Pitagoro sąryšis ir atstumas

Statusis kampas lemia kraštinių vaidmenis

Pradėkite nuo dviejų 3 cm ir 4 cm ilgio atkarpų, susijungiančių stačiuoju kampu. Sujunkite kitus jų galus. Kokio ilgio yra juos jungianti atkarpa? Dvi statmenos kraštinės yra stačiojo trikampio statiniai, o prieš statųjį kampą esanti kraštinė – jo įžambinė. Jos ilgį rasime lygindami plotus. Dirbame Euklido plokštumoje. Visoje pamokoje trikampis turi tris skirtingas, vienoje tiesėje nesančias viršūnes ir teigiamus kraštinių ilgius. Statusis kampas yra 90°, kad ir kaip trikampis būtų išdėstytas brėžinyje: pasuktas trikampis taip pat gali būti statusis.

Trikampio ABC kraštinių ilgius žymėkite a = BC, b = CA ir c = AB. Jei statusis kampas yra ties C, tuomet a ir b yra statiniai, o c – įžambinė. Jei statusis kampas yra ties A, įžambinė yra a, o statiniai – b ir c. Kai statusis kampas yra ties B, įžambinė yra b. Formulėje įžambinę dažnai žymime c, tačiau šis patogus susitarimas neturi pakeisti uždavinyje pateiktų žymėjimų.

Prieš atlikdami veiksmus su skaitinėmis ilgių reikšmėmis, pasirinkite vieną ilgio vienetą. 2 m ilgio statinio ir 150 cm ilgio kito statinio skaitinės ilgių reikšmės metrais yra 2 ir 1.5, o centimetrais – 200 ir 150. Pakėlus ilgį kvadratu, gaunamas dydis, išreikštas kvadratiniais vienetais. 3 cm ilgio kraštinė pati savaime nėra plotas; kvadrato, kurio kraštinė yra ši atkarpa, plotas yra 9 cm². Tiksliame geometriniame apraše stačiojo kampo žymė nurodo prielaidą; kampas, kuris tik atrodo status, tokios prielaidos nesuteikia.

Prieš nagrinėdami įrodymą naudojant plotus, pakartokite kvadrato ir trikampio plotus, bendrus ilgio vienetus ir teigiamas kvadratines šaknis. Įrodyme taip pat naudojama 180° trikampio kampų suma ir trikampių lygumo požymis pagal dvi kraštines ir kampą tarp jų (SAS): jei dviejų porų atitinkamų kraštinių ilgiai ir kampai tarp jų yra lygūs, trikampiai yra lygūs. Vėliau įrodant atvirkštinę teoremą naudojamas trikampių lygumo požymis pagal tris kraštines (SSS), kai visų trijų atitinkamų kraštinių ilgiai sutampa. Jei šie teiginiai apie trikampius jums nauji, išmokite juos prieš grįždami prie abiejų įrodymų.

Skaitydami pirmą kartą, išnagrinėkite 3, 4, 5 kvadratų plotų pavyzdį ir figūrų skaidymą, tada apskaičiuokite teigiamą nežinomą ilgį. Prie atskirai nagrinėjamos atvirkštinės teoremos grįžkite, kai būsite pasirengę palyginti du trikampius, kurių lygumas nustatomas pagal SSS požymį. Skyrius apie atstumą yra pasirenkamas kitas žingsnis, kai jau mokate skaityti Dekarto koordinates su ženklais; įrodymui naudojant plotus koordinačių nereikia.

Sudedami kvadratų plotai, o ne kraštinių ilgiai

Neišsigimusiam stačiajam trikampiui, kurio statinių ilgiai a ir b yra teigiami, o įžambinės ilgis yra c, Pitagoro teorema teigia: c² = a² + b². Lygiavertiškai, kvadrato, kurio kraštinės ilgis c, plotas lygus kvadratų, kurių kraštinių ilgiai a ir b, plotų sumai. Kai statinių ilgiai yra 3 ir 4, šie plotai yra 9 ir 16, todėl kvadrato, kurio kraštinė yra įžambinė, plotas yra 25, o jo kraštinės ilgis yra 5. Šiuo pavyzdžiu sąryšis patikrinamas vienu atveju; toliau pateiktas įrodymas paaiškina jį kiekvienai teigiamų statinių ilgių porai.

Lygtis iš karto parodo, kodėl įžambinė ilgesnė už kiekvieną statinį. Kadangi b² > 0, tai c² = a² + b² > a², o iš ilgių teigiamumo gauname c > a. Panašiai c > b. Iš šios lygties negauname c = a + b. Iš tiesų, (a + b)² = a² + b² + 2ab yra daugiau už c², nes 2ab > 0, todėl c < a + b. Tai viena iš griežtųjų trikampio nelygybių.

Naudojant šią teoremą kraštinės ilgiui apskaičiuoti, stačiojo kampo prielaida yra būtina. Vien tai, kad trikampis turi tris kraštines, nereiškia, kad jis tenkina šią konkrečią lygtį. Atskirai įrodysime atvirkštinę teoremą, kuri leis nustatyti statųjį kampą pagal tikslius kraštinių ilgių duomenis. Kol šio įrodymo nėra, kvadratų lygybės negalima laikyti pradine teoremos prielaida apie kampą.

