Neigiamieji skaičiai ir modulis

Ką reiškia reikšmė žemiau nulio?

Ryte termometras rodo −3 °C, o vėliau – 4 °C. Kaip pirmasis rodmuo gali būti žemiau nulio ir kiek laipsnių skiria šiuos rodmenis? Minuso ženklas pasako, kad pirmoji temperatūra yra trimis laipsniais žemiau 0 °C. Nulis yra šios skalės atskaitos taškas; jis nereiškia, kad temperatūros nėra.

Matuojant aukštį vietą trimis metrais žemiau pasirinkto atskaitos lygio galima žymėti −3 m, o keturiais metrais aukščiau – +4 m. Nurodykite atskaitos lygį, teigiamą kryptį ir vienetą. Neigiamoji reikšmė aprašo vietą ar dydį konkrečiomis sąlygomis. Ji savaime nereiškia, kad kas nors yra bloga, dingę ar neįmanoma.

Pratęskite tiesę sveikaisiais skaičiais

Abiejose nulio pusėse išlaikykite vienodus vieneto ilgio tarpus. Į kairę nuo nulio eina −1, −2, −3 ir toliau, o į dešinę – 1, 2, 3 ir toliau. Šie teigiamieji skaičiai, jiems priešingi neigiamieji skaičiai ir nulis vadinami sveikaisiais skaičiais: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …. Tiesė tęsiasi į abi puses ir už matomos jos dalies.

−3 perskaitykite „minus trys“. Teigiamąjį skaičių 3 taip pat galima rašyti +3. Nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas. Norėdami rasti −3, nuo nulio suskaičiuokite tris vieneto ilgio tarpus į kairę; trys tarpai į dešinę nuveda iki +3. Pirmiausia perskaitykite mastelį: vienas matomas tarpas nebūtinai reiškia vieną vienetą.

Minuso ženklas gali atlikti skirtingus vaidmenis

Užraše −3 minusas yra skaičiaus ženklas: jis nurodo, kurioje nulio pusėje skaičius yra. Užraše 5 − 3 minusas tarp dviejų skaičių reiškia atimtį. Sakydami „iš penkių atimti tris“ nusakote veiksmą, o sakydami „minus trys“ įvardijate skaičių.

Užraše 5 − (−3) pirmasis minusas reiškia atimties veiksmą, o antrasis žymi neigiamąjį skaičių, kurį atimame. Skliaustai padeda šiuos vaidmenis atskirti. Perskaitykite: „iš penkių atimti minus tris“. Prieš skaičiuodami išsiaiškinkite kiekvieno ženklo vaidmenį; du minusai reiškinyje nėra dvi vienodos komandos.

Priešingąjį skaičių raskite atspindėdami nulio atžvilgiu

Skaičiai −4 ir 4 yra priešingieji. Abu nuo nulio nutolę keturiais vienetais, tačiau yra skirtingose jo pusėse. Įsivaizduokite, kad tašką ties −4 atspindite nulio atžvilgiu: jis atsiduria ties 4. Pakartoję atspindį grįžtate į −4. Priešingųjų skaičių atstumai iki nulio lygūs, o nenulinių skaičių ženklai skirtingi.

Nuliui priešingas skaičius yra nulis: atspindėtas atskaitos taškas lieka savo vietoje. Priešingieji skaičiai nėra tas pats, kas gretimi sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, −4 ir −3 yra gretimi, juos skiria vienas vienetas, bet jie nėra priešingieji. Pridėtas priešingas pokytis panaikina pradinį: keturių vienetų žingsnis į kairę ir keturių vienetų žingsnis į dešinę grąžina į pradžios vietą.

Palyginkite ir neigiamųjų skaičių vietas

Į dešinę skaičių reikšmės ir toliau didėja. Todėl −8 < −3: minus aštuoni yra kairiau už minus tris. Sukeitę užrašymo tvarką gauname −3 > −8. Kiekvienas neigiamasis sveikasis skaičius yra kairiau už nulį, todėl mažesnis už nulį ir už kiekvieną teigiamąjį sveikąjį skaičių.

