Nelygybės, intervalai ir modulis

Sprendžiant nelygybę ieškoma reikšmių aibės

Sprendžiant lygtį ieškoma, kada du reiškiniai yra lygūs. Nelygybė palygina jų reikšmes pagal dydį. Teiginį x < 3 tenkina visi realieji skaičiai, mažesni už 3, įskaitant neigiamus skaičius ir trupmenas, tačiau pats 3 jo netenkina. Išspręsti nelygybę reiškia aprašyti visas leistinas reikšmes, kurioms pradinis palyginimas yra teisingas.

Šioje pamokoje nagrinėjami realieji skaičiai, nebent uždavinio sąlyga apriboja jų aibę. Ženklai < ir > žymi griežtąsias nelygybes: lygybė neįtraukiama. Ženklai ≤ ir ≥ apima ir lygybę. „Ne daugiau kaip 3“ reiškia x ≤ 3; „ne mažiau kaip 3“ reiškia x ≥ 3. „Mažiau nei 3“ ir „ne daugiau kaip 3“ skiriasi būtent ties riba.

Pažymėkite priklausymą aibei ir kryptį skaičių tiesėje

Nelygybei x < 3 ties 3 pažymėkite tuščiavidurį skrituliuką ir paryškinkite tiesę į kairę nuo jo. Tuščiaviduris skrituliukas reiškia, kad riba neįtraukiama. Nelygybei x ≥ 3 ties 3 pažymėkite užpildytą skrituliuką ir paryškinkite tiesę į dešinę. Rodyklės rodo, kad tiesė tęsiasi už matomos brėžinio dalies; brėžinio kraštas nežymi paskutinės sprendinių aibės reikšmės.

Skaičių tiesė vaizduoja tolydžią realiųjų reikšmių aibę, o ne vien pažymėtus sveikuosius skaičius. Patikrinkite ribinę reikšmę, įstatydami ją į pradinį teiginį: 3 tenkina x ≥ 3, bet netenkina x > 3. Paryškinta tiesės dalis ir ribinio taško žymėjimas turi atitikti šio patikrinimo rezultatą.

Tą pačią aibę glaustai užrašykite intervalu

Intervalui priklauso visi realieji skaičiai tarp nurodytų jo ribų. Apvalieji skliaustai reiškia, kad baigtinis intervalo galinis taškas jam nepriklauso, o laužtiniai – kad priklauso. Taigi (−2, 5] reiškia −2 < x ≤ 5. Kablelis skiria apatinę ir viršutinę ribas; tai nėra vieno taško koordinatės.

Neaprėžtiems intervalams žymėti naudojami −∞ arba ∞ su apvaliaisiais skliaustais, pavyzdžiui, (−∞, 3) arba [3, ∞). Begalybė nėra realusis skaičius, kurį būtų galima įtraukti kaip intervalo galinį tašką. Visoje Arkoje laikomės šios apvaliųjų ir laužtinių skliaustų vartojimo tvarkos; pagal kitas mokyklines tradicijas atvirieji intervalai gali būti žymimi į išorę nukreiptais laužtiniais skliaustais. Tuščioji aibė, žymima ∅, neturi nė vienos reikšmės, o (−∞, ∞) yra visa realiųjų skaičių tiesė.

Išlaikykite nelygybės kryptį, kai veiksmas ją išlaiko

Kaip ir lygčių atveju, pakeitus reiškinį tapačiu reiškiniu, sprendinių aibė nepasikeičia. Prie abiejų pusių pridėjus tą patį apibrėžtą reiškinį arba jį iš abiejų pusių atėmus, nelygybės kryptis taip pat išlieka. Prie abiejų 3x − 1 < 5 pusių pridėję 1, gauname 3x < 6, o tada padaliję iš teigiamo skaičiaus 3, gauname x < 2.

Pridėjus neigiamą skaičių, nelygybės kryptis taip pat išlieka: prie abiejų 2 < 5 pusių pridėję −7, gauname −5 < −2. Abi puses padauginus arba padalijus iš pastovaus teigiamo skaičiaus, nelygybės kryptis taip pat išlieka. Kiekvieną iš šių veiksmų galima atlikti atvirkščiai, todėl galutinė nelygybė nusako tiksliai pradinės nelygybės sprendinius, o ne vien pateikia sprendinių pavyzdžių.

Pakeiskite nelygybės kryptį daugindami iš neigiamo skaičiaus

Dauginant iš −1, skaičių tiesė atspindima nulio atžvilgiu: mažesnis skaičius tampa didesniu. Pavyzdžiui, iš 2 < 5 gauname −2 > −5. Bet kuris pastovus neigiamas daugiklis pakeičia nelygybės kryptį į priešingą; dalyba iš neigiamo skaičiaus veikia taip pat. Griežtosios nelygybės lieka griežtosios, o negriežtosios – negriežtosios.

