Monte Karlo metodas ir stochastinis modeliavimas

Pradėkite nuo keturių galimų greičių

Įsivaizduokite pateiktą modelį, kuris grąžina vieną iš keturių greičio išilgai ašies verčių: 0 m/s, 1 m/s, 2 m/s arba 3 m/s. Kiekvienos vertės tikimybė yra 1/4. Ašis ir matavimo vienetai nekinta. Jei keturios nepriklausomos atsitiktinės realizacijos duoda iliustracinį sąrašą 0 m/s, 3 m/s, 3 m/s, 2 m/s, jų vidurkis yra 2 m/s. Modelio vidurkis, apskaičiuotas visoms vertėms suteikiant vienodus svorius, yra 1.5 m/s. Kodėl šie atsakymai gali skirtis?

Skaičiuojant Monte Karlo metodu, dydžiui, pavyzdžiui, vidurkiui ar įvykio tikimybei, įvertinti naudojamos pagal nurodytą tikimybinį modelį sugeneruotos atsitiktinės realizacijos. Stochastinis modeliavimas taip pat gali generuoti būsenų seką pagal tikimybines taisykles. Mūsų nedidelio modelio visus galimus rezultatus galima tiksliai išvardyti, todėl jis suteikia kontrolinį pavyzdį, padedantį suprasti metodą, kuris gali būti taikomas ir tada, kai išvardyti visus rezultatus nepraktiška. Šios tikimybės ir vertės nustatytos mokymo tikslais; iliustracinis sąrašas nėra nei prietaiso įrašas, nei tariamai paleistos programos išvestis.

Svarbiausios pasirengimui reikalingos žinios – vidurkiai, kvadratai ir matavimo vienetai. „Algebra, funkcijos, grafikai ir logaritmai“ bei „Atsitiktinė ir sistemingoji neapibrėžtis“ – paskelbta parengiamoji medžiaga šioms sąvokoms ir kintamumui suprasti. Šioje pamokoje baigtinių tikimybių žymėjimas pristatomas vietoje. Skaitydami pirmą kartą, sekite rezultatus ir lenteles; prie dispersijos pagrindimo grįžkite, kai galėsite paaiškinti skirtumą tarp vienos atsitiktinės realizacijos ir vidurkio.

Apibrėžkite tikimybinį modelį ir tikslinį dydį

Tegu X žymi modelio pateikiamą greitį, kol dar nepasirinkta konkreti baigtis. Tai atsitiktinis dydis: kiekvienai galimai baigčiai priskiriama reikšmė. Jo skirstinys nurodo šias reikšmes ir jų tikimybes. Tikimybės yra bedimensės, neneigiamos, o jų suma lygi vienetui. Čia P(X = 2 m/s) = 1/4 reiškia, kad modelis šiam įvykiui priskiria tikimybę 1/4; tai nereiškia, kad šis įvykis turi pasitaikyti po vieną kartą kiekvienoje trumpoje keturių atsitiktinių parinkimų sekoje.

Matematinė viltis E[X] yra modelio vidurkis, apskaičiuotas reikšmes sveriant jų tikimybėmis. Baigtiniam sąrašui, kurio reikšmės yra xⱼ, o tikimybės pⱼ, E[X] = Σ pⱼxⱼ; Σ reiškia sumavimą per visas sąraše nurodytas baigtis. Mūsų modelyje μ = E[X] = (0 + 1 + 2 + 3)(m/s)/4 = 1.5 m/s. Graikiška raidė μ žymi šį tikslinį dydį. Matematinė viltis nebūtinai yra galima vieno atsitiktinio parinkimo reikšmė: čia X negali būti lygus 1.5 m/s.

Realizuota reikšmė arba vidurkis apibūdina vieną pasirinktą baigtį arba baigčių grupę. Matematinė viltis apibūdina nurodytą skirstinį. Norėdami įvertinti kitą tikslinį dydį, nurodykite kitą išvesties dydį, kurio vidurkį skaičiuosite. Pavyzdžiui, įvykį koduokite reikšme 1, kai jis įvyksta, ir reikšme 0 kitu atveju; šio dydžio matematinė viltis yra įvykio tikimybė. Greičio vidurkis išlaiko vienetus m/s, o toks indikatorius ir jo vidurkis yra bedimensiai.

