Lygiavertės trupmenos ir bendri vardikliai

Skirtingi trupmenų užrašai gali žymėti tą patį skaičių

Trys ketvirtadaliai ir šešios aštuntosios gali nusakyti tą patį pažymėtą nekeičiamo ilgio juostos gabalą. Dalių dydžiai ir jų skaičiai skiriasi, tačiau 3/4 = 6/8. Tai lygiavertės trupmenos: jų skaitinė reikšmė yra visiškai vienoda. Skaičių tiesėje, kurios vienetas nekinta, jos žymi tą patį tašką.

Lygybės ženklas sieja visas reikšmes, o ne atskirus skaitiklius ir vardiklius. Šeši yra daugiau už tris, tačiau šeštosios, aštuntosios ir ketvirtadaliai yra skirtingi skaičiuojamų dalių vienetai. Norėdami nuspręsti, ar dvi trupmenos lygios, įvertinkite ir dalių skaičių, ir kiekvienos dalies dydį.

Padalykite kiekvieną dalį nekeisdami kiekio

Juosta padalyta į keturias lygias dalis, iš kurių pažymėtos trys. Kiekvieną ketvirtadalį, įskaitant nepažymėtąjį, padalykite į dvi lygias dalis. Visoje juostoje dabar yra aštuonios lygios dalys, o pažymėtoje srityje – šešios. Visuma ir pažymėtas kiekis nepasikeitė, todėl 3/4 = 6/8. Padaliję tik pažymėtas dalis paliktumėte nevienodo dydžio gabalėlius, tad visa juosta nebūtų padalyta į aštuntąsias.

Kiekvieną ketvirtadalį padalijus į tris lygias dalis, visumoje bus dvylika dalių, o pažymėtoje srityje – devynios: 3/4 = 9/12. Mažesnį dalies dydį atsveria didesnis dalių skaičius. Skaičių tiesėje įterpus daugiau padalų pažymėto ilgio galas lieka toje pačioje vietoje.

Abu skaičius dauginkite iš to paties teigiamo sveikojo skaičiaus

Kai skaitiklis a yra sveikasis skaičius, vardiklis b – teigiamas sveikasis skaičius, o daugiklis k – teigiamas sveikasis skaičius, galioja a/b = (a × k)/(b × k). Kai skaitiklis neneigiamas, kiekvieną pradinę dalį padaliję į k lygių dalių gauname b × k dalių visumoje ir a × k pažymėtų dalių. Pavyzdžiui, 2/5 = (2 × 4)/(5 × 4) = 8/20.

Dalybos rezultatas taip pat nekinta: abu dalyboje dalyvaujantys skaičiai padauginami iš to paties daugiklio. Tai paaiškina, kodėl taisyklė galioja ir neigiamoms bei netaisyklingosioms trupmenoms: −2/5 = −8/20 ir 7/4 = 14/8. Teigiamas k išlaiko teigiamus vardiklius. Kai k = 0, vardiklis taptų nuliu, todėl toks daugiklis neleistinas. Pakeitus tik vieną skaičių reikšmė paprastai pasikeičia; to paties skaičiaus pridėjimas prie skaitiklio ir vardiklio nėra trupmenų lygybės taisyklė.

Smulkesnes dalis sujunkite į stambesnes lygias dalis

Atvirkščias veiksmas sujungia dalis. Trupmenoje 12/18 kiekvienas šešias aštuonioliktąsias sujunkite į vieną grupę. Aštuoniolika dalių visumoje sudaro tris tokias grupes, o dvylika pažymėtų dalių – dvi grupes. Todėl 12/18 = (12 ÷ 6)/(18 ÷ 6) = 2/3. Pažymėtas kiekis nekinta; jį aprašome mažesniu stambesnių dalių skaičiumi.

Kad skaitiklis ir vardiklis liktų sveikieji skaičiai, abu dalykite iš teigiamo sveikojo skaičiaus, iš kurio jie dalijasi be liekanos: bendro daliklio. Padaliję 12 ir 18 iš 2 gauname 6/9, o dar padaliję abu skaičius iš 3 – 2/3. Abu keliai išlaiko reikšmę. Trupmeną trumpiname padalydami visą skaitiklį ir visą vardiklį iš bendro daliklio, o ne išbraukdami sutampančius skaitmenis ar iš abiejų atimdami tą patį skaičių.

