Taškai, tiesės, kampai ir geometriniai apibrėžimai

Geometrinė aplinka ir matematinių teiginių paskirtis

Dirbame Euklido plokštumoje – idealioje plokščioje aplinkoje, kurioje nagrinėjamos tiesės ir įprastai matuojami atstumai bei kampai. Pieštuku pažymėtas taškas vaizduoja vietą, tačiau matematinis taškas neturi nei ilgio, nei pločio, nei storio. Nubrėžtas brūkšnys vaizduoja tiesę arba jos dalį; jo dažų sluoksnio storis ir popieriaus kraštai nėra idealiojo objekto savybės. Skirkite objektą nuo jam vaizduoti naudojamų žymių.

Aksiominiame dėstyme taškas, tiesė ir plokštuma gali būti pradinės sąvokos: jų ryšiai nusakomi prielaidomis, o ne begaline apibrėžimų grandine. Apibrėžimas suteikia sąvokai reikšmę, pavyzdžiui, atkarpa turi du galinius taškus ir apima visus tarp jų esančius taškus. Aksioma arba postulatas yra pasirinktos sistemos prielaida. Teorema yra teiginys, pagrįstas prielaidomis ir anksčiau nustatytais rezultatais. Pavadinti teiginį akivaizdžiu nereiškia nustatyti jo paskirtį.

Šioje pamokoje remkitės Euklido geometrijos prielaidomis, kad du skirtingi taškai apibrėžia lygiai vieną tiesę ir kad tiesės atkarpą galima pratęsti ją turinčioje tiesėje. Taip pat taikome įprastą kampų matavimą: pilnas apsisukimas yra 360°, o pasirinkto kampo gretimų dalių dydžių suma lygi to kampo dydžiui. Euklido dėstyme skiriami apibrėžimai, postulatai ir bendrosios sąvokos, tačiau jo istoriškai vartota „linijos“ sąvoka nebūtinai reiškia šiuolaikinę begalinę tiesę. Toliau pateikti susitarimai nusako reikšmes, kurias vartosime.

Du skirtingi taškai apibrėžia vieną tiesę, vienas taškas – ne

Kai taškai A ir B yra skirtingi, per A ir B einanti tiesė yra vienintelė tiesė, kuriai priklauso abu taškai. Ji tęsiasi į abi puses ir neturi galinių taškų. Ją galime vadinti tiese AB, tiese BA arba žymėti mažąja raide, pavyzdžiui, ℓ. Sukeitus dviejų taškų vardus vietomis, ši taškų aibė nepasikeičia. Sąlyga, kad tiesė yra vienintelė, taikoma skirtingoms taškų vietoms, o ne vien dviem skirtingiems raidiniams žymenims.

Jei A ir B sutampa, abu žymenys nurodo tą patį tašką. Per tą tašką eina daug tiesių, todėl „tiesė AA“ neapibrėžia vienintelės tiesės. Nepriskirkite krypties nuliniam poslinkiui iš A į jį patį, tarsi šis poslinkis būtų į kurią nors pusę. Tai, kad brėžinyje rodoma tik dalis tiesės AB, taip pat nereiškia, kad tiesė baigiasi ties matomais žymenimis ar ties grafiko lango riba.

Prielaida, kad per du skirtingus taškus eina vienintelė tiesė, leidžia gauti naudingą teoremą: dvi skirtingos tiesės turi ne daugiau kaip vieną bendrą tašką. Jei dvi tiesės turėtų bendrus skirtingus taškus P ir Q, kiekviena iš jų turėtų būti vienintelė tiesė, einanti per P ir Q, todėl šios tiesės sutaptų. Taigi skirtingos susikertančios tiesės susikerta tiksliai viename taške. Šiame samprotavime remiamasi dviem skirtingais bendrais taškais; jis nedraudžia dviem tiesėms turėti vieną bendrą tašką.

Atkarpą, spindulį ir tiesę skiria galai ir kryptis

Kai A ir B yra skirtingi taškai, atkarpą AB sudaro A, B ir visi tarp jų esantys jų tiesės taškai. Abu galai priklauso atkarpai, o atkarpa AB yra tas pats objektas kaip ir atkarpa BA. Jos ilgis yra neneigiamas atstumas, išreiškiamas skaičiumi su ilgio matavimo vienetu, jei vienetai nurodyti. Pati atkarpa yra taškų aibė, o ne tas skaičius. Aiškiai leidžiame išsigimusią atkarpą AA laikyti vieninteliu tašku A; jos ilgis lygus nuliui.

