Trikampiai, lygumas ir panašumas

Trikampiui reikia trijų skirtingų, vienoje tiesėje negulinčių viršūnių

Toliau nagrinėjame Euklido plokštumą. Neišsigimusį trikampį ABC sudaro trys skirtingi taškai A, B ir C, kurie ne visi guli vienoje tiesėje, ir atkarpos AB, BC bei CA. Šie taškai yra jo viršūnės, o šios atkarpos – jo kraštinės. Trikampio kontūras apriboja trikampę sritį; kalbėdami apie plotą, turime omenyje šios srities plotą. Kraštinės atkarpa yra objektas, o jos ilgis – pasirinktu ilgio vienetu išreikštas teigiamas skaičius.

Vidiniai kampai yra ∠BAC ties viršūne A, ∠ABC ties viršūne B ir ∠ACB ties viršūne C. Kiekvieno jų dydis laipsniais yra griežtai didesnis už 0° ir griežtai mažesnis už 180°. Kai aišku, kuris kampas turimas omenyje, rašome ∠A, ∠B arba ∠C. Kraštinė yra prieš tą viršūnę, kuri jai nepriklauso: BC yra prieš A, CA – prieš B, o AB – prieš C. Įprastame žymėjime a = BC, b = CA ir c = AB mažoji raidė žymi kraštinės, esančios prieš atitinkama didžiąja raide pažymėtą viršūnę, ilgį.

Pagal šį susitarimą trys vienoje tiesėje esantys taškai nesudaro trikampio, net jei jų žymenys ir atstumai tarp kiekvienos taškų poros skiriasi. Pasikartojanti viršūnė taip pat neatitinka reikalavimo, kad taškai būtų skirtingi. Tokios ribinės konfigūracijos gali padėti suprasti ribinį atvejį, tačiau jas aiškiai vadinsime išsigimusiomis. Eskizas su trimis raidėmis ar trimis brūkšniais negali pakeisti šių sąlygų. Prieš taikydami trikampio teoremą, patikrinkite nurodytus taškus, kampų dydžius ir ilgius.

Klasifikavimas pagal kraštines ir kampus atsako į skirtingus klausimus

Lygiakraščio trikampio visų trijų kraštinių ilgiai yra lygūs. Pagal mūsų susitarimą lygiašonis trikampis turi bent dvi vienodo ilgio kraštines, todėl kiekvienas lygiakraštis trikampis taip pat yra lygiašonis. Įvairiakraščio trikampio visų trijų kraštinių ilgiai yra poromis skirtingi. Kai kuriose knygose lygiašoniu vadinamas tik trikampis, turintis lygiai dvi vienodas kraštines; jei taikote šį alternatyvų susitarimą, jį nurodykite. Taigi mūsų lygiakraščių ir lygiašonių trikampių kategorijos sąmoningai persidengia, o įvairiakraščių trikampių kategorija nepersidengia nė su viena iš jų.

Smailiojo trikampio visi trys vidaus kampai yra mažesni nei 90°. Stačiojo trikampio vienas vidaus kampas yra lygus 90°. Bukojo trikampio vienas vidaus kampas yra didesnis nei 90°. Kraštinė prieš statųjį kampą vadinama įžambine, o dvi kraštinės, sudarančios tą kampą, – statiniais. Tai klasifikacija pagal kampus, todėl lygiašonis trikampis taip pat gali būti smailusis, statusis arba bukasis. Vienodai atrodantys brūkšniai ar beveik status kampas nėra tikslūs duomenys apie kraštines ar kampus.

Prieš lygias trikampio kraštines yra lygūs kampai, o prieš lygius kampus – lygios kraštinės. Toliau šį ryšį pagrįsime remdamiesi trikampių lygumu. Taigi lygiakraštis trikampis turi tris lygius kampus, kurių kiekvienas yra 60°, kaip matyti iš toliau įrodomos kampų sumos. Ši suma taip pat rodo, kad kiekvienas neišsigimęs trikampis turi bent du smailiuosius kampus: du kampai, kurių kiekvienas būtų ne mažesnis nei 90°, jau sudarytų bent 180° sumą, tad trečiajam kampui neliktų teigiamo dydžio. Vadinasi, trikampyje negali būti dviejų stačiųjų ar dviejų bukųjų kampų.

Lygiagrečiųjų tiesių savybės paaiškina 180° sumą

Imkime bet kurį neišsigimusį trikampį ABC. Per A nubrėžkime tiesę, lygiagrečią BC. Čia remiamasi Euklido geometrijos lygiagrečiųjų tiesių savybėmis: per tašką, nesantį tiesėje, eina lygiai viena jai lygiagreti tiesė, o skersinės ir dviejų lygiagrečiųjų tiesių sudaryti kryžminiai vidaus kampai yra lygūs. Dviejuose priešinguose per A einančios lygiagrečiosios tiesės spinduliuose pasirinkime taškus X ir Y taip, kad pusplokštumėje, kurioje yra B ir C, spinduliai eitų tokia tvarka: AX, AB, AC ir AY. Tuomet trys greta esantys kampai ∠XAB, ∠BAC ir ∠CAY sudaro ištiestinį kampą.

