Matematika · Pagrindų straipsnis

Pavyzdžiai, paaiškinimai ir kontrpavyzdžiai

Skaičiavimas parodo, kas nutinka vienu atveju. Mokykitės išsiaiškinti, kokius atvejus apima teiginys, paaiškinti jo pagrindą ir atpažinti sąlygas atitinkantį atvejį, dėl kurio teiginį reikia keisti.

Naudingas ankstesnis straipsnis: Žodžiai, vaizdai ir simboliai

Grįžti į matematiką

Perskaitę galėsite

Atskirti konkretų pavyzdį nuo teiginio apie visus leidžiamus atvejus.
Paaiškinimą susieti su išdėstymo sandara ir nurodytomis sąlygomis.
Patikrinti kontrpavyzdį ir pataisyti klaidingą teiginį neteigiant daugiau, negu pagrįsta.

Pavyzdys aprašo vieną atvejį

Aiškiai apibrėžkite modelį: atskirų pilnų grupių skaičius gali būti nulis arba teigiamas sveikasis skaičius, kiekvienoje grupėje yra keturi akmenukai, o atskirų akmenukų nėra. Tegu g žymi grupių skaičių, o T – visų akmenukų skaičių, taigi T = 4 × g. Šis modelis skiriasi nuo ankstesnio su dviem atskirais akmenukais, aprašomo T = 4 × g + 2.

Kai g = 2, aštuoni akmenukai yra konkretus rezultatas. Teiginys „Kiekviename leidžiamame išdėstyme yra bent keturi akmenukai“ pasako daugiau: jis apima visus pagal modelį leidžiamus grupių skaičius. Žodžiai „kiekvienas“ ir „visada“ išplečia teiginio apimtį. Prieš vertindami teiginį, užrašykite jo sąlygas.

Paaiškinkite priežastį, ne tik parodykite rezultatą

Paaiškinimas susieja tai, ką žinote, su tuo, kas iš to išplaukia. Trijose pilnose grupėse yra dvylika akmenukų, nes kiekviena prideda keturis, grupės nepersidengia ir visi akmenukai suskaičiuojami po vieną kartą. Daugyba užrašo šią sandarą. „Apskaičiavau dvylika“ nurodo rezultatą, o grupių paaiškinimas parodo, kodėl skaičiavimas tinka.

Bendras paaiškinimas turi remtis savybėmis, kurias turi visi jo apimami atvejai. Teiginio „Pridėjus vieną pilną grupę, akmenukų padaugėja keturiais“ priežastis yra keturi papildomi naujos grupės akmenukai. Ji nepriklauso nuo to, ar pradžioje turėjote dvi, ar dvidešimt grupių. Ankstesnių grupių nekeiskite.

Kontrpavyzdys yra leidžiamas atvejis, kuriam išvada netinka

Tikrinkite teiginį, kad kiekviename leidžiamame išdėstyme yra bent keturi akmenukai. Viena, dvi ir trys grupės duoda keturis, aštuonis ir dvylika – tai teiginį atitinkantys atvejai. Dabar išbandykite g = 0. Nulis grupių leidžiamas, o atskirų akmenukų nėra, todėl T = 0. Nulis mažesnis už keturis.

Tai kontrpavyzdys: jis atitinka nurodytas sąlygas, tačiau neatitinka išvados. Vieno tinkamo kontrpavyzdžio pakanka paneigti teiginį apie visus leidžiamus atvejus. Teiginį atitikę atvejai lieka tokie patys. Klaidingas žodis „kiekviename“, o ne vienos, dviejų ar trijų grupių skaičiavimas.

Patikrinkite abi kontrpavyzdžio dalis

Pirmiausia klauskite, ar siūlomas atvejis atitinka prielaidas. Tada patikrinkite, ar jo rezultatas paneigia išvadą. Grupė su trimis akmenukais čia nėra kontrpavyzdys: ji nėra pilna grupė po keturis. Neigiamas grupių skaičius taip pat nepatenka į šį daiktų skaičiavimo modelį.

Jei modelis reikalauja bent vienos pilnos grupės, nulis grupių irgi neatitinka jo sąlygų. Tikrindami tyliai nekeiskite modelio. Ankstesniame modelyje su dviem pastoviais atskirais akmenukais nulis grupių duoda du akmenukus, o ne nulį; to modelio sąlygas ir formulę taikykite kartu.

Patikrinkite teiginį ir jo sąlygas

Pasirinkite teiginį, tada išdėstymą. Kiekvienoje pilnoje grupėje yra keturi akmenukai, o atskirų akmenukų nėra. Prieš spręsdami, ką rodo pavyzdys, patikrinkite sąlygas.

Kurį teiginį tikrinate?

Kiekviename leidžiamame išdėstyme yra bent keturi akmenukai.

Sąlygos: g yra nulis arba teigiamas sveikasis skaičius; kiekvienoje grupėje yra keturi akmenukai; atskirų akmenukų nėra.

Pasirinkite pilnų grupių skaičių g

Kiekvienas rėmelis žymi pilną keturių akmenukų grupę.

T = 4 × 3 = 12

Šis pavyzdys atitinka teiginį

Šis išdėstymas atitinka sąlygas. Bendras akmenukų skaičius yra 12, taigi jų yra bent keturi. Vienas teiginį atitinkantis pavyzdys dar neįrodo, kad teiginys galioja visiems leidžiamiems išdėstymams.