Spindulys AB prasideda taške A, eina per B ir ta pačia kryptimi tęsiasi be galo už B; taškas A priklauso spinduliui. Pirmasis jo pavadinime nurodytas taškas yra pradžios taškas. Kai A ir B yra skirtingi taškai, spindulys BA prasideda kitame taške ir yra nukreiptas priešinga kryptimi, todėl tai yra kita aibė. Spindulio pavadinime antrasis taškas gali būti skirtingas, jei tie taškai yra ta pačia kryptimi nuo jo fiksuoto pradžios taško: jei A, B ir C yra vienoje tiesėje, o B ir C yra toje pačioje pusėje nuo A, spinduliai AB ir AC sutampa. Vien pakartotas tas pats taškas neapibrėžia vienintelio spindulio AA.

Kai A ≠ B, koordinatės leidžia tiksliai aprašyti, kurie taškai priklauso objektui. Užrašykime P = A + t(B − A), kur t yra realusis skaičius. Tiesei t gali būti bet kuris realusis skaičius; atkarpai būtina sąlyga 0 ≤ t ≤ 1; spinduliui AB būtina sąlyga t ≥ 0. Ir atvirkščiai, šios sąlygos aprašo visus atitinkamo objekto taškus. Taškui, nepriklausančiam tiesei, tokio t nėra. Kai A = B, ši išraiška lygi A su kiekviena t verte ir negali patvirtinti tiesės ar spindulio krypties.

Būti vienoje tiesėje – ne tas pats, kas būti vienoje plokštumoje

Taškai yra kolinearūs, kai visi jie priklauso vienai tiesei. Taškai arba tiesės yra komplanarūs, kai visi jie priklauso vienai plokštumai. Kiekvienas mūsų pasirinktoje plokštumoje nagrinėjamas objektas yra komplanarus su kitais, tačiau jo taškai nebūtinai yra kolinearūs. Pavyzdžiui, trys plokštumos taškai (0, 0), (1, 0) ir (0, 1) nėra kolinearūs: vienintelės tiesės, einančios per pirmuosius du taškus, lygtis yra y = 0, o trečiasis taškas šiai tiesei nepriklauso.

Vien kolinearumas nenusako, kuris taškas yra tarp kitų. Jei B yra griežtai tarp skirtingų taškų A ir C, tai atkarpų ilgiai tenkina lygybę AB + BC = AC. Sąlyga, kad B yra griežtai tarp jų, užtikrina, jog abu mažesnieji ilgiai yra teigiami. Jei B yra už C, taškų tvarka ir atitinkama suma pasikeičia. Koordinatės tiesėje arba aiškiai nurodyta taškų tvarka leidžia nustatyti, kuri atkarpa yra visa atkarpa; atstumai tarp atspausdintų žymenų nėra tokios tvarkos įrodymas.

Aprašant tieses svarbu, ar jos priklauso vienai plokštumai. Trimatėje Euklido erdvėje tiesės gali nesusikirsti ir kartu nepriklausyti jokiai bendrai plokštumai; tokios tiesės vadinamos prasilenkiančiosiomis. Pagal čia vartojamą lygiagretumo apibrėžimą, reikalaujantį, kad tiesės būtų komplanarios, jos nėra lygiagrečios. Taigi mūsų plokštumos tiesių klasifikacijai aiškiai nurodyta jos taikymo aplinka. Šis skirtumas neleidžia plokštumoje galiojančios išvados perkelti į erdvinę situaciją, kurios sąlygos nenurodytos.

Lyginkite tieses kaip visumas, įskaitant sutapimo ir statmenumo atvejus

Dvi vienos plokštumos tiesės sutampa, jei jos yra ta pati visa taškų aibė. Dvi skirtingos tiesės kertasi, jei turi bendrą tašką, kuris pagal ankstesnę teoremą yra vienintelis. Jos yra lygiagrečios, jei yra skirtingos, komplanarios ir neturi nė vieno bendro taško net ir neribotai pratęstos. Šie atvejai sudaro plokštumos tiesių, nagrinėjamų kaip visumos, klasifikaciją. Jei apkirptame brėžinyje dvi matomos atkarpos nesusikerta, tiesės, kurioms jos priklauso, nebūtinai yra lygiagrečios.

