Procentai ir procentinis pokytis

Procentas reiškia palyginimą šimto dalių masteliu

Vienas procentas reiškia vieną šimtąją: 1% = 1/100 = 0,01. Apskritai p% reiškia p/100. Skaičius p nebūtinai sveikasis: 37,5% = 37,5/100 = 0,375 = 3/8. Trupmenos, dešimtainiai skaičiai ir procentai gali tiksliai nusakyti tą pačią skaitinę reikšmę, naudodami skirtingus aprašymo vienetus.

Procentą keisdami į dešimtainį skaičių, nurodytą skaičių padalykite iš 100; dešimtainį skaičių išreikšdami procentais, jo skaitinę reikšmę padauginkite iš 100 ir pridėkite procento ženklą. Taigi 35% = 0,35, o 0,35% = 0,0035. Trupmenos skaitiklį padalykite iš vardiklio, kad gautumėte dešimtainį skaičių, arba ją perrašykite tinkamu vardikliu: 7/20 = 35/100 = 35%. Procento ženklą išlaikykite prie jo skaičiaus, kad trisdešimt penkių šimtųjų nesupainiotumėte su trisdešimt penkiais ištisais vienetais.

Procentui reikia įvardyto atskaitos kiekio

Trys litrai, palyginti su aštuoniais litrais, yra 3/8 = 37,5% šio atskaitos kiekio. Tie patys trys litrai, palyginti su dvylika litrų, yra 3/12 = 25%. Lyginamas kiekis liko tas pats, o atskaita pasikeitė. Prieš skaičiuodami pasakykite, kuris dydis reiškia 100%. Tai gali būti visa grupė, pradinė reikšmė, tikslas ar lyginimo pagrindas; šie pasirinkimai atsako į skirtingus klausimus.

Šimto langelių modelis padalija atskaitos visumą į šimtą lygių dalių. Kiekvienas langelis reiškia 1% šios visumos, bet nebūtinai vieną daiktą ar vieną litrą. Kai atskaita aštuoni litrai, langelis reiškia 0,08 litro. Trys litrai užima 37,5 langelio: trisdešimt septynis pilnus ir pusę kito. Dalinis langelis aprašo trupmeninį matavimo vienetą; jis neteigia, kad suskaičiuotas žmogus ar nedalomas daiktas perpjautas pusiau.

Susiekite dalį, procentą ir atskaitos kiekį

Tegu B yra atskaitos kiekis, o S – lyginamas kiekis. Jei procento skaičius p, tada S = (p/100) × B. Pavyzdžiui, 15% iš 80 litrų yra (15/100) × 80 L = 12 L. Procentas yra mastelio daugiklis be matavimo vieneto, todėl kiekis išlaiko litro vienetą. Procentui rasti naudokite p = 100 × S/B, kai B nenulinis; 3/8 duoda procento skaičių 37,5.

Atskaitos kiekį iš žinomos dalies ir nenulinio procento atkurkite formule B = 100 × S/p. Jei 18 litrų yra 30% atskaitos, B = 100 × 18 L ÷ 30 = 60 L. Esant 0%, kiekvienas pagrindas duoda nulinę dalį, todėl nulinė dalis ties 0% vienos visumos nenustato. Įprastiems neneigiamiems kiekiams dalį interpretuokite su teigiama atskaita; nulinė atskaita padaro S/B neapibrėžtą, net jei kita daugybos formulė vis dar gali duoti nulinį kiekį.

Daugiau nei 100% gali palyginti kiekį su mažesniu pagrindu

100 litrų palyginimas su 80 litrų atskaita yra 100/80 = 5/4 = 125%. Tai vienas visas atskaitos kiekis ir dar jo ketvirtadalis. Šimto langelių modeliui reikia vienos pilnos visumos ir dvidešimt penkių antros tokios pačios visumos langelių. Atskaitos dydis nekinta; peržengus vieną visumą langelio apibrėžimas nesikeičia.

Tikra neneigiamos visumos dalis, telpanti toje visumoje, negali viršyti 100%. Kitas kiekis gali viršyti lyginimo pagrindą, todėl tokiame palyginime procentas, didesnis už 100%, galioja. Naudokite suderintus vienetus: 2 m, palyginti su 50 cm atskaita, duoda 200 cm ÷ 50 cm = 4 = 400%. Teiginys, kad kiekis yra 125% pradinio, reiškia, jog jis 25% didesnis už pradinį; padidėjimas 125% duotų 225% pradinio kiekio.

