Molekulinis, dalelių, ištisinės terpės ir agentais grindžiamas modeliavimas

Pradėkite nuo keturių pažymėtų taškų

Keturios taškinės dalelės A, B, C ir D iš pradžių yra fiksuotoje tiesioje koordinačių ašyje ties x = 0.5 m, 1.5 m, 2.5 m ir 3.5 m; teigiama kryptis yra į dešinę. Kiekvienos dalelės duota ir nekintanti masė yra 1 g, o nustatytas pastovus greitis – v = 1 m/s. Kai 0 ≤ t ≤ 1 s, taikoma taisyklė xᵢ(t) = xᵢ(0) + vt, kur i žymi dalelę, o t – nuo pradžios praėjusį laiką. Kokios bus dalelių padėtys ir masė fiksuotame intervale po 1 s?

Modeliavimas vaizduoja pasirinktus objektus arba laukus ir apskaičiuoja jų būsenas pagal nurodytas taisykles. Būsena – tai informacija, kurią pasirinktas modelis saugo tam tikru laiko momentu ar tam tikroje iteracijoje. Čia keturios koordinatės ir masės, nustatytas greitis bei laikas sudaro visus reikiamus įvesties duomenis. Šiame taškinių dalelių modelyje nėra sąveikų, susidūrimų, atspindinčių ar periodinių sienelių.

Pasirengimui reikia mokėti skaityti koordinates su ženklu, dauginti greitį iš trukmės ir dalyti masę iš ilgio. Naudingą pagrindą suteikia temos „Vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ bei „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“. Toliau vartojami intervalų ir būsenos kopijavimo žymėjimai paaiškinami vietoje. Pradėkite nuo taškų ir langelių lentelių; diferencialinio ir integralinio skaičiavimo ar modeliavimo programinės įrangos nereikia.

Taikykite nurodytą dalelių judėjimo taisyklę

Laiko momentu 1 s kiekviena koordinatė padidėja (1 m/s)(1 s) = 1 m. Naujosios padėtys yra 1.5 m, 2.5 m, 3.5 m ir 4.5 m. Dalelių žymenys nesikeičia, o keturių nurodytų masių suma tebėra 4 g. Per visą nurodytą laiko intervalą visos trajektorijos lieka stebėjimo lange 0 ≤ x ≤ 6 m.

Sistemos pasirinkimas yra svarbus. Fiksuotame intervale 0 ≤ x < 4 m iš pradžių yra visos keturios masės, tačiau laiko momentu 1 s jame lieka tik A, B ir C. Šiame intervale esanti masė pasikeičia nuo 4 g iki 3 g, nes D išeina per dešiniąją ribą. Pagal nurodytą masės taisyklę viso sekamų dalelių rinkinio masė išlieka 4 g; mažesnis erdvinis langas gali keistis mase su aplinka.

Du nuoseklūs 0.5 s trukmės žingsniai duoda tas pačias galutines koordinates kaip vienas 1 s trukmės žingsnis, nes pagal šią taisyklę nustatytas pastovus greitis: v(0.5 s) + v(0.5 s) = v(1 s). Šis tikslus sutapimas būdingas būtent šiam modeliui. Jis neįrodo, kad bet kuris skaitinis metodas ar sąveikaujančių dalelių modeliavimas nepriklauso nuo laiko žingsnio.

Nustatykite, ką vaizduoja molekulinis modelis

Dalelė yra modelyje vaizduojamas objektas, bet tai nereiškia, kad ji būtinai yra visa molekulė. Klasikiniame molekulinės dinamikos modelyje ji gali vaizduoti atomą, molekulę arba sustambintą dalelių grupę. Pavyzdžiui, atomistiniame modelyje saugomos atomų koordinatės ir greičiai, o klasikinis judėjimas apskaičiuojamas naudojant nurodytas sąveikas. Būtina nurodyti kintamųjų fizikinę prasmę ir skiriamąją gebą.

Sąveikos modelis nusako, kaip modelyje vaizduojamos dalelės veikia viena kitą. Jo parametrai ir taikymo sąlygos yra fizikinio modelio dalis, atskira nuo skaitinio metodo, kuriuo apskaičiuojama modelio raida. Pakeitus laiko žingsnį, skaitinė paklaida gali pasikeisti, tačiau netinkamas sąveikos modelis ir toliau bus netinkamas norimam stebimajam dydžiui apskaičiuoti.

