Matematika · Pagrindų straipsnis

Žodžiai, vaizdai ir simboliai

Tą patį išdėstymą aprašykite keliais būdais. Žodžiai, paprastas piešinys, lentelė ir formulė leidžia pamatyti tą patį ryšį. Patikrinkite, ar keičiant vaizdavimo būdą jo prasmė išlieka.

Naudingas ankstesnis straipsnis: Simboliai, apibrėžimai ir matematikos kalba

Grįžti į matematiką

Perskaitę galėsite

Susieti konkrečią situaciją su žodžiais, scheminiu piešiniu, lentele su aiškiais pavadinimais ir formule.
Keičiant vaizdavimo būdą išlaikyti tuos pačius kiekius, sąlygas ir daiktų pavadinimus.
Patikrinti perėjimą abiem kryptimis, įskaitant atvejį be pilnų grupių.

Vieną situaciją galima aprašyti keliais būdais

Sudėliokite pilnas grupes po keturis akmenukus ir du papildomus akmenukus už grupių ribų. Grupės dydžio ir papildomų akmenukų skaičiaus nekeiskite. Tegu g žymi pilnų grupių skaičių, o T – visų akmenukų skaičių. Čia g yra nulis arba teigiamas sveikasis skaičius. Klausiame: kiek akmenukų yra iš viso?

Žodžiai paaiškina išdėstymą, piešinys rodo sandarą, lentelė leidžia palyginti kelis atvejus, o formulė trumpai nusako ryšį. Tai keli tos pačios situacijos vaizdavimo būdai. Keičiant būdą, neturėtų keistis nei skaičiuojami daiktai, nei atsakymo prasmė.

Supraskite, ką žymi scheminis piešinys

Kiekvieną akmenuką pažymėkite vienu tašku. Pilną grupę apibrėžkite kontūru: jo viduje turi būti keturi taškai. Du taškus palikite už visų grupių kontūrų. Kai g = 2, piešinyje matote dvi grupes po keturis ir dar du atskirus taškus: dešimt akmenukų. Kiekvieną tašką suskaičiuokite vieną kartą.

Tai scheminis piešinys, nebūtinai nupieštas pagal mastelį. Vienodi taškai nereiškia vienodo akmenukų dydžio ar masės. Kontūrai žymi grupavimą, o ne papildomus akmenukus. Kai g = 0, grupių kontūrų nebraižykite, bet palikite du atskirus taškus: pilnų grupių nebuvimas nereiškia, kad akmenukų nėra.

Lentelei reikia prasmingų stulpelių pavadinimų

Stulpelius pavadinkite „Pilnų grupių skaičius, g“ ir „Bendras akmenukų skaičius, T“. Reikšmes g = 0, 1, 2, 3 atitinka T = 2, 6, 10, 14. Kiekviena eilutė aprašo vieną galimą išdėstymą. Skaitykite tos pačios eilutės reikšmes; nejunkite vienos eilutės grupių skaičiaus su kitos eilutės bendru skaičiumi.

Pavadinimai atskiria grupes nuo akmenukų. Matuojamų ilgių lentelėje nurodytume ilgio vienetą, pavyzdžiui, centimetrus. Čia nė vienas stulpelis nenurodo masės. Pridėta pilna grupė prideda keturis akmenukus, o du atskiri lieka. Lentelė rodo pavyzdžius; nurodytas išdėstymas paaiškina, kodėl skaičius taip keičiasi.

Susiekite kiekvieną formulės dalį su daiktais

Rašykite T = 4 × g + 2. Dalis 4 × g skaičiuoja grupių akmenukus, o + 2 įtraukia atskiruosius. Norėdami rasti lentelės reikšmę, vietoj g įrašykite tos eilutės grupių skaičių. Kai g = 3, grupėse yra dvylika akmenukų, o pridėję du gauname keturiolika. Kai g = 0, iš viso lieka du.

T = 4 × (g + 2) aprašo ką kita: g + 2 grupes po keturis akmenukus. Papildomas dvejetas čia skaičiuoja grupes, o ne akmenukus. Kai g = 2, gauname šešiolika, o ne dešimt akmenukų. Skliaustai keičia sandarą, todėl paaiškinkite formulės dalių prasmę, užuot rėmęsi vien užrašo išvaizda.

Vienas išdėstymas, keturi jo aprašymo būdai

Kiekvienoje pilnoje grupėje yra po keturis akmenukus, o dar du akmenukai lieka atskirai. Keiskite grupių skaičių. Žodžiai, vaizdas, lentelė ir formulė aprašo tą patį išdėstymą.

Pilnų grupių skaičius g

Žodžiais

Kiekvienoje pilnoje grupėje yra po keturis akmenukus. Pilnų grupių skaičius: 3. Atskirų akmenukų skaičius: 2. Iš viso: 14.

Vaizdu

Kiekvienas rėmelis žymi pilną keturių akmenukų grupę. Du atskiri akmenukai yra už rėmelių. Piešinys rodo kiekius, o ne akmenukų dydį ar masę.

Lentele
Pilnos grupės g	Visi akmenukai T
0	2
1	6
2	10
3	14
4	18
5	22

Simboliais

T = 4 × g + 2

g žymi pilnų grupių skaičių; T – visų akmenukų skaičių, įskaitant du atskiruosius.

g = 3. T = 4 × 3 + 2 = 14.