Koordinačių lygtys y = 1 ir y = −2 aprašo lygiagrečias tieses: joks taškas neturi abiejų y reikšmių. Lygtys y = 1 ir 2y = 2 aprašo sutampančias tieses, o ne dvi skirtingas lygiagrečias tieses. Tiesės y = 1 ir x = 3 kertasi vieninteliame taške (3, 1). Koordinačių lygčių lygiavertiškumas, nesuderinamumas arba vienintelis bendras sprendinys pagrindžia šį skirstymą nesiremiant brėžiniu.

Dvi tiesės yra statmenos, kai jos kertasi stačiuoju kampu, kurio dydis yra 90°. Kai dvi skirtingos tiesės kertasi plokštumoje, jų priešingi spinduliai sudaro keturis įprastus sektorius; jei vieno sektoriaus kampas yra 90°, kitų kampai taip pat yra 90°, kaip galima pagrįsti toliau aptariamomis gretutinių ir kryžminių kampų savybėmis. Horizontali ir vertikali tiesės yra tik vienas pavyzdys, o ne visas apibrėžimas: pasukus visą konfigūraciją, statmenumas išlieka. Remkitės aiškiai pateiktu stačiojo kampo ženklu arba įrodytu kampo dydžiu, o ne panašumu į raidę L.

Viršūnę žymėkite vidurine raide ir nurodykite, kurį kampą turite omenyje

Du spinduliai, kurių bendras pradžios taškas yra O, yra kampo kraštinės, o O yra jo viršūnė. Jei A yra vienos kraštinės taškas, nesutampantis su O, o B yra kitos kraštinės taškas, nesutampantis su O, kampas žymimas trimis raidėmis ∠AOB. Vidurinė raidė nurodo viršūnę. Tą patį pasirinktą kampą galima pažymėti naudojant kitus, toliau ant tų pačių kraštinių esančius taškus; pakeitus spindulio kryptį, kampas pasikeičia. Kraštinių ilgis puslapyje nenulemia kampo dydžio.

Dvi kraštinės paprastai apriboja du sektorius. Šioje pamokoje trijų raidžių kampo žymuo be papildomo patikslinimo reiškia įprastą neįgaubtąjį kampą, kurio dydis yra nuo 0° iki 180°. Įgaubtasis kampas arba kryptinis posūkis turi būti aiškiai pažymėtas arba aprašytas. Pagal įprastą susitarimą ∠AOB ir ∠BOA yra vienodo dydžio. Tačiau pakeitus nurodyto kryptinio posūkio kryptį, gali būti pasirinktas kitas sukimosi kelias, todėl vien trys raidės neturi be aiškaus nurodymo reikšti įgaubtojo sektoriaus.

Žymuo ∠O naudingas tik tada, kai aišku, kuris kampas ties O turimas omenyje. Jei iš O išeina keli spinduliai, naudokite tris raides ir, jei reikia, pažymėkite sektorių. Pats kampas, pasirinktas jo sektorius arba posūkis ir jo skaitinis dydis laipsniais yra susiję, bet skirtingi informacijos elementai. Žymint pilną apsisukimą, nurodomas ir pats sukimasis: galutinė kraštinė sutampa su pradine, kaip ir nulinio posūkio atveju, tačiau pasukimo dydis skiriasi.

Laipsniai matuoja posūkį; ribiniai atvejai apibrėžiami aiškiai

Vienas laipsnis, žymimas 1°, yra dalis, gaunama pilną apsisukimą padalijus į tris šimtus šešiasdešimt lygių dalių. Taigi pilnas apsisukimas yra 360°, pusė apsisukimo yra ištiestinis kampas 180°, o ketvirtis apsisukimo yra statusis kampas 90°. Lygūs kampai atitinka vienodo dydžio posūkius, nepriklausomai nuo jų padėties ar pavaizduoto kraštinių ilgio. Pasukus visą konfigūraciją, jos kampų dydžiai išlieka; ištempus brėžinį viena kryptimi, matomi kampai gali pasikeisti.

Pagal mūsų taikomą šiuolaikinį susitarimą į lentelę įtraukti nuliniai kampai ir aiškiai užfiksuoti pilni apsisukimai. Smailusis kampas yra griežtai tarp 0° ir 90°, o bukasis – griežtai tarp 90° ir 180°. Įgaubtasis kampas yra griežtai tarp 180° ir 360°; nei ištiestinis kampas, nei pilnas apsisukimas nėra įgaubtasis kampas. Sutampančios kraštinės gali reikšti 0°, kai posūkio nėra, arba 360° po vieno pilno apsisukimo, todėl vien pagal galutines jų padėtis šių dviejų atvejų atskirti negalima. Neigiamiems posūkiams arba keliems apsisukimams reikia papildomų susitarimų, kurie šioje pamokoje neaptariami.

