Ryšį aprašančios funkcijos parinkimas

Modelis apima jo prasmę ir sąlygas

Funkcinis modelis kiekvienai leistinai argumento reikšmei priskiria vieną prognozuotą funkcijos reikšmę. Pirmiausia įvardykite abu dydžius, jų matavimo vienetus ir klausimą, į kurį turėtų atsakyti prognozė. Tada nurodykite apibrėžimo sritį ir tai, kas lieka nekintama. Toliau pateiktose matavimo formulėse kintamieji reiškia skaitines reikšmes nurodytais matavimo vienetais, o koeficientai turi kiekvienai lygčiai reikalingus matavimo vienetus. Kai kaina priklauso nuo vienetų skaičiaus, argumento reikšmė gali būti sveikasis skaičius; kai plotas priklauso nuo ilgio, ji gali būti teigiamas realusis matavimo rezultatas. Tai, kad formulės reikšmę galima apskaičiuoti su neigiama argumento reikšme, dar nereiškia, kad tokia argumento reikšmė uždavinyje yra prasminga.

Taisyklę galima pasiūlyti dėl dviejų skirtingų priežasčių. Nurodyta kainodaros schema arba geometrinė tapatybė gali ją vienareikšmiškai apibrėžti remiantis pateiktomis prielaidomis. Matavimų lentelė gali pasiūlyti galimą taisyklę, kurią reikia toliau tikrinti. Tiksli išvada idealiame modelyje galioja tik su jo prielaidomis; apytikslė atitiktis duomenims netampa tiksliu dėsniu vien dėl to, kad grafikas atrodo įtikinamai. Nurodykite, kokio pobūdžio pagrindimą turite.

Užrašykite modelio teiginį, pavyzdžiui: C(n) yra bendra kaina eurais, kai užsakytų vienetų skaičius n yra sveikasis skaičius nuo 0 iki 20, taikomas fiksuotas parengimo mokestis, o vieneto kaina nekinta. Apibrėžimo sritis, matavimo vienetai ir sąlygos yra šio teiginio dalis. Jei, esant tam pačiam vienetų skaičiui, kainą keičia kitas veiksnys, vien skaičiumi paremta taisyklė gali nebeaprašyti tikrųjų kainų; ji vis tiek gali būti aiškiai pasirinkta prognozavimo taisyklė, o ne teiginys, kad pirminiai duomenys yra viena tiksli vienetų skaičiaus funkcija.

Pastovūs prieaugiai rodo afininę taisyklę; proporcingumas – konkretesnis atvejis

Afininė taisyklė yra f(x) = mx + b pavidalo, kur m ir b yra realiosios konstantos. Ji tenkina f(x + h) − f(x) = mh, kai abi argumento reikšmės yra leistinos. Taigi vienodi argumento prieaugiai lemia vienodus funkcijos reikšmės prieaugius, o kiekvienai skirtingų leistinų argumento reikšmių porai vidutinis kitimo greitis yra tas pats m. Šio greičio matavimo vienetai yra funkcijos reikšmės matavimo vienetai, padalyti iš argumento matavimo vienetų. Konstantos b matavimo vienetai sutampa su funkcijos reikšmės matavimo vienetais; ji yra tikroji funkcijos reikšmė ties nuliu tik tada, kai nulis priklauso apibrėžimo sričiai.

Proporcingumo taisyklė yra f(x) = kx pavidalo. Jos santykis f(x)/x yra tas pats k kiekvienai leistinai nenulinei argumento reikšmei. Tai afininės taisyklės atvejis, kai b = 0. Kai proporcingumo ryšys nekinta, padvigubinus argumento reikšmę padvigubėja ir funkcijos reikšmė. Kai prie fiksuoto mokesčio pridedamas mokestis už kiekvieną vienetą, padvigubinus vienetų skaičių padvigubėja tik kintamoji dalis: fiksuotas mokestis mokamas vieną kartą. Todėl nenulinis fiksuotas mokestis neleidžia bendrai sumai būti proporcingai vienetų skaičiui.

Kai kuriuose vadovėliuose ir mx + b, ir kx vadinamos tiesinėmis funkcijomis. Čia terminas „afininė“ aiškiai nurodo galimą poslinkį, o „tiesioginio proporcingumo“ reiškia, kad poslinkis lygus nuliui. Pastovioji funkcija taip pat yra afininė, kai m = 0. Šių funkcijų šeimų pavadinimai persidengia. Kai nulis nepriklauso apibrėžimo sričiai, proporcingumą pagrįskite visa priklausomybe arba argumentu apie pastovų santykį; neteigkite stebėję funkcijos reikšmę esant nuliniam argumentui, kurio modelis niekada neleidžia.

