Veiksmų tvarka ir aritmetikos savybės

Pradėkite nuo kartojamų pokyčių ir paaiškinkite ženklus

Du pokyčiai po −3 duoda −3 + (−3) = −6, todėl (−3) × 2 = −6. Sukeitę dauginamuosius vietomis gauname tą pačią sandaugą: 2 × (−3) = −6. Teigiamojo ir neigiamojo skaičiaus sandauga abiem tvarkomis yra neigiama. Teigiamą sveikąjį pokyčių skaičių galime vaizduoti tiesiogiai, tačiau neigiamas kartojimų skaičius jau nebetelpa į tiesioginį kartojimo vaizdą.

Išlaikykime daugybos ryšį su sumos išskaidymu į dalis. Kadangi 2 + (−2) = 0, visą šią sumą padauginę iš −3 gauname nulį. Atskirai padaugintos dalys taip pat turi duoti nulį: (−3) × 2 + (−3) × (−2) = 0. Pirmoji sandauga yra −6, todėl antroji turi būti 6, kad jos viena kitą panaikintų. Taigi (−3) × (−2) = 6. Čia naudojamės daugybos skirstomumo savybe, kurią toliau nagrinėsime plačiau.

Dviejų nenulinių skaičių sandauga yra teigiama, kai jų ženklai vienodi, ir neigiama, kai ženklai skirtingi. Pirmiausia padauginkite modulius, tada nustatykite ženklą. Jei bent vienas dauginamasis yra nulis, sandauga lygi nuliui: (−3) × 0 = 0. Nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas. Daugyba iš −1 duoda kitam dauginamajam priešingą skaičių.

Dalmenį raskite klausdami, kuri sandauga grąžina pradinį skaičių

Skaičiuodami 12 ÷ (−3), klauskite: kurį skaičių padauginę iš −3 gausime 12? Atsakymas yra −4, nes (−4) × (−3) = 12. Reiškinio (−12) ÷ (−3) reikšmė yra 4, nes 4 × (−3) = −12. Dalyba iš nenulinio skaičiaus panaikina daugybos iš to skaičiaus poveikį. Patikrinkite, ar dalmuo, padaugintas iš daliklio, duoda dalinį.

Kai nenulinio dalinio ir nenulinio daliklio ženklai vienodi, dalmuo yra teigiamas; kai skirtingi – neigiamas. Nulinį dalinį nagrinėjame atskirai: 0 ÷ (−3) = 0, nes 0 × (−3) = 0. Įprastoje aritmetikoje dalyba iš nulio neapibrėžta. Skaičiuojant 12 ÷ 0, nėra skaičiaus, kurį padauginę iš nulio gautume 12. Skaičiuojant 0 ÷ 0, bet kurio skaičiaus sandauga su nuliu lygi nuliui, todėl taip negalime išrinkti vienintelio dalmens. Nė vienas iš šių atvejų dalmens neapibrėžia.

Skliaustais parodykite, kas sudaro vieną grupę

Tarkime, turite šešis atskirus akmenukus ir tris grupes po keturis akmenukus. Bendrą skaičių aprašo 6 + 3 × 4. Grupėse yra dvylika akmenukų, o pridėję šešis atskirus gauname aštuoniolika. Jei turėtume keturias grupes, kiekvienoje po šešis akmenukus ir dar po tris, bendrą skaičių aprašytų (6 + 3) × 4 ir gautume trisdešimt šešis. Skaičiai tie patys, bet išdėstymas kitoks.

Skliaustai nurodo, kad jų viduje esantį reiškinį laikome vienu dydžiu. Reiškinyje (6 + 3) × 4 sudėkite skliaustų viduje, tada dauginkite. Reiškinyje 6 + 3 × 4 pagal įprastą susitarimą daugyba atliekama anksčiau negu sudėtis. Skliaustus rašykite, kai reikia kitokio grupavimo arba norite aiškiai parodyti numatytą grupę. Jei skliaustų viduje yra kiti skliaustai, pradėkite nuo vidinės grupės.