Keturių šios pamokos 1 g masės taškų judėjimas yra iš anksto nustatytas, o sąveikos modelio nėra. Jie iliustruoja dalelių duomenų tvarkymą; jie nemodeliuoja konkrečios molekulės, temperatūros ar cheminio proceso. Pavadinus modelį molekuliniu, savaime nepatvirtinama, kad pasirinkti kintamieji ir sąveikos leidžia prognozuoti dominančią fizikinę savybę.

Stambinimas apibrėžtais langeliais

Stambinant išsaugomi pasirinkti apibendrinti rodikliai, o dalis detalių atmetama. Padalykite stebėjimo sritį į C₁: 0 ≤ x < 2 m, C₂: 2 m ≤ x < 4 m ir C₃: 4 m ≤ x ≤ 6 m. Kiekvieno langelio ilgis yra 2 m. Kairysis galinis taškas įtraukiamas, o dešinysis neįtraukiamas, išskyrus galutinę 6 m ribą. Taigi taškas, esantis tiksliai ties 2 m, priklauso tik C₂.

Tegu Mⱼ yra j-ojo langelio masė, kur j žymi langelį. Apibrėžkite jo vidutinį ilginį masės tankį kaip λⱼ = Mⱼ/(2 m). Simbolis λ žymi masės ir ilgio santykį, kuris čia matuojamas g/m. Tai kitas dydis nei trimatis masės tankis, t. y. masė tūrio vienetui; jo SI vienetas yra kg/m³. Kadangi 1 g = 0.001 kg, tai 0.5 g/m = 0.0005 kg/m.

Iš pradžių dalelių skaičiai yra 2, 2 ir 0, todėl tankiai yra 1 g/m, 1 g/m ir 0 g/m. Laiko momentu 1 s dalelių skaičiai yra 1, 2 ir 1, todėl tankiai yra 0.5 g/m, 1 g/m ir 0.5 g/m. Prieš palygindami dvi diagramos eilutes, numatykite, kurio langelio tankis pasikeičia. Padauginus kiekvieną tankį iš atitinkamo langelio ilgio, gaunama jame esanti masė; sudėjus trijų langelių mases, abiem pavaizduotais laiko momentais gaunama 4 g.

Dešinėje esantys stulpeliai kiekviename pasirinktame langelyje priskiria pastovų vidutinį tankį. Jie nereiškia, kad atskira dalelė tolygiai pasiskirsčiusi visame langelyje. Kairėje taškų padėtys išlieka matomos; žymeklių dydis ir vertikali padėtis nežymi fizinio spindulio ar antrosios koordinatės. Bendras horizontalus mastelis aiškiai parodo agregavimą.

Įvertinkite, ką gali prognozuoti ištisinės terpės laukas

Ištisinės terpės modelis aprašo pasirinktus medžiagą apibūdinančius dydžius kaip laukus tam tikroje srityje. Laukas kiekvienai vietai ir laiko momentui priskiria dydžio, pavyzdžiui, masės tankio ar greičio, vertę. Šis aprašymas yra idealizacija pasirinktais ilgio ir laiko masteliais; jis neišskiria kiekvieno atomo. Mūsų langelių vidurkiai yra paprastas apibendrintas atvaizdavimas, o ne įrodymas, kad keturi taškai elgiasi kaip tolydi medžiaga.

Apibendrintuose duomenyse nebūtinai pakanka informacijos kitai jų vertei prognozuoti. Pavyzdžiui, pradinės koordinatės 0.25 m, 1.75 m, 2.25 m ir 3.75 m lemia tokius pačius dalelių skaičius 2 m dydžio langeliuose kaip ir pagrindiniame modelyje. Esant tam pačiam 1 m/s greičiui, laiko momentu 0.25 s dalelių skaičiai juose yra 1, 2 ir 1, o pagrindiniame modelyje jie tebėra 2, 2 ir 0. Suvestinėje neišsaugotos padėtys langelių viduje lemia, kada dalelės kerta ribas.

