Laipsniai, šaknys ir realiųjų skaičių tiesė

Laipsnio rodiklis skaičiuoja vienodus dauginamuosius

Laipsnis 2³ reiškia 2 × 2 × 2 = 8. Pagrindas yra 2, o rodiklis – 3: jis nurodo tris dauginamuosius, kurių kiekvienas lygus pagrindui. Tai nėra 2 × 3, nes ši sandauga lygi 6. Užrašą 2³ skaitome „du kubu“ arba „du trečiuoju laipsniu“. Reiškinyje 2⁴ yra keturi dauginamieji, lygūs 2, todėl jo reikšmė yra 16.

Kai n yra teigiamas sveikasis rodiklis, aⁿ reiškia n vienodų dauginamųjų a sandaugą. Raidės žymi skaičius, o n čia gali būti 1, 2, 3 ir taip toliau. Visų pirma, a¹ = a: vienas dauginamasis yra pats pagrindas. Taip pat galime imti nulinį ar neigiamąjį pagrindą. Pavyzdžiui, 0³ = 0 × 0 × 0 = 0. Nuliniams ir neigiamiesiems rodikliams reikės kito paaiškinimo – jie tiesiogiai neskaičiuoja kartojamų dauginamųjų.

Kvadratą ir kubą susiekite su plotu ir tūriu

Kvadrato, kurio kraštinės ilgis 3 cm, plotas yra 3 cm × 3 cm = 9 cm². Laipsnis prie vieneto svarbus: cm² matuojame plotą, o cm – ilgį. Kubo, kurio briaunos ilgis 3 cm, tūris yra 3 cm × 3 cm × 3 cm = 27 cm³. Todėl antrąjį ir trečiąjį laipsnius vadiname kvadratu ir kubu.

Idealaus kvadrato, kurio kraštinės ilgis s, plotas yra s²; idealaus kubo, kurio briaunos ilgis s, tūris yra s³. Skaičiuodami išlaikykite vienetus. Kvadrato kraštinę pailginę nuo 3 cm iki 6 cm, plotą pakeičiame nuo 9 cm² iki 36 cm² – jis padidėja keturis kartus. Kubo briauną pailginę du kartus, tūrį pakeičiame nuo 27 cm³ iki 216 cm³ – jis padidėja aštuonis kartus. Skaičiavimai tikslūs, kai duotieji ilgiai laikomi tiksliais; tikri matavimai gali turėti paklaidą.

Kai ženklas priklauso pagrindui, tai parodykite

Reiškinyje (−2)² abu dauginamieji yra −2, todėl (−2) × (−2) = 4. Reiškinyje (−2)³ dar vienas dauginamasis −2 duoda −8. Kai pagrindas neigiamas, o rodiklis – teigiamas sveikasis skaičius, lyginį neigiamųjų dauginamųjų skaičių galima suskirstyti į poras ir gaunama teigiama reikšmė. Kai dauginamųjų skaičius nelyginis, vienas lieka be poros ir reikšmė neigiama.

Palyginkite (−2)⁴ = 16 ir −2⁴ = −16. Pirmajame reiškinyje dėl skliaustų pagrindas yra −2. Antrajame pagrindas yra 2, o prieš jį parašytas minusas nurodo skaičiui 2⁴ priešingą skaičių. Prieš skaičiuodami raskite pagrindą ir nustatykite, kuriai reiškinio daliai taikomas rodiklis. Pagrindo ženklas ir rodiklio ženklas reiškia skirtingus dalykus.

Ieškokite neneigiamojo skaičiaus, kurio kvadratas yra duotasis skaičius

Kvadratinės plytelės plotas yra 9 cm². Jos kraštinės ilgis 3 cm, nes 3 × 3 = 9. Rašome √9 = 3. Šaknies ženklas √ žymi aritmetinę kvadratinę šaknį: kai po šaknies ženklu yra neneigiamas skaičius, pasirenkamas neneigiamasis skaičius, kurio kvadratas jam lygus. Skaičių po šaknies ženklu vadiname pošakniu. Taigi √0 = 0, √1 = 1 ir √16 = 4.