Kvadrato skaidymas įrodo sąryšį kiekvienai teigiamų statinių ilgių porai

Pradėkime nuo bet kurio stačiojo trikampio, kurio statinių ilgiai a ir b yra teigiami, o įžambinės ilgis yra c. Jo du smailiuosius kampus pažymėkime α ir β. Iš trikampio kampų sumos gauname α + β = 90°. Nubraižykime išorinį kvadratą Q₀Q₁Q₂Q₃, kurio kraštinės ilgis a + b, o viršūnės žymimos iš eilės aplink jo kontūrą. Kiekvienoje kryptinėje kraštinėje QᵢQᵢ₊₁ pažymėkime tašką Pᵢ, nutolusį nuo Qᵢ atstumu a, taigi nuo Qᵢ₊₁ – atstumu b; po 3 indeksai vėl skaičiuojami nuo pradžios. Abu ilgiai yra teigiami, todėl kiekvienas pažymėtas taškas yra kraštinės viduje.

Sujunkime iš eilės pažymėtus taškus P₀, P₁, P₂ ir P₃. Jie sudaro vidinį iškilųjį keturkampį, o prie kiekvienos išorinės viršūnės susidaro po kampinį trikampį. Pavyzdžiui, ties Q₁ trikampio P₀Q₁P₁ statiniai Q₁P₀ = b ir Q₁P₁ = a yra statmeni. Kituose kampuose statinių ilgiai yra tokie patys, o kampas tarp jų – statusis. Pagal dviejų kraštinių ir kampo tarp jų lygybės požymį (SAS) visi keturi kampiniai trikampiai yra lygūs pradiniam stačiajam trikampiui. Taigi kiekviena vidinio keturkampio kraštinė PᵢPᵢ₊₁ yra įžambinė, kurios ilgis c. Ši išvada remiasi trikampių lygumu, nenaudojant atstumo formulės koordinatėmis ir nesiremiant įrodoma teorema.

Vien vienodi vidinio keturkampio kraštinių ilgiai neįrodytų, kad jis yra kvadratas: rombo kampai nebūtinai yra statieji. Ties kiekvienu pažymėtu tašku Pᵢ du gretimų kampinių trikampių kampai yra α ir β, viena arba kita tvarka. Kartu su vidinio keturkampio kampu jie sudaro ištiestinį kampą ties ta išorine kraštine. Todėl vidinis kampas yra 180° − (α + β) = 90°. Visi keturi vidiniai kampai yra statieji, o visų keturių kraštinių ilgis yra c, taigi vidinis keturkampis yra kvadratas, kurio plotas c².

Vidinio kvadrato ir keturių kampinių trikampių vidinės sritys nesikerta ir kartu užpildo išorinį kvadratą: jų bendros kraštinės yra būtent atkarpos, jungiančios iš eilės pažymėtus taškus. Kiekvieno kampinio trikampio plotas yra ab/2, nes jo statiniai yra statmeni. Todėl sudėję plotus gauname (a + b)² = 4(ab/2) + c² = 2ab + c². Išskleidę išorinio kvadrato ploto išraišką gauname a² + 2ab + b² = 2ab + c². Atimkime 2ab ir gausime c² = a² + b². Kiekvienas žingsnis galioja bet kokiems teigiamiems a ir b, taip pat kai a = b; tai nėra išvada, padaryta iš baigtinio brėžinių rinkinio.

Atvirkštinė teorema nustato statųjį kampą pagal SSS požymį

Teoremos ir jai atvirkštinės teoremos prielaidos skiriasi. Teoremoje remiamasi tuo, kad kampas yra statusis, ir daroma išvada apie ilgių kvadratų lygybę. Atvirkštinėje teoremoje remiamasi esamu neišsigimusiu trikampiu ir ilgių kvadratų lygybe, tada daroma išvada, kad nurodytas kampas yra statusis. Iš to, kad implikacija teisinga, savaime neplaukia, kad jai atvirkštinė implikacija taip pat teisinga; šiuo atveju atvirkštinę teoremą galime įrodyti remdamiesi jau įrodyta teorema.

Tarkime, trikampio ABC kraštinių ilgiai a = BC, b = CA ir c = AB yra teigiami ir c² = a² + b². Nubraižykime statųjį trikampį XYZ, kurio statusis kampas yra ties Z, o statiniai YZ = a ir ZX = b. Teigiamo ilgio statiniai, esantys statmenuose spinduliuose, sudaro neišsigimusį trikampį. Tegul jo įžambinės XY ilgis d yra teigiamas. Pagal įrodytą teoremą d² = a² + b² = c². Kadangi d ir c yra teigiami, iš jų kvadratų lygybės gauname d = c.

Dabar AB = XY, BC = YZ ir CA = ZX. Pagal trijų kraštinių lygybės požymį (SSS) įrodoma, kad △ABC ≅ △XYZ, o viršūnių atitiktis yra A ↔ X, B ↔ Y ir C ↔ Z. Jų atitinkami kampai ties C ir Z yra lygūs, todėl ∠C = 90°. Tai ir yra reikiama atvirkštinė teorema. Įrodyme išlaikoma kraštinės, esančios priešais kampą, kuris teigiamas esąs statusis, atitiktis; jei lygybėje suma išreiškiama a², statusis kampas yra ties A. Mes negavome trikampio iš nulinių ar neigiamų kraštinių ilgių, keldami juos kvadratu.

