Trupmenos kaip dalys, dalyba ir skaičiai

Pirmiausia nuspręskite, kas yra visuma

Pusė ko? Pusė vieno duonos kepalo, pusė metro ir pusė dvylikos akmenukų rinkinio nusako skirtingus kiekius. Prieš vartodami trupmeną įvardykite visumą: visą kiekį, kurį laikote vienu vienetu. Tai gali būti daiktas, ilgis, plotas, tūris, laiko tarpas arba visas daiktų rinkinys.

Trupmena 1/2 kiekvienu atveju žymi tą patį skaičių, tačiau konkretus kiekis priklauso nuo visumos. Pusė 20 cm juostelės yra 10 cm, o pusė 30 cm juostelės yra 15 cm. Abu gabalėliai sudaro pusę savo juostelės, tačiau jų ilgiai skiriasi. Lygindami kiekius pagal trupmenas išlaikykite tą pačią visumą.

Lygios dalys turi reikšti vienodus kiekius

Padalykite 12 cm juostelę į keturias dalis po 3 cm. Kiekviena dalis sudaro ketvirtadalį juostelės, nes visų keturių dalių ilgiai vienodi. Sukarpę ją į 1 cm, 2 cm, 3 cm ir 6 cm gabalėlius taip pat gausite keturias dalis, tačiau ne kiekviena bus ketvirtadalis. Vien dalių skaičius jų trupmeninio dydžio nenusako.

Kas turi būti lygu, priklauso nuo klausimo. Nagrinėjant ploto dalį, dalių plotai turi būti vienodi, tačiau jų formos nebūtinai turi sutapti. Nagrinėjant tūrio dalį, lyginami tūriai. Nagrinėjant daiktų skaičiaus dalį rinkinyje, lyginamas daiktų skaičius, net jeigu daiktų masės skiriasi. Vienodas daiktų skaičius savaime nereiškia vienodos masės. Pirmiausia įvardykite nagrinėjamą dydį, tada spręskite, ar dalys lygios.

Vienas skaičius nusako dalies dydį, kitas skaičiuoja dalis

Trupmeną galima užrašyti a/b arba su horizontaliu trupmenos brūkšniu. Skaičius a yra skaitiklis, o b – vardiklis. Lygių dalių modelyje b yra teigiamas sveikasis skaičius: jis nurodo, kiek lygių dalių sudaro vieną visumą. Vienos tokios dalies dydis yra 1/b; trupmena, kurios skaitiklis yra 1, vadinama vienetine trupmena. Skaitiklis nurodo, kiek tokių dalių imame. Taigi 3/4 reiškia tris dalis po 1/4: tris ketvirtadalius.

Kai skaitiklis a yra neneigiamas sveikasis skaičius, a/b reiškia a dalių po 1/b. Nulis dalių duoda 0/b = 0, o b tokių dalių duoda b/b = 1. Pavyzdžiui, 0/4 = 0 ir 4/4 = 1. Kai vardiklis yra 1, kiekviena dalis yra visas vienetas, todėl 3/1 = 3. Trupmenos vardiklis negali būti nulis: a/0 reikėtų dalyti iš nulio. Naudosime teigiamus vardiklius, o neigiamą ženklą rašysime prieš trupmeną arba jos skaitiklyje.

Visuma gali būti daiktų rinkinys

Visuma laikykime dvylikos akmenukų rinkinį ir raskime 3/4 jo daiktų skaičiaus. Padalykite akmenukus į keturias grupes po tris. Kiekviena grupė sudaro 1/4 rinkinio, o trijose grupėse yra devyni akmenukai. Imame tris iš keturių lygių grupių, o ne tris atskirus akmenukus. Vardiklis nurodo lygių grupių skaičių, o daiktų skaičius grupėje priklauso nuo viso rinkinio.

Kontekstas gali riboti, ką reiškia dalis. Pusės trijų bilietų skaitinė reikšmė yra 3/2 bilieto, tačiau jei bilietai turi likti sveiki, trijų bilietų negalima paskirstyti į dvi lygias sveikų bilietų dalis. Galime kiekvienam žmogui duoti po vieną bilietą ir vieną palikti arba pakeisti paskirstymo sąlygas. Pusė 3 m juostelės gali būti 3/2 m ilgio gabalas. Trupmeninis skaičius gali būti apibrėžtas, nors ne kiekviena praktinė užduotis leidžia tokį paskirstymą.