Ilgio mastelio keitimas gali lemti laipsninę priklausomybę, o ne pastovaus dydžio pridėjimą

Kvadrato, kurio kraštinės ilgis s yra teigiamas, plotas yra A(s) = s². Padvigubinus kraštinę, plotas padidėja keturis kartus. Kubo atveju V(s) = s³, o padvigubinus kraštinę, tūris padidėja aštuonis kartus. Šios išvados gaunamos dauginant kraštinių ilgius, kai forma nekinta. Į modelį galima aiškiai įtraukti išsigimusį nulinio dydžio atvejį, kai funkcijos reikšmė lygi nuliui; neišsigimusio kvadrato ar kubo geometrijoje s > 0.

Bendresniu atveju nurodytoje tiesioginėje laipsninėje priklausomybėje y = kx^p, kai čia p = 1, 2 arba 3, o k nelygus nuliui, santykis y/x^p yra pastovus esant leistinoms nenulinėms argumento reikšmėms. Padauginus x iš koeficiento r, funkcijos reikšmė padauginama iš r^p, jei abi argumento reikšmės priklauso apibrėžimo sričiai. Raskite k pagal leistiną nenulinę argumento reikšmę, tada patikrinkite formulės dimensijas. Kai plotas matuojamas kvadratiniais centimetrais, o ilgis – centimetrais, koeficientas prie s² yra bedimensis; ploto formulėje koeficientas prie vieno s turi būti matuojamas centimetrais.

Bendroji kvadratinė funkcija ax² + bx + c, kai a ≠ 0, nebūtinai yra grynoji laipsninė funkcija kx². Stačiakampio, kurio pastovus perimetras yra 20 centimetrų, kraštinės yra s ir 10 − s, todėl jo plotas yra s(10 − s) = −s² + 10s kvadratinių centimetrų, kai 0 < s < 10. Keičiantis pirmajai kraštinei, keičiasi ir antroji; todėl padvigubinus s šis plotas nebūtinai padidėja keturis kartus. Grynoji antrojo laipsnio laipsninė funkcija yra kvadratinė, polinominė ir racionalioji, kai jos vardiklis yra 1, o kvadratinės funkcijos su papildomais nariais mastelio keitimo dėsningumas gali būti kitoks. Rinkitės priklausomybę iš tam tikros šeimos, o ne laikykite šeimų pavadinimus nesuderinamomis kategorijomis.

Pastovi sandauga leidžia įtarti atvirkštinį proporcingumą

Jei dviejų teigiamų dydžių sandauga yra pastovi, xy = k, tai teigiamų reikšmių apibrėžimo srityje y = k/x. Padvigubinus x, y sumažėja perpus, jei abi argumento reikšmės leistinos. Pavyzdžiui, idealizuotą darbą, kuriam reikia 18 darbuotojo darbo valandų, n vienodų darbuotojų atliktų per T(n) = 18/n valandų, jei jie dirbtų nepriklausomai vienas nuo kito ir nekintančiu našumu. Jei leistini tik sveikieji darbuotojų skaičiai nuo 1 iki 6, išlaikykite šią baigtinę apibrėžimo sritį. Komandos darbo koordinavimas ar kitoks našumas pakeistų prielaidas ir galėtų pakeisti formulę.

Vien mažėjančios reikšmės lentelėje nepatvirtina atvirkštinio proporcingumo. Patikrinkite, ar sandauga xy pastovi, arba išveskite tai iš nurodyto veikimo mechanizmo. Mažėjanti afininė funkcija taip pat gali mažėti, tačiau jos kitimo greitis, o ne sandauga, yra pastovus. Taip pat vidutinės sąnaudos b + k/x su nenuliniu poslinkiu nėra grynasis atvirkštinis proporcingumas: prieš ieškodami pastovios sandaugos, atimkite b.

Atvirkštinis proporcingumas nėra tas pats, kas atvirkštinė funkcija. Formulė k/x aprašo priklausomybę su pastovia sandauga; žymėjimas f⁻¹ reiškia abipus vienareikšmės funkcijos apgręžimą jos tikrojoje reikšmių srityje. Rinkitės žodžius ir žymėjimą, kurie aiškiai atskiria šias dvi sąvokas. Nulis nepriklauso k/x apibrėžimo sričiai, kai k ≠ 0, o neigiamos argumento reikšmės, leistinos algebriškai išplėtus apibrėžimo sritį, nebūtinai leistinos fiziniame modelyje.

Skirtumai ir santykiai leidžia tikrinti galimus modelius pagal turimas argumento reikšmes

Kai argumento reikšmės x, x + h, x + 2h išdėstytos vienodais intervalais ir h ≠ 0, afininės funkcijos pirmieji skirtumai yra vienodi ir lygūs mh. Kvadratinės funkcijos ax² + bx + c antrasis skirtumas yra pastovus ir lygus 2ah²: iš kiekvieno funkcijos reikšmių skirtumo atimkite prieš jį einantį skirtumą. Kai bedimensės argumento reikšmės yra 0, 1, 2, 3, o funkcijos reikšmės – 1, 4, 9, 16, pirmieji skirtumai yra 3, 5, 7, o antrieji skirtumai – 2, 2. Tai dera su kvadratine funkcija (x + 1)². Pirmieji skirtumai nėra pastovūs, o funkcijos reikšmė ties nuliu rodo, kad tai nėra grynoji laipsninė funkcija kx².