Veiksmų tvarką skaitykite pagal pirmumą

Teigiamas sveikasis skaičius, užrašytas mažesniu šriftu viršuje, gali nurodyti kartojamą daugybą: 2³ reiškia 2 × 2 × 2, tai yra 8. Čia 2 yra laipsnio pagrindas, o 3 – laipsnio rodiklis. Šioje pamokoje pakanka šios paprastos reikšmės. Skaičiuodami pirmiausia sutvarkykite skliaustais sugrupuotus reiškinius, jų viduje laikydamiesi tų pačių taisyklių. Tada atlikite kėlimą laipsniu, daugybą ir dalybą, o galiausiai sudėtį ir atimtį.

Daugybos ir dalybos pirmumas vienodas. Vienoje nesugrupuotų veiksmų grandinėje juos atlikite iš kairės į dešinę: 24 ÷ 6 × 2 = 4 × 2 = 8. Pirmiau atlikę 6 × 2, nepastebimai pakeistumėte reiškinį į 24 ÷ (6 × 2). Sudėties ir atimties pirmumas taip pat vienodas: 12 − 5 + 2 = 7 + 2 = 9. Pirmiau atlikę 5 + 2, pakeistumėte reiškinį į 12 − (5 + 2). Prieš rinkdamiesi trumpesnį skaičiavimą, perskaitykite užrašytą sandarą.

Pasirinkite ir paaiškinkite kitą veiksmą

Veikloje pasirinkite nagrinėjamą reiškinį ir nurodykite kitą jo veiksmą. Prieš pasirinkdami raskite skliaustus ir nustatykite, kurių likusių veiksmų pirmumas didžiausias. Reiškinyje 6 + 3 × 4 pirmiausia dauginkite 3 × 4. Reiškinyje (6 + 3) × 4 pirmiausia sudėkite skliaustų viduje. Paaiškinkite, kodėl ta pati sudėtis viename reiškinyje atliekama iš karto, o kitame turi palaukti.

Išbandykite 24 ÷ 6 × 2 ir 12 − 5 + 2. Vienoje nesugrupuotų vienodo pirmumo veiksmų grandinėje pradėkite nuo kairėje esančio veiksmo. Jei pasirinkimas neteisingas, perskaitykite paaiškinimą ir bandykite dar kartą. Kiekvienas žingsnis pakeičia tik pasirinktą dalį jos reikšme, o likusį reiškinį išsaugo. Tęskite, kol liks viena reikšmė. Mokykitės skaityti pavyzdžių sandarą, o ne spėti atsakymą vien iš skaičių.

Patikrinkite, kuris skaičius keliamas laipsniu

Skaičiuodami 2³, padauginkite tris dauginamuosius, lygius 2; nedauginkite 2 iš 3. Reiškinyje 5 + 2³ × 3 pirmiausia gaunate laipsnio reikšmę 8, tada 8 × 3 = 24, o pridėję 5 gaunate 29. Laipsnio rodiklis taikomas jo pagrindui, o ne visiems anksčiau parašytiems skaičiams.

Palyginkite −3² ir (−3)². Pagal įprastą susitarimą −3² reiškia skaičiui 3² priešingą skaičių: −(3 × 3) = −9. Reiškinyje (−3)² dėl skliaustų visas neigiamasis skaičius yra laipsnio pagrindas, todėl (−3) × (−3) = 9. Kai ženklas turi priklausyti laipsnio pagrindui, tai parodykite skliaustais. Pradžioje esantis minusas ir kėlimas laipsniu atlieka skirtingus vaidmenis; prieš skaičiuodami nustatykite, kuriai daliai taikomas kiekvienas iš jų.

Nepriklausomas dalis galima apskaičiuoti bet kuria tvarka. Reiškinyje −3² + (−3)² galite pradėti nuo bet kurio kvadrato, tačiau sudėtis laukia abiejų reikšmių: −9 + 9 = 0. Taip nekeičiate susietos daugybos ir dalybos ar sudėties ir atimties grandinės grupavimo. Renkatės iš dviejų atskirų dalių, kurių kiekviena išlaiko savo sandarą.

Sukeiskite arba pergrupuokite, kai tai leidžia savybė

Sudėję 8 ir 2 gauname tą pačią sumą, kaip sudėję 2 ir 8. Padauginę 3 iš 4 gauname tą pačią sandaugą, kaip padauginę 4 iš 3. Tai sudėties ir daugybos perstatomumo savybės: a + b = b + a ir a × b = b × a. Raidės reiškia skaičius. Atimčiai ir dalybai šios savybės negalioja: 8 − 2 = 6, bet 2 − 8 = −6; 8 ÷ 2 = 4, bet 2 ÷ 8 nėra lygu 4.