Trupmena gali būti dalybos rezultatas

Tris vienodo dydžio duonos kepalus padalykite po lygiai keturiems žmonėms. Kiekvieną kepalą supjaustykite į keturias lygias dalis. Kiekvienas žmogus gauna po ketvirtadalį iš kiekvieno iš trijų kepalų: iš viso tris ketvirtadalius vieno kepalo. Taigi 3 ÷ 4 = 3/4 kepalo žmogui. Padauginę vieno žmogaus dalį iš keturių, vėl gauname pradinius tris kepalus. Trupmenos brūkšnys reiškia dalybą: a/b = a ÷ b, kai b ≠ 0.

Atkreipkite dėmesį į visumą. Kiekvienas žmogus gauna 3/4 vieno kepalo, bet 1/4 visų trijų kepalų kartu. Tai tas pats duonos kiekis, palygintas su skirtingomis visumomis. Vardiklis 4 dalybos užduotyje nurodo žmonių skaičių, o vieno kepalo dalių modelyje atitinka keturias lygias kepalo dalis. Šį ryšį paaiškina dalijimas po lygiai; skaitiklis ir vardiklis nėra du nesusiję skaičiai.

Nuo nulio skaičiuokite vienodo ilgio intervalus

Skaičių tiesėje pirmiausia pasirinkite nulį, teigiamą kryptį ir atstumą nuo 0 iki 1. Šis atstumas yra vienas skaitinis vienetas. Norėdami pažymėti 3/4, intervalą nuo 0 iki 1 padalykite į keturis vienodo ilgio intervalus ir nuo nulio pereikite tris tokius intervalus į dešinę. Pasiektas taškas yra 3/4. Įskaitant abu galus, ribas žymi penki brūkšneliai, tačiau intervalų yra keturi: vardiklis nurodo intervalų skaičių viename vienete, o ne visų brūkšnelių skaičių.

Trupmenos yra skaičiai ir tada, kai nėra nuspalvintos figūros ar daiktų rinkinio. Taškas 3/4 gali žymėti patį skaičių arba, pridėjus matavimo vienetą, matavimą, pavyzdžiui, 3/4 m. Tarp sveikųjų skaičių žymų išlaikykite vienodus atstumus. Tęsdami už 1, kiekvieną kitą vienetinį intervalą dalykite į tokio paties dydžio trupmeninius intervalus; didesnis skaitiklis neturi sumažinti vieneto.

Keiskite dalies dydį ir dalių skaičių

Interaktyviame įrankyje kiekviena pilna juosta žymi vieną vienetą. Pasirinkite skaitiklį nuo 0 iki 8 ir vardiklį nuo 2 iki 8. Vardiklis kiekvieną juostą padalija į lygias dalis, o skaitiklis nurodo pasirinktų dalių skaičių visose juostose. Skaičių tiesės mastelis nuo 0 iki 4 nesikeičia. Pradėkite nuo 3/4: raskite tris pasirinktus ketvirtadalius ir tašką tarp 0 ir 1. Tada išbandykite 0/4, 4/4 ir 7/4. Pasakykite, kiek sveikų vienetų ir likusių ketvirtadalių sudaro kiekvieną reikšmę.

Palikite vardiklį 4 ir keiskite tik skaitiklį: kiekviena papildoma dalis tašką perkelia per 1/4. Tada palyginkite 3/4 su 3/8, išlaikydami skaitiklį 3. Toks pats mažesnių dalių skaičius duoda mažesnę reikšmę. Galiausiai palyginkite 3/4 su 6/8: pasikeičia ir dalių skaičius, ir jų dydis, tačiau pasirinktas kiekis bei taškas skaičių tiesėje sutampa. Šis įrankis rodo neneigiamas reikšmes iki 4; pati skaičių tiesė tęsiasi į abi puses.