Vienodi intervalai yra svarbūs. Kai x = 0, 1, 3 ir y = 2, 5, 11, funkcijos reikšmių pokyčiai 3 ir 6 skiriasi, nes skiriasi argumento pokyčiai. Poromis apskaičiuoti kitimo greičiai yra 3/1 = 3 ir 6/2 = 3, o tai dera su y = 3x + 2. Nelyginkite pačių skirtumų taip, tarsi nevienodi argumento žingsniai būtų vienodi. Taip pat, tikrinant galimus tiesioginio proporcingumo ar laipsninių funkcijų modelius pagal santykius, argumento reikšmė turi būti nelygi nuliui, o tikrinant galimą modelį su atvirkštiniu dydžiu, pradinis vardiklis turi būti nelygus nuliui.

Šios patikros apibūdina baigtinę reikšmių lentelę. Tikslus sutapimas gali atmesti nesuderinamą modelį, o iš anksto pasirinkus funkcijų šeimą – padėti nustatyti parametrus. Tai neįrodo, kad visos būsimos ar tarpinės funkcijos reikšmės atitiks tą šeimą. Užrašyti matavimai taip pat gali būti suapvalinti ar svyruoti; apytikriai skirtumai leidžia numanyti galimą modelį, bet neįrodo tikslios tapatybės. Aiškiai nurodykite kiekvieno stebėjimo prasmę ir tikslumą, remkitės ne tik skaitiniu dėsningumu, bet ir struktūrinėmis sąlygomis.

Pasikeitus taisyklei, reikia tikslios ribos

Tarkime, kad už nurodytą paslaugą imama po 4 eurus už kilogramą už pirmuosius 3 kilogramus ir po 2 eurus už kilogramą už papildomą masę, o leidžiama masė yra 0 ≤ w ≤ 10 kilogramų. Paslaugos kaina eurais yra C(w) = 4w, kai 0 ≤ w ≤ 3, ir C(w) = 12 + 2(w − 3), kai 3 < w ≤ 10. Antrojoje išraiškoje išlieka 12 eurų mokestis už pirmuosius tris kilogramus; taikant 2w visai masei, būtų aprašoma kitokia kainodaros schema.

Ribinė reikšmė w = 3 priklauso pirmajai daliai, todėl C(3) = 12. Artėjant prie šios ribos, antrosios formulės reikšmė artėja prie tos pačios kainos, tad šiame pavyzdyje šuolio nėra. Kai w = 4, kaina yra 14 eurų. Nurodykite, kurios argumento reikšmės priklauso kiekvienai daliai, įskaitant nulį, slenkstį ir bet kokią viršutinę ribą. Visoje nurodytoje apibrėžimo srityje kiekvieną argumento reikšmę turi atitikti viena funkcijos reikšmė. Persidengiančios dalys yra suderinamos tik tada, kai jų formulės duoda tą pačią reikšmę kiekvienai bendrai argumento reikšmei; kitu atveju jos ten neapibrėžia funkcijos.

Pagal kitą nurodytą schemą, viršijus slenkstį, nuolaida galėtų būti taikoma visam užsakymui, todėl atsirastų šuolis, arba vietoj tolydžiai matuojamos masės galėtų būti naudojamas sveikasis vienetų skaičius. Nemanykite, kad kiekvienas dalimis apibrėžtas modelis yra tolydus, ir nekeiskite diskrečiojo kiekio visomis realiosiomis argumento reikšmėmis. Galinius taškus žymėkite tuščiaviduriais arba užpildytais taškais pagal tikrąsias nelygybes, o ar mažesnis tarifas taikomas tik papildomai daliai, ar visam pirkiniui, spręskite pagal schemos aprašymą.

Parametrai šeimoje gali būti vienareikšmiai, nors pati šeima nėra pagrįsta

Nurodžius afinių funkcijų šeimą, du stebėjimai su skirtingomis argumento reikšmėmis nustato jos parametrus: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) ir b = y₁ − mx₁. Būtina, kad argumento reikšmių skirtumas nebūtų lygus nuliui. Nurodytai grynajai laipsninei funkcijai y = kx^p vienas stebėjimas su nenuline argumento reikšme nustato k = y/x^p. Nurodytai atvirkštinio proporcingumo funkcijai y = k/x leistinas stebėjimas duoda k = xy. Vien stebėjimas, kai ir argumento, ir funkcijos reikšmės lygios nuliui, negali nustatyti kx ar kx² koeficiento.