Tiesė AB yra skersinė, todėl m∠XAB = m∠ABC. Tiesė AC yra kita skersinė, todėl m∠CAY = m∠ACB. Į ištiestinio kampo lygtį įstatę šiuos lygius dydžius, gauname m∠ABC + m∠BAC + m∠ACB = 180°. Šis samprotavimas galioja kiekvienam sąlygas tenkinančiam Euklido geometrijos trikampiui; matuojant kelis brėžinius patikrinami tik tie brėžiniai. Samprotavime remiamasi Euklido geometrijos lygiagrečiųjų tiesių savybėmis, todėl šis rezultatas nėra teiginys apie trikampius visuose įmanomuose kreivuose paviršiuose.

Dabar pratęskime kraštinę BC už C iki D taip, kad B, C ir D būtų vienoje tiesėje, o C būtų griežtai tarp B ir D. Paprastasis išorinis kampas ∠ACD ir vidinis kampas ∠ACB sudaro gretutinių kampų porą, todėl m∠ACD = 180° − m∠ACB. Pagal trikampio kampų sumą šis dydis lygus m∠BAC + m∠ABC, t. y. dviejų su šiuo išoriniu kampu negretutinių vidinių kampų sumai. Kadangi abiejų šių vidinių kampų dydžiai yra teigiami, išorinio kampo dydis yra didesnis už kiekvieno iš jų dydį atskirai. Svarbu, kuri kraštinė pratęsiama ir kuris paprastasis kampas pasirenkamas: įgaubtasis sektorius ar kitas nesusijęs kampas už brėžinio ribų nėra šis išorinis kampas.

Trys teigiami ilgiai turi tenkinti griežtas trikampio nelygybes

Jei a, b ir c yra neišsigimusio Euklido geometrijos trikampio kraštinių ilgiai, tai a + b > c, b + c > a ir c + a > b. Geometriškai laužtinis kelias per trečiąją viršūnę yra ilgesnis už tiesią kraštinę, jungiančią kitas dvi viršūnes; Euklido atstumo nelygybėje lygybė galioja tada ir tik tada, kai tarpinis taškas yra toje tiesioje atkarpoje. Kadangi čia viršūnės nėra vienoje tiesėje, lygybė negalima. Teigiami ilgiai ir visos trys griežtos nelygybės taip pat yra pakankamos sąlygos tokiam trikampiui egzistuoti. Konstravimas liniuote ir skriestuvu bus nagrinėjamas vėliau.

Kai a ir b yra teigiami, šios sąlygos yra lygiavertės sąlygai |a − b| < c < a + b. Viršutinė riba gaunama iš a + b > c; kitos dvi nelygybės duoda c > a − b ir c > b − a, kurios kartu nusako griežtą apatinę ribą. Pavyzdžiui, jei kraštinių ilgiai yra 4 cm ir 7 cm, trečiosios kraštinės ilgis gali būti x cm tada ir tik tada, kai 3 < x < 11. Tai apibūdina visus leistinus realiuosius ilgius, o ne tik kelias bandomąsias reikšmes. Jei ilgiai surikiuoti taip, kad 0 < a ≤ b ≤ c, pakanka patikrinti a + b > c: kitos dvi nelygybės tuomet išplaukia iš teigiamumo ir šios tvarkos.

Lygybė nusako ribinį atvejį, o ne tinkamą trikampį. 4, 7 ir 11 ilgio atkarpos gali būti vienoje tiesėje taip, kad 11 vienetų ilgio atkarpa būtų lygi kitoms dviem, sudėtoms galais; 4, 7 ir 3 ilgiai duoda atitinkamą apatinės ribos atvejį, kai atkarpos yra vienoje tiesėje. Abiem atvejais apribotas plotas yra nulinis. Jei ilgiausia siūloma kraštinė yra ilgesnė už kitų dviejų sumą, net toks laužtinis kelias negali pasiekti jos galinio taško, todėl trikampio su tokiais kraštinių ilgiais nėra. Nulinio ar neigiamo ilgio siūloma kraštinė jau netenkina teigiamo ilgio sąlygos. Išsprendus lygtį, gautą rezultatą vis tiek reikia patikrinti pagal šias sąlygas.

Lygumas išsaugo formą ir dydį pagal nustatytą atitikties tvarką

Du trikampiai yra lygūs, kai atstumus išsaugantis judesys vieną sutapatina su kitu. Plokštumoje tokie judesiai yra lygiagretieji postūmiai, posūkiai ir atspindžiai arba jų kompozicijos. Atspindėto trikampio orientacija gali būti priešinga, tačiau jis vis tiek gali būti lygus pradiniam trikampiui. Pagal šią atitiktį atitinkamų kraštinių ilgiai ir vidinių kampų dydžiai sutampa. Todėl abiejų trikampių sričių plotai yra vienodi, o jų ribų perimetrai lygūs.