Patikrinkite, ar trikampis galimas, tada palyginkite ilgiausią kraštinę

Kai pateikti trys siūlomi kraštinių ilgiai, bet nenurodytas kampas, pirmiausia patikrinkite, ar kiekvienas ilgis yra teigiamas. Tada patikrinkite griežtąsias trikampio nelygybes a + b > c, b + c > a ir c + a > b. Kai ilgiai teigiami, lygybė vienoje iš šių sąlygų aprašo ribinį atvejį, kai viršūnės yra vienoje tiesėje, o ne neišsigimusį trikampį. Jei didžiausias ilgis viršija kitų dviejų sumą, trikampio su tokiais kraštinių ilgiais nėra. Palyginimas, skirtas nustatyti, ar trikampis statusis, taikomas tik tokiems duomenims, kurie atitinka šias patikras.

Jei trikampis galimas, tegul L yra jo ilgiausios kraštinės ilgis, o u ir v – kitų dviejų kraštinių ilgiai. Jei tiksliai galioja L² = u² + v², atvirkštinė teorema įrodo, kad kampas priešais kraštinę, kurios ilgis L, yra 90°. Jei lygybė negalioja, trikampis nėra statusis: jei jis būtų statusis, pagal teoremą jo įžambinė būtų vienintelė ilgiausia kraštinė ir turėtų galioti būtent ši lygybė. Šioje pamokoje iš šio palyginimo daroma tik išvada, ar trikampis yra statusis, ar ne; jis nepriskiriamas smailiesiems ar bukiesiems trikampiams remiantis neįrodyta papildoma taisykle.

Rinkdamiesi didžiausią ilgį, išlaikykite pradinius kraštinių žymėjimus. Kai ilgiai pateikti tvarka (a, b, c) = (5, 3, 4), a = BC yra didžiausias, o lygybė a² = b² + c² užrašoma 25 = 9 + 16. Statusis kampas yra ties A, o ne ties C. Surikiavus skaitines vertes, skaičiuoti gali būti lengviau, tačiau nepastebimai perrikiavus žymėjimus pasikeičia tai, kuri viršūnė yra prieš kurią kraštinę. Jei ilgiausios kraštinės yra vienodo ilgio, kvadratų lygybė negali galioti, kai trečiosios kraštinės ilgis teigiamas, todėl egzistuojantis trikampis su vienodo ilgio ilgiausiomis kraštinėmis nėra statusis.

Siūlomas ilgių trejetas su neigiamu skaičiumi, pavyzdžiui, (−3, 4, 5), parodo, kodėl svarbi pirmoji patikra: šių skaičių kvadratai tenkina lygybę 9 + 16 = 25, tačiau −3 nėra kraštinės ilgis. Siūlomas ilgių trejetas su nuliu taip pat neatitinka neišsigimimo sąlygos, net jei kvadratų lygybė ir galioja. Atmeskite tokius įvesties duomenis prieš nuspręsdami, ar trikampis statusis. Jei trikampio egzistavimo patikra nepavyksta, tai yra teiginys apie tai, ar nurodytas trikampis egzistuoja, o ne egzistuojančio trikampio klasifikavimas.

Fiziniam ilgiui imama teigiama šaknis ir turi būti tenkinamos apibrėžimo srities sąlygos

Kai duoti teigiami stačiojo trikampio statinių ilgiai a ir b, iš c² = a² + b² gauname c = √(a² + b²), imdami teigiamą kvadratinę šaknį. Algebrinė lygtis z² = a² + b² turi du realiuosius sprendinius z = ±√(a² + b²), tačiau kraštinės ilgis yra teigiamas, todėl tinka tik teigiamas sprendinys. Iš teoremos taip pat gauname c > a ir c > b – šios nelygybės naudingos tikrinant apskaičiuotą įžambinės ilgį. Laikant √(a² + b²) lygiu a + b, būtų nepaisoma skirtumo tarp ilgių sudėties ir jų kvadratų sudėties.

Kai duoti įžambinės ilgis c ir vieno statinio ilgis a, pirmiausia abu duoti ilgiai turi būti teigiami. Pertvarkę gauname b² = c² − a². Neišsigimusiam stačiajam trikampiui būtina c > a > 0, todėl kito jo statinio ilgis yra b = √(c² − a²) > 0. Šios sąlygos yra ir pakankamos: nubraižius statmenus statinius, kurių teigiami ilgiai yra a ir b, pagal teoremą gauto trikampio įžambinės ilgis yra √(a² + b²) = √(c²) = c. Egzistavimui nustatyti jokios papildomos apytikslės patikros nereikia.

Jei teigiamas c lygus teigiamam a, reiškinys c² − a² lygus nuliui. Formali reikšmė b = 0 apibūdina išsigimusią ribinę figūrą, o ne statųjį trikampį. Jei 0 < c < a, reiškinys yra neigiamas ir joks realaus ilgio antrasis statinis negali tenkinti duotų sąlygų. Jei kuris nors duotas ilgis nėra teigiamas, atmeskite jį prieš keldami kvadratu. Pavyzdžiui, laikant −5 įžambinės ilgiu, o 3 – statinio ilgiu, negalima gauti tariamai tinkamo ilgio 4 vien todėl, kad (−5)² − 3² = 16.

Nurodykite ir reikšmę, ir jos geometrinę prasmę. Kai c = 2 ir a = 1, išreikšti tuo pačiu matavimo vienetu, b = √3 yra tikslus teigiamas ilgis. Kai c = 3 ir a = 4, tokio realaus ilgio statinio nėra, o ne gaunama menamoji atkarpa Euklido plokštumoje. Kai c = 3 ir a = 3, nulinis rezultatas reiškia išsigimusį ribinį atvejį. Reikšmė gali tenkinti lygtį su kvadratais, bet netenkinti geometrinių apribojimų, iš kurių ta lygtis gauta.