Apskaičiavę parametrus, patikrinkite kitus stebėjimus ir visą kontekstą. Nagrinėjamas modelis, pagal kurį gaunamas neigiamas plotas ar trupmeninis žmonių skaičius, gali prieštarauti išvesties reikšmės prasmei, net jei algebriniu požiūriu jis taisyklingas. Skirtingos išvesties reikšmės, užfiksuotos esant tai pačiai įvesties reikšmei, negali visos būti tikslios vienos funkcijos, priklausančios vien nuo šios įvesties, reikšmės. Jos gali rodyti kintančias sąlygas ar matavimų svyravimus; pasirinkta prognozavimo taisyklė yra atskira nuo šio neapdorotų įrašų rinkinio.

Teiginys „du taškai apibrėžia tiesę“ reiškia vienintelę afininę taisyklę, kurios grafikas eina per tuos taškus, o ne vienintelę bet kokio tipo funkciją. Panašiai trys skirtingos įvesties reikšmės apibrėžia daugiausia vieną ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio daugianarį: dviejų tokių daugianarių skirtumas turėtų tris skirtingus nulius, todėl turėtų būti nulinis daugianaris. Tai sąlyginis vienatinumas nurodytoje šeimoje. Jis neatmeta trečiojo laipsnio daugianarių, dalimis apibrėžtų ar kitokių taisyklių, nebent jas atmeta modelio prielaidos.

Baigtinio rinkinio atitiktis gali palikti be galo daug galimų tęsinių

Tikslių bedimensių įrašų (0, 1), (1, 3), (2, 5) atveju taisyklė f(x) = 2x + 1 atitinka kiekvieną įrašą. Juos atitinka ir g(x) = 2x + 1 + x(x − 1)(x − 2), nes joje pridėta sandauga lygi nuliui ties kiekviena užfiksuota įvesties reikšme. Ties neužfiksuota įvesties reikšme 1/2 funkcija f duoda 2, o g – 19/8. Ties įvesties reikšme 3 jos duoda 7 ir 13. Taigi sutapimas su visais trimis įrašais palieka neapibrėžtą ir tarpinę, ir vėlesnę reikšmę, jei tos įvesties reikšmės priklauso numatytai apibrėžimo sričiai.

Bendresniu atveju tarkime, kad f atitinka įrašus ties baigtiniu skaičiumi skirtingų įvesties reikšmių nuo a₁ iki aₙ. Taisyklės gλ(x) = f(x) + λ(x − a₁)⋯(x − aₙ) išlaiko kiekvieną užfiksuotą reikšmę. Apibrėžimo srityje, kurioje yra bent viena leistina neužfiksuota įvesties reikšmė, sandauga ties šia reikšme nelygi nuliui, todėl skirtingos realiosios λ reikšmės ten duoda skirtingas funkcijas. Dimensiją turinčių dydžių atveju koeficientas λ turi turėti tokius vienetus, kad pridėtas narys turėtų išvesties vienetus; bedimensė konstrukcija jau įrodo matematinį teiginį. Papildomi fizikiniai ar išvesties apribojimai gali atmesti kai kurias iš šių alternatyvų, todėl vien ši konstrukcija nepatvirtina jų tinkamumo kaip realaus pasaulio modelių.

Yra svarbi išimtis, kai apibrėžimo sritis baigtinė. Jei visa apibrėžimo sritis yra {0, 1, 2} ir visos trys išvesties reikšmės užfiksuotos tiksliai, šie įrašai visiškai apibrėžia funkciją šioje srityje. Tuomet pirmiau pateiktos formulės joje nusako tą pačią funkciją, nors išplėstose srityse skiriasi. Norėdami pasirinkti modelį, taikomą už baigtinio įrašų rinkinio ribų, remkitės nurodytais mechanizmais, papildomais leistinais stebėjimais ir aiškiomis prielaidomis. Pasirinkti paprasčiausiai atrodančią formulę reikia pagrįsti; baigtinė lentelė tokio pasirinkimo neįrodo.

Liekana – stebėta reikšmė minus prognozuota

Ties įvesties reikšme, kuriai yra stebėta išvesties reikšmė, apibrėžkite liekaną kaip r = observed output − predicted output. Jos vienetai tokie pat kaip išvesties. Teigiama liekana reiškia, kad stebėta reikšmė yra didesnė už prognozuotą, taigi modelio prognozė per maža; neigiama liekana reiškia, kad prognozė per didelė. Nulinė liekana reiškia sutapimą ties šia įvesties reikšme. Ties įvesties reikšme, kuriai nėra stebėjimo, yra prognozė, bet nėra stebėtos reikšmės liekanai apskaičiuoti.