Procentinis pokytis sujungia seną kiekį su jo pokyčiu

Pradinį kiekį B didinant p%, pridedama p/100 jo dalis: naujas = B + (p/100) × B = (1 + p/100) × B. Padidėjimas 25% daugina iš 1,25, todėl 80 litrų tampa 100 litrų. Naujas kiekis yra 125% senojo, o pridėta dalis 25% senojo. Tai skirtingi palyginimai su ta pačia pradine atskaita.

B mažinant p%, ši dalis atimama: naujas = (1 − p/100) × B. Sumažėjimas 25% daugina iš 0,75, todėl 80 litrų tampa 60 litrų. Pokytis 0% naudoja daugiklį 1 ir kiekį išlaiko. Sumažėjimas 100% naudoja daugiklį 0 ir palieka nulį. Iš įprasto neneigiamo kiekio negalima pašalinti daugiau nei visa turima visuma; neigiamam rezultatui reikėtų kitokios interpretacijos su ženklu, o ne neigiamo likusio tūrio ar objektų skaičiaus.

Skirtumą su ženklu dalykite iš teigiamo pradinio kiekio

Teigiamam pradiniam kiekiui O procentinis pokytis su ženklu yra c%, kur c = 100 × (naujas − O)/O. Didėjimas duoda teigiamą skirtumą ir procentą; mažėjimas – neigiamus. Keičiantis nuo aštuonių litrų iki trijų, absoliutus pokytis yra −5 L, o santykinis −5/8 = −0,625 = −62,5%. Likę trys litrai yra 37,5% pradinio kiekio, o sumažėjimas 62,5%; nesukeiskite šių dviejų klausimų.

Jei pradinis kiekis nulis, absoliutus skirtumas naujas − 0 vis dar apibrėžtas, tačiau procentinis pokytis šio pradinio kiekio atžvilgiu neapibrėžtas. Keičiantis nuo 0 iki 20 vienetų skirtumas +20 vienetų; nuo 0 iki 0 – nulis. Nė vienas atvejis neduoda santykinio procento dalijant iš nulio. Kai pradinis kiekis teigiamas, o naujas neneigiamas, procentinis pokytis su ženklu negali būti mažesnis už −100%: ribinis atvejis yra sumažėjimas iki nulio. Įprastiems santykinio pokyčio palyginimams ši pamoka naudoja teigiamas pradines atskaitas.

Pradinį kiekį atkurkite apgręždami daugiklį

Jei naujas kiekis yra f kartų pradinis ir f nenulinis, pradinį atkurkite naują kiekį padalydami iš f. Suplanuotas juostelės ilgis, padidintas 20% iki 96 cm, turi daugiklį 1,2, todėl pradinis ilgis buvo 96 cm ÷ 1,2 = 80 cm. Atėmę 20% nuo 96 cm naudotume naują ilgį kaip atskaitą ir gautume 76,8 cm. Tai nepanaikina pradinio padidėjimo.

Po sumažėjimo 20% kiekis 64 vienetai atitinka pradinio daugiklį 0,8; 64 ÷ 0,8 = 80 vienetų. Apgręždami sumažėjimą dauginame iš 1/0,8 = 1,25 – tai padidėjimas 25% nuo mažesnio pagrindo. Sumažėjimo 100% daugiklis nulinis ir jo negalima apgręžti dalyba: vien galutinis nulis nepasako, koks pradinis kiekis pašalintas. Išlaikykite aiškią pradinę atskaitą ir nenulinio atvirkštinio daugiklio sąlygą.

Procentiniai punktai ir santykiniai procentai atsako į skirtingus klausimus

Kai nurodytas rodiklis keičiasi nuo 20% iki 30%, jo procento skaičių atimtis duoda padidėjimą 10 procentinių punktų. Tai matuoja dviejų rodiklių skirtumą toje pačioje šimto dalių skalėje. Santykinis rodiklio padidėjimas vardiklyje naudoja jo pradinę reikšmę: (0,30 − 0,20)/0,20 = 0,50, todėl rodiklis padidėjo 50%. Abu teiginiai gali būti teisingi, nes nusako skirtingus palyginimus.