Rašykime △ABC ≅ △PQR tik tada, kai A atitinka P, B atitinka Q, o C atitinka R. Ši tvarka nusako AB ↔ PQ, BC ↔ QR ir CA ↔ RP bei ∠A ↔ ∠P, ∠B ↔ ∠Q ir ∠C ↔ ∠R. Jei A atitinka R, B atitinka P, o C atitinka Q, rašykime △ABC ≅ △RPQ. To paties trikampio viršūnių įvardijimas kita tvarka nekeičia jo taškų aibės, tačiau pakeičia dviejų trikampių lygybės teiginiu nusakomą atitiktį. Prieš surašydami lygybes, nustatykime vieną nuoseklią atitiktį.

Trikampių lygumo požymiai leidžia nustatyti visą atitiktį iš mažesnio tikslių duomenų rinkinio. Kai tinkamas požymis įrodo trikampių lygumą, likę atitinkami elementai yra lygūs. Nekeiskite šios samprotavimo tvarkos: neimkite iš brėžinio neįrodytos kampų lygybės ir nenaudokite jos trikampių lygumui nustatyti, jei būtent tas lygumas turėjo pagrįsti šią kampų lygybę. Taip pat vien lygūs perimetrai ar lygūs plotai neįrodo trikampių lygumo: kiekvienas iš jų yra tik vienas skaičius ir nenusako kraštinių bei kampų išsidėstymo.

Kiekvienas lygumo požymis nurodo, kurie duomenys turi sutapti

Dviem egzistuojantiems neišsigimusiems Euklido trikampiams, kurių viršūnių atitiktis nustatyta, lentelėje pateikti požymiai yra pakankami lygumui nustatyti. SSS remiasi visomis trimis kraštinių poromis. SAS remiasi dviem kraštinių poromis ir kampu tarp jų: jei kraštinės yra AB ir AC, reikalingas kampas yra ∠BAC ties jų bendru galiniu tašku A. Atitinkamas antrojo trikampio kampas turi būti tarp dviejų atitinkamų kraštinių. Kraštinės ilgis yra teigiamas, o vidinio kampo tarp šių kraštinių dydis yra griežtai tarp 0° ir 180°.

ASA remiasi dviem kampų poromis ir kraštine tarp tų kampų viršūnių; AAS remiasi dviem kampų poromis ir nurodyta atitinkama kraštine, kuri nėra tarp jų. Kai dviejų kampų porų dydžiai sutampa, dėl 180° kampų sumos sutampa ir trečiosios poros dydžiai, todėl variantą su kraštine, kuri nėra tarp duotųjų kampų, galima suvesti į ASA, naudojant tinkamus žinomus kampus. RHS, dar vadinamas įžambinės ir statinio požymiu arba HL, reikalauja, kad abu trikampiai būtų statieji, jų įžambinės būtų lygios ir viena atitinkamų statinių pora būtų lygi. Įžambinę reikia nustatyti kaip kraštinę prieš duotąjį statųjį kampą. Čia naudojame šiuos nusistovėjusius Euklido geometrijos požymius; išsamus kiekvieno požymio pagrindimas paliekamas vėlesniam aksiominiam nagrinėjimui.

Trikampių lygumas dabar paaiškina klasifikacijoje naudojamą ryšį su lygiomis kraštinėmis. Jei trikampyje ABC yra AB = AC, palyginkime △ABC su △ACB: visos trys atitinkamos kraštinės yra lygios, todėl pagal SSS trikampiai yra lygūs ir ∠ABC = ∠ACB. Ir atvirkščiai, jei šie du kampai yra lygūs, palyginkime tuos pačius taip surikiuotus trikampius. Jų kampai ties B ir C sutampa atvirkštine tvarka, o kraštinė tarp jų BC lygi CB, todėl pagal ASA gauname AB = AC. Tai bendras argumentas su aiškiai nurodytomis prielaidomis, o ne rėmimasis iš pažiūros simetrišku brėžiniu.

Trys lygūs kampai ir bendrasis SSA atvejis negarantuoja lygumo

AAA reiškia, kad trys atitinkamų kampų poros yra lygios. Tai nustato trikampio formą, bet nesuteikia jokio ilgio, kuris nustatytų jo dydį. Lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė yra 2 cm, ir kitas, kurio kraštinė yra 5 cm, abu turi 60°, 60° ir 60° kampus, tačiau jie nėra lygūs, nes jų kraštinių ilgiai skiriasi. Jau dviejų atitinkamų kampų porų lygybės pakanka, kad ir trečioji pora būtų lygi; toliau tai bus panašumo požymis. Lygumo požymiu tai tampa tik tada, kai nustatomas ir tinkamos atitinkamos kraštinės ilgis.

Skaitydami pirmą kartą, sutelkite dėmesį į tai, kodėl AAA nenustato dydžio ir kodėl SAS reikia kampo tarp nurodytų kraštinių. Toliau pateiktas patikrinimas koordinatėmis yra neprivalomas: grįžkite prie jo, kai gerai suprasite atstumų kvadratų skaičiavimą pagal koordinates ir trupmenas. SSS, SAS, ASA, AAS ir RHS galite taikyti pagal nurodytas sąlygas ir be šio skaičiavimo.