Patikrinkite kitą leidžiamą atvejį. Atvejo, kuris atitinka sąlygas, bet neatitinka išvados, pakanka šiam bendram teiginiui paneigti.

Pataisykite teiginį nurodydami naudingą sąlygą

Naudingas pataisymas: „Išdėstyme su bent viena pilna grupe po keturis yra bent keturi akmenukai.“ Atskirų akmenukų vis dar nėra, grupių skaičius sveikasis, tačiau dabar g turi būti bent vienas. Nulis šiam pataisytam teiginiui nebeprieštarauja, nes nepatenka į patikslintą jo apimtį.

Pagrįskite pataisytą teiginį: viena pilna grupė jau turi keturis akmenukus, o kitos pilnos grupės prideda akmenukų nepanaikindamos tų keturių. Šis paaiškinimas apima visus leidžiamus teigiamus grupių skaičius. Kitame uždavinyje vien aptikto netinkamo atvejo pašalinimas dar savaime nepagrįstų pataisyto teiginio.

Pasakykite tiksliai, ką jūsų pagrindimas parodo

Keli sėkmingi patikrinimai padeda tyrinėti teiginį, bet patys savaime nėra įrodymas visiems galimiems grupių skaičiams. Sąrašas gali pagrįsti teiginį, jei apima kiekvieną leidžiamą atvejį ir visi patikrinimai teisingi. Tik trijų skaičių patikrinimas neapima mūsų neribotų sveikųjų grupių skaičių.

Įrodymas pateikia išsamų matematinį pagrindimą nurodytai teiginio apimčiai. Čia gali pakakti paprasto paaiškinimo remiantis grupėmis; formalesnius būdus nagrinėsime vėliau. Atskirkite rezultatus: teiginį atitinkantis pavyzdys, kontrpavyzdys arba visus leidžiamus atvejus apimanti priežastis. Vien tai, kad kontrpavyzdžio kol kas neradote, teiginio neįrodo.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Išbandykite nulį pagal nurodytas sąlygas

Pilnoje grupėje yra keturi akmenukai, atskirų akmenukų nėra, nulis grupių leidžiamas. Ar kiekviename leidžiamame išdėstyme būtinai yra bent keturi akmenukai?

Viena, dvi ir trys grupės atitinka teiginį, bet neapima visų leidžiamų skaičių.
Pasirinkite nulį grupių: jis atitinka sąlygas ir duoda 4 × 0 = 0 akmenukų.
Nulis mažesnis už keturis, todėl šiam leidžiamam atvejui išvada netinka. Pridėkite sąlygą „bent viena pilna grupė“ ir paaiškinkite, kodėl ji užtikrina keturis akmenukus.

Pradinis teiginys klaidingas. Pataisytas teiginys galioja, nes jo sąlygos užtikrina bent vieną pilną grupę.

Skaitiniam teiginiui taip pat reikia sąlygų

Žmogus teigia: „Teigiamą sveikąjį skaičių padauginus iš teigiamo sveikojo skaičiaus, pirmasis visada padidėja.“ Ar 5 × 2 = 10 tai pagrindžia?

Skaičiavimas atitinka teiginį vienu atveju. Abu skaičiai atitinka teigiamų sveikųjų skaičių sąlygą.
Išbandykite 5 × 1 = 5. Abu skaičiai vis dar atitinka sąlygą, tačiau pirmasis nepadidėjo.
Vienetas čia yra leidžiamas daugiklis. Todėl teiginys klaidingas, nors pirmasis skaičiavimas buvo teisingas.

Ne. Daugyba iš vieneto yra taip suformuluoto teiginio kontrpavyzdys.

Pabandykite patys

Kuris atvejis paneigia pradinį teiginį be atskirų akmenukų: nulis pilnų grupių ar viena grupė su trimis akmenukais?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Nulis pilnų grupių yra tinkamas kontrpavyzdys. Grupė su trimis akmenukais neatitinka sąlygų.
Nulis leidžiamas ir duoda mažiau nei keturis akmenukus. Trijų akmenukų grupė neatitinka reikalaujamo grupės dydžio.
Formulėje T = 4 × g + 2, g gali būti nulis arba teigiamas sveikasis skaičius. Paaiškinkite, kodėl kiekviename leidžiamame išdėstyme yra bent du akmenukai.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Du atskiri akmenukai visada yra. Pilnos grupės tik prideda akmenukų jų nepašalindamos.
Ši priežastis apima visus leidžiamus grupių skaičius. Kai grupių nulis, yra lygiai du akmenukai; kai grupių daugiau, akmenukų irgi daugiau.
Pataisykite daugybos teiginį: pradinis skaičius turi būti teigiamas sveikasis, o sveikasis daugiklis – bent du. Paaiškinkite, kodėl rezultatas didesnis.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Imami bent du vienodi teigiami kiekiai, todėl bendras kiekis didesnis už vieną tokį kiekį.
Vienas kiekis atitinka pradinį skaičių; bent vienas papildomas teigiamas kiekis jį padidina. Paaiškinimas remiasi patikslintomis sąlygomis.

Ką verta įsidėmėti

Prieš tikrindami ar aiškindami teiginį, nurodykite jo apimtį.
Tinkamas kontrpavyzdys atitinka prielaidas, bet neatitinka išvados.
Teiginį atitinkantys atvejai padeda tyrinėti; bendrai išvadai reikia visą jos apimtį apimančio pagrindimo.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.