Pasirinkta lentelės eilutė, piešinys ir skaičiavimas rodo tą patį bendrą skaičių.

Perskaitykite atgal ir tikrinkite abiem kryptimis

Nuo žodžių pereikite prie piešinio: ar įtraukėte visas grupes ir abu atskirus akmenukus? Nuo piešinio pereikite prie lentelės: ar skaičiai atitinka stulpelių pavadinimus? Nuo lentelės – prie formulės: ar kiekviena eilutė atitinka nurodytą taisyklę? Tada keliaukite atgal: formulę paaiškinkite žodžiais arba nupieškite vieną jos atvejį.

Vaizdavimo būdai dalį informacijos praleidžia. Vien bendras skaičius dešimt nepasako išdėstymo: visi dešimt akmenukų galėtų gulėti atskirai. Mūsų lentelė ir formulė neaprašo jų spalvų ar padėties. Piešinį atkurkite pagal nurodytas grupavimo sąlygas; vien bendras skaičius papildomos informacijos nesuteikia.

Pasirinkite naudingą būdą ir pritaikykite idėją kitur

Žodžiais paaiškinkite nepažįstamas sąlygas, piešiniu patikrinkite grupavimą, lentele palyginkite atvejus, o formule apskaičiuokite nebraižydami kiekvieno daikto. Jei kas nors neaišku, pereikite prie kito būdo. Keli vaizdavimo būdai naudingi tada, kai padeda suprasti klausimą; piešinio grožis mažiau svarbus už aiškią jo prasmę.

Idėją galima taikyti kitiems daiktams, tačiau reikia pritaikyti ir apibrėžimus. Jei kiekviename padėkle yra trys daigai ir dar vienas daigas atskirai, tegu t žymi pilnų padėklų skaičių, o P – visų daigų skaičių. Rašykite P = 3 × t + 1. Grupuota ir papildoma dalys išlieka matomos, tačiau raidės, daiktai ir pastovūs skaičiai pasikeičia.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Vieną atvejį patikrinkite keturiais būdais

Tris pilnas grupes po keturis akmenukus ir du atskirus akmenukus pavaizduokite žodžiais, piešiniu, lentelės eilute ir formule.

Pasakykite: trys grupės po keturis ir du atskiri akmenukai. Nubraižykite tris kontūrus su keturiais taškais kiekviename ir du taškus už jų.
Piešinyje grupėse yra dvylika akmenukų ir dar du atskiri. Po įvardytais stulpeliais įrašykite eilutę g = 3, T = 14.
Taikykite formulę: 4 × 3 + 2 = 14. Perskaitykite žodžiais ir patikrinkite, ar abu papildomi akmenukai įtraukti po vieną kartą.

Visi keturi būdai aprašo keturiolika akmenukų tomis pačiomis grupavimo sąlygomis.

Tą pačią sandarą pritaikykite daigams

Yra šeši pilni padėklai po tris daigus ir vienas atskiras daigas. Bendrą skaičių aprašykite nepiešdami kiekvieno daigo.

Tegu t žymi pilnų padėklų skaičių, o P – visų daigų skaičių. Piešinyje kiekvieną padėklą galima pažymėti „3 daigai“ ir parodyti vieną atskirą daigą.
Rašykite P = 3 × t + 1. Lentelės pradžioje t = 0, 1, 2 atitiktų P = 1, 4, 7.
Šešiems padėklams gauname 3 × 6 + 1 = 19. Atsakymas skaičiuoja daigus, o ne padėklus ar jų masę.

Devyniolika daigų. Kiekvienas būdas išlaiko tris daigus pilname padėkle ir vieną atskirą daigą.

Pabandykite patys

Pagal T = 4 × g + 2, ką piešinys ir lentelė turi rodyti, kai g = 0?
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Piešinyje yra du atskiri akmenukai ir nėra pilnų grupių. Lentelės eilutė: g = 0, T = 2.
Grupių akmenukų nelieka, tačiau du pastovūs atskiri akmenukai išlieka. Bendras skaičius: 4 × 0 + 2 = 2.
Akmenukų išdėstymo lentelėje įrašyta g = 2, T = 12. Patikrinkite šią eilutę piešiniu ir pataisykite.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Nupieškite dvi grupes po keturis ir du atskirus akmenukus. Teisinga eilutė: g = 2, T = 10.
Dviejose grupėse yra aštuoni akmenukai, o papildomi prideda du. Dvylika neatitinka nurodyto išdėstymo.
Nurodytame išdėstyme iš viso yra aštuoniolika akmenukų. Kiek pilnų grupių turėtų rodyti piešinys? Paaiškinkite netaikydami lygčių sprendimo taisyklių.
Rodyti atsakymą ir paaiškinimą
Keturias pilnas grupes po keturis akmenukus ir du atskirus akmenukus.
Atidėkite du atskirus akmenukus. Likę šešiolika sudaro keturias grupes po keturis. Patikrinkite kita kryptimi: 4 × 4 + 2 = 18.

Ką verta įsidėmėti

Skirtingi vaizdavimo būdai turi išlaikyti tuos pačius kiekius ir sąlygas.
Įvardykite lentelės stulpelius, paaiškinkite piešinį ir susiekite formulės dalis su jų prasme.
Tikrinkite grįždami prie ankstesnio būdo ir pastebėkite, kokios informacijos vaizdavimas nesuteikia.

Šaltiniai

Šio straipsnio sąvokų ir mokymo būdų šaltiniai.