SSA nurodo dvi kraštinių poras ir kampą, kuris nėra tarp tų kraštinių. Bendruoju atveju šie duomenys gali atitikti du nelygius trikampius. Štai tikslus kontrpavyzdys, pateiktas koordinatėmis. Pasirinkime A = (0, 0), B = (8, 0), C = (4, 3) ir C′ = (156/25, 117/25), visoms koordinatėms naudodami tą patį ilgio vienetą. Kadangi C′ = (39/25)C, o daugiklis teigiamas, spinduliai AC ir AC′ sutampa. Taigi △ABC ir △ABC′ kampas ties A yra vienodas. Abiejuose trikampiuose AB = 8, taip pat BC = 5, o BC′² = (−44/25)² + (117/25)² = 25, todėl BC′ = 5.

Tačiau AC = 5, o AC′ = (39/25) × 5 = 39/5. Abiejų trečiųjų viršūnių antrosios koordinatės yra teigiamos, todėl abu trikampiai yra skirtingos leistinos konfigūracijos, kurių viršūnės nėra vienoje tiesėje, o jų trečiųjų kraštinių ilgiai skiriasi. Žinomas kampas ties A yra tarp AB ir AC, o nurodytos kraštinės yra AB ir BC: tai nėra kampas tarp kraštinių, kurio reikia SAS. Šis vienas patikrintas kontrpavyzdys paneigia visuotinę SSA lygumo taisyklę. Tai nereiškia, kad kiekvienas SSA duomenų rinkinys turi du sprendinius. RHS yra papildomas galiojantis stačiųjų trikampių atvejis, todėl būtina išlaikyti jo stataus kampo ir įžambinės sąlygas.

Panašumas išsaugo formą, o ilgius keičia tuo pačiu teigiamu koeficientu

Du trikampiai yra panašūs, kai vieną galima atvaizduoti į kitą vienodai keičiant mastelį ir taikant atstumus išlaikančius judesius. Atitinkami vidaus kampai yra lygūs, o kiekvienas atitinkamas ilgis keičiamas tuo pačiu teigiamu daugikliu. Leidžiami lygiagretieji postūmiai, posūkiai ir atspindžiai, todėl veidrodinis atvaizdas gali būti panašus. Mastelis turi būti keičiamas vienodai visomis kryptimis; ištempus brėžinį tik horizontaliai, jo kampai paprastai pasikeičia, todėl tai nėra panašumo transformacija.

Kai △ABC ∼ △PQR, išlaikykite atitikmenų tvarką A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ R ir apibrėžkite k pereidami nuo pirmojo trikampio prie antrojo: k = PQ/AB = QR/BC = RP/CA > 0. Kiekvienas vardiklis yra teigiamas, nes trikampiai neišsigimę. Jei k > 1, antrasis trikampis yra didesnis; jei 0 < k < 1, jis mažesnis; jei k = 1, trikampiai yra lygūs. Pereinant priešinga kryptimi, daugiklis yra 1/k. Nulinis daugiklis sutapatintų viršūnes, todėl jis neleidžiamas; pagal šį susitarimą neigiamas daugiklis nėra ilgių santykis. Atspindys atliekamas leidžiamu judesiu, o k išlieka teigiamas.

Kiekviename santykyje naudokite atitinkamas kraštines, tą pačią perėjimo kryptį ir vienodus matavimo vienetus. 2 m ilgį padalijus iš 50 cm, gaunama 200 cm / 50 cm = 4, o ne 2/50. Gautas mastelio daugiklis yra bedimensis. Panašumas nusako, kuriems dydžiams taikomas tas pats daugiklis; dėl jo ne kiekviena sudėtingame brėžinyje matoma atkarpa tampa atitinkama atkarpa. Nustatykite kiekvieną atitinkamų galinių taškų porą, o viduje esančių aukštinių ar kitų sukonstruotų ilgių atveju paaiškinkite, kodėl panašumo transformacija pasirinktą konstrukciją atvaizduoja į jos atitikmenį.

Panašumo požymiai sieja vienodą formą ir vienodus santykius

AA pakanka: dvi atitinkamų vidaus kampų poros yra lygios. Tuomet dėl kampų sumos lygi ir trečioji pora. Kad suprastumėte, kodėl laisvai pasirinkti lieka tik dydį, pasirinkite vieną atitinkamų kraštinių porą ir pakeiskite pirmojo trikampio mastelį pagal teigiamą jų ilgių santykį. Keičiant mastelį, kampai išlieka tokie patys, o pasirinkta kraštinė tampa lygi savo atitikmeniui. Tuomet pagal ASA arba AAS pakeisto mastelio trikampis yra lygus antrajam trikampiui. Vadinasi, pradiniai trikampiai yra panašūs. AAA suteikia tą pačią pakankamą informaciją, tik pakartotinai nurodo ir trečiąją lygių kampų porą.

