Lygčių sistemos ir sankirtos

Ta pati pora turi tenkinti abi sąlygas

Sistema sujungia lygtis, kurios turi būti tenkinamos vienu metu. Šioje pamokoje x ir y yra realieji skaičiai, nebent kontekstas apriboja jų reikšmių sritį. Sistemos, kurią sudaro x + y = 5 ir x − y = 1, sprendinys yra sutvarkytoji pora (x, y), tenkinanti abi lygtis su tomis pačiomis x ir y reikšmėmis. Pora (3, 2) tinka: jos skaičių suma yra 5, o skirtumas – 1.

Pora (4, 1) tenkina pirmąją lygtį, bet netenkina antrosios, nes 4 − 1 = 3. Atskirų lygčių tenkinimas skirtingomis poromis nėra sistemos sprendimas. Tvarka svarbi: (3, 2) reiškia, kad x = 3 ir y = 2, o (2, 3) nurodo kitas reikšmes. Abiem lygtims taikoma loginė IR sąlyga.

Viena tiesinė lygtis aprašo visą tiesę

Tiesinė lygtis su dviem nežinomaisiais yra pavidalo ax + by = c, jos koeficientai yra fiksuoti realieji skaičiai, o a ir b negali abu būti lygūs nuliui. Jos realieji sprendiniai sudaro tiesę. Lygties x + y = 5 atveju pasirinkta x reikšmė lemia y = 5 − x, todėl šią vieną sąlygą tenkina be galo daug porų.

Kai b nelygus nuliui, norėdami nubraižyti grafiką, pertvarkykite lygtį į y = (c − ax)/b pavidalą. Kai b lygus nuliui, naudokite x = c/a – tai vertikalioji tiesė; dalyti iš b būtų neleistina. Sistemos sprendiniai yra būtent abiem grafikams bendri taškai. Grafikas gali padėti numanyti atsakymą, bet apytikslis vaizdas nėra tikslus algebrinis patikrinimas.

Į kitą lygtį įstatykite lygiavertį reiškinį

Iš lygties x + y = 5 išreikškite y, kad gautumėte y = 5 − x. Kitoje lygtyje x − y = 1 vietoj y įstatykite šį reiškinį: x − (5 − x) = 1. Atskliaudę ir atsižvelgę į minuso ženklą, gauname 2x − 5 = 1, taigi x = 3. Raskite y = 5 − 3 = 2, tada patikrinkite abi pradines lygtis.

Sistemą galima perrašyti kaip y = 5 − x kartu su x − (5 − x) = 1. Paliktas pirmasis sąryšis parodo, kaip rasti y ir kodėl keitimo pertvarkymas yra grįžtamasis. Įstatę reiškinį į tą pačią lygtį, kurią ką tik pertvarkėte, paprastai gausite tapatybę, užuot pasinaudoję antrąja sąlyga. Įstatytą reiškinį laikykite skliaustuose, kol tinkamai atsižvelgsite į jo narių ženklus.

Eliminuokite vieną nežinomąjį ir išlaikykite kitą sąlygą

Jei dvi lygybės teisingos, sudėję jų kairiąsias ir dešiniąsias puses, gauname kitą teisingą lygybę. Sudėję x + y = 5 ir x − y = 1, gauname 2x = 6, taigi x = 3. Įstatykite į bet kurią pradinę lygtį, kad rastumėte y = 2, ir gautą porą patikrinkite abiejose.

Vien lygčių suma nėra ekvivalenti visai sistemai: x = 3 leidžia bet kurią y reikšmę, jei nepaliekama kita sąlyga. Pakeisti vieną lygtį suma ir palikti kitą yra grįžtamasis pertvarkymas, nes atimtimi galima atkurti pakeistą lygtį. Bendriau, prie vienos lygties galima pridėti kitą, padaugintą iš skaičiaus, arba visą lygtį padauginti iš nenulinio skaičiaus, išlaikant sistemos ekvivalentiškumą.

Gaukite priešingus koeficientus, pertvarkydami abi lygčių puses

Lygčių 2x + 3y = 12 ir x − y = 1 sistemoje visą antrąją lygtį padauginkite iš 3, kad gautumėte 3x − 3y = 3. Pridėkite ją prie pirmosios: 5x = 15, taigi x = 3. Iš pradinės antrosios lygties gauname y = 2. Iš daugiklio reikia padauginti kiekvieną narį, taip pat ir dešiniąją pusę.

Keitimo būdas dažnai patogus, kai nežinomojo koeficientas jau yra 1 arba −1; sudėties būdas patogus, kai koeficientai jau yra priešingi arba jiems gauti pakanka nedidelių daugiklių. Galima taikyti bet kurį būdą. Tikslios trupmeninės reikšmės gali būti sprendiniai: neapvalinkite reikšmės, kol neradote antrojo nežinomojo ir nepatikrinote abiejų sąlygų.