Klausimas x² = 9 kitoks: reikia rasti visus realiuosius x, kurių kvadratas lygus 9. Tinka ir 3, ir −3, todėl sprendiniai yra x = 3 arba x = −3, trumpiau – x = ±3. Tačiau √9 reiškia vieną reikšmę 3, o ne ±3. Keliant kvadratu pradinis ženklas neišsaugomas: bet kuriam realiajam x galioja √(x²) = |x|. Čia |x| yra modulis, arba atstumas nuo nulio. Pavyzdžiui, √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|.

Nė vieno realiojo skaičiaus kvadratas nėra neigiamas: teigiamojo ar neigiamojo skaičiaus kvadratas teigiamas, o nulio kvadratas lygus nuliui. Todėl √(−9) neturi realiosios reikšmės. Aiškiai rašykite skliaustus: −√9 = −3 yra apibrėžtai šakniai priešingas skaičius, o √(−9) klausia neigiamojo skaičiaus kvadratinės šaknies. Kompleksinius skaičius, kurie išplečia realiųjų skaičių sistemą, nagrinėsime vėlesnėje šakoje.

Kubinė šaknis gali išlaikyti neigiamą ženklą

Kubinė šaknis ∛8 lygi 2, nes 2³ = 8. Taigi kubo, kurio tūris 8 cm³, briaunos ilgis yra 2 cm. Ženklas ∛ nurodo kubinę šaknį: ieškome skaičiaus, kurio trečiasis laipsnis duoda pošaknį.

Neigiamasis skaičius turi realiąją kubinę šaknį. Kadangi (−2) × (−2) × (−2) = −8, gauname ∛(−8) = −2. Kiekvienas realusis pošaknis turi vieną realiąją kubinę šaknį, o ištraukus kubinę šaknį iš x³ gaunamas x kartu su savo ženklu: ∛(x³) = x. Neigiama kubinė šaknis yra neigiamas skaičius, o ne neigiamas fizinės briaunos ilgis; geometriniame pavyzdyje naudojami teigiami ilgiai.

Laipsnius tęskite dalydami iš to paties nenulinio pagrindo

Kai pagrindas nenulinis, sumažinti rodiklį vienetu reiškia padalyti laipsnio reikšmę iš to pagrindo. Imant pagrindą 2, seka 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2 po dar vienos dalybos iš 2 pasiekia 2⁰ = 1. Taip pat gauname a⁰ = 1, kai a ≠ 0: padaliję a¹ iš a gauname a ÷ a = 1. Ženklas ≠ reiškia „nelygu“. Su nuliniu pagrindu šio samprotavimo taikyti negalima, nes dalytume iš nulio. Šioje pamokoje naudojamos taisyklės atvejui 0⁰ netaikome.

Šiame pavyzdyje rodikliui mažėjant žemiau nulio, reikia skaičiaus, mažesnio už vienetą. Trupmenos užrašas 1/8 reiškia 1 ÷ 8: vieną visumą padaliję į aštuonias lygias dalis gauname aštuntąją dalį. Pasvirasis brūkšnys arba trupmenos brūkšnys žymi dalybą, o skaičius po brūkšniu negali būti nulis. Vienetą tris kartus padaliję iš 2 gauname 1/8, todėl 2⁻³ = 1 ÷ 2³ = 1/8. Patikrinkite, kad (1/8) × 8 = 1. Trupmenų aritmetiką plėtosime kitoje pamokoje.

Kai pagrindas a nenulinis, o n – teigiamas sveikasis skaičius, a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ. Tai skaičiui aⁿ atvirkštinis skaičius: jų sandauga lygi vienetui. Neigiamas rodiklis savaime nereiškia neigiamos reikšmės: 2⁻³ yra teigiamas, o (−2)⁻³ = 1 ÷ (−8) = −1/8. Nulio laipsnis su neigiamu sveikuoju rodikliu šioje aritmetikoje neapibrėžtas, nes atvirkštiniam skaičiui gauti reikėtų dalybos iš nulio.