Pagal Celsijaus skalę −3 °C yra šilčiau negu −8 °C. Žiūrėdami tik į skaitmenis aštuonis ir tris praleistumėte ženklus ir palygintumėte klaidingai. Skaičius gali būti toliau nuo nulio, bet jo reikšmė nebūtinai didesnė. Prieš pasirinkdami < ar >, nuspręskite, ar lyginate skaičių reikšmes, ar atstumus.

Modulis nusako atstumą iki nulio

Skaičiaus modulis yra jo atstumas iki nulio skaičių tiesėje. Modulį žymime dviem vertikaliais brūkšniais: |−4| = 4 ir |4| = 4. Abu taškai nuo nulio nutolę keturiais vienetais. Taip pat |0| = 0, nes nulis jau yra atskaitos pradžioje. Modulis niekada nebūna neigiamas; jis gali būti lygus nuliui.

Aiškiai įvardykite, ką lyginate. Skaičių reikšmėms galioja −8 < −3, tačiau jų moduliai yra 8 ir 3, todėl |−8| > |−3|. Modulis nusako, kiek taškas nutolęs nuo nulio, bet nepasako, kurioje pusėje jis yra. Žinodami tik tai, kad modulis lygus keturiems, neatskirsite −4 nuo 4.

Atskirkite atstumą iki nulio nuo atstumo tarp taškų

Veikloje nustatykite A = −3 ir B = 4. Numatykite kiekvieno skaičiaus modulį ir palyginkite skaičių reikšmes, tada patikrinkite vietas bei atstumų žymas. Nuo −3 iki nulio yra trys vienetai, o nuo nulio iki 4 – keturi. Kartu tai septyni vieneto ilgio tarpai tarp −3 ir 4. Skaičiuokite tarpus: nuo −3 iki −2, paskui iki −1, 0, 1, 2, 3 ir 4.

Atstumas tarp taškų abiem kryptimis yra septyni vienetai. Jis nėra vien |−3| ar vien |4|: šie moduliai nusako atstumus iki nulio. Pasirinkite pavyzdį su abiem taškais ties −3; atstumas tarp jų yra nulis, nors kiekvienas nuo nulio nutolęs trimis vienetais. Skaitinį atstumą nusako tiesės vienetas, o ne piešinio plotis.

Atspindžio mygtuku nustatykite B reikšmę, priešingą A reikšmei. Išbandykite A = −4: B tampa 4, jų moduliai sutampa, o atstumas tarp jų yra aštuoni vienetai. Kai A = 0, atspindėjus gaunama B = 0. Pasirinkę pavyzdį su −8 ir −3 suskaičiuokite penkis vieneto ilgio tarpus tarp jų. Modulių suma yra vienuolika, tačiau tai nėra atstumas tarp šių taškų: abu yra toje pačioje nulio pusėje. Čia galite rinktis sveikuosius skaičius nuo −10 iki 10; šios rodymo ribos nėra skaičių tiesės galai.

Sudėtį vaizduokite kaip pokytį su kryptimi

Vaizduodami sudėtį pradėkite ties pirmuoju skaičiumi. Pridėdami teigiamąjį sveikąjį skaičių judėkite į dešinę tiek vienetų, kiek jis nurodo. Pridėdami neigiamąjį – į kairę tiek vienetų, kiek yra jo modulis. Taigi −3 + 4 = 1: nuo −3 ženkite keturis vieneto ilgio žingsnius į dešinę. Taip pat 4 + (−3) = 1: nuo 4 ženkite tris žingsnius į kairę.

Sudėtis ne visada padidina reikšmę. Skaičiuodami −3 + (−2), nuo −3 judėkite dviem vienetais į kairę ir pasieksite −5. Pridėjus nulį pradžios vieta nesikeičia. Vieta tiesėje ir pokytis su kryptimi yra skirtingi skaičiaus vaidmenys. Įvardykite pradinę reikšmę, pokytį ir gautą reikšmę.

Atimdami apsukite nurodyto pokyčio kryptį

Atimti skaičių reiškia tą patį, kas pridėti jam priešingąjį. Skaičiuodami 4 − 3, nuo 4 judėkite trimis vienetais į kairę ir pasieksite 1. Skaičiuodami 4 − (−3), apsukite trijų vienetų pokytį į kairę: nuo 4 judėkite trimis vienetais į dešinę ir pasieksite 7. Čia rezultatas padidėja, nes atimamas skaičius yra neigiamas.