SSS panašumo požymis reikalauja, kad visi trys atitinkamų kraštinių santykiai būtų lygūs tam pačiam teigiamam k. Pakeiskite pirmojo trikampio mastelį daugikliu k; dabar visos trys kraštinių poros yra lygios, todėl taikomas SSS lygumo požymis. SAS panašumo požymis reikalauja, kad du atitinkamų kraštinių santykiai būtų lygūs tam pačiam teigiamam k, o kampai tarp tų kraštinių būtų lygūs. Pakeitus mastelį, abi kraštinių poros ir kampai tarp jų yra lygūs, todėl taikomas SAS lygumo požymis. Šie argumentai paaiškina požymius kiekvienam leistinam duomenų rinkiniui ir parodo, kodėl nustatant panašumą lyginami santykiai, o nustatant lygumą – ilgiai.

Dviejų proporcingų kraštinių porų nepakanka, jei kampai tarp jų nėra lygūs. Pavyzdžiui, egzistuoja ir lygiakraštis trikampis, kurio kraštinės yra 4, 4, 4, ir lygiašonis trikampis, kurio kraštinės yra 8, 8, 12, tačiau pirmųjų dviejų atitinkamų kraštinių proporcingumo koeficientas yra 2, o trečiųjų – 3. Šie trikampiai nėra panašūs. Taip pat, SAS panašumo požymyje kampą tarp kraštinių pakeitus kampu, kuris nėra tarp jų, negaunamas universalus požymis; pirmiau pateiktame SSA kontrpavyzdyje dviejų kraštinių porų santykiai jau yra lygūs 1, o kampai, esantys ne tarp šių kraštinių, yra lygūs, tačiau trečiųjų kraštinių santykiai skiriasi.

Perimetrai padauginami iš k, o plotai – iš k²

Tarkime, kad a, b ir c yra pirmojo trikampio teigiami kraštinių ilgiai, o antrojo, į jį panašaus trikampio kraštinių ilgiai yra ka, kb ir kc. Jo perimetras yra ka + kb + kc = k(a + b + c), taigi P₂ = kP₁. Ši lygybė galioja ir didinant, ir mažinant, o kiekvienas perimetras išreiškiamas ilgio vienetais. Ji gaunama sudėjus visų trijų pakeisto mastelio kraštinių ilgius, o ne išmatavus pasirinktą paveikslėlių porą.

Plotui apskaičiuoti pasirinkime b ilgio pagrindą ir teigiamą aukštinės, nuleistos iš priešingos viršūnės statmenai į tiesę, kurioje yra pagrindas, ilgį h. Bukojo trikampio aukštinės pagrindas gali būti už kraštinės ribų; aukštinės ilgis vis tiek yra statmenas atstumas iki tiesės. Panašumo transformacija pagrindo tiesę ir statmenį atvaizduoja į atitinkamą tiesę ir statmenį, išsaugo stačiuosius kampus ir abu ilgius padaugina iš k. Taigi S₂ = ½(kb)(kh) = k²(½bh) = k²S₁. Plotas išreiškiamas kvadratiniais vienetais. Kai koeficientas yra 3, plotas padidėja devynis kartus; kai koeficientas yra 1/2, plotas sudaro ketvirtadalį pradinio ploto.

Panašiems neišsigimusiems trikampiams k = P₂/P₁ ir k = √(S₂/S₁), imant teigiamą kvadratinę šaknį. Iš vienodų plotų trikampių lygumas išplaukia tik tada, kai jų panašumas jau nustatytas: tuomet iš k² = 1 ir k > 0 gauname k = 1. Jei panašumas nenustatytas, vienodo ploto trikampiai gali būti skirtingų formų. Taikant kampo–kampo (AA) panašumo požymį, pavyzdžiui, lyginant šešėlius, būtinos geometrinės sąlygos: vertikalūs objektai, horizontalus žemės paviršius ir lygiagretūs saulės spinduliai užtikrina vienodus stačiuosius kampus ir vienodus kampus su šviesos spinduliais. Lyginkite šiomis sąlygomis atliktus matavimus, nuosekliai naudokite atitinkamų aukščių ir šešėlių ilgių santykius ir skirkite apytikslius matavimus vietovėje nuo tikslių matematinių duomenų.

Patikrinkite tikslius kraštinių duomenis ir atskirkite pasirinktos atitikties bei trikampių poros vertinimą

Palyginimo režimas pradedamas nuo A = (0, 0), B = (4, 0) ir C = (0, 3). Šešiuose lyginamuose vaizduose pateikiamas nepakeistas trikampis, lygiagretusis postūmis, atspindys, vienodas mastelio keitimas koeficientu 3/2, kitokių proporcijų statusis lygiašonis trikampis ir vienoje tiesėje esančių taškų konfigūracija. Pasirinkite vieną iš šešių galimų viršūnių atitikčių. Modelis parodo, ar pasirinkta viršūnių tvarka tenkina lygumo arba panašumo pagal tris kraštines (SSS) požymį, ir atskirai nurodo, ar kuri nors viršūnių atitiktis nustato šį ryšį tarp abiejų trikampių. Netinkamai pasirinkta tvarka gali netenkinti požymio net tada, kai abu trikampiai yra lygūs. Šios šešios bijekcijos apima visas galimas šios konkrečios poros viršūnių atitiktis.