Laipsnius sujunkite suskaičiuodami dauginamuosius

Reiškinyje 3² × 3³ pirmasis laipsnis turi du dauginamuosius, lygius 3, o antrasis – tris. Iš viso jų penki: 3² × 3³ = (3 × 3) × (3 × 3 × 3) = 3⁵ = 243. Kai a yra realusis pagrindas, o m ir n – teigiami sveikieji rodikliai, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Rodiklius sudedame, nes sujungiame dvi vienodų dauginamųjų grupes.

Išlaikykite taisyklės sąlygas ir veiksmą. Ji taikoma vienodiems pagrindams ir daugybai; ji neleidžia taip sudėti rodiklių reiškinyje 3² + 3³ ar jungti skirtingų pagrindų. Kai pagrindas nenulinis, pasitelkus vienetą ir atvirkštinius skaičius taisyklė galioja ir nuliniams bei neigiamiesiems sveikiesiems rodikliams. Pavyzdžiui, 2³ × 2⁻³ = 8 × (1/8) = 1 = 2⁰. Daugiau taisyklių, trupmeninius rodiklius, rodiklines funkcijas ir logaritmus nagrinėsime vėlesnėse pamokose.

Keiskite laipsnį ir raskite kvadratinės šaknies vietą

Laipsnių režimu pasirinkite sveikąjį pagrindą nuo −4 iki 4 ir rodiklį nuo 0 iki 5. Prieš žiūrėdami į rezultatą numatykite jo ženklą ir suskaičiuokite dauginamuosius. Kai pagrindas neigiamas, palyginkite rodiklius 2 ir 3. Tada išbandykite nulinį rodiklį su nenuliniu pagrindu ir paaiškinkite, kodėl gaunate vienetą. Pasirinkimas 0⁰ pažymėtas kaip šios pamokos taisyklės neapimamas atvejis ir pagal ją neskaičiuojamas.

Dešimtainiai užrašai taip pat remiasi pozicine sandara. Kablelis atskiria sveikąją dalį nuo smulkesnių vienetų: 1,4 reiškia vieną visumą ir keturias dešimtąsias, arba 1 + 4/10; 1,41 – vieną visumą ir keturiasdešimt vieną šimtąją, arba 1 + 41/100. Kiekviena vieta dešiniau žymi dešimt kartų mažesnį vienetą nei ankstesnioji. Šioje pamokoje tokiais užrašais nusakome šaknų vietas, o dešimtainių skaičių veiksmus plėtosime vėliau.

Kvadratinių šaknų režimu pasirinkite sveikąjį pošaknį nuo 0 iki 25. Išbandykite pilnąjį kvadratą, pavyzdžiui, 9, ir skaičių, kuris nėra pilnasis kvadratas, pavyzdžiui, 5. Palyginkite rodomų intervalo galų kvadratus su pošakniu. Didinkite tikslumą nuo vienetų iki dešimtųjų, šimtųjų ar tūkstantųjų. Rėžiai tampa tikslesni, o pati tiksli šaknis nesikeičia. Iracionaliosios šaknies baigtinis dešimtainis artinys ir nubrėžtas žymeklis yra apytiksliai; jie nepaverčia jos tiksliu baigtiniu dešimtainiu skaičiumi.

Nežinomą šaknį apribokite tiksliais kvadratais

Kadangi 1² = 1, 2² = 4 ir 1 < 2 < 4, neneigiamoji reikšmė √2 yra griežtai tarp 1 ir 2. Intervalą siaurinkite keldami dešimtainius skaičius kvadratu: 1,4² = 1,96 ir 1,5² = 2,25, todėl 1,4 < √2 < 1,5. Toliau 1,41² = 1,9881 ir 1,42² = 2,0164, todėl 1,41 < √2 < 1,42. Neneigiamųjų skaičių kėlimas kvadratu išsaugo tvarką, todėl šie palyginimai leidžia nustatyti šaknies vietą.

