Atvirkštiniai uždaviniai ir Bajeso skaičiavimai

Pradėkime nuo padėties ir nežinomo greičio

Pagal sąlygą stebimo taško padėtis kinta pagal dėsnį x(t) = b + vt, kai 0 ≤ t ≤ 4 s, nejudančioje tiesioje koordinačių ašyje, kurios teigiama kryptis – į dešinę. Laikas t matuojamas nuo nurodytos pradžios; b yra pradinė padėtis metrais, o v – pastovus greitis išilgai ašies, išreikštas m/s. Jei b = 1 m ir v = 2 m/s, tai x(2 s) = 5 m. Ar padėtis 5 m laiko momentu 2 s leidžia vienareikšmiškai nustatyti ir b, ir v, kai abu nežinomi?

Tiesioginiame uždavinyje pagal nurodytus parametrus prognozuojamas rezultatas. Atvirkštiniame uždavinyje pagal rezultatų duomenis ir modelį nustatomi nežinomi parametrai arba būsenos. Skaičiavimo kryptis pasikeičia, tačiau jo vienetai, koordinačių susitarimas ir apibrėžimo sritis išlieka svarbūs. Čia naudojamos padėtys yra tikslūs hipotetiniai pradiniai duomenys; jos nėra matavimų įrašas ar įrodymai, kad tikras taškas juda pagal šį dėsnį.

Reikia mokėti pertvarkyti tiesinį reiškinį ir dauginti arba dalyti trupmenas. Šiuos algebros pagrindus suteikia „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“. Toliau naudojami tikimybių žymenys paaiškinami vietoje. Skaitydami pirmą kartą, sekite dvi galimas reikšmes ir jų lenteles; baigtinio pavyzdžio skaičiavimus galima atlikti ranka.

Klauskite, ką leidžia nustatyti duomenys

Vienintelė lygtis 5 m = b + v(2 s) turi kelis sprendinius. Pavyzdžiui, ją tenkina ir b = 3 m su v = 1 m/s, ir b = 1 m su v = 2 m/s. Identifikuojamumas nusako, ar skirtingi leistini parametrų rinkiniai gali duoti tuos pačius pateiktus rezultatus. Pasirenkant vieną porą pagal papildomą kriterijų, pridedama prielaida, o ne dar vienas padėties stebėjimas.

Jei tas pats tikslus modelis taip pat pateikia x(4 s) = 9 m, atėmę gauname v = (9 m − 5 m)/(4 s − 2 s) = 2 m/s, o tada b = 1 m. Skirtingi laiko momentai užtikrina, kad šis dviejų parametrų tiesinis uždavinys turi vienintelį sprendinį. Pakartojus tą pačią lygtį be triukšmo, tokio papildomo apribojimo neatsirastų.

Sprendinio vienatinumas ir jautrumas yra skirtingi klausimai. Kai žinoma, kad pradinė padėtis lygi nuliui, ir žinomas teigiamas laiko intervalas T, atvirkštinis ryšys poslinkiui y yra v = y/T. Pokytis Δy sukelia pokytį Δv = Δy/T. Tiksliai nurodytas 0.001 m pokytis duoda 0.0005 m/s, kai T = 2 s, bet 0.05 m/s, kai T = 0.02 s: tai 100 kartų didesnis pokytis. Trumpesnis intervalas sustiprina šį įvesties pokytį; šiais skaičiavimais matavimo prietaiso neapibrėžtis nenustatoma.

Nurodykite galimas reikšmes ir rodmens skirstinį

Toliau nagrinėjamame atskirame modelyje žinoma, kad pradinė padėtis lygi nuliui, o laiko intervalas yra tiksliai T = 2 s. Pastovus nežinomas greitis turi dvi leistinas reikšmes: H₁ reiškia v = 1 m/s, o H₂ reiškia v = 2 m/s. Jas atitinkantys modelio poslinkiai be paklaidos yra 2 m ir 4 m. Šios reikšmės apima visas šio mokomojo modelio galimybes, o ne visus galimus realios sistemos greičius.