Nepriklausomų traukimų vidurkinimas

Prieš traukdami pasirinkite teigiamą sveikąjį skaičių n ir apibrėžkite imties vidurkį X̄ₙ = (X₁ + … + Xₙ)/n. Apatinis indeksas nurodo traukimą. Tarkime, kad traukimų rezultatai yra tarpusavyje nepriklausomi ir kiekvieno jų skirstinys yra toks pat kaip X: jie yra nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę, sutrumpintai iid. Šiame baigtiniame modelyje bet kurio konkretaus sutvarkyto n reikšmių sąrašo tikimybė yra (1/4)ⁿ. Traukimas su grąžinimu reiškia, kad kiekvieną kartą vis dar galimi visi keturi rezultatai; tai nereiškia, kad pasikartojančios reikšmės draudžiamos.

Dispersija matuoja modelio sklaidą pagal nuokrypių kvadratus: Var(X) = E[(X − μ)²]. Čia keturi nuokrypių kvadratai yra 2.25, 0.25, 0.25 ir 2.25, kiekvieno jų matavimo vienetai yra (m/s)². Jų svertinis vidurkis yra σ² = 5/4 (m/s)². Simbolis σ² žymi šią dispersiją; jos neneigiama kvadratinė šaknis σ yra standartinis nuokrypis, kurio matavimo vienetai yra m/s.

Kai traukimų rezultatai yra nepriklausomi, vienodai pasiskirstę ir turi baigtinę dispersiją, E[X̄ₙ] = μ ir Var(X̄ₙ) = σ²/n. Sumos matematinė viltis lygi dėmenų matematinių vilčių sumai. Skaičiuojant dispersiją, dėl nepriklausomumo mišriųjų narių, sudarytų iš skirtingų centruotų traukimo rezultatų, matematinė viltis yra lygi nuliui; padalijus sumą iš n, jos dispersija padalijama iš n². Taigi pagal šį modelį vidurkis yra nepaslinktasis μ įvertis, o jo standartinis nuokrypis yra σ/√n. Nepaslinktumas reiškia, kad įverčio matematinė viltis pagal modelį lygi vertinamai reikšmei, o ne kad kiekvienos imties įvertis duoda šią reikšmę.

Kai n = 4, vidurkio dispersija yra 5/16 (m/s)²; kai n = 16, ji yra 5/64 (m/s)². Esant šioms prielaidoms, padidinus n keturis kartus, standartinis nuokrypis sumažėja perpus. Tai negarantuoja, kad vienos konkrečios didinamos imties vidurkis monotoniškai artės prie μ. Sąrašo 0, 1, 2, 3 vidurkis yra 1.5 m/s, tačiau pridėjus dar vieną 0 m/s reikšmę, vidurkis pasikeičia į 1.2 m/s.

Nagrinėkite tikslų vidurkių skirstinį

Atliekant keturis traukimus, kurių rezultatai yra nepriklausomi ir vienodai pasiskirstę, yra 4⁴ = 256 vienodai tikėtinų sutvarkytų sąrašų. Keli sąrašai gali turėti tą patį vidurkį. Visi vidurkiai yra k/4 m/s, kur k yra sveikasis skaičius nuo 0 iki 12; k yra keturių greičių, išreikštų m/s, skaitinių reikšmių suma. Suskaičiuokite, kiek sąrašų atitinka kiekvieną vidurkį, tada padalykite iš 256. Grafike šis visas skirstinys lyginamas su vieno traukimo skirstiniu. Stulpelių aukščiai rodo tikslių reikšmių tikimybes, o ne tolydųjį tikimybės tankį ar stebėtus imties reikšmių dažnius.

Numatykite, kuriame grafike reikšmės labiau nutolusios nuo 1.5 m/s, tada juos palyginkite. Keturių traukimų vidurkio skirstinys yra labiau sutelktas dispersijos prasme: 5/16 vietoj 5/4 (m/s)². Jis turi daugiau galimų reikšmių, tarp jų ir 1.5 m/s. Jo centrinis stulpelis rodo 44/256 tikimybę, o kiekvienas vieno traukimo stulpelis rodo 1/4 tikimybę. Lyginant tik aukščiausius stulpelius, liktų nepastebėti pasikeitę tarpai tarp reikšmių ir sumažėjusi dispersija.