Trupmena gali pasiekti arba viršyti vienetą

Trupmena nebūtinai yra mažesnė už vienetą. Septyniems ketvirtadaliams reikia daugiau nei vienos visumos: keturi ketvirtadaliai sudaro pirmą vienetą, o dar trys lieka. Taigi 7/4 = 1 + 3/4. Tai galima užrašyti mišriuoju skaičiumi 1 3/4, skaitomu „vienas ir trys ketvirtadaliai“. Čia tarpas žymi sveikosios ir trupmeninės dalių sudėtį; jis nereiškia 1 × 3/4.

Kai skaitiklis neneigiamas, o vardiklis teigiamas, a/b yra mažesnė už vienetą, jei a < b, lygi vienetui, jei a = b, ir didesnė už vienetą, jei a > b. Teigiama trupmena, kurios skaitiklis mažesnis už vardiklį, vadinama taisyklingąja trupmena, o trupmena, kurios skaitiklis ne mažesnis už vardiklį, – netaisyklingąja. „Netaisyklingoji“ yra sutartinis pavadinimas, o ne klaida. Pavyzdžiui, 8/4 = 2 yra sveikasis skaičius, užrašytas trupmena, o 7/4 yra tarp 1 ir 2.

Neigiama trupmena žymi priešingą skaičių

Skaičiui 3/4 priešingas skaičius yra −3/4. Jis yra per tris ketvirtadalio ilgio intervalus į kairę nuo nulio, tokiu pačiu atstumu nuo nulio kaip 3/4. Ženklas gali nusakyti pokytį arba padėtį: −3/4 m pokytis gali reikšti poslinkį per tris ketvirtadalius metro pasirinkta neigiama kryptimi. Tai nereiškia neigiamo nuspalvinto ploto ar neigiamo fizinio ilgio.

Dalybos ženklų taisyklės galioja ir čia: (−3)/4 = 3/(−4) = −3/4, o (−3)/(−4) = 3/4. Teigiamas vardiklis padeda aiškiau perskaityti vienetinės dalies prasmę; ženklą paliekame skaitiklyje arba prieš trupmeną. Nulis lieka nuliu, todėl (−0)/4 = 0/4 = 0. Trupmena su nuliniu vardikliu lieka neapibrėžta, kad ir koks būtų skaitiklio ženklas.

Lyginkite ir dalies dydį, ir dalių skaičių

Tos pačios visumos ketvirtadalis yra mažesnis už pusę: kuo daugiau lygių dalių sudaro visumą, tuo kiekviena dalis mažesnė. Tas pats samprotavimas tinka, kai teigiamas skaitiklis nesikeičia. Trys aštuntadaliai yra mažesni už tris ketvirtadalius, nes imame tris mažesnes dalis: 3/8 < 3/4. Jei teigiamas vardiklis didėja, o teigiamas skaitiklis lieka tas pats, skaitinė reikšmė mažėja. Kai skaitiklis yra nulis, bet kuris leistinas vardiklis vis tiek duoda nulį.

Kai teigiamas vardiklis vienodas, didesnis skaitiklis reiškia daugiau tokio paties dydžio dalių: 2/5 < 4/5. Trupmenomis nusakydami fizinius kiekius taip pat palyginkite visumas. Pusė 20 cm juostelės yra 10 cm, o ketvirtadalis 60 cm juostelės yra 15 cm. Nors skaičių prasme 1/2 > 1/4, antrasis gabalėlis ilgesnis, nes jo juostelė didesnė. Trupmenoms, kurių skaitikliai ir vardikliai abu skiriasi, palyginti reikia papildomų būdų; juos nagrinėsime toliau.

Skirtingas padalijimas gali žymėti tą pačią reikšmę

Paimkite tris ketvirtadalius tos pačios juostos. Dabar kiekvieną ketvirtadalį padalykite į dvi lygias dalis, nekeisdami juostos ar pasirinkto kiekio. Visumą sudaro aštuoni aštuntadaliai, o pasirinktą plotą – šeši. Todėl 3/4 = 6/8. Tai lygios trupmenos: skirtingi trupmenų užrašai, reiškiantys tą patį skaičių ir žymintys tą patį tašką skaičių tiesėje.