Atimtį patikrinkite prie rezultato pridėdami atimtą skaičių: 7 + (−3) = 4. Atsakymas gali būti ir neigiamas: −2 − 3 = −5, o patikrinimas yra −5 + 3 = −2. Paaiškinkite kryptį, užuot vien kartoję šūkį apie ženklus. Daugybai ir dalybai su neigiamaisiais skaičiais reikia atskiro paaiškinimo; jas nagrinėsime vėliau.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Taškas yra šešiais metrais žemiau pažymėto atskaitos lygio. Kryptis aukštyn laikoma teigiama. Užrašykite aukštį su ženklu ir paaiškinkite ženklą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   −6 m pažymėto atskaitos lygio atžvilgiu.

   Minusas nurodo, kad taškas yra žemiau pasirinkto nulio, o metrai nusako vienetą. Šeši metrai yra taško atstumas iki atskaitos lygio.

2. Išrikiuokite −8, 2, −3 ir 0 didėjimo tvarka. Kuris iš dviejų neigiamųjų skaičių didesnis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   −8 < −3 < 0 < 2. Iš neigiamųjų skaičių didesnis yra −3.

   Vietas perskaitykite iš kairės į dešinę. −3 yra dešiniau už −8, nors jo atstumas iki nulio mažesnis.

3. Raskite skaičiui −6 priešingąjį skaičių ir jo modulį. Tada raskite nuliui priešingąjį skaičių ir nulio modulį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Skaičiaus −6 priešingasis yra 6, modulis – 6. Nulio priešingasis yra 0, modulis – 0.

   Atspindėjus −6 nulio atžvilgiu gaunamas 6, o nulis lieka vietoje. Modulis yra atstumas iki nulio, todėl nulio atveju gauname nulį, o ne teigiamąjį skaičių.

4. Įrašykite palyginimo ženklus: −7 __ −2 ir |−7| __ |−2|. Paaiškinkite, kodėl ženklai skiriasi.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   −7 < −2, tačiau |−7| > |−2|.

   −7 yra kairiau, todėl jo reikšmė mažesnė. Tačiau iki nulio yra septyni vienetai – daugiau negu du vienetai nuo −2 iki nulio.

5. Koks atstumas tarp −2 ir 3 tiesėje su vieneto ilgio tarpais? O jeigu abu taškai yra ties −2?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tarp −2 ir 3 yra penki vienetai. Tarp dviejų taškų ties −2 atstumas lygus nuliui.

   Iki nulio suskaičiuokite du tarpus ir dar tris iki 3. Sutampančių taškų neskiria joks tarpas, nors kiekvieno modulio reikšmė yra du.

6. Apskaičiuokite −2 + 5, −2 + (−3), −2 − 3 ir −2 − (−3). Paskutinį atsakymą patikrinkite sudėtimi.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai 3, −5, −5 ir 1. Patikrinimas: 1 + (−3) = −2.

   Pridėdami 5 judame penkiais vienetais į dešinę. Pridėdami −3 arba atimdami 3 judame trimis vienetais į kairę. Atimdami −3 šio pokyčio kryptį apsukame: trimis vienetais į dešinę pasiekiame 1. Pridėję atimtą skaičių −3 grįžtame į −2.

Ką verta įsidėmėti

• Neigiamajai reikšmei reikia prasmės: aprašydami situaciją nurodykite atskaitos pradžią, kryptį ir vienetą.
• Sveikieji skaičiai pratęsia tiesę į abi puses. Į dešinę reikšmės didėja, o nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas.
• Priešingieji skaičiai gaunami atspindint nulio atžvilgiu. Modulis nusako atstumą iki nulio ir visada yra neneigiamas, taip pat |0| = 0.
• Skaičių reikšmes ir jų modulius lyginkite atskirai. Atstumą tarp taškų raskite skaičiuodami vieneto ilgio tarpus.
• Sudėtis atitinka pokytį su kryptimi, o atimtis jo kryptį apsuka. Atimtį patikrinkite prie rezultato pridėdami atimtą skaičių.