Nagrinėjant vandens lygio prognozę M(t) = 10 + 2t centimetrais, kai skaitinė t reikšmė išreikšta minutėmis, 15.5 centimetrų įrašas ties t = 3 duoda 16 centimetrų prognozę ir −0.5 centimetrų liekaną. Modelio prognozė yra 0.5 centimetrų per didelė. Jei išvesties reikšmės perskaičiuojamos į milimetrus, tą patį skirtumą reikia išreikšti kaip −5 milimetrus. Modelius lyginkite pagal tuos pačius stebėjimus ir tais pačiais vienetais, o ne lygindami neperskaičiuotus skaičius.

Mažesnė absoliučioji liekanos vertė ties viena įvesties reikšme yra naudingas vietinis pagrindas vertinti modelį, bet ne įrodymas, kad jis teisingas visur. Kelios teigiamos ar neigiamos liekanos gali rodyti sisteminį neatitikimą, kurį verta ištirti; vien šis dėsningumas vis tiek neatskleidžia jo priežasties. Patikrinkite, ar nereikia peržiūrėti prielaidų, vienetų, neįtrauktų veiksnių ar įrašų tikslumo. Čia galime lyginti aiškiai apibrėžtus modelių variantus, neįvesdami automatinės regresijos procedūros ir neskelbdami neapibrėžtos taisyklės geriausia.

Interpoliacija ir ekstrapoliacija siejamos su stebėtomis įvesties reikšmėmis

Prognozuodami išvesties reikšmę pagal įvesties reikšmę, palyginkite pasirinktą įvesties reikšmę su mažiausia ir didžiausia stebėtomis įvesties reikšmėmis. Prognozė ties nestebėta leistina įvesties reikšme tarp jų yra interpoliacija. Prognozė ties leistina įvesties reikšme už jų intervalo ribų yra ekstrapoliacija. Modelio reikšmės apskaičiavimas ties užfiksuota įvesties reikšme yra palyginimas su tuo įrašu. Šis skirstymas pagal padėtį remiasi įvesties reikšmių intervalu; jis nereikalauja, kad prognozuota išvesties reikšmė būtų tarp užfiksuotų išvesties reikšmių.

Atskirai patikrinkite leistinumą. Jei argumentas yra sveikasis darbuotojų skaičius, 2.5 darbuotojų gali būti tarp stebėtų skaičių 1 ir 4, tačiau vis tiek nepriklausyti modelio apibrėžimo sričiai. Formulės reikšmė tokiame taške yra matematinis plėtinys, o ne leistina prognozė tokiam darbuotojų skaičiui. Taip pat skaičius, viršijantis nurodytą didžiausią skaičių, gali būti už duomenų intervalo ribų, tačiau šis baigtinis modelis jo neleidžia. Net ir esant leistiniems argumentams, interpoliacijos teisingumas negarantuojamas: dvi taisyklės, atitinkančios tuos pačius užfiksuotus duomenis, tarp jų gali duoti skirtingas reikšmes, kaip rodo konstrukcija su sandauga.

Ekstrapoliuojant reikia ypač atidžiai įvertinti, ar tos pačios sąlygos išlieka už stebėto intervalo ribų. Pajėgumo riba, pasikeitusi kaina ar pakitęs procesas gali lemti, kad anksčiau naudinga taisyklė nebetiks. Tikslūs struktūriniai modeliai savo prielaidomis gali pagrįsti prognozes visoje nurodytoje apibrėžimo srityje, o empirinėms prognozėms reikia jas patvirtinančių duomenų. Abiem atvejais paaiškinkite rezultato reikšmę ir matavimo vienetus, išlaikykite apibrėžimo sritį ir nurodykite, dėl ko taisyklę reikėtų peržiūrėti.

Atskirai palyginkite galimas taisykles, jas pagrindžiančius duomenis ir leistinas prognozes

Tyrinėjimo priemonėje pateikti septyni kontekstai: atstumas judant nurodytu pastoviu greičiu, fiksuotas mokestis ir mokestis už atstumą, kvadrato plotas, fiksuotos apimties darbas, padalytas sveikajam darbuotojų skaičiui, pristatymo tarifas su masės slenksčiu, nežinomos temperatūros užfiksuoti duomenys ir kubo tūris. Kiekviename kontekste siūlomos trys galimos taisyklės. Prieš lygindami formules, perskaitykite nurodytas prielaidas ir matavimo vienetus. Tiesioginio proporcingumo taisyklės taip pat priklauso afininių funkcijų šeimai, kėlimo kvadratu funkcijos yra kvadratinės, o pastovioji funkcija yra afininė; šios kategorijos gali persidengti, tačiau tai nereiškia, kad kiekviena siūloma taisyklė tinka konkrečiam kontekstui.