Šaknis palikite tikslias, kol prireiks apytikslės reikšmės

Kai kurių ilgių kvadratai yra pilnieji kvadratai: √25 = 5 ir √(25/4) = 5/2. Kitais atvejais reikia tikslios išraiškos su šaknimi, pavyzdžiui, √2 arba √13. Kai c = 7 ir a = 5, nežinomo statinio ilgis yra b = √24 = 2√6. Tai tiksli jo reikšmė; skaičiuotuvu gaunama b ≈ 4.90, suapvalinus iki dviejų skaitmenų po kablelio. Lygybės ženklas žymi tikslų ryšį, o ≈ – suapvalintą apytikslę reikšmę. Naudokite prašomą matavimo vienetą ir tikslumą, o galutinį atsakymą apvalinkite vieną kartą, užuot apvalinę atskiras reikšmes prieš keldami jas kvadratu.

Prieš sudarydami lygtį, visus ilgio duomenis išreikškite tuo pačiu matavimo vienetu. Jei ilgiai išreikšti centimetrais, kvadratiniai nariai matuojami cm², o ištraukus teigiamą kvadratinę šaknį galutinis rezultatas vėl išreiškiamas centimetrais. Jei koordinatės išreikštos metrais, atstumo kvadratas matuojamas m², o atstumas – m. Nesudėkite metrais išreikšto ilgio skaitinės reikšmės kvadrato su centimetrais išreikšto ilgio skaitinės reikšmės kvadratu taip, tarsi jų matavimo vienetai būtų vienodi. Dimensijų patikra gali atskleisti klaidą net tada, kai patys aritmetiniai veiksmai atlikti teisingai.

Pitagoro skaičių trejetas – tai trys teigiami sveikieji skaičiai, kurie gali būti stačiojo trikampio kraštinių ilgiai. Pavyzdžiui, 3, 4, 5 ir 5, 12, 13 tenkina reikiamą kvadratų lygybę. Padauginus visus stačiojo trikampio kraštinių ilgius iš teigiamo daugiklio k, ši lygybė išlieka, nes (ka)² + (kb)² = k²(a² + b²) = (kc)². Taigi 6, 8, 10 yra dar vienas sveikųjų skaičių trejetas, o 3/2, 2, 5/2 nusako stačiojo trikampio kraštinių ilgius, gautus pakeitus mastelį, tačiau ne visi šie ilgiai yra sveikieji skaičiai. Ne kiekvieno stačiojo trikampio kraštinių ilgiai yra racionalieji skaičiai: kai teigiami statinių ilgiai yra 1 ir 1, įžambinės ilgis yra √2.

Atstumas Dekarto plokštumoje gaunamas iš dviejų statmenų komponenčių

Tegu P = (x₁, y₁) ir Q = (x₂, y₂) yra taškai euklidinėje plokštumoje su Dekarto koordinačių sistema. Ašys yra statmenos, o vienetas abiejose ašyse atitinka tą patį fizinį ilgį. Apibrėžkime skirtumus su ženklu: Δx = x₂ − x₁ ir Δy = y₂ − y₁. Jie nusako kryptingus pokyčius, todėl bet kuris iš jų gali būti neigiamas. Atitinkamų komponenčių ilgiai yra |Δx| ir |Δy| ir niekada nebūna neigiami. Neigiamos koordinatės ar skirtumai yra leistini; neigiamas siūlomas kraštinės ilgis – jau kitas dalykas.

Kai abu skirtumai nelygūs nuliui, pažymėkime tašką H = (x₂, y₁). Atkarpa PH yra lygiagreti x ašiai, o atkarpa HQ – y ašiai, todėl jos susikerta stačiuoju kampu taške H. Jų teigiami ilgiai yra |Δx| ir |Δy|, o PQ yra įžambinė. Iš teoremos, kuri jau įrodyta nepriklausomai, gauname PQ² = |Δx|² + |Δy|² = (Δx)² + (Δy)². Ištraukę teigiamąją šaknį, gauname PQ = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Atstumo formulę išvedėme remdamiesi stačiojo trikampio teorema, o ne naudojome atstumo formulę tai pačiai teoremai įrodyti.

Jei Δy = 0, taškai yra vienoje horizontalioje tiesėje, o atstumas tarp jų yra |Δx|. Formulė duoda tą patį rezultatą, nes √((Δx)²) = |Δx|. Jei Δx = 0, atitinkamas rezultatas yra |Δy|. Jei abu skirtumai lygūs nuliui, P ir Q sutampa, o atstumas yra 0. Šiais atvejais nesusidaro neišsigimęs pagalbinis trikampis, todėl jie pagrindžiami tiesiogiai remiantis atstumu tiesėje ir tuo, kad taško atstumas iki savęs yra lygus nuliui. Viena atstumo formulė apima ir šiuos atvejus, nedarant prielaidos, kad išsigimęs statusis trikampis tenkina ankstesnę neišsigimimo sąlygą.

Sukeitus galinius taškus vietomis, Δx ir Δy pakeičiami priešingais skaičiais; jų kvadratai nepasikeičia, todėl PQ = QP. Prieš atimdami, nuosekliai imkite abi to paties galinio taško koordinates. Eskizas gali padėti nustatyti komponenčių padėtį, tačiau jame pavaizduoti ilgiai pikseliais ar rodymo proporcijos rezultato neįrodo. Jei ašys žymi skirtingus fizikinius ilgio vienetus, pirmiausia išreikškite komponentes tuo pačiu vienetu; jei ašys nėra statmenos, šios dviejų kvadratų formulės negalima taikyti neatlikus kitokios geometrinės analizės.