Lyginant naudojami tikslūs kraštinių ilgių kvadratai, todėl panašumui būtina, kad kiekvienas atitinkamų ilgių kvadratų santykis būtų lygus tam pačiam teigiamam skaičiui λ. Tuomet ilgių koeficientas yra k = √λ, nes λ = k²; jis pateikiamas tik tada, kai neišsigimę trikampiai tenkina šį panašumo kriterijų. Atspindys išsaugo lygumą, o keičiant mastelį koeficientu 3/2 gaunama λ = 9/4, perimetrų koeficientas 3/2 ir plotų koeficientas 9/4. Ilgiai ir plotai be ženklo nustatomi skaičiavimais pagal koordinates; brėžinys su vienodu abiejų ašių masteliu juos iliustruoja nematuojant pikselių. Šiuose vaizduose nagrinėjami kraštinėmis grindžiami požymiai, tačiau kiekvienas vaizdas atskirai neparodo visų pirmiau aptartų kampais grindžiamų požymių.

Kraštinių ilgių režime pateikiami aštuoni sutvarkyti trejetai, kuriuose a = BC, b = CA ir c = AB. Jie apima galimus trikampius, ribinį lygybės atvejį su teigiamais ilgiais, neįmanomus duomenis ir neteigiamus ilgius. Režimas patikrina ilgių teigiamumą bei visas tris griežtąsias nelygybes ir parodo visą leistiną kraštinės a ilgio intervalą |b − c| < a < b + c, kai b ir c yra fiksuoti ir teigiami. Jei duomenys tinkami, viršūnės išdėstomos taip: A = (0, 0), B = (c, 0) ir C = (x, h), kur x = (b² + c² − a²)/(2c), h² = b² − x² ir h > 0. Teigiami ilgiai, tenkinantys lygybę, duoda ribinę konfigūraciją, kurios viršūnės yra vienoje tiesėje, o plotas lygus nuliui. Jei duomenys neįmanomi arba ilgiai neteigiami, išgalvota trikampio viršūnė nepridedama. Pasirinkti atvejai padeda nagrinėti; apibrėžimai ir bendrieji argumentai pagrindžia bendresnius rezultatus. Kitoje pamokoje nagrinėjamas stačiojo trikampio kraštinių ilgių sąryšis.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ar A = (0, 0), B = (2, 0), C = (5, 0) sudaro trikampį pagal šioje pamokoje taikomą susitarimą? O jei C = A? Ar 0°, 90° ir 90° gali būti neišsigimusio trikampio vidaus kampų dydžiai? Galiausiai nustatykite trikampio, kurio visos trys kraštinės lygios, tipą, įskaitant jo tipą pagal kampus ir tai, ar jis laikomas lygiašoniu pagal mūsų susitarimą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vienoje tiesėje esantys trys taškai nesudaro neišsigimusio trikampio, o kai C = A, netenkinama sąlyga, kad taškai turi būti skirtingi. Kampų dydžiai 0°, 90° ir 90° netenkina sąlygos, kad vidaus kampai turi būti griežtai teigiami. Pagal mūsų susitarimą lygiakraštis trikampis taip pat yra lygiašonis; jis yra smailusis, o visi trys jo kampai yra po 60°.

   Visi trys pirmojo trejeto taškai yra tiesėje y = 0, todėl juos sujungus nesusidaro trikampė sritis. Pakartojus A taip pat nelieka atskiros viršūnės. Vien 180° sumos nepakanka, kai vieno kampo dydis lygus nuliui. Prieš lygias kraštines esantys kampai yra lygūs; tuomet iš kampų sumos gauname 3θ = 180° ir θ = 60°. Čia lygiašonis reiškia turintis bent dvi lygias kraštines, todėl ši sąvoka apima ir atvejį, kai visos trys kraštinės lygios.

2. Neišsigimusio Euklido geometrijos trikampio ABC vidaus kampų ties A, B ir C dydžiai yra atitinkamai (3t + 2)°, (4t + 5)° ir (5t + 17)°. Raskite t, nustatykite trikampio rūšį pagal kampus ir raskite įprastinį išorinį kampą ties C, susidarantį pratęsus BC už C. Patikrinkite išorinio kampo teoremą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   t = 13, o vidaus kampų dydžiai yra 41°, 57° ir 82°, todėl trikampis yra smailusis. Nurodyto išorinio kampo ties C dydis yra 98° ir lygus 41° + 57°.

   Kampų sumos lygtis yra 12t + 24 = 180, todėl 12t = 156 ir t = 13. Įstatę gauname 41, 57 ir 82; visi dydžiai yra teigiami, mažesni už 90, o jų suma lygi 180. Pratęsus kraštinę susidaro kampas, gretutinis 82° vidaus kampui, todėl įprastinio išorinio kampo dydis yra 180° − 82° = 98°. Negretutinių vidaus kampų suma taip pat yra 41° + 57° = 98°. Pratęsimo padėtis užtikrina, kad kampai yra gretutiniai.