Todėl prognozuojančiam lauko modeliui reikia aiškiai nurodytų kitimo taisyklių ir, kai tai aktualu, medžiagos savybes aprašančių sąryšių bei pradinių ir kraštinių sąlygų. Vien langelių vidurkiai šių taisyklių nesuteikia. Mažesni langeliai išsaugo daugiau erdvinių detalių, tačiau savaime nepagrindžia ištisinės terpės artinio fizikinio tinkamumo ir nenustato kiekvienos koordinatės.

„Diferencialinės lygtys su dalinėmis išvestinėmis ir Grino funkcijos“ – neprivaloma tema, prie kurios galima grįžti aptariant lauko lygtis. Skaitydami pirmą kartą, remkitės baigtiniu kontrpavyzdžiu ir tankio bei ilgio sandaugos patikra; jie atskleidžia informacijos ir matavimo vienetų problemas be diferencialinių lygčių.

Nurodykite agento taisyklę ir atnaujinimo tvarką

Agentais grindžiamas modelis vaizduoja atskirus objektus, turinčius būsenos kintamuosius ir elgesio ar sąveikos taisykles. Šie objektai nebūtinai yra mąstantys žmonės: modelis gali priskirti taisykles abstraktiems ar fiziniams objektams. Nurodykite, ką reiškia kiekviena būsena, kokią informaciją naudoja taisyklė ir kada atnaujinimai tampa matomi kitiems agentams.

Atskirame abstrakčiame pavyzdyje agentai A ir B turi po bedimensę būseną s, kurios reikšmė yra arba 0, arba 1. Pradėkite nuo (sA, sB) = (0, 1). Per vieną sinchroninį atnaujinimą kiekvienas agentas nukopijuoja ankstesnę kito agento būseną, todėl naujoji pora yra (1, 0). Sinchroninis atnaujinimas reiškia, kad visos išvesties reikšmės apskaičiuojamos iš tos pačios ankstesnės poros, prieš pakeičiant bent vieną iš saugomų įvesties reikšmių. Iteracijos indeksas n skaičiuoja atnaujinimus; trukmė sekundėmis nepriskiriama.

Atnaujinant nuosekliai, pirmiausia A, paskui B, agentas A iš pradžių nukopijuoja 1, o tada B nuskaito naująją A būseną 1; rezultatas yra (1, 1). Pakeitus tvarką į priešingą, gaunama (0, 0). Tai skirtingos taisyklės, nustatančios, kada nuskaitoma informacija, o ne skaitinio apvalinimo skirtumas. Dvejetainės žymos nėra masės, o jų sumai nėra nurodytas joks fizikinis tvermės dėsnis.

Kai numatyta taisyklė reikalauja sinchroninio nuskaitymo, saugokite nepakeistą ankstesnę būseną ir atskirą naują būseną. Kitame modelyje gali būti sąmoningai naudojamas nuoseklus arba atsitiktinės tvarkos atnaujinimas. Atnaujinimo tvarka yra modelio ir jo realizacijos specifikacijos dalis; jokia konkreti tvarka nėra visais atvejais fiziškai teisinga.

Atskirkite modelio patikras nuo skaitinių patikrų

Patikrinkite konkretų stebimąjį dydį, pavyzdžiui, dalelės koordinatę, masę lange arba vidutinį tankį gardelės elemente. Patikrinkite vienetus, priskyrimą ties gardelės elementų ribomis ir tai, ar atnaujinant nuskaitoma numatyta būsena. Tikslus taškinis modelis ir dvejetainė kopijavimo taisyklė pateikia nedidelius atvejus, kurių rezultatus galima apskaičiuoti dar prieš rašant programą.

Taikydami skaitinę aproksimaciją, palyginkite tinkamus laiko žingsnio arba erdvinės skyros pasirinkimus ir atsižvelkite į skaitinę paklaidą, svarbią ieškomam rezultatui. Sutapimas vienu nedideliu atveju patvirtina tik tą atvejį; jis nepatikrina kiekvienos sąveikos, kraštinės sąlygos ar kodo vykdymo kelio. Smulkesnis tinklelis ar mažesnis laiko žingsnis taip pat nesuteikia trūkstamų fizikinių kintamųjų.