Gali padėti ir grupavimas. Perrašykite 7 + (3 + 8) kaip (7 + 3) + 8, kad pirmiausia gautumėte dešimt. Perrašykite 4 × (25 × 3) kaip (4 × 25) × 3, kad pirmiausia gautumėte šimtą. Jungiamumo savybės sako, kad (a + b) + c = a + (b + c) ir (a × b) × c = a × (b × c). Keičiasi grupavimas, bet patys dėmenys ar dauginamieji išlieka. Atimčiai ir dalybai jungiamumo savybė negalioja: (12 − 5) − 2 = 5, bet 12 − (5 − 2) = 9; (24 ÷ 6) ÷ 2 = 2, bet 24 ÷ (6 ÷ 2) = 8.

Išskaidę sumą padauginkite kiekvieną jos dalį

Keturiuose maišeliuose yra po dešimt mėlynų ir po du baltus akmenukus. Visus galite suskaičiuoti pagal 4 × (10 + 2), arba mėlynus ir baltus skaičiuoti atskirai pagal 4 × 10 + 4 × 2. Abiem būdais gaunate 48. Dauginamasis keturi taikomas kiekvienai daliai, o ne tik pirmajai. Tai daugybos skirstomumo savybė: a × (b + c) = a × b + a × c. Ji galioja ir atimčiai: a × (b − c) = a × b − a × c.

Daugindami išlaikykite dalių ženklus. Reiškinyje (−2) × (5 − 3) apskaičiavę skliaustų vidų gauname (−2) × 2 = −4. Taikydami skirstomumą gauname (−2) × 5 − (−2) × 3 = −10 − (−6) = −4. Minusas prieš grupę nurodo jai priešingą skaičių, tai yra visos grupės daugybą iš −1: −(5 − 3) = −5 + 3 = −2. Reiškinyje −(5 + 3) abu dėmenys pakeičiami priešingaisiais ir gauname −5 − 3 = −8.

Išlaikykite kiekvienos lygybės teisingumą

Lygybės ženklas sako, kad abiejų pusių reikšmės vienodos. Rašykite 6 + 3 × 4 = 6 + 12 = 18. Visi šios grandinės reiškiniai reiškia aštuoniolika. Jei norite užrašyti tik daugybą, rašykite ją atskirai: 3 × 4 = 12. Nerašykite 6 + 3 × 4 = 12 ketindami vėliau pridėti + 6: pirmoji lygybė jau būtų neteisinga.

Po kiekvieno žingsnio perrašykite visą likusį reiškinį, išlaikydami dar nepanaudotus skaičius ir ženklus. Trumpesnis skaičiavimas pagrįstas tada, kai naują reiškinį pateisina savybė. Pavyzdžiui, 19 × 4 = (20 − 1) × 4 = 20 × 4 − 1 × 4 = 76. Pakeitėte užrašo formą, bet išlaikėte reikšmę; pats klausimas nepasikeitė.

Patikrinkite reikšmę, sandarą ir prasmę

Šešiems atskiriems akmenukams ir trims grupėms po keturis atsakymas aštuoniolika prasmingas: grupėse jau yra dvylika, o dar šeši duoda aštuoniolika. Trisdešimt šeši aprašytų kitokį grupavimą. Apytikris dydžio patikrinimas gali padėti rasti klaidą, tačiau nebūtinai atskirs kiekvieną neteisingą atsakymą. Grįžkite prie pradinių žodžių ar piešinio ir paklauskite, ar reiškinys juos tinkamai aprašė.

Sandaugą tikrinkite dalydami iš nenulinio dauginamojo, o dalmenį – daugindami iš nenulinio daliklio. Lygybę (−3) × 4 = −12 patikrina (−12) ÷ 4 = −3. Lygybę (−12) ÷ (−3) = 4 patikrina 4 × (−3) = −12. Reiškinį, kuriame taikėte skirstomumą, galite apskaičiuoti ir pagal pradinį grupavimą. Šie patikrinimai vienas kitą papildo: skaičiuotuvas gali patikrinti aritmetiką, bet įvedę netinkamą grupavimą vis tiek atsakysite į kitą klausimą.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Apskaičiuokite 7 + 2 × 5 ir (7 + 2) × 5. Kuris veiksmas kiekvienu atveju atliekamas pirmiausia?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai 17 ir 45. Pirmajame reiškinyje pirmiau dauginame; antrajame pirmiau sudedame skliaustų viduje.