Nesuprastinamoje trupmenoje nelieka bendro daliklio, didesnio už 1

Trupmena yra nesuprastinama, kai jos sveikasis skaitiklis ir teigiamas vardiklis neturi bendro teigiamo daliklio, didesnio už 1. Didžiausias bendras daliklis, arba DBD, yra didžiausias skaičius, iš kurio abu dalijasi be liekanos. Jį rasdami naudokite skaitiklio modulį. Trupmenoje 12/18 turime DBD(12, 18) = 6; abu skaičius padaliję iš 6 vienu žingsniu gauname nesuprastinamą trupmeną 2/3. Jos skaitiklio 2 ir vardiklio 3 DBD yra 1.

Nulis taip pat turi paprasčiausią trupmenos pavidalą: 0/7 = (0 ÷ 7)/(7 ÷ 7) = 0/1, nes nulis dalijasi iš kiekvieno teigiamo sveikojo skaičiaus. Neigiamas ženklas išlieka, todėl −14/21 sutrumpiname iki −2/3. Netaisyklingoji trupmena po trumpinimo nebūtinai tampa taisyklingąja: 10/6 virsta 5/3 ir tebėra didesnė už 1. Išlaikykite teigiamą vardiklį ir niekada nedalykite iš nulio. Trumpinimas pakeičia užrašą, o ne skaičių ar jo ženklą.

Dviem trupmenoms parinkite tą patį skaičiuojamų dalių vienetą

Lyginant 2/3 ir 3/4, trečdaliai ir ketvirtadaliai yra nevienodo dydžio trupmeniniai vienetai. Dvyliktoji tiksliai telpa į abu: viename trečdalyje yra keturios dvyliktosios, o viename ketvirtadalyje – trys. Todėl 2/3 = 8/12 ir 3/4 = 9/12. Abi trupmenos dabar skaičiuoja to paties skaitinio vieneto dalis po 1/12. Vardiklis 12 yra bendras vardiklis.

Teigiamiems vardikliams b ir d pasirinkite teigiamą bendrą kartotinį D: skaičių, kuris dalijasi iš abiejų. Norėdami a/b išreikšti vardikliu D, abu skaičius a ir b dauginkite iš D ÷ b. Norėdami taip išreikšti c/d, abu skaičius c ir d dauginkite iš D ÷ d. Skirtingoms trupmenoms daugikliai gali būti skirtingi, tačiau vienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį reikia dauginti iš to paties skaičiaus. Pradinės reikšmės ir vieneto dydis nekinta.

Tinkamas bendras vardiklis nebūtinai yra mažiausias

Teigiamų sveikųjų vardiklių b ir d sandauga b × d visada yra bendras jų kartotinis, todėl ji visada tinka. Mažiausias bendras kartotinis, arba MBK, yra mažiausias teigiamas skaičius, kuris dalijasi iš abiejų vardiklių. Jis leidžia naudoti mažiau padalų ir dažnai mažesnius skaičius. Vardiklių 6 ir 9 teigiami kartotiniai prasideda 6, 12, 18 ir 9, 18, 27; jų MBK yra 18. Sandauga 54 taip pat tinka. Jei vienas vardiklis dalijasi iš kito, didesnysis jau yra jų MBK, kaip skaičių 4 ir 8 atveju.

Ryšį su bendrais dalikliais išreiškia MBK(b, d) = (b × d) ÷ DBD(b, d). Kadangi DBD(6, 9) = 3, jų MBK yra 54 ÷ 3 = 18. Trupmenas 4/6 ir 6/9 išreiškę vardikliu 18 gauname 12/18 ir 12/18, o pasirinkę 54 – 36/54 ir 36/54. Abu palyginimai patvirtina lygybę. Pirmiausia sutrumpinus pradines trupmenas, abi tampa 2/3 ir jau turi bendrą vardiklį 3. Tai kitas pradinis užrašas; skaičius 18 ir toliau yra pradinių vardiklių 6 ir 9 MBK.