Taikydami modelį fizikiniam uždaviniui, patikrinkite, ar pasirinktas vaizdavimas ir sąveikos arba lauko taisyklės tinka nagrinėjamam masteliui, sąlygoms ir stebimajam dydžiui, tada palyginkite tinkamus rezultatus su atitinkamais pagrindžiančiais duomenimis. Modelio neapibrėžtis, skaitinė aproksimacija ir statistinė atranka yra atskiri klausimai. Šioje pamokoje pateikiami tikslūs modeliai ir aritmetiniai skaičiavimai, o ne molekulinio, kontinuumo ar agentais grindžiamo modeliavimo programinio paketo vykdymas.

Pasirinkite klausimui tinkamą vaizdavimą

Šie keturi aprašymo būdai iš dalies sutampa. Klasikiniame molekuliniame modelyje atomas vaizduojamas kaip dalelė; agentas taip pat gali turėti dalelės koordinatę. Kontinuumo laukas savo ruožtu aprašo pasirinktus dydžius erdvėje. Tai kintamųjų ir taisyklių pasirinkimai, o ne universali hierarchija, kurioje didesnis detalumas visada reikštų didesnį tikslumą atsakant į bet kurį klausimą.

Jei klausiama, kur yra D laiko momentu 1 s, pažymėta trajektorija duoda 4.5 m. Jei klausiama apie masę C₃, gardelės elemento suvestinė duoda 1 g. Vien iš šios masės tankio vaizdas neleidžia atkurti tikslios D koordinatės. Pradėkite nuo ieškomo stebimojo dydžio, nurodykite būseną ir jos kitimą, tada išlaikykite pakankamai detalių, kad galėtumėte atsakyti pasirinktoje taikymo srityje.

Užrašykite pradinę būseną, vienetus, ribas, sąveikos arba atnaujinimo taisyklę, vykdymo tvarką ir skaitinį metodą, reikalingus skaičiavimui atkurti. Kita mokymosi plano pamoka – „Didelio našumo skaičiavimai, vizualizavimas ir mašininis mokymasis“; didesni skaičiavimo pajėgumai gali padėti įvertinti pasirinktą modelį, tačiau jo fizikines prielaidas vis tiek reikia atidžiai tikrinti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kur pagrindiniame taškiniame modelyje yra D laiko momentu 0.5 s? Kuriame apibrėžtame 2 m ilgio langelyje jis yra ir ar patenka į intervalą 0 ≤ x < 4 m?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   D yra ties 4 m, langelyje C₃, ir nepatenka į mažesnį pusiau atvirą intervalą.

   xD = 3.5 m + (1 m/s)(0.5 s) = 4 m. C₂ neapima savo dešiniojo galinio taško, o C₃ apima savo kairįjį galinį tašką, todėl D suskaičiuojamas vieną kartą.

2. Laiko momentu 1 s langelio C₁ vidutinis ilginis masės tankis yra 0.5 g/m, o ilgis – 2 m. Kokia jo masė? Taip pat išreikškite šį tankį kg/m.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Masė yra 1 g, o tankis – 0.0005 kg/m.

   Padauginkite tankį iš ilgio: (0.5 g/m)(2 m) = 1 g. Kadangi 1 g = 0.001 kg, padauginkite 0.5 g/m iš vienetų perskaičiavimo koeficiento, kad gautumėte 0.0005 kg/m. Tai skirtingi dydžiai.

3. Palyginkite pagrindines pradines koordinates su 0.25 m, 1.75 m, 2.25 m ir 3.75 m, kai visų taškų greitis vienodas – 1 m/s. Abiejų rinkinių pradiniai taškų skaičiai 2 m ilgio langeliuose yra 2, 2, 0. Kokie bus jų taškų skaičiai laiko momentu 0.25 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pagrindiniu atveju dalelių skaičiai lieka 2, 2, 0; alternatyviu atveju jie tampa 1, 2, 1.