   7 + 2 × 5 = 7 + 10 = 17. Sugrupavus (7 + 2) × 5 = 9 × 5 = 45. Skliaustai septynių ir dviejų sumą paverčia vienu dydžiu, kurį dauginame.

2. Raskite 24 ÷ 6 × 2 ir 12 − 5 + 2 reikšmes. Kodėl nereikia pirmiausia atlikti 6 × 2 ar 5 + 2?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   8 ir 9. Abiem atvejais veiksmų pirmumas vienodas, todėl skaičiuojame iš kairės į dešinę.

   24 ÷ 6 × 2 = 4 × 2 = 8; 12 − 5 + 2 = 7 + 2 = 9. Pirmiau apskaičiavę siūlomas dešiniąsias dalis pridėtumėte neužrašytą grupavimą ir pakeistumėte reikšmes.

3. Raskite 2³, −3² ir (−3)² reikšmes. Paaiškinkite, kuris skaičius kiekvienu atveju yra laipsnio pagrindas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai 8, −9 ir 9. Pagrindai yra 2, 3 ir −3.

   2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Reiškinyje −3² pakelkite 3 kvadratu, tada raskite priešingąjį skaičių. Reiškinyje (−3)² dauginame du dauginamuosius, lygius −3, ir gauname teigiamą sandaugą. Skliaustai įtraukia ženklą į laipsnio pagrindą.

4. Ar (6 + 4) + 9 lygu 6 + (4 + 9)? Ar (10 − 4) − 2 lygu 10 − (4 − 2)? Paaiškinkite.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abi sumos lygios 19. Skirtumai yra 4 ir 8, todėl jie nelygūs.

   Sudėčiai galioja jungiamumo savybė, todėl tų pačių dėmenų pergrupavimas sumos nekeičia. Atimčiai ši savybė negalioja: (10 − 4) − 2 = 6 − 2 = 4, o 10 − (4 − 2) = 10 − 2 = 8.

5. Taikydami skirstomumo savybę raskite (−2) × (7 − 4), tada raskite −(7 − 4). Abu rezultatus patikrinkite apskaičiuodami skliaustų vidų.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai −6 ir −3.

   (−2) × (7 − 4) = −14 − (−8) = −14 + 8 = −6; tiek pat duoda (−2) × 3. Taip pat −(7 − 4) = −7 + 4 = −3, tai yra skaičiui 3 priešingas skaičius. Dauginamasis taikomas abiem dalims.

6. Apskaičiuokite (−18) ÷ (−3) ir 0 ÷ (−3). Ar 18 ÷ 0 ir 0 ÷ 0 apibrėžti? Paaiškinkite remdamiesi daugyba.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai 6 ir 0. Abi dalybos iš nulio neapibrėžtos.

   6 × (−3) = −18 ir 0 × (−3) = 0. Nė vieno skaičiaus sandauga su nuliu nėra 18. Bet kurio skaičiaus sandauga su nuliu lygi nuliui, todėl 0 ÷ 0 neišrenka vieno dalmens. Dalybai, kaip atvirkštiniam veiksmui, reikia nenulinio daliklio.

Ką verta įsidėmėti

• Sandaugų ženklai dera su sudėtimi ir skirstomumu; dalmenis galite tikrinti daugindami iš nenulinio daliklio.
• Pirmiausia skaitykite grupavimą, tada atlikite kėlimą laipsniu, daugybą ir dalybą, sudėtį ir atimtį. Vienoje nesugrupuotų veiksmų grandinėje vienodo pirmumo veiksmus atlikite iš kairės į dešinę.
• Laipsnio rodiklis taikomas jo pagrindui. Reiškiniuose −3² ir (−3)² pagrindai bei reikšmės skiriasi.
• Sudėties dėmenis ir daugybos dauginamuosius galima sukeisti bei pergrupuoti. Atimčiai ir dalybai tokie pakeitimai apskritai netinka.
• Skirstomumo savybė taiko dauginamąjį kiekvienai sumos ar skirtumo daliai, išlaikant ženklus. Kiekviena lygybė turi likti teisinga; patikrinkite ir pradinę prasmę.