Norėdami išmatuoti įprastą kampą matlankiu, jo centrą padėkite ties viršūne, vieną kraštinę sutapatinkite su pagrindo linijos nulio žyma ir nuskaitykite kitos kraštinės rodmenį skalėje, prasidedančioje nuo to nulio. Jei abi kraštinės yra tame pačiame matuojamame pusapskritimyje, bet nė viena nesutapatinta su pagrindo linija, apskaičiuokite jų rodmenų toje pačioje skalėje skirtumo modulį. Jei aiškiai pasirinktas įgaubtasis sektorius, išmatuokite atitinkamą mažesnįjį kampą ir jo dydį atimkite iš 360°. Praktinių matavimų tikslumas ribotas; pateikto tikslaus kampo dydžio arba matematinio įrodymo vaidmuo skiriasi nuo apytikrio įverčio pagal eskizą.

Gretimi kampai yra gretutiniai tik tada, kai jų išoriniai spinduliai yra priešingi

Čia neišsigimę gretimi kampai yra teigiami įprastieji kampai, turintys bendrą viršūnę ir vieną bendrą kraštinę, kurių vidaus sritys nesikerta ir yra priešingose tos bendros kraštinės pusėse. Jų didumai nebūtinai lygūs, ir jie nebūtinai sudaro pusę apsisukimo. Pavyzdžiui, vienas prie kito esantys 28° ir 28° sektoriai sudaro 56°, taigi lygūs gretimi kampai nebūtinai yra statieji. Vien bendros viršūnės arba bendros kraštinės, kai viena pasirinkta vidaus sritis persidengia su kita, šiam apibrėžimui nepakanka.

Neišsigimusi gretutinių kampų pora – tai gretimų kampų pora, kurios nebendros kraštinės yra priešingi spinduliai. Šie išoriniai spinduliai sudaro ištiestinį kampą, kurį bendra kraštinė padalija į dvi dalis, todėl abiejų kampų didumų suma yra 180°. Ir atvirkščiai: du neišsigimę gretimi įprastieji kampai, kurių didumų suma yra 180°, kartu sudaro ištiestinį sektorių, todėl jų nebendros kraštinės yra priešingi spinduliai. Šis atvirkštinis teiginys remiasi tuo, kad kampai yra gretimi ir jų vidaus sritys nepersidengia, o ne vien skaitine suma, nurodyta tarpusavyje nesusijusiose vietose esantiems kampams.

Jei spindulys yra griežtai pasirinkto ištiestinio sektoriaus viduje, jis sudaro du teigiamus neišsigimusios gretutinių kampų poros kampus. O spindulys, esantis sektoriaus riboje, sudaro 0° ir 180° kampus; jų suma vis tiek yra 180°, tačiau pagal mūsų susitarimą ši išsigimusi konstrukcija nėra neišsigimusi gretutinių kampų pora. Jei abu teigiami kampai dar ir lygūs, iš 2θ = 180° gauname θ = 90°, o kampų kraštines laikančios tiesės yra statmenos. Prieš užrašydami lygtį, patikrinkite padėties sąlygas.

Papildymas iki stataus ar ištiestinio kampo nusako sumą, ne padėtį

Du kampų didumai papildo vienas kitą iki stataus kampo, kai jų suma yra 90°, ir iki ištiestinio kampo, kai jų suma yra 180°. Tai skaitiniai ryšiai; kampai gali turėti skirtingas viršūnes. 37° kampą iki stataus kampo papildo 53°, o iki ištiestinio kampo – 143°. Atitinkamo aiškiai pasirinkto įgaubtojo kampo didumas yra 323°, gaunamas iš 360° − 37°; jis nėra nei papildymas iki stataus, nei papildymas iki ištiestinio kampo.

Naudojant mūsų neneigiamus įprastųjų kampų didumus, iki stataus kampo papildantį didumą 90° − θ galima rasti, kai 0° ≤ θ ≤ 90°, o iki ištiestinio kampo papildantį didumą 180° − θ – kai 0° ≤ θ ≤ 180°. Ribiniais atvejais atsakymas gali būti nulis, nes aiškiai įtraukėme susitarimą dėl nulinio kampo. Jei reikalaujama, kad abu kampai būtų teigiami, vietoj šių ribų naudokite griežtas nelygybes. Neigiamas skaičiavimo rezultatas, pavyzdžiui, 90° − 120° = −30°, pagal šį susitarimą nėra iki stataus kampo papildantis kampas.