   Pagrindiniu atveju koordinatės tuomet yra 0.75 m, 1.75 m, 2.75 m ir 3.75 m. Alternatyviu atveju koordinatės yra 0.5 m, 2 m, 2.5 m ir 4 m. Taikant nurodytą galinių taškų įtraukimo taisyklę, gaunami skirtingi dalelių skaičiai, todėl vien pradinė apibendrinta informacija ir bendras greitis nenulemia šių tikslių vėlesnių dalelių skaičių langeliuose.

4. Laiko momentu 1 s padalykite intervalą 0 ≤ x ≤ 6 m į šešis 1 m ilgio langelius. Kiekvienas langelis apima kairįjį, bet neapima dešiniojo galinio taško, išskyrus paskutinį intervalo galinį tašką. Kokie yra dalelių skaičiai langeliuose iš kairės į dešinę? Ar ši smulkesnė apibendrinta informacija pateikia kiekvieną tikslią koordinatę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Dalelių skaičiai yra 0, 1, 1, 1, 1, 0. Vien apibendrinta informacija vis tiek nepateikia kiekvienos tikslios koordinatės.

   Padėtys 1.5 m, 2.5 m, 3.5 m ir 4.5 m yra langeliuose nuo antrojo iki penktojo. Dalelių skaičiai parodo, kurie langeliai užimti, tačiau neišsaugo informacijos apie tai, kur kiekvieno langelio viduje yra taškas; smulkesnė skiriamoji geba nėra tas pats, kas kiekvienos koordinatės išsaugojimas.

5. Pradinė dvejetainės poros būsena yra (0, 1). Kokia būsena gaunama po dviejų sinchroninių kopijavimų, naudojant ankstesnę būseną? Kokia būsena gaunama po vieno nuoseklaus kopijavimo, kai pirmiausia kopijuoja B, o paskui A?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Po dviejų sinchroninių kopijavimų grįžtama į būseną (0, 1). Po vieno nuoseklaus kopijavimo, kai pirmiausia kopijuoja B, o paskui A, gaunama (0, 0).

   Sinchroninis kopijavimas sukeičia poros vertes vietomis: (0, 1) tampa (1, 0), o paskui (0, 1). Taikant atvirkštinę nuoseklaus kopijavimo tvarką, B pirmiausia nuskaito A vertę 0, o tada A nuskaito naują B vertę 0. Čia iteracijoms nepriskirta fizinė trukmė.

6. Programoje saugomos atomais pavadintų objektų koordinatės, tačiau jų sąveikos taisyklė nenurodyta. Ar vien šis pavadinimas leidžia teigti, kad tai naudingas klasikinis molekulinis modelis pasirinktam stebimajam fizikiniam dydžiui? Ar mažesnis laiko žingsnis suteiktų trūkstamą sąveikos taisyklę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atsakymas į abu klausimus – ne.

   Būtina nurodyti ir patikrinti, kokie objektai vaizduojami, kokios jų sąveikos, kokiomis sąlygomis modelis taikomas ir kokį stebimąjį dydį norima gauti. Laiko žingsnio pasirinkimas susijęs su tuo, kaip skaičiuojama pagal duotą evoliucijos taisyklę; jis neapibrėžia trūkstamo fizinės sąveikos modelio.

Ką verta įsidėmėti

• Simuliacijai reikia nurodyto vaizdavimo būdo, pradinės būsenos, evoliucijos arba sąveikos taisyklės ir, kai aktualu, skaitinės procedūros.
• Dalelių tapatybė ir koordinatės suteikia detalių, kurios prarandamos naudojant langeliuose suvidurkintus tankius.
• Ilginį masės tankį padauginus iš langelio ilgio, gaunama masė; šis tankis skiriasi nuo masės tūrio vienete.
• Apibendrintas aprašas savaime nėra fiziškai pagrįstas ar uždaras prognozuoti leidžiantis ištisinės terpės modelis.
• Kai agentai skaito vienas kito būseną, atnaujinimas pagal ankstesnę būseną, nuoseklus atnaujinimas ir atnaujinimas atsitiktine tvarka yra skirtingi modeliavimo pasirinkimai.
• Patikrinkite reikiamą stebimąjį dydį, fizinę taikymo sritį ir skaitinę paklaidą; detalus vaizdas ar sėkmingai gautas programos rezultatas nepatvirtina modelio pagrįstumo.