Norėdami išspręsti −2x + 5 ≥ 1, atimkite 5, kad gautumėte −2x ≥ −4. Dalijant iš −2, ≥ pasikeičia į ≤, todėl gauname x ≤ 2. Įstačius ribinę vertę 2, pradinėje nelygybėje gaunama lygybė; 1 ją tenkina, o 3 – ne. Dauginant iš nulio prarandama informacija, o dalyba iš nulio neapibrėžta. Nedauginkite ir nedalykite iš reiškinio, kurio ženklas nežinomas, nenagrinėdami atskirų pagrįstų atvejų.

Patikrinkite skaitinius teiginius ir leistinąsias reikšmes

Sutraukus narius, nežinomasis gali išnykti. Nelygybė 2x + 1 < 2x + 3 supaprastinama iki 1 < 3, o šis teiginys teisingas visoms realiosioms x reikšmėms. Priešingai, 2x + 1 ≥ 2x + 3 supaprastinama iki 1 ≥ 3, o šis teiginys klaidingas visoms realiosioms x reikšmėms. Jei nežinomojo nebeliko, tai savaime nereiškia, kad sprendinių nėra: patikrinkite likusį teiginį.

Kontekstas gali susiaurinti realiųjų sprendinių aibę. Jei n žymi sveikaisiais skaičiais išreikštą bilietų skaičių, iš 4n + 3 ≤ 18 algebriškai gauname n ≤ 15/4. Atsižvelgus ir į tai, kad bilietų skaičius turi būti neneigiamas sveikasis skaičius, lieka 0, 1, 2 ir 3. Šios keturios reikšmės nėra visas realiųjų skaičių intervalas; jos yra sprendiniai nurodytoje bilietų skaičiaus srityje.

IR – sankirta, ARBA – bent viena sąlyga

Sudėtinė sąlyga jungia palyginimus. IR reikalauja, kad abu būtų teisingi. Sąlygų x > −1 ir x ≤ 3 sprendinių aibių bendroji dalis yra (−1, 3]. Ši bendroji dalis vadinama sankirta ir žymima ∩. Dviguba nelygybė −1 < x ≤ 3 yra kitas būdas užrašyti šią sąlygą su jungtimi IR.

Čia ARBA apima ir abiejų sąlygų tenkinimą: pakanka, kad būtų tenkinama kuri nors viena arba abi sąlygos. Kai x ≤ −2 arba x > 3, palikite abu spindulius, užrašomus (−∞, −2] ∪ (3, ∞). Simbolis ∪ reiškia sąjungą. Jungtimi IR nusakoma sankirta gali būti tuščia, kaip sąlygų x < 0 ir x ≥ 2 atveju. Jungtimi ARBA nusakoma sąjunga gali apimti visus realiuosius skaičius, kaip sąlygų x < 2 arba x ≥ 1 atveju.

Dviguboje nelygybėje tą patį veiksmą atlikite su visomis trimis dalimis. Iš visų −1 < 2x + 1 ≤ 7 dalių atimkite 1, kad gautumėte −2 < 2x ≤ 6, tada kiekvieną dalį padalykite iš 2, kad gautumėte −1 < x ≤ 3. Dalydami dvigubą nelygybę iš neigiamo skaičiaus, pakeiskite abiejų nelygybės ženklų kryptį ir perrašykite ribas didėjimo tvarka.

Modulį supraskite kaip atstumą nuo taško

Dydis |x − a| yra neneigiamas atstumas tarp x ir a realiųjų skaičių tiesėje. Norėdami išspręsti |x − 1| < 2, raskite taškus, esančius mažesniu nei 2 vienetų atstumu nuo 1: −1 < x < 3. Ribos yra 1 minus 2 ir 1 plius 2; abi jos neįtraukiamos, nes atstumas lyginamas griežtąja nelygybe.

Kai spindulys r teigiamas, mažesnis už r atstumas nusako intervalą tarp ribų: |x − a| < r reiškia a − r < x < a + r. Didesnis už r atstumas nusako du išorinius spindulius: |x − a| > r reiškia x < a − r ARBA x > a + r. Kai ženklas yra ≤ arba ≥, įtraukite ir galinius taškus. Jei su modulio reiškiniu atliekami kiti veiksmai, pirmiausia jį išskirkite; jo nusakomą atstumo palyginimą reikia interpretuoti tik atlikus reikiamus pertvarkymus.

Prieš taikydami schemą, įvertinkite neneigiamumą

Pirmiau pateiktos įprastos intervalo vidaus ir išorės schemos remiasi prielaida, kad r yra teigiamas. Atstumas negali būti neigiamas. Todėl |x − a| < 0 neturi sprendinių, vienintelis |x − a| ≤ 0 sprendinys yra x = a, sąlygą |x − a| > 0 tenkina visos realiosios reikšmės, išskyrus a, o sąlygą |x − a| ≥ 0 tenkina visos realiosios reikšmės.

Kai slenkstis r neigiamas, nei |x − a| < r, nei |x − a| ≤ r negali būti tenkinamos; ir |x − a| > r, ir |x − a| ≥ r tenkinamos visoms realiosioms x reikšmėms. Neigiamas slenkstis nėra neigiamas geometrinis spindulys. Šie atvejai tiesiogiai išplaukia iš neneigiamumo, todėl juos reikia patikrinti prieš nustatant galinius taškus.