Stebėkite, kaip pradinės dalys virsta bendru padalijimu

Tyrinėjimo priemonėje pasirinkite dvi trupmenas, kurių sveikieji skaitikliai yra nuo −8 iki 8, o teigiami vardikliai – nuo 1 iki 8. Kiekviena pilna juosta vaizduoja tą patį skaitinį vienetą, o skaičių tiesė išlaiko mastelį nuo −8 iki 8. Pradėkite nuo 2/3 ir 3/4. Apžiūrėkite jų pradines dalis, tada užrašus su bendru vardikliu: 8/12 ir 9/12. Susiekite pažymėtus kiekius su taškais skaičių tiesėje. Didesnis smulkesnių padalų skaičius neturi pakeisti nė vienos trupmenos reikšmės.

Išbandykite 4/6 ir 2/3, o bendrą vardiklį pasirinkite pagal MBK arba vardiklių sandaugą. Dalių skaičiai ir dydžiai pasikeičia, tačiau lygybė ir vietos skaičių tiesėje išlieka. Tada išbandykite −2/3 ir −3/4, nulį su skirtingais vardikliais bei 7/4 ir 5/3. Kiekvieną modulį nusako pilnų vienetų skaičius ir likusi pažymėta trupmeninė dalis; juostos vaizduoja tik šią likusią dalį. Ženklas taikomas visam moduliui, o vieta skaičių tiesėje rodo kryptį nuo nulio. Įvardykite, kas vaizde pasikeitė ir kurie skaitiniai dydžiai išliko tokie patys.

Kai bendras vardiklis teigiamas, lyginkite skaitiklius

Išreiškus 2/3 = 8/12 ir 3/4 = 9/12, dalių dydžiai sutampa. Aštuonios dvyliktosios yra mažiau už devynias, todėl 2/3 < 3/4. Abi reikšmės yra tarp pusės ir vieneto; tai padeda patikrinti numatomą skaičiaus dydį. Lygindami vien pradinių trupmenų skaitiklius 2 ir 3 neatsižvelgtume į skirtingą dalių dydį.

Tas pats būdas tinka ir didesnėms už vienetą reikšmėms. Trupmenas 7/4 ir 5/3 išreikškite dvyliktosiomis: 7/4 = 21/12 ir 5/3 = 20/12. Kadangi 21 > 20, o bendras vardiklis teigiamas, 7/4 > 5/3. Abi trupmenos yra tarp 1 ir 2; tiksliam palyginimui nereikia jų paversti dešimtainėmis trupmenomis ar mišriaisiais skaičiais. Vienodi skaitikliai prie bendro vardiklio patvirtintų vienodas reikšmes.

Skaičiuodami bendras dalis išlaikykite ženklą

Trupmeną −2/3 išreikškite kaip −8/12, o −3/4 – kaip −9/12. Skaičių tiesėje devyni dvyliktosios dydžio žingsniai į kairę nuo nulio nuveda kairiau nei aštuoni tokie žingsniai, todėl −3/4 < −2/3. Atstumai nuo nulio išsidėsto priešinga tvarka: 3/4 > 2/3. Taigi didesnis neigiamos reikšmės modulis nereiškia didesnio skaičiaus su ženklu.

Kai bendras vardiklis teigiamas, skaitiklius su ženklais lyginkite įprasta tvarka: −9 < −8 < 0 < 8 < 9. Neigiama trupmena yra mažesnė už nulį, o teigiama – didesnė. Neigiamą vardiklio ženklą pirmiausia galima perkelti į skaitiklį, kaip 2/(−3) = −2/3; kai abu skaičiai neigiami, (−2)/(−3) = 2/3. Taip bendras trupmeninis vienetas lieka teigiamas.

Kryžminės sandaugos trumpai užrašo bendro vardiklio samprotavimą

Trupmenas a/b ir c/d, kurių vardikliai teigiami, išreikškite kaip (a × d)/(b × d) ir (c × b)/(d × b). Jų bendras vardiklis yra b × d. Jos lygios tada ir tik tada, kai a × d = c × b: skaitikliai reiškia vienodą tų pačių trupmeninių vienetų skaičių. Pavyzdžiui, 2/3 ir 4/6 lygios, nes 2 × 6 = 4 × 3 = 12. Kryžminių sandaugų patikra išplaukia iš lygiaverčių trupmenų, o ne iš atskiros skaitmenų išdėstymo taisyklės.