3. Dviejų numatomo trikampio kraštinių ilgiai yra 4 cm ir 7 cm. Aprašykite visas realiąsias trečiosios kraštinės ilgio x cm reikšmes, kurioms esant trikampis yra neišsigimęs. Išvardykite visas leistinas sveikąsias x reikšmes ir nustatykite, kokie yra atvejai x = 3, x = 11, x = 2 ir x = 0.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visas realiųjų reikšmių intervalas yra 3 < x < 11. Sveikosios reikšmės yra 4, 5, 6, 7, 8, 9 ir 10. Reikšmės 3 ir 11 yra ribiniai išsigimę atvejai, kai viršūnės yra vienoje tiesėje; 2 yra neįmanoma reikšmė, o 0 neatitinka teigiamo kraštinės ilgio sąlygos.

   Griežtoji nelygybė yra |7 − 4| < x < 7 + 4, taigi 3 < x < 11. Kai x = 3, 4 + 3 = 7; kai x = 11, 4 + 7 = 11. Šios lygybės negali apibūdinti trijų ne vienoje tiesėje esančių viršūnių. Kai x = 2, ilgiausia kraštinė 7 yra ilgesnė už 4 + 2, todėl pažeidžiama atstumų sąlyga. Sveikoji atsakymo reikšmė taip pat turi priklausyti realiajam intervalui, neįskaitant jo galų; apvalinimas ar kurio nors intervalo galo įtraukimas pakeistų leistinų reikšmių aibę.

4. Duoti du neišsigimę trikampiai, kurių viršūnės atitinka A ↔ D, B ↔ E ir C ↔ F, ir žinoma, kad AB = DE ir AC = DF. Kuri lygių kampų pora leidžia taikyti SAS požymį: ∠A = ∠D ar ∠B = ∠E? Jei vietoj to duota ∠A = ∠D ir ∠B = ∠E, kuri kraštinių pora leidžia taikyti ASA požymį? Ar AB = EF būtų reikiamų atitinkamų kraštinių lygybė?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   ∠A = ∠D yra kampų tarp duotų kraštinių lygybė, reikalinga SAS požymiui; ∠B = ∠E su tomis pačiomis dviem kraštinių poromis yra bendras dviejų kraštinių ir kampo ne tarp jų atvejis (SSA), kurio nepakanka. Esant dviem kampų poroms, ASA požymiui naudojama AB = DE. Lygybė AB = EF sieja neatitinkamas kraštines ir nepatvirtina šio požymio.

   AB ir AC susikerta ties A, o DE ir DF – ties D, todėl kampai tarp šių kraštinių yra ties šiomis viršūnėmis. Kampas ties B yra tarp BA ir BC, tačiau BC nebuvo viena iš dviejų duotų kraštinių. Kampų poroms ties A, B ir D, E juos jungiančios kraštinės yra AB ir DE. Pagal nustatytą atitiktį A atitinka D, o B atitinka E, o ne atitinkamai E ir F. Net ir tiksliai sutampantys ilgiai gali būti naudojami kaip trikampių lygumo požymis tik tada, kai kraštinių galai atitinka teisingai.

5. Neišsigimusio trikampio ABC kampas ties B yra statusis, o trikampio PQR kampas ties R taip pat yra statusis. Jų kraštinių ilgiai tenkina AC = PQ = 13 cm ir AB = PR = 5 cm. Užrašykite trikampių lygumo teiginį, išlaikydami atitinkamų viršūnių tvarką, nurodykite lygumo požymį ir kraštinę, atitinkančią BC. Ar vien šių dviejų kraštinių lygybių pakaktų RHS (įžambinės ir statinio) požymiui taikyti, jei nebūtų duota, kad kampai yra statieji?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   △ABC ≅ △PRQ pagal RHS (įžambinės ir statinio) požymį, kur A ↔ P, B ↔ R ir C ↔ Q. BC atitinka RQ. Vien dviejų kraštinių lygybių nepakanka RHS požymiui taikyti, jei nežinoma, kad kampai yra statieji.

   Prieš duotuosius stačiuosius kampus esančios kraštinės yra AC ir PQ, todėl 13 cm ilgio kraštinių pora yra įžambinių pora. 5 cm ilgio kraštinių porą AB ir PR sudaro atitinkami statiniai. Taip nustatomos atitiktys B ↔ R ir A ↔ P, o likusi atitiktis yra C ↔ Q. Abu statieji kampai, įžambinių lygybė ir statinių lygybė tenkina RHS požymio sąlygas. Atsisakius prielaidų apie stačiuosius kampus, nebelieka nei pagrindo priskirti trikampius statiesiems, nei pagrindo laikyti tas kraštines įžambinėmis.