Kiekvienos neišsigimusios gretutinių kampų poros didumų suma lygi ištiestinio kampo didumui, tačiau iki ištiestinio kampo vienas kitą papildantys kampai nebūtinai yra gretimi ar sudaro tiesę ties viena viršūne. Pavyzdžiui, 40° ir 140° kampų, esančių ties skirtingomis viršūnėmis, suma yra 180°, nors jie nesudaro gretutinių kampų poros. Taip pat suma, lygi stataus kampo didumui, nereiškia, kad dvi duotosios kampų kraštines laikančios tiesės kertasi stačiu kampu, nebent nurodytas išdėstymas sujungia kampus į tą statųjį sektorių. Atskirkite kampų didumų lygtį nuo padėties faktų, reikalingų geometrinei išvadai.

Kryžminiai kampai lygūs, nes abu papildo tą patį kampą iki ištiestinio

Tarkime, skirtingos tiesės AB ir CD kertasi taške O, o O yra griežtai tarp A ir B bei griežtai tarp C ir D. Pasirinkus žymėjimo orientaciją, keturi jų spinduliai aplink O išsidėsto tokia tvarka: OA, OC, OB, OD. Įprastieji kampai ∠AOC ir ∠BOD yra kryžminiai, kaip ir ∠COB bei ∠DOA. Angliškame pavadinime „vertically opposite“ žodis „vertical“ čia nusako priešingą padėtį; tiesės nebūtinai turi būti vertikalios ar horizontalios.

Pažymėkime α = m∠AOC, β = m∠COB ir γ = m∠BOD, kur m reiškia kampo didumą laipsniais. Kadangi OA ir OB yra priešingi spinduliai, α + β = 180°. Kadangi OC ir OD yra priešingi spinduliai, β + γ = 180°. Atėmę β, gauname α = γ. Tokiu pat samprotavimu įrodoma, kad ir kitos kryžminių kampų poros kampai yra lygūs. Taigi keturių kampų didumai yra α, 180° − α, α, 180° − α; skirtingoms susikertančioms tiesėms galioja 0° < α < 180°, o visų keturių kampų didumų suma yra 360°.

Šis įrodymas paaiškina lygybę kiekvienu leistinu susikirtimo atveju, o ne vien patikrina kelis išmatuotus brėžinius. Kai α = 90°, abi tiesės yra statmenos. Kai α = 0° arba 180°, tariamos tiesių kryptys sutampa ir nesudaro keturių neišsigimusių skirtingų susikertančių tiesių sektorių. Sutampančių tiesių bendri taškai sudaro visą tiesę, ir vien šios dvi tiesės neišskiria vienintelio susikirtimo taško. Vien to, kad kampų pora atrodo kryžminė, bet nėra priešingų spindulių porų, nepakanka teoremai taikyti.

Sąlygas tikrinkite tyrinėjimo įrankiu, rezultatą pagrįskite samprotavimu

Taškų priklausymo objektams vaizde galima pasirinkti tiesę, atkarpą arba spindulį, skirtingus galinius taškus A = (−2, −1), B = (2, 1) arba sutampančius galinius taškus A = B = (−2, −1) ir tikrinamą tašką su fiksuotomis koordinatėmis. Kai galiniai taškai skirtingi, priklausymą objektui lemia tikslus kolinearumo patikrinimas pagal koordinates ir realusis parametras formulėje P = A + t(B − A). Taškas už B priklauso tiesei ir pirmyn nukreiptam spinduliui, bet ne atkarpai; taškas už A priešinga kryptimi priklauso tik tiesei. Galinis taškas A priklauso visiems trims objektams.

Kai galiniai taškai sutampa, atkarpa yra vieno elemento aibė {A}, o vien šie du žymenys nenusako tiesės ir spindulio krypčių. Kolinearumo reiškinys, kuris tampa lygus nuliui dėl to, kad B − A yra nulis, nereiškia, kad kiekvienas taškas priklauso vienareikšmiškai apibrėžtai tiesei. Kampų vaizde atskirai galima pasirinkti duotus 0°, 60°, 90°, 120°, 180°, 270° ir 360° posūkius, taip pat vieną dviejų skirtingų tiesių susikirtimo vaizdą su keturiais pakaitomis išsidėsčiusiais 60° ir 120° sektoriais. Įgaubtųjų kampų ir pilno apsisukimo vaizduose aiškiai vaizduojamas sukimasis prieš laikrodžio rodyklę; nulinio kampo vaizde užfiksuota, kad posūkio nėra.