Modeliuokite atstumą tiesia linija pagal nurodytas statmenas kryptis

Stačiakampio įstrižainė yra trikampio, kurį sudaro dvi gretimos kraštinės, įžambinė: šių kraštinių statmenumas išplaukia iš stačiakampio apibrėžimo. Tiesi atkarpa, jungianti tašką ant vertikalios sienos su tašku ant jai statmeno horizontalaus žemės paviršiaus, taip pat gali būti įžambinė. Abiem atvejais prieš skaičiuodami nustatykite tiesią atkarpą, statmenų dedamųjų ilgius ir bendrus matavimo vienetus. Tai idealūs geometriniai modeliai; vien jų lygtys nenustato praktinių realaus įrengimo sąlygų.

Tiesioginis atstumas paprastai nėra lygus kelio, sudaryto iš dviejų statmenų atkarpų, ilgiui. Tarp taškų (0, 0) ir (3, 4) kelias, einantis lygiagrečiai ašims iš pradžių 3 vienetus, o paskui 4 vienetus, yra 7 vienetų ilgio, o taškus jungianti atkarpa – 5 vienetų ilgio. Bendruoju atveju, kai dedamųjų ilgiai a ir b yra teigiami, įrodėme, kad √(a² + b²) < a + b. Jei viena dedamoji lygi nuliui, tiesioginio kelio išilgai kitos dedamosios ilgis yra lygus tos vienintelės dedamosios ilgiui. Nurodykite, ar užduotyje klausiama apie atkarpą, kelią, ar poslinkio modulį.

Ta pati idėja taikoma ir trimatėms Euklido koordinatėms su tarpusavyje statmenomis ašimis ir bendru ilgio vienetu. Dviem taškams pirmiausia pritaikykite plokštumoje gautą rezultatą jų x ir y dedamosioms: horizontaliosios dedamosios ilgis h tenkina lygybę h² = (Δx)² + (Δy)². Dedamoji z yra statmena šiai horizontaliai plokštumai, todėl antrą kartą pritaikius stačiojo trikampio teoremą gaunama d² = h² + (Δz)². Taigi d = √((Δx)² + (Δy)² + (Δz)²). Jei kuriame nors žingsnyje dedamoji lygi nuliui, taikykite atstumo išilgai vienos krypties arba sutampančių taškų atvejį, o ne teigkite, kad tame žingsnyje yra neišsigimęs trikampis. Stačiakampio gretasienio, kurio briaunų ilgiai yra 2, 3 ir 6, sienos įstrižainė yra √13, o erdvinė įstrižainė yra √(13 + 36) = 7.

Tiksli kvadratų lygybė nėra skaitinis artimumas

Kai matematiniai kraštinių ilgių duomenys yra tikslūs, išvadai apie statųjį kampą reikia tikslios lygybės, prieš tai patikrinus ilgių teigiamumą ir trikampio egzistavimą. Kraštinėms 3, 4 ir 5 lygybė 9 + 16 = 25 galioja tiksliai. Kraštinės 3, 4 ir 5.001 sudaro trikampį, tačiau 5.001² = 25.010001 skiriasi nuo 3² + 4² = 25. Šiomis tiksliomis reikšmėmis apibrėžtas trikampis nėra statusis. Mažas skirtumas ar beveik statųjį kampą vaizduojantis brėžinys nepadaro šių dviejų reikšmių lygių.

Dešimtainė trupmena gali reikšti tikslų matematinį skaičių arba suapvalintą matavimo rezultatą, priklausomai nuo to, kas nurodyta. Kai matavimai vietoje yra suapvalinti arba turi neapibrėžtį, sutapimas nurodytu tikslumu pagrindžia įvertį, bet neįrodo, kad kampas yra tiksliai 90°. Rezultate aiškiai nurodykite duotą matavimo tikslumą ir prielaidas. Modelyje su aiškiai nurodytomis statmenomis kryptimis galima naudoti šią stačiojo kampo prielaidą, tačiau vien matavimai negali jos nepastebimai įvesti.

Išnagrinėkite keturias scenas su aiškiai pateiktomis sąlygomis

Plotų scenoje siūlomos septynios statinių ilgių poros: (3, 4), (1, 1), (1, 2), (2, 3), (3/2, 2), (0, 4) ir (−3, 4). Kai statinių ilgiai teigiami, joje rodomas išorinis kvadratas, keturi lygūs trikampiai kampuose ir centrinis kvadratas, taip pat tikslus išorinio kvadrato plotas, bendras trikampių plotas ir centrinio kvadrato plotas. Nuliniai ir neigiami siūlomi ilgiai atmetami prieš konstruojant statųjį trikampį ar atitinkamą kvadrato skaidinį.

Atvirkštinės teoremos scenoje siūlomi devyni sutvarkyti kraštinių ilgių trejetai, kur a = BC, b = CA ir c = AB: (3, 4, 5), (5, 3, 4), (3/2, 2, 5/2), (2, 3, 4), (4, 4, 4), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (0, 2, 2) ir (−3, 4, 5). Pirmiausia tikrinamas ilgių teigiamumas ir visos griežtos trikampio nelygybės. Tik egzistuojančiam trikampiui atliekamas palyginimas, nustatantis, ar jis statusis, naudojant jo iš tikrųjų ilgiausią kraštinę; jei trikampis statusis, įvardijamas kampas priešais tą kraštinę pagal pradinį jos žymėjimą. Išsigimusiems ar neįmanomiems trikampiams ir neteigiamų ilgių pasiūlymams išvada apie statumą neteikiama.