Lygybės patikra taip pat galioja bet kokiems nenuliniams vardikliams: abi reikšmes padauginę iš to paties nenulinio skaičiaus b × d gauname a × d ir c × b. Dydžių palyginimui pirmiausia abu vardiklius padarykite teigiamus. Tuomet b × d teigiamas, todėl a/b < c/d tada ir tik tada, kai a × d < c × b. Trupmenoms 2/3 ir 3/4 gauname 2 × 4 = 8 < 9 = 3 × 3; tai patvirtina palyginimą dvyliktosiomis. Nulinis vardiklis neleidžia vartoti nei trupmenos, nei patikros: vienodos sandaugos negali padaryti neapibrėžtos dalybos leistinos.

Patikrinkite reikšmę, vienetą ir naujo užrašo paskirtį

Lygiavertės trupmenos yra lygios kaip skaičiai, tačiau vienodos skirtingų fizinių visumų dalys nebūtinai reiškia vienodus kiekius. Pusė 20 cm juostelės yra 10 cm, o du ketvirtadaliai 30 cm juostelės – 15 cm. Nors 1/2 = 2/4, šių gabalų ilgiai skiriasi. Norėdami palyginti ilgius, išreikškite juos tuo pačiu matavimo vienetu. Norėdami trupmenas palyginti kaip skaičius, naudokite tą patį skaitinį vienetą nuo 0 iki 1.

Pasirinkite užrašą pagal klausimą. Nesuprastinamas pavidalas yra glaustas, o bendri vardikliai suteikia bendrą trupmeninį vienetą palyginimui. Patikrinkite, ar kiekviename pakeitime skaitiklis ir vardiklis buvo padauginti arba padalyti iš to paties skaičiaus, ar išliko ženklas ir numatoma vieta skaičių tiesėje. Tai skaičiavimo su trupmenomis pagrindai: kitoje pamokoje paaiškinsime, kaip bendri vienetai ir trupmenų reikšmės padeda sudėti, atimti, dauginti bei dalyti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Nekeičiamo ilgio juostoje pažymėtos trys iš penkių lygių dalių. Kiekvieną dalį padalykite į keturias lygias dalis. Užrašykite lygiavertę trupmeną ir paaiškinkite, kodėl vien pakeisti 3/5 į 3/20 reikštų ką kita.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   3/5 = 12/20. Trupmenos 3/20 reikšmė mažesnė.

   Kiekviena penktoji tampa keturiomis dvidešimtosiomis, todėl penkios pradinės dalys tampa dvidešimčia, o trys pažymėtos dalys – dvylika. Palikę tik tris pažymėtas dvidešimtąsias išlaikytume dalių skaičių, bet kiekviena pažymėta dalis būtų keturis kartus mažesnė; pažymėtas kiekis neišliktų.

2. Prie 3/4 skaitiklio ir vardiklio pridėjęs po 1, žmogus gauna 4/5. Ar tai leistinas lygiavertis pakeitimas? Palyginkite dvidešimtosiomis. Ar abu pradinius skaičius padauginus iš nulio būtų gauta lygiavertė trupmena?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne: 3/4 = 15/20 < 16/20 = 4/5. Abu skaičius dauginti iš nulio neleistina.

   Pridėjus 1 dalių skaičius ir dydis nebuvo pakeisti reikiamu santykiu. Vardiklis 20 aiškiai parodo nevienodas reikšmes. Padauginę ir 3, ir 4 iš nulio gautume 0/0; toks užrašas neapibrėžtas, nes dalyba iš nulio neapibrėžta.

3. Trupmenas 18/24, −14/21, 0/7 ir 10/6 užrašykite nesuprastinamu pavidalu su teigiamais vardikliais. Kiekvienai nurodykite naudotą bendrą daliklį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   3/4, −2/3, 0/1 ir 5/3; naudoti dalikliai atitinkamai 6, 7, 7 ir 2.

   Visą kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalykite iš nurodyto didžiausio bendro daliklio. Neigiamos trupmenos bendram dalikliui rasti naudokite modulį 14 ir išlaikykite minuso ženklą. Nulį padaliję iš 7 vis tiek gauname nulį. Sutrumpinta 5/3 lieka netaisyklingoji trupmena, nes trumpinimas išlaiko jos reikšmę, didesnę už 1.

4. Kuri trupmena lygi 5/6: 15/18 ar 16/18? Paaiškinkite pakeitimu su tuo pačiu daugikliu arba kryžminėmis sandaugomis. Ar kryžminių sandaugų patikra galėtų nustatyti 1/0 ir 2/0 lygybę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   15/18 lygi 5/6, o 16/18 – nelygi. Užrašai 1/0 ir 2/0 neapibrėžti, todėl patikra negali nustatyti trupmenų lygybės.