Svarbi kryptis ir pagrindas. Nuo 30% sumažėjus iki 20%, pokytis yra −10 procentinių punktų, tačiau santykinis pokytis −10/30 = −1/3, arba apytiksliai −33,33%. Nuo 0% iki 5% pokytis +5 procentiniai punktai, o santykinis pokytis nulinio pradinio rodiklio atžvilgiu neapibrėžtas. Lygindami rodiklius išlaikykite aiškius jų apibrėžimus; dalies pokytis nebūtinai duoda tokį patį pagrindinio objektų skaičiaus pokytį, jei grupių dydžiai taip pat pasikeitė.

Nuoseklūs procentai naudoja kiekvieno žingsnio kiekį

Pradėkite nuo 100 vienetų. Padidėjimas 20% prideda 20 ir duoda 120 vienetų. Vėlesnis sumažėjimas 20% pašalina 20% nuo 120, tai yra 24, ir palieka 96 vienetus. Skaitiniai procentai yra vienodo dydžio ir priešingų krypčių, tačiau tikrieji pokyčiai nesipanaikina, nes jų pagrindai skirtingi. Galutinis kiekis yra 96% pradinio – bendras sumažėjimas 4%.

Tą patį rezultatą gauname padauginę pokyčio daugiklius: 1,2 × 0,8 = 0,96. Kiekvienas daugiklis keičia dabartinio kiekio mastelį, todėl nuoseklūs daugikliai dauginami, o jų procentiniai pokyčiai nėra tiesiog sudedami. Šis skaičiavimas daro prielaidą, kad nurodyti procentai taikomi kiekvienam naujam kiekiui ir tarpiniai kiekiai lieka tikslūs. Jei žingsnis pagrindu įvardija pradinį kiekį arba reikalauja apvalinti iki sveikų daiktų, naudokite tas konkrečias sąlygas. Kita pamoka išplėtos pasikartojantį augimą ir palyginimus per kelis laikotarpius.

Keiskite klausimą išlaikydami tą pačią atskaitą

Tyrinėjimo įrankyje pradėkite nuo atskaitos 8 ir lyginamo kiekio 3. Lyginamojo kiekio vaizde palyginkite 3 su 8: tiksli trupmena 3/8 duoda 37,5%. Pokyčio vaizde su ta pačia atskaita palyginkite skirtumą: (3 − 8)/8 duoda −62,5%. Kiekiai nepasikeitė; pasirinktas vaizdas klausia kito klausimo. Kiekvieną pilną šimto langelių visumą skaitykite kaip pasirinktą atskaitą, o dalinį langelį laikykite procentinio vieneto dalimi.

Pasirinkite 80 ir 100: lyginamas kiekis yra 125% atskaitos, o pokytis +25%. Palyginkite su 80 ir 60, 80 ir 80 bei 80 ir 0, kad atskirtumėte sumažėjimą, jokio pokyčio ir kritimą iki nulio. Pora 40 ir 50 duoda tokį patį santykinį padidėjimą kaip 80 ir 100, bet kitokį absoliutų skirtumą. Galiausiai išbandykite nulinę atskaitą su lyginamu kiekiu 20 arba 0. Absoliutūs skirtumai išlieka apibrėžti; nei dalies procento, nei santykinio pokyčio negalima nustatyti pagal šią nulinę atskaitą.

Tikslius procentus atskirkite nuo suapvalintų pranešimų ir sveikų skaičių

Trys iš aštuonių daiktų duoda tiksliai 37,5%; nesveikasis procentas gali aprašyti sveiką objektų skaičių. Trečdalio procentas periodinis – 33,(3)%, todėl užrašas 33,33% suapvalintas ir reikalauja ≈ vietoj =. Skaičiavimams naudokite tikslias trupmenas arba visus nurodytus daugiklius, tada vieną kartą apvalinkite iki prašomos pateikimo skilties. Procento skaičių apvalinant iki dviejų skaitmenų po kablelio artimiausios reikšmės taisykle, apvalinimo paklaida neviršija 0,005 procentinio punkto; tai neįrodo paties matavimo tikslumo.

Prašomas procentas gali netikti nedalomiems daiktams tiksliai. Dešimt procentų iš 25 daiktų yra 2,5 daikto, o tokio sveiko objektų skaičiaus pasirinkti negalima. Pasirinkę du gauname 8%, tris – 12%. Nė vienas pasirinkimas nėra tiksliai 10%. Jei sąlyga reikalauja bent 10%, trys yra mažiausias leistinas sveikas skaičius; naudokite šią nurodytą sąlygą, o ne tyliai apvalinkite išlaikydami pradinį teiginį. Tolydūs ilgiai ar tūriai gali leisti trupmeninius kiekius, išlaikant jų matavimo vienetus.