Nežinomo statinio scenoje siūlomos aštuonios poros (įžambinė c, žinomas statinis a): (5, 3), (2, 1), (3, 4), (3, 3), (0, 3), (−5, 3), (5, 0) ir (5, −3). Kai c ir a teigiami ir c > a, gaunamas tikslus antrojo statinio ilgis √(c² − a²), o teigiamų c = a atvejis aiškiai įvardijamas kaip ribinis atvejis, kai statinio ilgis lygus nuliui. Kai c ir a teigiami ir c < a, realiojo ilgio antrojo statinio nėra; pateiktas neteigiamas ilgis atmetamas dar prieš keliant kvadratu. Jokiam netinkamam pasiūlymui neišsigimęs trikampis neišgalvojamas.

Atstumo scenoje naudojamos aštuonios taškų poros: nuo (0, 0) iki (3, 4), ta pati pora atvirkštine tvarka, nuo (−2, −1) iki (1, 3), nuo (0, 0) iki (1, 1), nuo (0, 0) iki (0, 4), nuo (−2, 1) iki (3, 1), sutampančių taškų pora nuo (2, −1) iki (2, −1) ir nuo (−1/2, 1/2) iki (1, 5/2). Koordinačių pokyčiai su ženklais, neneigiami dedamųjų ilgiai ir tikslūs atstumai nagrinėjami atskirai. Kiekvienos scenos koordinačių sistemoje abiejose ašyse taikomas vienodas ilgio mastelis; apytikslės koordinatės su šaknimis naudojamos brėžiniui, o rezultatą lemia tikslios reikšmės. Kitoje pamokoje atstumas ir fiksuotas spindulys naudojami pradedant nagrinėti apskritimus.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Trikampio ABC kampas B yra statusis, AC = 10 cm, o AB = 6 cm. Nurodykite jo įžambinę ir tiksliai apskaičiuokite BC. Kokia kraštinių ilgių kvadratų lygtis galioja, jei a = BC, b = CA ir c = AB? Kodėl neigiama algebrinė šaknis nėra antras galimas ilgis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   AC yra įžambinė. Galioja lygtis b² = a² + c², iš kurios gauname BC = 8 cm. Lygties a² = 64 algebrinės šaknys ±8 nereiškia dviejų kraštinės ilgių: leidžiama tik teigiama reikšmė.

   Prieš kampą B esanti kraštinė yra AC, todėl b = 10 yra įžambinė, o c = 6 – statinis. Pertvarkę gauname a² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64. Duotieji ilgiai tenkina 10 > 6 > 0, todėl nežinomo statinio ilgis yra a = √64 = 8 > 0. Trys gauti teigiami ilgiai tenkina 6 + 8 > 10 ir kitas griežtąsias nelygybes. Reikšmė −8 tenkina lygtį su kvadratais, bet netenkina kraštinės ilgio sąlygos.

2. Nagrinėdami kvadrato skaidymą, imkite teigiamus statinių ilgius a = 2 ir b = 3, išreikštus tuo pačiu ilgio vienetu. Raskite išorinio kvadrato plotą, bendrą keturių jo kampuose esančių trikampių plotą ir vidinio kvadrato plotą bei kraštinės ilgį. Kas įrodo, kad vidinis keturkampis yra kvadratas, ir kodėl jo kraštinės ilgis nėra 2 + 3?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Išorinio kvadrato plotas yra 25 kvadratiniai vienetai, bendras keturių trikampių plotas yra 12 kvadratinių vienetų, o vidinio kvadrato plotas yra 13 kvadratinių vienetų ir kraštinės ilgis – √13 vienetų. Kampuose esantys lygūs trikampiai lemia, kad vidinės kraštinės yra lygios, o α + β = 90° lemia, kad visi keturi vidiniai kampai yra statūs. Jo kraštinės ilgis yra √13, o ne 5.

   Išorinio kvadrato kraštinės ilgis yra a + b = 5, todėl jo plotas yra 25. Kiekvieno kampuose esančio trikampio plotas yra ab/2 = 3, o keturių trikampių plotas yra 12. Atėmę gauname vidinės srities plotą: 25 − 12 = 13. Visos keturios jungiančios atkarpos yra duotajam stačiajam trikampiui lygių trikampių įžambinės, todėl jų ilgiai vienodi. Ties kiekviena vidine viršūne du gretimi smailieji kampinių trikampių kampai sudaro 90°, todėl vidinis kampas yra 180° − 90° = 90°. Vien kraštinių lygybė įrodytų tik tai, kad keturkampis yra rombas. Teigiama kvadratinė šaknis iš vidinio ploto yra √13; jei kraštinės ilgis būtų 5, plotas būtų 25 ir trikampiams ploto neliktų.

3. Suklasifikuokite šiuos siūlomus kraštinių ilgių trejetus (a, b, c), kurių reikšmės pateiktos nurodyta tvarka, o a = BC, b = CA ir c = AB: (3, 4, 5), (5, 3, 4), (2, 3, 4), (4, 4, 4), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (0, 2, 2) ir (−3, 4, 5). Stačiojo kampo viršūnę nurodykite tik tada, kai duomenys apibrėžia galimą statųjį trikampį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmasis trejetas apibrėžia trikampį su stačiuoju kampu C, o antrasis – su stačiuoju kampu A. Trejetai 2, 3, 4 ir 4, 4, 4 apibrėžia galimus nestačiuosius trikampius. Trejetas 1, 2, 3 apibrėžia išsigimusį trikampį; 1, 2, 4 – neįmanomą trikampį. Paskutiniai du siūlomi trejetai netenkina ilgių teigiamumo sąlygos, todėl jų statumas nevertinamas.