Abu dalių skaičiai pasikeitė, nes kiekviena pradinė dalis buvo padalyta pusiau. Pakeitus vien skaitiklį ir gavus 6/4, pasirinktas kiekis padvigubėtų; pakeitus vien vardiklį ir gavus 3/8, jis sumažėtų perpus. Lygybei reikia išsaugoti reikšmę. Šis pastebėjimas paruošia trupmenų prastinimui ir bendro vardiklio paieškai; bendrąsias taisykles bei skaičiavimus nagrinėsime kitoje pamokoje.

Patikrinkite, ką atsakymas sako apie pradinę užduotį

Užduokite keturis klausimus: kas yra visuma arba vienetas? Ar dalys lygios pagal nagrinėjamą dydį? Kiek tokių dalių skaičiuoja skaitiklis? Kur reikšmė turi būti nulio, vieneto ir kitų sveikųjų skaičių atžvilgiu? Brėžinys, dalijimo po lygiai paaiškinimas ir taškas skaičių tiesėje gali padėti patikrinti vienas kitą. Jei atsakymas yra matavimas arba fizinis kiekis, nurodykite jo vienetą.

Atskirkite sveikąjį dalmenį su liekana nuo tikslaus trupmeninio dalmens. Dalijant septynis vienodo dydžio kepalus keturiems žmonėms, iš pradžių kiekvienas gauna po sveiką kepalą ir lieka trys kepalai. Padalijus likusius tris, kiekvienas dar gauna 3/4 kepalo, todėl 7 ÷ 4 = 7/4 = 1 3/4. Jei dalijami septyni nedalomi bilietai, tinkamas praktinis atsakymas gali būti po vieną bilietą kiekvienam ir trys likę bilietai. Tiek skaičiavimas, tiek leistinas veiksmas turi atitikti klausimą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. 12 cm juostelė sukarpyta į 1 cm, 2 cm, 3 cm ir 6 cm gabalėlius. Ar visi keturi gabalėliai yra juostelės ketvirtadaliai? Kas yra visuma ir kas turi būti lygu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Visuma yra 12 cm juostelė, o kiekvieno ketvirtadalio ilgis turi būti 3 cm.

   Keturi gabalėliai dar nereiškia keturių lygių dalių. Nagrinėjamas dydis yra ilgis. Tik 3 cm gabalėlis sudaro šios juostelės ketvirtadalį. Nagrinėjant ploto trupmenas, reikėtų vienodų plotų, net jei dalių formos skirtųsi.

2. Paaiškinkite 5/8 vienetinės trupmenos dalimis. Kuris skaičius yra skaitiklis, kuris – vardiklis? Raskite 0/8, 8/8 ir 5/1. Ar 5/0 čia galima laikyti skaitine trupmena?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Penkios dalys po 1/8; skaitiklis 5, vardiklis 8. Reikšmės yra 0, 1 ir 5. Vardiklis 0 neleistinas.

   Vardiklis nurodo, kad aštuoni lygūs aštuntadaliai sudaro vieną vienetą, o skaitiklis skaičiuoja penkias tokias dalis. Nulis dalių duoda nulį, aštuonios – visumą, o 1/1 dydžio dalis yra visas vienetas. Trupmenos brūkšnys reiškia dalybą, todėl 5/0 reikėtų neapibrėžtos dalybos iš nulio.

3. Raskite 2/3 penkiolikos karoliukų rinkinio pagal daiktų skaičių. Ar tris nedalomus bilietus galima po lygiai padalyti dviem žmonėms sveikais bilietais? Ar skaičius 3/2 vis tiek apibrėžtas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   10 karoliukų. Trys nedalomi bilietai negali sudaryti dviejų lygių sveikų bilietų dalių, tačiau 3/2 yra apibrėžtas skaičius.

   Padalijus penkiolika karoliukų į tris lygias grupes, kiekvienoje yra penki; dviejose grupėse – dešimt. Skaitine prasme 3 ÷ 2 = 3/2, tačiau pusantro bilieto neatitinka sąlygos, kad bilietai turi likti sveiki. Kontekstas riboja paskirstymą, o ne trupmeninio skaičiaus egzistavimą.