Prieš gaudami rodmenį, priskirkite apriorines tikimybes P(H₁) = 2/3 ir P(H₂) = 1/3. P žymi modelio priskirtą tikimybę. Greitis išlieka pastovus visą laiko intervalą; jo reikšmės neapibrėžtis nereiškia, kad judėjimo metu greitis atsitiktinai kinta. Abu aprioriniai svoriai yra neneigiami, o jų suma lygi vienetui.

Poslinkio rodmuo Y tenkina lygtį Y = vT + E. Jo paklaida E gali būti −2 m, 0 m arba +2 m, o atitinkamos tikimybės yra 1/4, 1/2 ir 1/4 pagal bet kurią iš dviejų hipotezių. Taigi Y ir E matavimo vienetas yra m, o su jais susijusių įvykių tikimybės yra bedimensės. Paklaidos skirstinys ir apriorinės tikimybės yra pateiktos prielaidos, o ne pagal prietaiso duomenis įvertinti dažniai. Atskiriems rodmenims reikės papildomos prielaidos apie jų paklaidų jungtinį skirstinį.

Padauginkite, tada normalizuokite svorius

Tarkime, kad gautas rodmuo Y = 4 m. Tikėtinumas Lᵢ = P(Y = 4 m | Hᵢ) yra šio konkretaus rodmens tikimybė, kai kandidatas Hᵢ laikomas fiksuotu; vertikalus brūkšnys reiškia „su sąlyga, kad“. Kandidatui H₁ reikia E = +2 m, todėl L₁ = 1/4. Kandidatui H₂ reikia E = 0 m, todėl L₂ = 1/2. Esant H₂, šis rodmuo yra dukart tikėtinesnis, tačiau tikėtinumas dar nėra H₂ tikimybė, kai žinomas rodmuo.

Tegu πᵢ yra apriorinis svoris, o wᵢ = πᵢLᵢ – atnaujintas nenormalizuotas svoris. Pagal Bajeso taisyklę P(Hᵢ | Y = 4 m) = wᵢ/Z, kur Z = w₁ + w₂ yra bendra šio rodmens tikimybė pagal apriorinį modelį. Kad būtų galima atlikti šią dalybą, Z turi būti teigiamas. Čia abu svoriai yra 1/6, Z = 1/3, o abi aposteriorinės tikimybės yra 1/2.

Aposteriorinis skirstinys yra kandidatų skirstinys, gautas įtraukus duomenis kaip sąlygą. Šie baigtiniai tikėtinumai yra įvykių tikimybės, nes rodmens modelis yra diskretus. Jų suma per visus kandidatus neprivalo būti lygi vienetui: čia 1/4 + 1/2 = 3/4. Normalizuoto aposteriorinio skirstinio tikimybių suma lygi vienetui. Vienodi aposterioriniai svoriai gaunami iš nurodyto apriorinio skirstinio ir tikėtinumo kartu, o ne vien iš vienodo suderinamumo.

Atnaujinimas pagal teisingą jungtinį modelį

Dabar tarkime, kad to paties laiko intervalo poslinkio atskirų rodmenų paklaidos yra nepriklausomos, kai kiekvienas kandidatas laikomas fiksuotu, ir kiekvienai paklaidai galioja pateiktas skirstinys. Tai sąlyginis nepriklausomumas: P(Y₁ = y₁, Y₂ = y₂ | Hᵢ) = P(Y₁ = y₁ | Hᵢ)P(Y₂ = y₂ | Hᵢ). Apatiniai indeksai žymi rodmenis, o ne vėlesnius judėjimo trajektorijos laiko momentus. Vidurkinant pagal nežinomą bendrą kandidatą, rodmenys nebūtinai lieka nepriklausomi.