Intervalo galai ir jų kvadratai yra tikslūs skaičiai. Suapvalintas užrašas, pavyzdžiui, √2 ≈ 1,414, reiškia ką kita: ≈ skaitome „apytiksliai lygu“, o 1,414² = 1,999396, ne 2. Ženklas √2 nurodo tikslią reikšmę net tada, kai negalime užrašyti visų jos dešimtainių skaitmenų. Jei įmanoma, skaičiuodami išlaikykite tikslią išraišką, o galutinį artinį pasirinkite pagal uždaviniui reikalingą tikslumą. Skaičiuotuvo ekranas ir žymeklio vieta ekrane turi ribotą tikslumą.

Atskirkite trupmeną nuo skaičiaus, kurio jokia trupmena neišreiškia

Racionalųjį skaičių galima tiksliai užrašyti kaip m/n, kur m ir n yra sveikieji skaičiai, o n ≠ 0. Čia m/n reiškia m ÷ n. Pavyzdžiai: 1/8, −3/2 ir 4 = 4/1; nulis taip pat racionalusis, nes 0 = 0/1. Racionaliojo skaičiaus dešimtainis užrašas gali būti baigtinis, pavyzdžiui, 1/8 = 0,125, arba nuo tam tikros vietos periodinis, pavyzdžiui, 1/3 = 0,333…, kai skaitmuo 3 kartojasi be galo.

Iracionalusis skaičius yra realusis skaičius, kurio negalima užrašyti kaip dviejų sveikųjų skaičių dalmens su nenuliniu dalikliu. Pavyzdžiui, √2: jo dešimtainis užrašas tęsiasi be galo ir nuo jokios vietos netampa periodinis. Šiam teiginiui įrodyti reikia samprotavimo apie visas galimas sveikųjų skaičių trupmenas; keli parodyti skaitmenys arba skaičiuotuve nepastebėtas dėsningumas nėra įrodymas. Prie tokių įrodymų grįšime išnagrinėję trupmenas ir dalumą.

Šaknies ženklas savaime nereiškia iracionaliojo skaičiaus: √9 = 3 yra racionalusis. Kita vertus, trumpas tikslus užrašas nebūtinai yra trupmena ar baigtinis dešimtainis skaičius: √2 nurodo vieną tikslią iracionaliąją reikšmę. Baigtinis dešimtainis skaičius 1,414 yra racionalusis, nes 1,414 = 1414/1000. Jis yra √2 artinys, o ne pati √2 reikšmė.

Skaičių tiesėje yra abiejų rūšių realiųjų skaičių

Pasirinkus nulį, teigiamąją kryptį ir vienetinę atkarpą, kiekvienam realiajam skaičiui atitinka viena vieta skaičių tiesėje, o kiekvienai vietai – realusis skaičius. Realiųjų skaičių aibę sudaro visi racionalieji ir visi iracionalieji skaičiai. Sveikieji skaičiai yra patogios atskaitos žymos, tačiau tarp jų taip pat yra realiųjų skaičių. Pavyzdžiui, 0 < 1/2 < 1 < √2 < 2 < √5 < 3.

Smulkesnė skalė padeda nustatyti skaičiaus vietą jo nekeisdama. Tarp 1,41 ir 1,42 esanti √2 turi konkrečią tikslią vietą, nors brėžinys negali jos parodyti visiškai tiksliai. Ne kiekvieną realųjį skaičių galima užrašyti baigtiniu dešimtainiu skaičiumi: net racionaliojo 1/3 skaitmenys kartojasi be galo, o iracionaliųjų skaičių dešimtainiai užrašai yra begaliniai ir neperiodiniai. Nubrėžta tiesė, dešimtainės žymos ir skaitiniai rėžiai vaizduoja šias vietas, kiekvienas savo tikslumu.