4. Penki vienodo dydžio kepalai po lygiai dalijami šešiems žmonėms; pjaustyti leidžiama. Kiek kiekvienas gauna, matuojant vieno kepalo vienetais, ir kokią visų kepalų dalį tai sudaro? Kodėl trupmenų užrašai skiriasi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kiekvienas gauna 5/6 kepalo, tai yra 1/6 visų penkių kepalų kartu.

   Kiekvieną kepalą supjaustykite į šešias lygias dalis ir kiekvienam žmogui duokite po vieną dalį iš kiekvieno kepalo: penkis šeštadalius kepalo. Visi kepalai kartu taip pat padalyti į šešias lygias porcijas. Vienas kepalas ir penki kepalai kartu yra skirtingos visumos, todėl 5/6 ir 1/6 nusako tą patį fizinį kiekį skirtingų visumų atžvilgiu.

5. Intervalo nuo 0 iki 1 ribas, įskaitant abu galus, žymi penki brūkšneliai; tarp jų yra keturi vienodi tarpai. Kokia trupmena yra ties trečiu žingsniu nuo nulio? Kur yra 9/4 ir kaip ją užrašyti mišriuoju skaičiumi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ties trečiu žingsniu yra 3/4. 9/4 = 2 + 1/4 = 2 1/4, tarp 2 ir 3.

   Keturi vienodi intervalai sudaro vienetą, todėl kiekvieno žingsnio dydis yra 1/4. Trupmenai 9/4 aštuoni ketvirtadalio žingsniai duoda du sveikus vienetus, o tada reikia dar vieno ketvirtadalio žingsnio. Penki ribų brūkšneliai nereiškia penkių lygių dalių.

6. Nusakykite −3/4 padėtį skaičių −1 ir 0 atžvilgiu. Užrašykite 3/(−4) ir (−3)/(−4) su teigiamais vardikliais. Ką skaičių tiesėje nusako ženklas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   −1 < −3/4 < 0. Nauji užrašai yra −3/4 ir 3/4. Neigiamas ženklas nurodo padėtį į kairę nuo nulio.

   Taškas −3/4 yra per tris ketvirtadalio vieneto žingsnius į kairę nuo nulio, 3/4 atstumu nuo jo. Jei tik vienas iš dalybos skaičių neigiamas, dalmuo neigiamas; kai abu neigiami, dalmuo teigiamas. Ženklas nusako kryptį arba skaitinę padėtį, o ne neigiamą fizinį dydį.

7. Tai pačiai visumai kuri trupmena didesnė: 3/4 ar 3/8? Kodėl 6/8 lygu 3/4? Ar pusė 20 cm juostelės ilgesnė už ketvirtadalį 60 cm juostelės?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   3/4 yra didesnė už 3/8; 6/8 = 3/4. Juostelių dalių ilgiai yra 10 cm ir 15 cm, todėl ilgesnės juostelės ketvirtadalis yra ilgesnis.

   Tos pačios visumos trys ketvirtadaliai didesni už tris aštuntadalius. Kiekvieną iš trijų pasirinktų ketvirtadalių padaliję pusiau, gauname šešis aštuntadalius ir išlaikome tą patį kiekį; tai paaiškina lygybę. Trupmenos, pritaikytos skirtingoms visumoms, gali duoti kiekius, kurių dydžių tvarka skiriasi nuo pačių trupmenų skaitinių reikšmių tvarkos.

Ką verta įsidėmėti

• Įvardykite visumą arba matavimo vienetą. Lygios trupmeninės dalys turi būti lygios pagal užduotyje nagrinėjamą dydį.
• Kai vardiklis b teigiamas, 1/b nusako vieną trupmeninę dalį; neneigiamas skaitiklis a skaičiuoja a tokių dalių. Vardiklis negali būti nulis.
• Trupmena gali reikšti visumos dalį, rinkinio dalį, dalybos rezultatą arba tašką skaičių tiesėje.
• Trupmenos apima nulį, reikšmes ties vienetu ir už jo bei neigiamas reikšmes. Mišrusis skaičius sudeda sveikąją ir trupmeninę dalis.
• Lyginkite dalių skaičių ir jų dydį, išlaikydami aiškią vieneto prasmę. Lygios trupmenos žymi tą pačią reikšmę, nors jų skaitikliai ir vardikliai skiriasi.