Patikrinkite palyginimą, vardiklį ir vienetus

Prieš skaičiuodami nustatykite, ar klausiama kiekio, jo procento nuo atskaitos, procentinio pokyčio su ženklu, ar skirtumo procentiniais punktais. Įvardykite dydį, kuris reiškia 100%, suderinamus matavimus paverskite bendru vienetu ir patikrinkite kiekvieną vardiklį. Procentas be matavimo vieneto keičia kiekio mastelį, bet nepanaikina to kiekio vieneto. Absoliutus pokytis išlaiko pradinį vienetą; pokytis procentiniais punktais išlaiko savą rodiklio skalės pavadinimą.

Po skaičiavimo rezultatą palyginkite su paprastais atskaitos taškais: pusė yra 50%, visuma 100%, o ketvirtadalis 25%. Atkurtą pradinį kiekį padauginkite iš nurodyto pokyčio daugiklio ir patikrinkite atvirkštinį skaičiavimą. Nuosekliems pokyčiams patikrinkite tarpinį pagrindą bei galutinį daugiklį ir tai, ar leidžiami trupmeniniai objektų skaičiai arba apvalinimas. Procentai sutvarko palyginimus; jų prasmę suteikia nurodyti dydžiai ir atskaitos. Kita pamoka atskirs paprastą augimą nuo sudėtinio ir palygins rezultatus pagal nurodytas sąlygas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Trupmeną 7/20 paverskite dešimtainiu skaičiumi ir procentu, 37,5% – nesuprastinamąja trupmena, o 125% – trupmena. Ar 35% ir 0,35% lygūs? Ar 33,33% tiksliai išreiškia trečdalį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   7/20 = 0,35 = 35%; 37,5% = 3/8; 125% = 5/4. 35% ir 0,35% skiriasi. Trečdalis yra apytiksliai 33,33%.

   Procentas nurodytą skaičių dalija iš 100: 37,5/100 = 375/1000 = 3/8, o 125/100 = 5/4. 35% = 0,35, o 0,35% = 0,0035. Trečdalis duoda periodinį procentą 33,(3)%; baigtinis užrašas 33,33% pakeičia jo reikšmę.

2. Raskite 15% nuo 80 litrų. Jei 18 litrų yra 30% atskaitos, raskite tą atskaitą. Koks procentas yra 3 litrai nuo 8 litrų? Ar nulinė dalis ties 0% vienareikšmiškai nustato visumą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   12 litrų; 60 litrų; 37,5%. Nulinė dalis ties 0% vienos visumos nenustato.

   Naudokite 0,15 × 80 L = 12 L; 18 L padalykite iš 0,30 ir gaukite 60 L; 3 L padalykite iš 8 L ir 3/8 išreikškite kaip 37,5%. Kiekvienas nenulinis vardiklis leistinas. Bet kuris pagrindas, padaugintas iš 0%, duoda nulį, todėl paskutinės informacijos atkūrimui nepakanka.

3. 2 m išreikškite procentu nuo 50 cm atskaitos. Raskite 125% nuo 80 litrų. Jei kiekis nuo 80 litrų keičiasi iki šio rezultato, ar padidėjimas 125%, ar 25%?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   400%; 100 litrų; padidėjimas 25%, o naujas kiekis 125% pradinio.

   2 m paverskite į 200 cm ir palyginkite 200/50 = 4 = 400%. Daugiklis 125/100 = 1,25 duoda 1,25 × 80 L = 100 L. Pridėti 20 L yra 20/80 = 25% pradinio; visam naujam 100 L kiekiui naudojamas kitas skaitiklis.

4. Pokyčiams 80→60, 80→0, 0→20 ir 0→0 raskite absoliutų skirtumą ir procentinį pokytį su ženklu, kai jis apibrėžtas. Tarkime, visi kiekiai neneigiami; paaiškinkite apatinę ribą teigiamam pradiniam kiekiui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Skirtumai yra −20, −80, +20 ir 0 vienetų. Santykiniai pokyčiai −25%, −100%, neapibrėžtas ir neapibrėžtas. Kai pradinis kiekis teigiamas, o galutinis neneigiamas, santykinis pokytis negali būti mažesnis už −100%.