Grafike naudojami vienodi masteliai ir rodoma tik ribota sritis. Rodyklių smaigaliai žymi neribotą tęsinį, o ne visos tiesės ar spindulio galinius taškus. Tikslios koordinatės ir duoti kampų dydžiai laipsniais pagrindžia rodomas išvadas; nubrėžti lankai iliustruoja pasirinktus kampų dydžius, o ne matuoja juos pagal pikselius. Įprasta kampo papildymo iki ištiestinio kampo konstrukcija sudaro neišsigimusią gretutinių kampų porą tik tada, kai 0° < θ < 180°; nulinio ir ištiestinio kampų ribiniai atvejai yra išsigimę. Šie pasirinkti atvejai padeda nagrinėti, o pirmiau pateikti apibrėžimai ir bendrieji įrodymai nustato bendresnius ryšius.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pagal čia taikomą aksiominį požiūrį nustatykite, kokiai kategorijai priklauso taškas ir plokštuma; spindulio AB reikšmė; teiginys, kad du skirtingi taškai apibrėžia vienintelę tiesę; ir teiginys, kad dvi skirtingos tiesės turi daugiausia vieną bendrą tašką. Paaiškinkite, kodėl matomas pieštuku pažymėto taško skersmuo nesuteikia matematiniam taškui teigiamo pločio.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taškas ir plokštuma yra pradinės sąvokos. Spindulio AB reikšmė yra apibrėžimas, teiginys apie vienintelę tiesę yra prielaida, o teiginys apie daugiausia vieną bendrą tašką yra iš tos prielaidos išvesta teorema. Pieštuko žymė vaizduoja idealią vietą, neturinčią pločio.

   Apibrėžimas nusako, kaip bus vartojama sąvoka, o prielaida nurodo pasirinktos geometrinės sistemos savybę. Jei dvi skirtingos tiesės turėtų du skirtingus bendrus taškus P ir Q, dėl to, kad per P ir Q eina vienintelė tiesė, jos būtų ta pati tiesė – tai prieštaravimas. Šis samprotavimas įrodo teoremą. Fizinės žymės leidžia mums nurodyti idealių objektų vietą, bet nekeičia jų matematinių savybių.

2. Tiesėje y = 0 duoti taškai A = (−1, 0), B = (2, 0), C = (5, 0) ir D = (−3, 0). Išsamiai apibūdinkite tiesę AB, atkarpą AB, spindulį AB ir spindulį BA. Kurie iš taškų C ir D priklauso kiekvienam iš šių objektų? Ar spinduliai AB ir AC yra tas pats spindulys ir ar spindulys AA apibrėžia kryptį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tiesės AB taškų pirmoji koordinatė gali būti bet kuris realusis skaičius. Atkarpai AB galioja −1 ≤ q ≤ 2, spinduliui AB – q ≥ −1, o spinduliui BA – q ≤ 2. Abu taškai C ir D priklauso tiesei, bet nė vienas nepriklauso atkarpai. Spinduliui AB priklauso tik C, o spinduliui BA – tik D. Spinduliai AB ir AC sutampa; spindulys AA neturi vienareikšmiškai apibrėžtos krypties.

   Pirmosios koordinatės išsidėsto tokia tvarka: −3 < −1 < 2 < 5. Atkarpai priklauso abu jos galai, bet nepriklauso už jų esantys taškai. Spinduliui priklauso jo pradžios taškas ir tik viena kryptimi nuo jo esantys tiesės taškai. B ir C yra ta pačia kryptimi nuo A, todėl abu spindulio žymėjimai nusako tą patį spindulį. Pakartojus A, gaunamas nulinis poslinkis, kuris negali apibrėžti tiesės ar spindulio krypties.

3. Nustatykite šių plokštumos tiesių porų tarpusavio padėtį: y = 1 ir y = −2, y = 1 ir x = 3, y = 1 ir 2y = 2. Ar taškai (0, 0), (1, 0) ir (0, 1) yra vienoje tiesėje ar vienoje plokštumoje? Kodėl teiginio „matomos atkarpos nesusikerta“ nepakanka įrodyti, kad tiesės, kurioms jos priklauso, yra lygiagrečios?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmosios poros tiesės yra lygiagrečios, antrosios – statmenos ir susikerta taške (3, 1), o trečiosios – sutampa. Trys taškai yra vienoje plokštumoje, bet ne vienoje tiesėje. Tai, kad matomos atkarpos nesusikerta, neatmeta galimybės, kad susikerta pačios tiesės.