   Trupmenos 5/6 abu skaičius padauginę iš 3 gauname 15/18. Taip pat 5 × 18 = 15 × 6 = 90, o 16 × 6 = 96. Užrašų su nuliniais vardikliais sandaugos abi būtų lygios nuliui, tačiau būtina sąlyga – nenuliniai vardikliai – neįvykdyta.

5. Trupmenas 5/6 ir 7/9 išreikškite jų pateiktų vardiklių mažiausiu bendru kartotiniu, tada vardiklių sandauga. Kuri trupmena didesnė? Ar būtina naudoti mažesnį vardiklį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Su vardikliu 18: 15/18 ir 14/18. Su vardikliu 54: 45/54 ir 42/54. Taigi 5/6 > 7/9; tinka abu bendri vardikliai.

   Skaičių 6 ir 9 MBK yra 18, todėl pirmos trupmenos skaitiklį ir vardiklį dauginkite iš 3, o antros – iš 2. Sandauga yra 54; jai reikia daugiklių 9 ir 6. Abu teigiami bendri trupmeniniai vienetai duoda tą pačią tvarką. Mažesnis vardiklis patogesnis, tačiau teisingam palyginimui nėra būtinas.

6. Palyginkite 2/3 su 3/4, −2/3 su −3/4 ir 7/4 su 5/3. Kiekvieną porą išreikškite dvyliktosiomis ir paaiškinkite neigiamų trupmenų tvarką.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   2/3 < 3/4; −2/3 > −3/4; 7/4 > 5/3. Porų skaitikliai prie vardiklio 12 yra 8 ir 9, −8 ir −9, taip pat 21 ir 20.

   Kai teigiamas vardiklis vienodas, tiesiogiai lyginkite skaitiklius su ženklais. Kadangi −8 > −9, skaičius −2/3 yra dešiniau už −3/4. Didesnis −3/4 atstumas nuo nulio reiškia labiau neigiamą, o ne didesnį skaičių. Paskutinė pora palyginama tuo pačiu būdu, nors abi reikšmės didesnės už 1.

7. Vienas gabalas yra pusė 20 cm juostelės, o kitas – du ketvirtadaliai 30 cm juostelės. Ar 1/2 ir 2/4 yra lygiaverčiai skaičiai? Ar gabalai vienodo ilgio? Kas turi išlikti vienoda lyginant trupmenas juostų vaizdais?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Trupmenos lygiavertės, tačiau ilgiai yra 10 cm ir 15 cm. Palyginamos juostos turi naudoti tą pačią visumą ir tą patį ilgio mastelį.

   1/2 = 2/4 nusako tą pačią vieneto dalį. Šią trupmeną pritaikę skirtingiems juostelių ilgiams gauname skirtingus fizinius kiekius. Brėžinys, kuriame nevienodos juostelės pakeitus mastelį atrodo vienodos, gali parodyti jų trupmenines dalis, tačiau negali patvirtinti vienodų tikrųjų ilgių.

Ką verta įsidėmėti

• Lygiaverčių trupmenų reikšmė ir vieta skaičių tiesėje sutampa, nors dalių dydžiai ir skaičiai skiriasi.
• Skaitiklį ir vardiklį dauginkite iš to paties teigiamo sveikojo skaičiaus, kad susmulkintumėte padalijimą; abu dalykite iš teigiamo bendro daliklio, kad sutrumpintumėte trupmeną. Vardiklis negali tapti nuliu.
• Nesuprastinamoje trupmenoje nelieka bendro daliklio, didesnio už 1. Nuliui, neigiamoms ir netaisyklingosioms trupmenoms galioja tos pačios reikšmę išlaikančios taisyklės.
• Teigiamas bendras vardiklis nusako bendrą trupmeninį vienetą. Vardiklių sandauga visada tinka, o pasirinktų vardiklių MBK dažnai leidžia naudoti mažesnius skaičius.
• Suvienodinę vardiklius ir išlaikę juos teigiamus, lyginkite skaitiklius su ženklais. Kryžminės sandaugos išreiškia tą patį samprotavimą; fiziniams kiekiams dar reikia palyginamų visumų ir matavimo vienetų.