Jei abu rodmenys yra 4 m, jungtiniai tikėtinumai yra (1/4)² = 1/16 ir (1/2)² = 1/4. Padauginkite iš pradinio apriorinio skirstinio tikimybių: svoriai yra 1/24 ir 1/12, o jų suma – 1/8. Aposteriorinis skirstinys tampa P(H₁ | abu rodmenys) = 1/3 ir P(H₂ | abu rodmenys) = 2/3. Arba vieną kartą atnaujinkite pirmąjį aposteriorinį skirstinį pagal naujo rodmens tikėtinumą – gausite tą patį rezultatą. Dar kartą nedauginkite iš pradinio apriorinio skirstinio tikimybių.

Jei abiejų rodmenų paklaida yra visiškai ta pati, E₂ = E₁, tai 4 m rodmens gavimas du kartus yra tas pats įvykis kaip jo gavimas vieną kartą. Pagal šį alternatyvų jungtinį modelį aposteriorinės tikimybės lieka 1/2, 1/2. Dublikato arba rodmens su visiškai ta pačia paklaida laikymas nepriklausomu pakartotiniu matavimu dirbtinai sukurtų informaciją. Palyginkite tris grafiko dalis su lentele, sudaryta pagal nurodytą nepriklausomų paklaidų modelį.

Prognozuokite naują rodmenį

Aposteriorinis greičio skirstinys ir rodmens prognozė atsako į skirtingus klausimus. Gavę du rodmenis, naudokite galimų variantų svorius 1/3 ir 2/3. Naujam trečiam to paties poslinkio rodmeniui taikykite prielaidą apie tą patį paklaidų dėsnį ir sąlyginį nepriklausomumą nuo ankstesnių paklaidų. Tikimybė, kad jo vertė bus y, yra P(Ynew = y | data) = Σᵢ P(Ynew = y | Hᵢ)P(Hᵢ | data), kur Σᵢ reiškia sumavimą pagal abu galimus variantus.

Pavyzdžiui, naujo 4 m rodmens tikimybė yra (1/3)(1/4) + (2/3)(1/2) = 5/12. Lentelėje pateiktas visas prognozinis skirstinys sujungia neapibrėžtį dėl nekintamo greičio ir naujo rodmens kintamumą. Įstačius tik labiausiai tikėtiną variantą H₂, būtų atmesta likusi variantui H₁ priskirta tikimybė.

Tikimybėmis pasvertas vidurkis yra apibendrinantis rodiklis: kiekvieną vertę padauginkite iš jos tikimybės ir sudėkite. Aposteriorinis greičio vidurkis yra 5/3 m/s, o prognozinis rodmens vidurkis – 10/3 m. Nė vienas vidurkis nėra galima atskira vertė atitinkamame baigtiniame sąraše. Visų pirma, prognozuojamas vidurkis nenusako garantuoto kito rodmens.

Apskaičiuokite reikiamą dydį

Baigtiniu Bajeso skaičiavimu galima perrinkti visus leistinus kandidatus: įvertinti rodmenų modelį, sudaryti svorius, patikrinti, ar normavimo konstanta teigiama, padalyti ir apskaičiuoti prašomą tikimybę arba svertinį vidurkį. Lentelėse pateikti tikslūs, racionaliaisiais skaičiais išreikšti kontroliniai pavyzdžiai programai patikrinti. Tikrinkite, ar svoriai neneigiami, jų normuotą sumą, matavimo vienetus ir duomenis, pagal kuriuos skaičiuojamos sąlyginės tikimybės, o ne vien tai, ar programa grąžino skaičių.

Programa taip pat gali nurodyti labiausiai tikėtiną kandidatą: gavus du rodmenis, tai yra H₂, kurio tikimybė 2/3, o greitis 2 m/s. Šio vieno kandidato pasirinkimas nepakeičia viso aposteriorinio skirstinio, kai reikia prognozuoti naujus rodmenis arba nurodyti likusią kandidatų neapibrėžtį. Pasirinkite skaičiavimą, kuris atsako į užduotą klausimą: pasirinktą kandidatą, vidurkį arba įvykio tikimybę.