Palyginkite kiekvieną galimą taisyklę su kiekvienu pateiktu duomenų įrašu, naudodami tikslias liekanas – stebėtos ir prognozuotos reikšmių skirtumus. Tada nepriklausomai pasirinkite bandomąjį argumentą. Patikrinkite, ar šis argumentas leistinas, ar jis yra stebėto intervalo viduje, ar už jo ribų, ir ką prognozuoja kiekviena taisyklė. Papildomas daugianario narys atstumo atveju gali leisti atitikti visus pateiktus duomenis, tačiau prieštarauti nekintančio greičio prielaidai. Dvi galimos temperatūros taisyklės gali atitikti visus pateiktus duomenis, bet duoti skirtingas reikšmes neužfiksuotiems argumentams; vien duomenys neleidžia nustatyti temperatūros kitimo mechanizmo. Temperatūra Celsijaus skalėje gali būti neigiama, kitaip nei fizinio kvadrato plotas.

Išnagrinėkite pristatymo masės slenkstį pagal nurodytas dalimis apibrėžtos funkcijos sąlygas, o darbuotojų atvejį – naudodami sveikuosius skaičius nuo 1 iki 6. Kvadrato ir kubo atvejais aiškiai leidžiami tiek teigiami dydžiai, tiek idealioji nulinio dydžio reikšmė. Pasirinktų kontrolinių reikšmių lentelė neįrodo visos priklausomybės, o sutampantis duomenų įrašas neįrodo priežastinio ryšio. Kitame skyriuje nagrinėjamos eksponentinės ir logaritminės priklausomybės; pasikartojančiam dauginamajam pokyčiui, kai argumentas keičiamas vienodais žingsniais, reikės kitokios taisyklės nei afininės funkcijos pasikartojančiam pridedamajam pokyčiui.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Nurodytos paslaugos vieneto kaina nekinta, o fiksuotas mokestis mokamas net ir už nulį vienetų. Bendra kaina už du vienetus yra 13 eurų, o už šešis – 25 eurų. Leistinas sveikasis vienetų skaičius yra nuo 0 iki 10. Raskite kainos skaičiavimo taisyklę ir penkių vienetų kainą; nurodykite koeficientų vienetus ir nustatykite, ar bendra kaina yra proporcinga vienetų skaičiui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   C(n) = 3n + 7 eurų, kai sveikasis vienetų skaičius yra nuo 0 iki 10; C(5) = 22 eurų. Vieneto kaina yra 3 eurų už vienetą, o fiksuotas mokestis – 7 eurų. Bendra kaina yra afininė vienetų skaičiaus funkcija ir nėra jam proporcinga.

   Iš skirtingų vienetų skaičių gauname vieneto kainą (25 − 13)/(6 − 2) = 3 eurų už vienetą. Įstatę bendrą dviejų vienetų kainą, gauname fiksuotą mokestį 13 − 3·2 = 7 eurų. Nurodyta nekintanti kainodaros struktūra pagrindžia afininių funkcijų šeimos pasirinkimą; vien baigtinė dviejų duomenų pora tokios struktūros nenustatytų. Dėl nenulinio laisvojo nario bendros kainos ir vienetų skaičiaus santykis nėra pastovus.

2. Idealios panašios formos talpyklų šeimos talpa yra V(s) = k s³, kur s > 0 yra skaitinė ilgio reikšmė centimetrais, o V matuojama kubiniais centimetrais. Kai s = 2, talpa yra 12 kubinių centimetrų. Raskite k, prognozuokite talpą, kai s = 6, ir nurodykite, kiek kartų pasikeičia talpa patrigubinus s. Ar šį mastelio keitimą paaiškina pastovus prieaugis kiekvienam centimetrui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   k = 3/2, pagal nurodytus vienetus jis yra bedimensis; V(s) = (3/2)s³ kubinių centimetrų. V(6) = 324 kubinių centimetrų. Patrigubinus s, talpa padidėja 27 kartus, o ne didėja pastoviu dydžiu kiekvienam centimetrui.

   Iš nurodytos laipsninės priklausomybės gauname k = 12/2³ = 3/2. Tuomet V(6) = (3/2)·216 = 324. Apskritai V(3s)/V(s) = 3³ = 27 visoms leistinoms teigiamoms s reikšmėms. Kadangi ir talpos, ir s³ vienetai yra ilgio vienetų kubas, k yra bedimensis; išvedimas remiasi pateikta prielaida apie formos mastelio keitimą.

3. Nurodytam idealizuotam darbui atlikti reikia 18 darbuotojo darbo valandų. Visi darbuotojai dirba vienodu našumu ir nepriklausomai vienas nuo kito, o leistinas komandos dydis yra sveikasis skaičius n nuo 1 iki 6. Pasirinkite darbo trukmės formulę, apskaičiuokite, kiek laiko užtruktų trys ir šeši darbuotojai, ir paaiškinkite, kodėl vien tai, kad siūloma funkcija yra mažėjanti, nepatvirtintų atvirkštinio proporcingumo. Ar leidžiama prognozuoti darbo trukmę 2.5 darbuotojų komandai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   T(n) = 18/n val., kai n yra sveikasis skaičius ir n = 1, …, 6. T(3) = 6 val., o T(6) = 3 val. Pastovi sandauga nT(n) = 18 darbuotojo darbo valandų pagrindžia atvirkštinį proporcingumą; vien mažėjimo nepakanka. 2.5 darbuotojų skaičius nepriklauso apibrėžimo sričiai.