   Dvi skirtingos pastovios y reikšmės yra nesuderinamos. Horizontali ir vertikali tiesės susikerta stačiuoju kampu taške, kurio koordinatės tenkina abi lygtis. Padaliję 2y = 2 iš 2, gauname tą pačią lygtį y = 1, todėl ji neapibrėžia kitos tiesės. Pirmieji du taškai apibrėžia tiesę y = 0, kuriai taškas (0, 1) nepriklauso, nors visi trys yra duotojoje koordinačių plokštumoje. Lygiagretumas nusako skirtingų, vienoje plokštumoje esančių ir neribotai besitęsiančių tiesių tarpusavio padėtį.

4. Suklasifikuokite kampus, kurių dydžiai yra 0°, 27°, 90°, 143°, 180°, 213° ir 360°. Nurodykite paprastąjį 27° kampą atitinkantį įgaubtąjį kampą. Paaiškinkite, kodėl sutampantys pradinis ir galinis spinduliai neleidžia atskirti nulinio posūkio nuo pilnojo posūkio, ir nurodykite ∠PQR viršūnę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai gauname nulinį, smailųjį, statųjį, bukąjį, ištiestinį ir įgaubtąjį kampus bei pilną apsisukimą. 27° kampą atitinkantis įgaubtasis kampas yra 333°. Užfiksuotas posūkis leidžia atskirti 0° nuo 360°, nors galinis spindulys yra tas pats; ∠PQR viršūnė yra Q.

   Taikykite tikslias griežtas klasifikavimo ribas: smailiojo kampo dydis yra tarp 0 ir 90, bukojo – tarp 90 ir 180, o įgaubtojo – tarp 180 ir 360. Didesniojo sektoriaus kampas yra 360° − 27° = 333°. Kraštinę grąžinus į pradinę padėtį po vieno pilno apsisukimo, užfiksuojama 360°; palikus ją nepajudintą, užfiksuojamas nulis. Vidurinė raidė visada žymi viršūnę, todėl ∠PQR kraštinės yra QP ir QR.

5. Dviejų neišsigimusių gretimų kampų dydis yra po 28°. Ar jie būtinai yra statieji arba sudaro gretutinių kampų porą? Ar 40° ir 140° kampai, kurių viršūnės skirtingos, gali sudaryti gretutinių kampų porą? Galiausiai, tikros neišsigimusių gretutinių kampų poros kampų dydžiai yra (4s + 8)° ir (5s + 10)°. Raskite s ir patikrinkite abu kampų dydžius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abu 28° kampai nėra nei statieji, nei gretutiniai; jų suma yra 56°. 40° ir 140° kampai, kurių viršūnės skirtingos, papildo vienas kitą iki ištiestinio kampo, bet nėra gretutiniai. Tikros gretutinių kampų poros atveju s = 18, o kampų dydžiai yra 80° ir 100°.

   Vien to, kad gretimi kampai yra lygūs, nepakanka, kad jų nebendrosios kraštinės būtų priešingi spinduliai. Gretutiniai kampai turi turėti bendrą viršūnę ir kraštinę, nesikertančias vidines sritis ir priešingus išorinius spindulius. Kadangi paskutinei porai šios sąlygos aiškiai nurodytos, iš (4s + 8) + (5s + 10) = 180 gauname 9s + 18 = 180 ir s = 18. Įstatę gauname 80 ir 100; abu dydžiai yra teigiami paprastųjų kampų dydžiai, o jų suma lygi 180.

6. Raskite kampų, papildančių paprastąjį 37° kampą iki stačiojo ir iki ištiestinio kampo, dydžius bei jį atitinkančio aiškiai pasirinkto įgaubtojo kampo dydį. Ar 37° ir 53° kampai, kurių viršūnės skirtingos, vis tiek papildo vienas kitą iki stačiojo kampo? Pagal šioje pamokoje taikomą susitarimą dėl nulinio kampo, kada 90° − θ ir 180° − θ yra leistini neneigiami paprastųjų kampų dydžiai ir ar −30° kampas papildo 120° kampą iki stačiojo kampo?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Iki stačiojo kampo papildančio kampo dydis yra 53°, iki ištiestinio kampo papildančio – 143°, o atitinkamo įgaubtojo kampo – 323°. 37° ir 53° kampai, kurių viršūnės skirtingos, vis tiek papildo vienas kitą iki stačiojo kampo. Kad iki stačiojo kampo papildančio kampo dydis būtų neneigiamas, ribos yra 0° ≤ θ ≤ 90°, o kad iki ištiestinio kampo papildančio kampo dydis būtų neneigiamas – 0° ≤ θ ≤ 180°. Pagal šį susitarimą −30° nėra iki stačiojo kampo papildančio kampo dydis.