Tikrinkite atvirkštiniu veiksmu ir atsisakykite klaidinančių trumpinių

Siūlomą neneigiamąją kvadratinę šaknį patikrinkite keldami kvadratu, o kubinę šaknį – kubu. Jei √25 = 5, patikrinkite, kad 5² = 25 ir 5 ≥ 0. Jei ∛(−27) = −3, patikrinkite, kad (−3)³ = −27. Kai dešimtainis atsakymas apytikslis, jo kvadratas ar kubas taip pat paprastai tik apytiksliai atitiks pošaknį; paklaidą lyginkite su reikiamu tikslumu, o ne tikėkitės tikslios lygybės.

Kvadratinės šaknies iš sumos paprastai negalima išskaidyti į šaknų sumą. Pavyzdžiui, √(9 + 16) = √25 = 5, o √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Sumos laipsnio taip pat paprastai negalima išskaidyti į laipsnių sumą: (2 + 3)² = 25, o 2² + 3² = 13. Grįžkite prie veiksmo reikšmės, išlaikykite skliaustus ir vienetus, o siūlomą taisyklę patikrinkite prieš taikydami.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Raskite 2⁴, 2 × 4, (−3)², (−3)³ ir −3². Paaiškinkite, kodėl laipsniai ir ženklai duoda skirtingas reikšmes.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai 16, 8, 9, −27 ir −9.

   2⁴ turi keturis dauginamuosius, lygius 2, o 2 × 4 yra viena dviejų skaičių daugyba. Dviejų neigiamųjų skaičių sandauga teigiama, trijų – neigiama. Reiškinyje −3² pakelkite teigiamąjį pagrindą 3 kvadratu, tada imkite jam priešingą skaičių.

2. Apskaičiuokite 5⁰, 2⁻² ir 0³. Ar taisyklė a⁰ = 1 nustato 0⁰ reikšmę? Ar čia apibrėžtas 0⁻²?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   1, 1/4 ir 0. Nurodyta nulinio rodiklio taisyklė atvejo 0⁰ neapima, o 0⁻² šioje aritmetikoje neapibrėžtas.

   5 nenulinis, todėl 5⁰ = 1. Taip pat 2⁻² = 1 ÷ 2² = 1/4, o 0³ = 0 × 0 × 0 = 0. Taisyklei a⁰ = 1 reikia a ≠ 0; jos negalima išplėsti nuliui dalijant iš pagrindo. Reiškinio 0⁻² atvirkštiniam skaičiui gauti reikėtų 1 ÷ 0.

3. Sandaugą 2² × 2³ užrašykite vienu laipsniu ir apskaičiuokite. Ar suma 2² + 2³ lygi tam laipsniui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   2² × 2³ = 2⁵ = 32. Suma lygi 12, todėl jos reikšmė kitokia.

   Daugyba sujungia du dauginamuosius, lygius 2, su dar trimis ir iš viso gaunami penki. Sudėtis jungia reikšmes 4 ir 8, todėl 2² + 2³ = 12. Rodiklių sudėjimo taisyklė taikoma laipsnių su vienodu pagrindu daugybai.

4. Raskite √25, visus realiuosius lygties x² = 25 sprendinius, √((−5)²) ir ∛(−27). Ar √(−25) turi realiąją reikšmę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   5; x = 5 arba x = −5; 5; ir −3. √(−25) neturi realiosios reikšmės.

   Ženklas √25 pasirenka neneigiamąją reikšmę, o lygtį su kvadratu tenkina abu ženklai. √((−5)²) = |−5| = 5. Pakėlę −3 kubu gauname −27, todėl kubinė šaknis lygi −3. Nė vieno realiojo skaičiaus kvadratas nėra neigiamas.