Interpretuokite po eliminavimo likusią lygtį

Dvi skirtingos nelygiagrečios tiesės susikerta viename taške, todėl yra vienas sprendinys – sutvarkytoji pora. Skirtingos lygiagrečios tiesės neturi bendro taško. Lygtys, kurių grafikai sutampa, aprašo tą pačią tiesę, todėl sprendiniai yra visos poros toje tiesėje. Be galo daug sprendinių nereiškia, kad tinka kiekviena pora plokštumoje.

Nagrinėkite x + y = 5 kartu su 2x + 2y = 10. Iš antrosios lygties atimkite padvigubintą pirmąją lygtį, kad gautumėte 0 = 0; palikite x + y = 5 kaip likusią sąlygą. Antrosios lygties dešiniąją pusę pakeitus į 11, gauname 0 = 1 – prieštarą, todėl sprendinių nėra. Šios išvados gaunamos atliekant ekvivalenčius sistemos pertvarkymus, o ne dėl to, kad nepavyko rasti tinkamos poros.

Šis skirstymas į tris atvejus remiasi prielaida, kad kiekviena pradinė lygtis apibrėžia tiesę. Jei abiejų kintamųjų koeficientai lygūs nuliui, toks teiginys kaip 0 = 0 nenustato jokios sąlygos, o 0 = 1 reiškia, kad visa sistema neturi sprendinių. Tokias lygtis be kintamųjų reikia nagrinėti tiesiogiai, o ne laikyti jas tiesių lygtimis.

Įtraukite vertikalias tieses, grafiką skaitykite atsargiai

Lygčių x = 2 ir y = 3 sistema turi vienintelį sprendinį (2, 3), nors vertikalios tiesės negalima užrašyti pavidalu y = mx + b. Dvi skirtingos vertikalios tiesės yra lygiagrečios; dvi vienodos vertikalios tiesės sutampa. Remkitės tikrąja lygties geometrija, o ne krypties koeficiento formule, kurioje dalijama iš nulio.

Grafike pavaizduoto susikirtimo koordinates galima nustatyti tik apytiksliai, o pats susikirtimas gali būti už matomos srities ribų. Tiesės, kurios vienu masteliu atrodo beveik lygiagrečios, vis tiek gali susikirsti. Sprendinių aibę nustatykite remdamiesi tiksliomis lygtimis, o grafiką naudokite jai interpretuoti. Matoma brėžinio sritis neriboja lygčių realiosios apibrėžimo srities.

Prieš spręsdami užrašykite du nepriklausomus faktus lygtimis

Tarkime, nustatytame modelyje x žymi suaugusiųjų bilietų skaičių, o y – vaikų bilietų skaičių. Iš viso yra 8 bilietai, tikslios kainos, išreikštos piniginiais vienetais, yra 5 ir 3, o bendra suma – 32. Sąlygos yra x + y = 8 ir 5x + 3y = 32. Iš antrosios lygties atimkite pirmąją, padaugintą iš trijų: 2x = 8, taigi x = 4, o y = 4. Tiek bilietų skaičiaus, tiek bendros kainos patikrinimai yra sėkmingi.

Dydžių pavadinimai ir matavimo vienetai lemia lygtis: kiekis nėra nei kaina, nei bendra kaina. Čia x ir y turi būti neneigiami sveikieji skaičiai. Algebrinė pora, kurioje yra trupmeninių ar neigiamų reikšmių, neatitiktų šio konteksto, net jei tenkintų abi lygtis realiųjų skaičių srityje. Kita lygtis, kuri tėra pirmoji lygtis, padauginta iš skaičiaus, nesuteikia jokios nepriklausomos informacijos.

Patikrinkite porą pagal dvi tikslias sąlygas

Modelyje naudojamos šešios nurodytos lygčių sistemos, apimančios susikirtimą su trupmeninėmis koordinatėmis, lygiagrečias ir sutampančias tieses bei vertikalios ir horizontalios tiesių porą. Nepriklausomai nuo sistemos pasirinkite tikrinamą sutvarkytąją porą. Lentelėje tiksliai apskaičiuojamos abiejų pradinių lygčių kairiųjų pusių reikšmės ir palyginamos su dešiniųjų pusių reikšmėmis; jei tenkinama tik viena lygtis, sistema netenkinama.

Abiejų ašių skalėse vienetinių padalų žingsnis yra vienodas ir pastovus. Spalvota tiesės atkarpa vaizduoja tik matomą neaprėžtos tiesės dalį. Trupmenų žymos ir patikrinimai yra tikslūs; grafike vaizduojamų taškų padėties tikslumą riboja ekrano tikslumas. Pažymėtas susikirtimo taškas vaizduoja algebriškai gautą vienintelį sprendinį, o nepriklausomai pasirinkta tikrinama pora gali būti kitoje vietoje.