   Nekintantis ir nepriklausomas kiekvieno darbuotojo indėlis lemia pastovią darbo kiekį nusakančią sandaugą nT = 18. Padaliję iš leistino teigiamo, nelygaus nuliui n, gauname formulę. Padvigubinus komandą nuo 3 iki 6, prognozuojama darbo trukmė sumažėja perpus. Afininė funkcija taip pat galėtų būti mažėjanti, nors ši sandauga nebūtų pastovi, o trupmeninė argumento reikšmė netampa leistinu komandos dydžiu vien todėl, kad galima apskaičiuoti 18/2.5.

4. Bedimenses argumentų reikšmes 0, 2, 4, 6 atitinka funkcijos reikšmės 1, 9, 33, 73. Darydami prielaidą, kad funkcija yra ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio daugianaris, raskite jos formulę naudodami skirtumus, kai argumento žingsnis vienodas. Ar vien ši lentelė įrodo, kad ta pati kvadratinė funkcija galioja ir neužfiksuotoms argumento reikšmėms?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Darant šią prielaidą, kvadratinė funkcija yra f(x) = 2x² + 1. Jos pirmieji skirtumai yra 8, 24, 40, o antrieji skirtumai yra 16, 16, kai argumento žingsnis h = 2. Vien baigtinė lentelė neįrodo, kad ši formulė galioja neužfiksuotoms argumento reikšmėms.

   Daugianario ax² + bx + c antrasis skirtumas yra 2ah² = 8a, todėl a = 2. Kai x = 0, c = 1; kai x = 2, iš 9 = 8 + 2b + 1 gauname b = 0. Patikrinus reikšmę taške 6, gaunama 73. Pridėjus λx(x − 2)(x − 4)(x − 6), visi keturi užfiksuoti duomenys lieka nepakitę, tačiau reikšmė ties leistinu, netirtu argumentu gali pasikeisti. Tai rodo, kad prielaida apie pasirinktą funkcijų šeimą tebėra būtina.

5. Už pirmuosius 2 kilogramus paslaugos teikėjas ima po 3 eurus už kilogramą, o tik už papildomą masę – po 1 eurą už kilogramą. Išmatuotos masės apibrėžimo sritis yra 0 ≤ w ≤ 5 kilogramų. Užrašykite bendrą kainą dalimis apibrėžta funkcija, apskaičiuokite kainą, kai masė yra 2 ir 2.5 kilogramų, ir įrodykite, kokia yra visa jos reikšmių sritis. Paaiškinkite, kodėl w eurų kaina visiems w > 2 apibūdintų kitokią kainodaros schemą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   C(w) = 3w eurų, kai 0 ≤ w ≤ 2, ir C(w) = 6 + (w − 2) = w + 4 eurų, kai 2 < w ≤ 5. C(2) = 6 eurų, o C(2.5) = 6.5 eurų. Visa reikšmių sritis yra 0 ≤ C ≤ 9 eurų.

   Pasiekus masės ribą, pirmosios dalies kaina yra 6 eurų ir, viršijus šią ribą, ji tebėra įskaičiuojama. Pirmoji funkcijos dalis įgyja kiekvieną kainos reikšmę nuo 0 iki 6, kai w = C/3; antroji įgyja kiekvieną kainos reikšmę, didesnę už 6 ir ne didesnę už 9, kai w = C − 4. Taigi šių reikšmių aibių sąjunga pagrindžia visą reikšmių sritį. Abi formulės sutampa ties 2, kuri pagal pateiktą apibrėžimą priskiriama pirmajai daliai. Naudojant w, kai masė didesnė už 2, mažesnis tarifas būtų taikomas visai masei, o pirmosios dalies kaina būtų atmesta.

6. Tikslūs dirbtinai sudaryti kainos duomenys, kai vienetų skaičiai yra sveikieji skaičiai 1, 3, 5, yra 4, 8, 12 eurų. Siūlomas modelis M(n) = 2n + 2 eurų leidžia sveikuosius vienetų skaičius nuo 1 iki 8. Prieš gaudami naują duomenį, nustatykite, kokio tipo yra prognozės, kai n = 4 ir n = 7, ir apskaičiuokite abi reikšmes. Nauja bendra kaina, kai n = 4, yra 11 eurų: apskaičiuokite jos liekaną ir nurodykite nuokrypio kryptį. Ar n = 2.5 yra leistinas prognozės argumentas vien todėl, kad patenka į stebėtų argumento reikšmių intervalą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   M(4) = 10 eurų yra interpoliuota prognozė; M(7) = 16 eurų yra ekstrapoliuota prognozė. Abiem atvejais vienetų skaičius yra leistinas. Nauja liekana yra 11 − 10 = +1 euras, todėl M prognozuoja per mažą kainą. Argumento reikšmė 2.5 neleistina.

