpavyzdys paneigia visuotinumo teiginį. Išsamus baigtinės srities elementų išvardijimas ir argumentai apie bet kurią argumento reikšmę turi skirtingas, aiškiai nurodytas taikymo sritis.
• Teiginys su visuotinumo kvantoriumi tuščioje srityje yra teisingas dėl srities tuštumo, o egzistavimo ir vienintelio elemento egzistavimo teiginiai yra klaidingi. Vien „kiekvienas“ neužtikrina, kad yra sąlygą tenkinantis elementas, jei sritis nėra netuščia.
• Teiginyje ∀x ∃y sąlygą tenkinantis elementas y gali priklausyti nuo x; teiginyje ∃y ∀x vienas fiksuotas y turi tikti visoje srityje. Svarbi kvantorių tvarka ir priklausymas pradinei sričiai.
• Neigdami visą kvantifikuotą teiginį, kiekvieną ∀ pakeiskite į ∃, o kiekvieną ∃ – į ∀ ir paneikite vidinę sąlygą, išlaikydami kvantorių veikimo sritis ir kintamųjų sritis. Vienintelio egzistavimo neiginys leidžia, kad sąlygą tenkinančių elementų nebūtų arba kad būtų bent du skirtingi tokie elementai.