5. Kvadrato kraštinė yra 4 cm, o kubo briauna – 4 cm. Raskite plotą ir tūrį su vienetais. Kaip jie pasikeis ilgį padidinus du kartus?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   16 cm² ir 64 cm³. Padidinus ilgį du kartus gauname 64 cm² ir 512 cm³: plotas padidėja keturis, tūris – aštuonis kartus.

   Plotui dauginkite du ilgius, 4 × 4, o tūriui – tris, 4 × 4 × 4. Kai ilgis 8 cm, atitinkamos sandaugos yra 8² = 64 ir 8³ = 512. Kvadratiniai ir kubiniai vienetai parodo dydžio rūšį.

6. Pasinaudokite 3,1² = 9,61 ir 3,2² = 10,24, kad apribotumėte √10. Ar lygybė √10 = 3,1 būtų teisinga? Raskite artinį, kurio paklaida tikrai mažesnė už 0,05.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   3,1 < √10 < 3,2. Lygybė klaidinga; intervalo vidurys 3,15 yra artinys, kurio paklaida mažesnė už 0,05.

   Intervalo galų kvadratai yra skirtingose 10 pusėse, o kėlimas kvadratu išsaugo neneigiamųjų skaičių tvarką. Todėl šaknis yra griežtai intervalo viduje. Jo vidurys 3,15 nuo kiekvieno galo nutolęs per 0,05, tad šaknies atstumas nuo vidurio mažesnis už 0,05. Rašykite √10 ≈ 3,15, o ne tikslią lygybę.

7. Nustatykite, kurie skaičiai 1/3, 1,414, √2 ir √9 yra racionalieji, o kurie – iracionalieji. Tada patikrinkite teiginį √(9 + 16) = √9 + √16.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   1/3, 1,414 ir √9 yra racionalieji; √2 – iracionalusis. Siūloma lygybė klaidinga: jos pusės yra 5 ir 7.

   1/3 jau užrašytas sveikųjų skaičių dalmeniu, 1,414 = 1414/1000, o √9 = 3 = 3/1. √2 negalima užrašyti tokiu dalmeniu; jo baigtiniai dešimtainiai artiniai yra kiti, racionalieji, skaičiai. Taip pat √(9 + 16) = √25 = 5, o √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Šaknies iš sumos paprastai negalima išskaidyti į šaknų sumą.

Ką verta įsidėmėti

• Teigiamas sveikasis rodiklis skaičiuoja vienodus dauginamuosius, o ne nurodo paprastą pagrindo daugybą iš rodiklio. Skliaustai nustato, ar ženklas priklauso pagrindui.
• Kai pagrindas nenulinis, a⁰ = 1 ir a⁻ⁿ = 1 ÷ aⁿ, kai n yra teigiamas sveikasis skaičius. Ši taisyklė atvejo 0⁰ neapima ir neapibrėžia nulio laipsnių su neigiamaisiais rodikliais.
• Aritmetinė kvadratinė šaknis yra neneigiama. Realiajam x galioja √(x²) = |x|, o ∛(x³) = x. Neigiamasis skaičius neturi realiosios kvadratinės šaknies, tačiau turi realiąją kubinę šaknį.
• Tikslūs kvadratų palyginimai leidžia apriboti neneigiamąją šaknį tiksliais rėžiais. Iracionaliosios šaknies baigtinis dešimtainis užrašas ar nubrėžta vieta yra apytiksliai; tinkamai naudokite ≈.
• Racionalieji skaičiai yra sveikųjų skaičių dalmenys su nenuliniais dalikliais, o iracionalieji – likę realieji skaičiai. Abiejų rūšių skaičiai turi tikslias vietas realiųjų skaičių tiesėje.
• Laipsnius ir šaknis tikrinkite pagal jų apibrėžimus ir atvirkštinius veiksmus, išlaikykite vienetus ir tikrinkite trumpinius, užuot manę, kad sumos šaknis ar kvadratas visada išskaidomi į dalių sumą.