   Kiekvieną skirtumą su ženklu iš pradinio kiekio dalykite tik tada, kai jis teigiamas. −20/80 = −1/4, o −80/80 = −1. Paskutinės dvi pradinės atskaitos nulinės, todėl santykinė dalyba neapibrėžta, nors skirtumai galioja. Mažiausias leistinas naujas kiekis yra nulis, kuris pašalina tiksliai visą teigiamą pradinį kiekį.

5. Po padidėjimo 25% kiekis yra 100 vienetų; po sumažėjimo 25% kitas kiekis yra 60 vienetų. Atkurkite abu pradinius kiekius. Ar galutinis nulis po sumažėjimo 100% gali nustatyti pradinį kiekį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abu pradiniai kiekiai yra 80 vienetų: 100 ÷ 1,25 = 80 ir 60 ÷ 0,75 = 80. Galutinis nulis po sumažėjimo 100% vieno pradinio kiekio nenustato.

   Pokyčio daugikliai yra 1,25 ir 0,75, abu nenuliniai, todėl dalyba juos apgręžia. Patikrinkite 80 × 1,25 = 100 ir 80 × 0,75 = 60. Sumažėjimas 100% daugina iš nulio, prarasdamas pradinę informaciją; dalyti iš šio daugiklio negalima.

6. Rodiklis keičiasi nuo 20% iki 30%; tada apsvarstykite atvirkštinį pokytį nuo 30% iki 20%. Kiekvieno skirtumą išreikškite procentiniais punktais ir jo santykinį procentinį pokytį. Ką galima pranešti pokyčiui nuo 0% iki 5%?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   20%→30%: +10 procentinių punktų ir +50% santykinis pokytis. 30%→20%: −10 procentinių punktų ir apytiksliai −33,33% santykinis pokytis. 0%→5%: +5 procentiniai punktai, santykinis pokytis neapibrėžtas.

   Procentiniai punktai atima rodomus procento skaičius. Santykinis pokytis šį skirtumą dalija iš pradinio procento skaičiaus: 10/20 = 1/2 ir −10/30 = −1/3. Atvirkštinis palyginimas turi kitą pagrindą, o jo tikslus santykinis procentas −33,(3)%. Paskutinė nulinė pradinė reikšmė neleidžia santykinio dalmens.

7. Pradėję nuo 100 vienetų dabartiniam kiekiui pritaikykite +20%, tada −20%. Raskite galutinį kiekį ir bendrą pokytį. Atskirai: ar galima pasirinkti tiksliai 10% iš 25 nedalomų daiktų? Koks mažiausias sveikas skaičius tenkina sąlygą, reikalaujančią bent 10%?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Galutinis kiekis 96 vienetai, bendras pokytis −4%. Tiksliai 10% iš 25 būtų 2,5 daikto, todėl sveiku skaičiumi neįmanoma. Mažiausias skaičius, tenkinantis bent 10%, yra trys daiktai – 12%.

   Sudauginkite nuoseklius daugiklius 1,2 ir 0,8; gauname 0,96 pradinio kiekio. Pasirinkus du daiktus, 2/25 = 8%, tai žemiau ribos; tris – 3/25 = 12%, virš ribos. Suapvalintas sveikas skaičius tenkina minimumo sąlygą, bet neišlaiko teiginio apie tiksliai 10%.

Ką verta įsidėmėti

• Procentas reiškia šimtųjų dalį. Įvardykite kiekį, kuris reiškia 100%, ir išlaikykite vienetus kiekio, kurio mastelį procentas keičia.
• Dalį raskite visumą daugindami iš p/100; procentą – dalydami iš nenulinės atskaitos. Visumai atkurti reikia nenulinio procento arba pokyčio daugiklio.
• Santykinis pokytis su ženklu naudoja skirtumą, padalytą iš teigiamo pradinio kiekio. Nulinis pradinis kiekis neturi apibrėžto santykinio pokyčio, nors jo absoliutus skirtumas galioja.
• Procentiniai punktai atima rodiklius šimto dalių skalėje; santykinis procentinis pokytis dalija iš pradinio rodiklio. Nuoseklūs pokyčiai naudoja dabartinius pagrindus ir daugina daugiklius.
• Procentai virš 100% gali palyginti kiekius, didesnius už lyginimo pagrindą. Patikrinkite neneigiamų kiekių ribas, tikslius ir suapvalintus užrašus bei tai, ar prašoma dalis leidžia sveiką objektų skaičių.