Patikrinkite abi lygtis ir paaiškinkite, kodėl metodas išsamus

Rezultatą užrašykite kaip sutvarkytąją porą, įvardydami kiekvieną nežinomąjį, įstatykite į abi pradines lygtis ir išlaikykite tikslias reikšmes bei matavimo vienetus. Tada patikrinkite visus konteksto apribojimus. Tikrinant tik eliminavimo būdu gautą lygtį arba tik lygtį, iš kurios apskaičiuota y reikšmė, galima nepastebėti perrašymo klaidos kitoje pradinėje sąlygoje.

Tinkamai patikrinus galimą sprendinį, įrodoma, kad jis tinka. Ekvivalentūs pertvarkymai ir likusios sąlygos paaiškina, ar tai vienintelis sprendinys, ar lieka visa bendra tiesė, arba kodėl netinka jokia pora. Šios idėjos vėliau bus plėtojamos nagrinėjant didesnes lygčių sistemas, matricas ir determinantus; čia pateiktiems dviejų lygčių sprendimo metodams jų nereikia.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ar (2, 3) yra lygčių x + y = 5 ir 2x − y = 1 sprendinys? O (1, 4)?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (2, 3) yra sprendinys; (1, 4) nėra.

   Abiejų porų narių suma yra 5. Antrosios lygties kairiosios pusės reikšmė yra 1, kai pora yra (2, 3), bet −2, kai pora yra (1, 4). Ta pati pora turi tenkinti abi lygtis.

2. Keitimo būdu išspręskite lygčių y = 2x + 1 ir x + y = 7 sistemą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (x, y) = (2, 5).

   Įstatę į antrąją lygtį, gauname x + 2x + 1 = 7, todėl x = 2 ir y = 5. Pagal pradinę taisyklę gauname 5 = 2 × 2 + 1, o suma yra 7.

3. Išspręskite 2x + y = 7 ir x − y = 2 sudėties būdu, tada raskite kitą nežinomąjį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (3, 1).

   Sudėjus lygtis, y eliminuojamas ir gaunama 3x = 9. Kai x = 3, iš paliktos antrosios lygties gauname y = 1. Pradinių lygčių kairiosios pusės yra 7 ir 2.

4. Išspręskite x + y = 1 ir x − y = 2 neapvalindami.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (3/2, −1/2).

   Sudėję lygtis, gauname 2x = 3. Raskite y = 1 − 3/2 = −1/2. Tiksliai įstatę reikšmes, gauname sumą 1 ir skirtumą 2; nurodytoje realiųjų skaičių srityje y reikšmė gali būti neigiama.

5. Palyginkite x − 2y = 3 su 2x − 4y = 6 ir su 2x − 4y = 7.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmoji pora apibrėžia tą pačią tiesę; antroji pora neturi sprendinių.

   Iš antrosios lygties atimkite pirmąją lygtį, padaugintą iš dviejų. Likusi lygybė atitinkamai yra 0 = 0 arba 0 = 1. Kai tiesės sutampa, kiekvienas sprendinys vis tiek turi tenkinti x − 2y = 3; tinka ne kiekviena skaičių pora plokštumoje.

6. Išspręskite x = −2 ir y = x + 5. Ar abiejų tiesių krypties koeficientai turi būti baigtiniai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   (−2, 3); ne.

   Įstatę gauname y = 3. Pirmasis grafikas yra vertikalus ir neturi baigtinio nuolydžio, tačiau jo lygtis tiesiogiai nurodo x koordinatę.

7. Sudėję x + y = 5 ir x − y = 1, gauname x = 3. Kodėl (3, 100) nėra sprendinys?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Sudėjus gautas sąryšis yra tik viena išvada; pradinės sąlygos vis tiek turi būti tenkinamos.

   Šioje poroje x = 3, tačiau pradinė jos suma yra 103, o skirtumas yra −97. Pakeisdami vieną lygtį abiejų suma, kitą pradinę lygtį palikite nepakeistą, tada raskite y = 2.

Ką verta įsidėmėti

• Sprendinys yra viena sutvarkytoji pora, vienu metu tenkinanti abi pradines lygtis.
• Taikant keitimo metodą, nežinomasis pakeičiamas jam lygia išraiška; taikant eliminavimo metodą, sąlygos sujungiamos išsaugant pakankamai informacijos pradinei sistemai atkurti.
• Skirtingos nelygiagrečios tiesės turi vieną bendrą tašką, skirtingos lygiagrečios tiesės – nė vieno, o sutampančioms tiesėms tinka visos jų bendros tiesės taškų koordinačių poros.
• Vertikalioms tiesėms ir teiginiams be kintamųjų reikia naudoti tikrąsias jų lygtis, o ne netaikytinas nuolydžio ar dalybos formules.
• Patikrinkite tikslias reikšmes abiejose pradinėse lygtyse, tada patikrinkite matavimo vienetus ir uždavinyje leistiną reikšmių sritį.