Palyginkite visą sprendinių aibę su atskirų reikšmių patikrinimais

Modelyje nepriklausomai pasirinkite pradinę sąlygą ir tikrinamą reikšmę. Jo skaičių tiesėje, kurios mastelis nekinta, vaizduojama visa simboliais aprašyta sprendinių aibė, o lentelėje tikrinama, ar atskiros reikšmės tenkina pradinę sąlygą. Nagrinėdami atstumo sąlygas, keiskite slenkstį ir išbandykite teigiamą, nulinį bei neigiamą atvejus.

Tuščiaviduriai ir užpildyti galinių taškų žymenys rodo priklausymą aibei; rodyklės rodo neaprėžtą tęsinį. Jei sprendinių aibę sudaro vienas taškas, jis žymimas vienu užpildytu tašku. Baigtinis tikrinamų reikšmių sąrašas gali padėti aptikti klaidas, tačiau vien jo nepakanka visai sprendinių aibei nustatyti. Ją pagrindžia lygiaverčiai algebriniai pertvarkymai arba samprotavimas apie atstumą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Užrašykite −3 ≤ x < 2 intervalu. Ar x = 2 yra leistina reikšmė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   [−3, 2); 2 neįtraukiamas.

   Apatinę ribą nusakanti nelygybė apima lygybę, todėl ties −3 rašomas laužtinis skliaustas. Viršutinę ribą nusakanti nelygybė yra griežtoji, todėl ties 2 rašomas apvalusis skliaustas ir žymimas tuščiaviduris skrituliukas.

2. Išspręskite 5 − 3x ≤ 11. Paaiškinkite nelygybės ženklo kryptį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x ≥ −2, arba [−2, ∞).

   Atėmę 5, gauname −3x ≤ 6. Dalydami iš neigiamo skaičiaus −3, pakeičiame ≤ į ≥. Vien pridėjus arba atėmus neigiamą skaičių, nelygybės kryptis nepasikeistų.

3. Išspręskite −4 < 2x − 2 ≤ 6.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   −1 < x ≤ 4, arba (−1, 4].

   Prie visų trijų dalių pridėkite 2, kad gautumėte −2 < 2x ≤ 8, tada visas tris dalis padalykite iš teigiamo skaičiaus 2. Įtraukiamas tik viršutinis galinis taškas.

4. Palyginkite x < 0 IR x ≥ 2 su x < 0 ARBA x ≥ 2.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Su IR gauname ∅. Su ARBA gauname (−∞, 0) ∪ [2, ∞).

   Joks realusis skaičius negali tenkinti abiejų šių sąlygų, kurių sprendinių aibės nesusikerta. Neišskirtinis ARBA leidžia pasirinkti bet kurį iš dviejų spindulių; visos reikšmės nuo 0 (imtinai) iki 2 (neimtinai) vis tiek neįtraukiamos.

5. Išspręskite |x + 2| ≤ 3, remdamiesi atstumu nuo nurodyto centro.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   −5 ≤ x ≤ 1, arba [−5, 1].

   Reiškinį modulio viduje užrašykite kaip x minus −2: centras yra −2. Atstumas yra ne didesnis kaip 3, todėl galiniai taškai yra −2 − 3 = −5 ir −2 + 3 = 1; abu įtraukiami.

6. Aprašykite |x − 4| < 0, |x − 4| ≤ 0 ir |x − 4| > −1 sprendinius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai: ∅; tik x = 4; visi realieji skaičiai.

   Atstumas yra neneigiamas. Jis negali būti mažesnis už nulį, yra ne didesnis už nulį tik tada, kai lygus nuliui, ir visada yra didesnis už −1. Schemos, taikomos teigiamam spinduliui, negalima taikyti neatsižvelgiant į atvejį.

7. Modelio sąlyga yra 4n + 3 ≤ 18, kur n yra bilietų skaičius, išreikštas neneigiamu sveikuoju skaičiumi. Raskite visus leistinus bilietų skaičius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   n = 0, 1, 2 arba 3.

   Spręsdami nelygybę realiųjų skaičių aibėje, gauname n ≤ 15/4. Pagal uždavinio sąlygą leidžiami tik neneigiami sveikieji skaičiai. Kai bilietų yra trys, modelio bendra reikšmė yra 15, o kai keturi – 19, ir ji viršija nustatytą ribą.

Ką verta įsidėmėti

• Nurodykite nagrinėjamą skaičių aibę ir aprašykite visus sprendinius, taip pat nurodykite, ar kiekviena ribinė reikšmė įtraukiama.
• Pridėjus tą patį apibrėžtą reiškinį, nelygybės kryptis išlieka; padauginus arba padalijus iš pastovaus neigiamo skaičiaus, ji pasikeičia į priešingą.
• IR reiškia sankirtą, o neišskirtinis ARBA – kad pakanka kurios nors vienos sąlygos arba abiejų.
• Modulį interpretuokite kaip neneigiamą atstumą; nulinį ir neigiamą slenksčius patikrinkite atskirai.
• Tikrinkite pradinę sąlygą, kad aptiktumėte klaidas, ir remkitės lygiaverčiais samprotavimais, kad pagrįstumėte visą sprendinių aibę.