Kai parametrų erdvė didesnė arba tolydi, sumas ar svertinius integralus gali tekti aproksimuoti skaitiniais metodais. Imtys iš aposteriorinio skirstinio gali būti naudojamos reikiamiems vidurkiams ir prognozinėms tikimybėms apytiksliai apskaičiuoti. Toks skaičiavimas, be modeliu išreikštos neapibrėžties, sukelia aproksimavimo arba imties paklaidą. Čia pateiktas baigtinis skaičiavimas yra tikslus kontrolinis atvejis; juo neteigiama, kad buvo paleistas imčių generavimo algoritmas ar įvertintas bendrojo Bajeso algoritmo veikimas.

Patikrinkite atsakymo prielaidas

Aposteriorinis skirstinys priklauso nuo pateikto apriorinio skirstinio ir rodmenų tikimybinio dėsnio. Jei apriorinės tikimybės būtų 1/2 ir 1/2, tas pats vienintelis 4 m rodmuo duotų aposteriorinius svorius 1/3 ir 2/3. Prieš interpretuodami gautus skaičius, palyginkite tikėtinas prielaidas ir paaiškinkite apriorinio skirstinio pasirinkimo priežastis. Apriorinis skirstinys gali išreikšti papildomą informaciją arba pirmenybę, tačiau negali vienodai su duomenimis derančių variantų paversti naujais stebėjimais.

Pagal abu kandidatus ir šį tiksliai apibrėžtą diskretųjį paklaidų dėsnį nurodyto 3 m rodmens tikimybė lygi nuliui. Jo normavimo konstanta lygi nuliui, todėl dalyba baigtinėje Bajeso formulėje neapibrėžta. Patikrinkite kandidatų aibę, rodmenų paklaidų modelį ir duomenų kodavimą. Vien šis nesuderinamumas neparodo, kuri prielaida nepasitvirtintų tikrame eksperimente.

Taikydami metodą, išnagrinėkite, ką apriorinis skirstinys ir pagal duomenis pritaikytas modelis prognozuoja apie svarbias rodmenų ypatybes, ir palyginkite šias prognozes su tinkamais duomenimis. Taip pat patikrinkite koordinačių pasirinkimo susitarimą, intervalą, triukšmo priklausomybę ir skaitinį skaičiavimą. Normuotas aposteriorinis skirstinys yra sąlyginis pasirinkto modelio atžvilgiu; jis pats savaime nepatvirtina nei fizikinio dėsnio, nei prietaiso kalibravimo, nei apsiribojimo dviem kandidatais tinkamumo.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kai pradinė padėtis yra žinoma ir lygi nuliui, o modelis numato pastovų greitį, duotas poslinkis per T = 1.5 s yra 3 m. Raskite v. Kodėl duomuo, kai T = 0 s, neleistų atlikti tokios pačios dalybos?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   v = 2 m/s. Kai T = 0 s, dalyba neapibrėžta, o modelio numatomas poslinkis lygus nuliui esant bet kokiam greičiui.

   Kai laiko intervalas teigiamas, v = (3 m)/(1.5 s) = 2 m/s. Kai praėjęs laikas lygus nuliui, lygtis y = vT neleidžia atskirti greičių; nenulinis poslinkis būtų nesuderinamas su šiuo modeliu, kurio pradinė padėtis yra žinoma ir lygi nuliui.

2. Palikite tuos pačius du kandidatus, 2 s intervalą, pateiktą paklaidos skirstinį ir vieną 4 m rodmenį, bet priskirkite vienodus apriorinius svorius 1/2. Raskite H₂ aposteriorinę tikimybę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   P(H₂ | Y = 4 m) = 2/3.

   Svoriai tampa (1/2)(1/4) = 1/8 ir (1/2)(1/2) = 1/4. Jų suma yra 3/8, todėl antrojo kandidato aposteriorinė tikimybė yra (1/4)/(3/8) = 2/3. Pakeitus apriorinį skirstinį, pasikeičia šis sąlyginis atsakymas.