   Trejetams 3, 4, 5 ir 5, 3, 4 galioja teigiamumo sąlyga ir visos griežtosios nelygybės, o didžiausio ilgio kvadratas yra 25 = 9 + 16. Pagal pradinius žymėjimus didžiausia kraštinė pirmuoju atveju yra prieš kampą C, o antruoju – prieš kampą A. Trejeto 2, 3, 4 didžiausias ilgis tenkina 2 + 3 > 4, bet jo kvadratas 16 skiriasi nuo 4 + 9 = 13. Trejetui 4, 4, 4 galioja griežtosios nelygybės, bet 16 skiriasi nuo 16 + 16 = 32. Lygybė 1 + 2 = 3 yra ribinis atvejis, kai viršūnės yra vienoje tiesėje; 4 > 1 + 2 reiškia, kad joks trikampis neįmanomas. Siūlomi nuliniai ir neigiami ilgiai atmetami dar prieš keliant kvadratu, net jei kitu atveju galiotų algebrinė kvadratų lygybė.

4. Stačiojo trikampio įžambinės ilgis yra 7 cm, o vieno statinio ilgis – 5 cm. Raskite kito statinio ilgį tiksliai ir suapvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio. Tada įvertinkite šiuos duomenis nežinomam statiniui rasti: (c, a) = (3, 4), (3, 3), (−5, 3) ir (5, 0). Kurie iš jų, jei tokių yra, apibrėžia neišsigimusį statųjį trikampį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmojo nežinomo statinio ilgis yra 2√6 cm ≈ 4.90 cm. Nė vienas iš keturių vėliau pateiktų duomenų rinkinių neapibrėžia neišsigimusio stačiojo trikampio: kai 3 < 4, realiojo ilgio antrojo statinio nėra; kai 3 = 3, gaunamas ribinis atvejis su nuliniu statinio ilgiu, o paskutiniuose dviejuose rinkiniuose yra duotas neteigiamas ilgis.

   Kadangi 7 > 5 > 0, b² = 49 − 25 = 24, o b = √24 = 2√6 > 0. Pateikta reikšmė 4.90 yra suapvalintas artinys, o ne tiksli lygybė. Kai c = 3 ir a = 4 yra teigiami, ieškomo statinio ilgio kvadratas yra neigiamas, todėl realiojo ilgio nėra. Kai c = a = 3 yra teigiami, formaliai apskaičiuota šaknis lygi nuliui, todėl trikampis išsigimsta. Neigiamas įžambinės ilgis atmetamas dar prieš keliant kvadratu; lygybė (−5)² = 25 jo nepadaro tinkamo. Pateiktas nulinis statinio ilgis poroje (5, 0) taip pat neatitinka stačiojo trikampio sąlygų, nors formaliai apskaičiuotas kitos kraštinės ilgis būtų teigiamas.

5. Naudokite vieną bendrą koordinačių ilgio vienetą ir statmenas Dekarto koordinačių ašis. Raskite atstumus nuo (−2, −1) iki (1, 3), nuo (0, 0) iki (1, 1), nuo (0, 0) iki (0, 4), nuo (−2, 1) iki (3, 1) ir nuo (2, −1) iki to paties taško. Kurioms taškų poroms galima sudaryti neišsigimusį pagalbinį statųjį trikampį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atstumai atitinkamai yra 5, √2, 4, 5 ir 0 koordinačių ilgio vienetų. Tik pirmųjų dviejų porų abi atstumo komponentės yra teigiamo ilgio, todėl joms galima sudaryti aprašytą neišsigimusį pagalbinį statųjį trikampį.

   Pirmosios poros koordinačių skirtumai yra 3 ir 4, todėl atstumas yra √(9 + 16) = 5. Antrosios poros koordinačių skirtumai yra 1 ir 1, todėl atstumas yra √2. Trečiosios poros taškai yra vienoje vertikalioje tiesėje, o atstumas tarp jų yra |4 − 0| = 4; ketvirtosios poros taškai yra vienoje horizontalioje tiesėje, o atstumas tarp jų yra |3 − (−2)| = 5. Kiekvienu iš šių atvejų viena komponentė lygi nuliui ir pagalbinė figūra išsigimsta, todėl rezultatas pagrindžiamas atstumu tiesėje. Paskutinės poros taškai sutampa, todėl abu koordinačių skirtumai ir atstumas tarp taškų lygūs nuliui. Neigiamos pradinių taškų koordinatės nesukuria netinkamų ilgių: koordinačių skirtumų moduliai ir galutinis atstumas išlieka neneigiami.

6. Stačiakampio gretimų kraštinių ilgiai yra 80 cm ir 1.5 m. Raskite tikslų jo įstrižainės ilgį centimetrais ir metrais. Kitas stačiakampis gautas jį tolygiai padidinus teigiamu koeficientu 2. Raskite padidinto stačiakampio įstrižainės ilgį ir paaiškinkite, kodėl išlieka ilgių kvadratų sąryšis.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pirmojo stačiakampio įstrižainės ilgis yra tiksliai 170 cm = 1.7 m. Padidinto stačiakampio įstrižainės ilgis yra 340 cm = 3.4 m. Abu statinių ilgius padauginus iš 2, jų kvadratų suma padauginama iš 4, o teigiamas įstrižainės ilgis – iš 2.