6. Du neišsigimę trikampiai tenkina sąlygas ∠A = ∠P ir ∠B = ∠R. Trikampyje ABC kraštinės AB = 6 cm, BC = 8 cm ir CA = 7 cm; trikampyje PQR kraštinė PR = 9 cm. Užrašykite pagal AA požymį pagrįstą trikampių panašumą, išlaikydami atitinkamų viršūnių tvarką, raskite likusių atitinkamų kraštinių ilgius ir antrojo trikampio perimetrą. Nuspręskite, ar atspindėjus antrąjį trikampį panašumas išnyktų.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   △ABC ∼ △PRQ. Panašumo koeficientas pereinant nuo ABC prie PRQ yra 3/2, todėl RQ = 12 cm, QP = 21/2 cm, o antrojo trikampio perimetras yra 63/2 cm. Atspindys išsaugo panašumą.

   Dvi kampų poros nustato atitiktis A ↔ P ir B ↔ R; tuomet iš 180° kampų sumos gaunama atitiktis C ↔ Q. Taigi AB ↔ PR, BC ↔ RQ ir CA ↔ QP. Nuosekliai taikykite k = 9/6 = 3/2: (3/2) × 8 = 12 ir (3/2) × 7 = 21/2. Pirmojo trikampio perimetras yra 21 cm, todėl antrojo trikampio perimetras yra (3/2) × 21 = 63/2 cm; jis taip pat lygus 9 + 12 + 21/2. Atspindys pakeičia orientaciją, bet išsaugo kampus ir atitinkamų atstumų santykius.

7. Žinoma, kad du neišsigimę trikampiai yra panašūs. Pirmojo plotas yra 12 cm², o perimetras – 16 cm; antrojo plotas yra 27 cm². Raskite panašumo koeficientą pereinant nuo pirmojo trikampio prie antrojo ir antrojo trikampio perimetrą. Paaiškinkite, kodėl pats plotų santykis nėra ilgių santykis ir ar vienodi plotai įrodytų trikampių lygumą, jei panašumas nebūtų nustatytas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Plotų santykis yra 9/4, todėl teigiamas panašumo koeficientas yra k = 3/2, o antrojo trikampio perimetras yra 24 cm. Plotų santykis lygus k². Vien plotų lygybė neįrodo trikampių lygumo, kai panašumas nenustatytas.

   Padalykite tais pačiais ploto vienetais išreikštus plotus: 27/12 = 9/4. Tuomet iš k² = 9/4 ir k > 0 gauname k = 3/2, todėl P₂ = (3/2) × 16 = 24 cm. Pagal mūsų susitarimą ilgių santykis negali būti neigiamas. Teiginio, kad vienodi plotai lemia trikampių lygumą, kontrpavyzdys yra statieji trikampiai, kurių viršūnės yra (0, 0), (4, 0), (0, 3) ir (0, 0), (6, 0), (0, 2): abiejų plotas yra 6 kvadratinių koordinačių vienetų. Pirmojo kraštinių ilgiai yra 3, 4 ir 5; antrasis turi 2 ilgio kraštinę, o jo kraštinių ilgių rinkinys nesutampa su 3–4–5 rinkiniu, todėl trikampiai nėra lygūs. Panašumas suteikia papildomą formos sąlygą, reikalingą trikampių lygumui nustatyti iš vienodų teigiamų plotų.

Ką verta įsidėmėti

• Neišsigimęs Euklido geometrijos trikampis turi tris skirtingas, vienoje tiesėje nesančias viršūnes, tris teigiamus kraštinių ilgius ir tris vidaus kampus, kurių dydžiai yra griežtai tarp 0° ir 180°.
• Trikampius klasifikuokite pagal kraštines ir pagal kampus atskirai. Pagal mūsų susitarimą lygiakraščiai trikampiai taip pat yra lygiašoniai; prieš lygias kraštines yra lygūs kampai, ir atvirkščiai.
• 180° vidaus kampų suma išplaukia iš Euklido geometrijos lygiagrečių tiesių savybių. Įprastas išorinis kampas, sudarytas pratęsus kraštinę, lygus dviejų su juo negretimų vidaus kampų sumai.
• Teigiami ilgiai a, b ir c sudaro neišsigimusį trikampį tada ir tik tada, kai visos trys trikampio nelygybės yra griežtos. Kai teigiami a ir b yra fiksuoti, trečiasis ilgis tenkina |a − b| < c < a + b; lygybės atveju trikampis yra išsigimęs.
• Trikampių viršūnes rašykite atitinkama tvarka. SSS, SAS su kampu tarp kraštinių, ASA, AAS su atitinkama kraštine ir RHS statiesiems trikampiams yra pakankami trikampių lygumo požymiai; AAA ir bendruoju atveju SSA nėra.
• Panašumas leidžia atspindį ir vieną teigiamą, visiems ilgiams bendrą mastelio koeficientą k. Panašumą nustato AA požymis, trys vienodi atitinkamų kraštinių ilgių santykiai arba du vienodi santykiai ir lygus kampas tarp tų kraštinių; kai k = 1, trikampiai yra lygūs.
• Atitinkami ilgiai ir perimetrai padauginami iš k, o plotai – iš k². Išlaikykite santykio kryptį, prieš dalydami suvienodinkite matavimo vienetus, o k raskite iš teigiamo plotų santykio, ištraukdami teigiamą jo kvadratinę šaknį.