3. Pradėkite nuo pagrindiniame pavyzdyje pagal du rodmenis gautų aposteriorinių tikimybių 1/3, 2/3. Naujas sąlygiškai nepriklausomas rodmuo taip pat yra 4 m. Raskite naują H₂ aposteriorinę tikimybę. Esamas aposteriorines tikimybes naudokite kaip pradinius svorius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nauja H₂ aposteriorinė tikimybė yra 4/5.

   Nauji svoriai yra (1/3)(1/4) = 1/12 ir (2/3)(1/2) = 1/3, o jų suma yra 5/12. Padaliję gauname (1/3)/(5/12) = 4/5. Dar kartą padauginus iš pradinių apriorinių tikimybių, jos būtų įskaitytos du kartus.

4. Naudokite pagrindinio pavyzdžio apriorines tikimybes 2/3, 1/3, bet tarkite, kad dviejų rodmenų paklaida yra visiškai ta pati: E₂ = E₁. Abu rodmenys yra 4 m. Kokios yra aposteriorinės tikimybės ir kodėl nepagrįsta vieno rodmens tikėtinumą kelti kvadratu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Aposteriorinis skirstinys išlieka 1/2, 1/2.

   Esant bet kuriam iš dviejų kandidatų, abu vienodus rodmenis lemia viena paklaida. Todėl jungtinio įvykio tikėtinumas yra toks pat kaip vieno rodmens: 1/4 arba 1/2. Svoriai tebėra 1/6 ir 1/6; jungtinis modelis nesuteikia nepriklausomo antrojo daugiklio.

5. Gavus du pagrindinius sąlygiškai nepriklausomus 4 m rodmenis, kokia tikimybė, kad naujas rodmuo bus 6 m, taikant tas pačias prielaidas apie paklaidas? Ar ji lygi H₂ aposteriorinei tikimybei 2/3?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naujo rodmens tikimybė yra 1/6.

   Pagal pateiktą paklaidų pasiskirstymo dėsnį H₁ negali duoti 6 m rodmens. H₂ gali, tačiau tam reikia +2 m paklaidos, kurios tikimybė yra 1/4. Mišinys duoda (1/3)(0) + (2/3)(1/4) = 1/6. Kandidato tikimybė ir rodmens tikimybė apibūdina skirtingus įvykius.

6. Pagal tikslų dviejų kandidatų diskretųjį rodmenų modelį nurodytas rodmuo yra 3 m. Kokia yra normavimo konstanta? Ar dalijant svorius galima gauti aposteriorinį skirstinį 1/2, 1/2?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Normavimo konstanta lygi nuliui, todėl šiuo dalijimu pagal Bajeso formulę negalima gauti aposteriorinio skirstinio.

   Reikalingos paklaidos būtų +1 m esant H₁ ir −1 m esant H₂; abi jos neįmanomos pagal pateiktą paklaidų pasiskirstymo dėsnį. Abu tikėtinumai ir svoriai lygūs nuliui. Dalyba iš nulio neapibrėžta; vienodi nuliniai svoriai nepagrindžia vienodų aposteriorinių tikimybių. Patikrinkite modelio ir kodavimo prielaidas.

Ką verta įsidėmėti

• Išvadų darymas sprendžiant atvirkštinį uždavinį priklauso nuo tiesioginio modelio, nurodytų duomenų, parametrų apribojimų ir matavimo vienetų.
• Papildomos prielaidos gali padėti pasirinkti iš neatskiriamų duomenų atitikčių, o skirtingi informatyvūs duomenys gali suteikti papildomų apribojimų.
• Atliekant Bajeso atnaujinimą baigtinėje aibėje, aprioriniai svoriai dauginami iš tikėtinumo svorių, o tada dalijami iš teigiamos bendros svorių sumos.
• Jungtinius tikėtinumus galima išskaidyti į daugiklius tik esant atitinkamoms sąlyginio nepriklausomumo prielaidoms.
• Aposteriorinė prognozė sujungia kandidatų skirstinį su naujo rodmens kintamumu.
• Net ir nuoseklus apskaičiuotas aposteriorinis skirstinys reikalauja atidžiai įvertinti jo modelį ir skaitinį metodą, kai jis taikomas fizikoje.