   Paverskite 1.5 m į 150 cm. Įstrižainės ilgio kvadratas yra 80² + 150² = 6400 + 22500 = 28900 cm², o √28900 = 170 cm. Arba 0.8² + 1.5² = 0.64 + 2.25 = 2.89 m², o teigiama šaknis yra 1.7 m. Kai padidintų statinių ilgiai yra 160 ir 300 cm, kvadratų suma yra 4(80² + 150²) = 4 × 170² = 340², todėl teigiamas įstrižainės ilgis yra 340 cm. Kiekvienoje sumoje matavimo vienetai turi sutapti. Tolygiai keičiant mastelį teigiamu koeficientu, išlieka statieji kampai ir visi ilgių santykiai; kvadratinių dydžių mastelio koeficientas yra ilgių mastelio koeficiento kvadratas.

7. Stačiakampio gretasienio briaunų ilgiai yra 2, 3 ir 6 cm. Išveskite jo erdvinės įstrižainės ilgį, du kartus iš eilės taikydami Pitagoro teoremą. Atskirai apsvarstykite: ar tikslūs kraštinių ilgiai 3, 4 ir 5.001 cm apibrėžia statųjį trikampį dėl to, kad ilgiausios kraštinės ilgis artimas 5? Ar vien suapvalinti matavimai vietoje leistų nustatyti tikslų statųjį kampą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Gretasienio erdvinės įstrižainės ilgis yra 7 cm: pirmiausia gaunamas sienos įstrižainės ilgis √13 cm, tada apskaičiuojama √(13 + 36). Trikampis, kurio tikslūs kraštinių ilgiai yra 3, 4, 5.001, egzistuoja, bet nėra statusis, nes 25.010001 ≠ 25. Vien suapvalinti matavimai suteikia įvertį, o ne įrodo, kad kampas lygus tiksliai 90°.

   Stačiakampės sienos kraštinės, kurių ilgiai 2 ir 3 cm, yra statmenos, todėl jos įstrižainei h galioja h² = 4 + 9 = 13. Briaunos, kurios ilgis 6 cm, kryptis yra statmena šiai sienai, todėl erdvinės įstrižainės ilgio kvadratas yra d² = h² + 6² = 13 + 36 = 49, o d = 7 > 0. Atskirai nagrinėjamo trikampio visi kraštinių ilgiai yra teigiami ir 3 + 4 > 5.001, o kitos nelygybės taip pat griežtos. Tačiau tikslus ilgiausios kraštinės ilgio kvadratas yra 5.001² = 25.010001, o kitų dviejų kraštinių ilgių kvadratų suma lygi 25. Skaitinis artumas nėra lygybė. Suapvalinti arba su neapibrėžtimi išmatuoti ilgiai gali derėti su stačiojo kampo modeliu, bet neįrodo, kad tikslus kampas lygus 90°; aiškiai įvardyta statmenumo prielaida būtų atskira hipotezė.

Ką verta įsidėmėti

• Stačiojo trikampio statinių ilgiai yra teigiami, jie sudaro 90° kampą, o prieš šį kampą yra įžambinė. Kraštinių vaidmenys nustatomi pagal nurodytus viršūnių žymenis, o ne automatiškai laikant c įžambine.
• Kai statinių ilgiai a ir b bei įžambinės ilgis c yra teigiami, lygybėje c² = a² + b² sudedami kvadratų plotai. Bendrasis įrodymas skaidant figūrą pagrindžia, kad vidinė figūra yra kvadratas, parodydamas ir jos kraštinių ilgių lygybę, ir kampų statumą.
• Atvirkštinę teoremą reikia įrodyti atskirai: sukonstruokite statųjį trikampį su dviem duotaisiais statiniais, pagal teoremą nustatykite, kad jo teigiamas įžambinės ilgis sutampa su duotuoju, tada pagal trijų kraštinių lygybės požymį (SSS) perkelkite statųjį kampą.
• Prieš tikrindami trikampio statumą, patikrinkite, ar ilgiai teigiami ir ar tenkinamos griežtosios trikampio nelygybės. Naudokite iš tikrųjų ilgiausią kraštinę ir nustatykite prieš ją esančią viršūnę; atmetus duomenis, išvada apie trikampio statumą nedaroma.
• Nežinomos įžambinės ilgis yra √(a² + b²), kai statinių ilgiai teigiami. Nežinomo statinio ilgis yra √(c² − a²) tik tada, kai c > a > 0; lygybės atveju trikampis išsigimsta, o neteigiami duotieji ilgiai atmetami prieš keliant kvadratu.
• Kai Dekarto koordinačių ašys statmenos ir naudojami tie patys ilgio vienetai, atstumas yra √((Δx)² + (Δy)²). Komponenčių ilgiai yra skirtumų absoliučiosios vertės; kai taškus jungianti atkarpa lygiagreti ašiai arba taškai sutampa, naudokite atstumą tiesėje ir nulinį atstumą, nekurdami neišsigimusio trikampio.
• Išlaikykite tikslias šaknų išraiškas ir suderintus vienetus, o prireikus suapvalinkite galutinį rezultatą. Apytikslis brėžinys ar beveik lygūs išmatuotų ilgių kvadratai neįrodo, kad kampas yra tiksliai status.