   Pradinis stebėtų argumento reikšmių intervalas yra nuo 1 iki 5: 4 patenka į jį, o 7 – ne, tačiau abi reikšmės priklauso nurodytai sveikųjų skaičių apibrėžimo sričiai. Liekana apskaičiuojama iš stebėtos reikšmės atimant prognozuotą, o ne atvirkščiai. Pridėjus duomenį ties 4, intervalo galai nepasikeičia. Trupmeninis vienetų skaičius tebėra neleistinas net ir šiame intervale; pagal formulę apskaičiuota jo reikšmė būtų susijusi su modelio išplėtimu, o ne su šiuo vienetų skaičiaus modeliu.

7. Duomenų, pateiktų be matavimo vienetų, argumento reikšmes x = 0, 1, 2 atitinka funkcijos reikšmės 2, 5, 8. Palyginkite f(x) = 3x + 2 su g(x) = 3x + 2 + 2x(x − 1)(x − 2). Patikrinkite kiekvieną duomenų porą ir raskite abiejų funkcijų reikšmes, kai x = 1/2 ir x = 3. Kuo skiriasi išvada, kai apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai ir kai ji yra tik {0, 1, 2}?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pagal abi taisykles pateiktoms argumento reikšmėms gaunamos reikšmės 2, 5, 8. Kai argumento reikšmė yra 1/2, f = 7/2 ir g = 17/4; kai ji yra 3, f = 11 ir g = 23. Visų realiųjų skaičių srityje tai skirtingos funkcijos, tačiau apibrėžimo srityje {0, 1, 2} tai ta pati visiškai apibrėžta funkcija.

   Pridėta sandauga lygi nuliui ties kiekviena užfiksuota argumento reikšme. Kai argumento reikšmė yra 1/2, sandauga lygi 2·(1/2)·(−1/2)·(−3/2) = 3/4, o kai ji yra 3, sandauga lygi 2·3·2·1 = 12. Taigi atitiktis baigtiniam duomenų rinkiniui nenustato vienintelio tęsinio srityje, kurioje yra šių nestebėtų argumento reikšmių. Jei apibrėžimo sritį sudaro tik trys stebėtos argumento reikšmės, nelieka papildomų leistinų reikšmių, pagal kurias būtų galima atskirti taisykles.

Ką verta įsidėmėti

• Naudingame modelyje įvardijami dydžiai, jų matavimo vienetai, leistinos argumento reikšmės ir nekintamos sąlygos. Atskirkite tikslią išvadą, išvestą remiantis nurodytomis prielaidomis, nuo siūlomo modelio, priderinto prie stebėjimų.
• Tiesioginis proporcingumas reiškia f(x) = kx; afininė priklausomybė reiškia f(x) = mx + b ir leidžia poslinkį. Vienodi pokyčiai ir pastovūs santykiai atsako į skirtingus klausimus, o funkcijų šeimų pavadinimai gali persidengti.
• Laipsninę priklausomybę išveskite iš nurodytos mastelio keitimo taisyklės, o atvirkštinį proporcingumą – iš pastovios sandaugos. Vien mažėjančios funkcijos reikšmės nepatvirtina priklausomybės k/x, o atvirkštinis proporcingumas nėra tas pats, kas atvirkštinė funkcija.
• Pirmosios ir antrosios eilės skirtumams reikia vienodais intervalais išdėstytų argumento reikšmių. Parametrų vienareikšmiškumas pasirinktoje funkcijų šeimoje ir atitiktis baigtinei reikšmių lentelei neįrodo, kad ta šeima aprašo kiekvieną leistiną neužfiksuotą argumento reikšmę.
• Dalimis apibrėžtam modeliui reikia išsamių, neprieštaringų sąlygų ties dalių ribomis. Išlaikykite ankstesnei daliai taikomą mokestį ar priklausomybę, kai naujas tarifas taikomas tik papildomai daliai.
• Liekana yra stebėtos ir prognozuotos reikšmių skirtumas, išreikštas funkcijos reikšmės matavimo vienetais: teigiama liekana rodo, kad prognozė per maža, o neigiama – kad per didelė. Vien vietinė atitiktis ar mažesnės paklaidos nepatvirtina visuotinio dėsnio ar jo priežasties.
• Tiesioginė interpoliacija ir ekstrapoliacija skiria prognozes pagal tai, kur jų argumento reikšmė yra stebėto intervalo atžvilgiu. Atskirai patikrinkite, ar argumento reikšmė leistina apibrėžimo srityje, ir prieš išplėsdami bet kurią prognozę išlaikykite modelio prielaidas.