   Atimkite iš nurodytų sumų: 90 − 37 = 53, 180 − 37 = 143 ir 360 − 37 = 323. Papildymas iki stačiojo ar ištiestinio kampo nusako kampų sumas, o ne jų padėtį. Negriežtos ribos leidžia nulį intervalo gale, nes čia aiškiai įtraukti nuliniai kampai; reikalaujant, kad abu kampų dydžiai būtų teigiami, ribos tampa griežtos. Neigiamas rezultatas neatitinka pasirinkto susitarimo dėl paprastųjų kampų, todėl jo negalima priimti vien dėl to, kad aritmetinė suma yra 90.

7. Dviejų skirtingų plokštumos tiesių sankirtoje kryžminių paprastųjų kampų poros kampų dydžiai yra (6r + 1)° ir (3r + 43)°. Raskite r ir visų keturių sektorių kampų dydžius. Ar tiesės statmenos? Paaiškinkite, kodėl to paties samprotavimo apie keturis sektorius negalima taikyti dviem sutampančioms tiesėms.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   r = 14. Vienos kryžminių kampų poros kampų dydžiai yra po 85°, o kitos – po 95°. Tiesės nėra statmenos. Sutampančios tiesės neapibrėžia keturių neišsigimusių sankirtos sektorių ar vienintelio sankirtos taško.

   Iš kryžminių kampų lygybės gauname 6r + 1 = 3r + 43, taigi 3r = 42 ir r = 14. Įstatę gauname, kad abiejų pradinių kampų dydis yra 85; jų gretutinių kampų dydžiai yra 180 − 85 = 95. Visi keturi dydžiai yra teigiami ir mažesni už 180, gretutinių kampų sumos yra 180, o visų kampų suma – 360. Kad tiesės būtų statmenos, sektorių kampų dydžiai turėtų būti 90°. Sutampančios tiesės turi tą pačią visų taškų aibę, todėl kryžminių kampų teoremos prielaida, kad tiesės yra skirtingos, netenkinama.

Ką verta įsidėmėti

• Pasirinkite euklidinę geometriją ir atskirkite pirmines sąvokas, apibrėžimus, prielaidas ir teoremas. Brėžinys vaizduoja idealius objektus, tačiau nenusako visų jų savybių.
• Du skirtingi taškai apibrėžia vieną visą tiesę, o pasikartojantys taškų žymenys – ne. Prielaida, kad ši tiesė yra vienintelė, leidžia įrodyti, jog dvi skirtingos tiesės gali turėti daugiausia vieną bendrą tašką.
• Atkarpai priklauso abu jos galiniai taškai, o spinduliui – jo pradžios taškas; spindulys tęsiasi viena kryptimi. Kai A ir B yra skirtingi taškai, realieji parametrai aprašo visą tiesę, atkarpą ir spindulį; atkarpa AA yra vieno taško aibė, o tiesės ar spindulio kryptis lieka neapibrėžta.
• Kolinearūs taškai yra vienoje tiesėje, o komplanarūs – vienoje plokštumoje. Lygindami ištisas vienos plokštumos tieses, skirkite sutampančias, skirtingas susikertančias ir skirtingas lygiagrečias tieses; statmenos tiesės susikerta stačiaisiais kampais.
• Vidurinė raidė žymi kampo viršūnę. Nurodykite pasirinktą kampinį sektorių arba kryptinį posūkį, kur būtina, griežtai laikykitės laipsniais išreikštų ribų ir skirkite užfiksuotą pilną posūkį nuo nulinio, net kai galutiniai spinduliai sutampa.
• Kampų gretimumas nusako jų padėtį, o neišsigimusios gretutinių kampų poros išoriniai spinduliai dar turi būti priešingi. Kampų papildymas iki stačiojo ar ištiestinio kampo nusako skaitines sumas. Vien suma nenusako trūkstamo geometrinio išsidėstymo.
• Dviejų skirtingų tiesių susikirtimo taške kryžminių kampų lygybė išplaukia iš dviejų gretutinių kampų porų lygčių. Išlaikykite sąlygas, kad kampinių sektorių dydžiai būtų teigiami, o tiesės – skirtingos, ir remkitės tiksliais duomenimis bei pagrindimais, o ne tariamais dydžiais brėžinyje.