0.5 m/s tolerancija, įskaitant ribą, reiškia |X̄₄ − 1.5 m/s| ≤ 0.5 m/s, kur vertikalūs brūkšniai žymi absoliučiąją vertę. Palikite vidurkius nuo 1 m/s iki 2 m/s, įskaitant abu intervalo galus. Juos atitinkančių sąrašų skaičių suma yra 31 + 40 + 44 + 40 + 31 = 186, todėl tikimybė yra 93/128. Taikant griežtą toleranciją < 0.5 m/s, lieka tik trys vidurkiai intervalo viduje, o tikimybė yra 31/64. Ribų įtraukimo taisyklė keičia atsakymą.

Tai tikslios pagal pateiktą modelį sudarytos imties tikimybės, apskaičiuotos dar prieš pamatant tą imtį. Tai nėra empiriniai pasikliovimo teiginiai apie realų aparatą ar nežinomam fizikinio dydžio vidurkiui įvertintas pasikliautinasis intervalas. Ta pati algebra neleistų nustatyti šių tikimybių, jei atrankos dėsnis ar priklausomybė būtų kitokie.

Palyginkite sklaidą apie 1.5 m/s abiejose diagramos dalyse, tada pagal lenteles patikrinkite atskiras tikimybes. Kiekvienas vertikalus stulpelis rodo tikimybę ties tikslia reikšme horizontaliojoje ašyje. Abiejose dalyse naudojamos tos pačios ašys; stulpelių plotis tik padeda juos aiškiai matyti ir nepaverčia jų tikimybės tankiu. Pagal pateiktą nepriklausomų ir vienodai pasiskirsčiusių reikšmių tikimybių dėsnį keturių reikšmių vidurkio dispersija yra ketvirtadalis vienos reikšmės dispersijos. Tai tikslūs modelio pasiskirstymai, o ne per modeliavimo vykdymą išmatuoti dažniai.

Sekite pagal laiką indeksuotą stochastinį procesą

Dabar pateikite kitą modelį: taško koordinatė Sₙ fiksuotoje ašyje apibrėžta tik laiko momentais tₙ = n(0.5 s), kai n = 0, …, 4. Pradėkite nuo S₀ = 0 m. Kiekvienas prieaugis Δₙ su vienoda tikimybe yra arba −0.2 m, arba +0.2 m, o visi keturi prieaugiai yra tarpusavyje nepriklausomi. Atnaujinimo taisyklė Sₙ = Sₙ₋₁ + Δₙ apibrėžia diskrečiojo laiko stochastinį procesą – pagal laiką indeksuotų atsitiktinių būsenų rinkinį. Tolydus judėjimas tarp nurodytų laiko momentų neapibrėžtas.

Pagal pateiktą iliustracinį prieaugių sąrašą +0.2 m, +0.2 m, +0.2 m, −0.2 m gaunamos koordinatės 0 m, 0.2 m, 0.4 m, 0.6 m, 0.4 m. Galutinė koordinatė yra 0.4 m. Tačiau galutinės koordinatės skirstinio matematinė viltis lygi nuliui: kiekvieno prieaugio matematinė viltis lygi nuliui. Ketvirtajame žingsnyje koordinatės dispersija yra 4(0.2 m)² = 0.16 m², o standartinis nuokrypis – 0.4 m. Nulinė matematinė viltis nereiškia, kad kiekviena trajektorija turi baigtis koordinačių pradžioje.

Prieaugių nepriklausomumas nereiškia, kad nepriklausomos ir viena po kitos einančios koordinatės. S₂ apima pirmąjį prieaugį, kuris jau įtrauktas į S₁. Pavyzdžiui, P(S₂ = 0.4 m) = 1/4. Jei žinome, kad S₁ = 0.2 m, norint pasiekti 0.4 m pakanka, kad antrasis prieaugis būtų teigiamas, todėl sąlyginė tikimybė yra 1/2. Sąlyginė tikimybė – tai tikimybė, apsiribojus nurodytą informaciją atitinkančiais atvejais; čia tikimybės pokytis parodo priklausomybę.

Šis keturių žingsnių klaidžiojimas apibrėžtas išsamia mokomąja taisykle. Jo matavimo vienetai leidžia palyginti padėtis ir laikus, tačiau nenustato difuzijos dėsnio ar tikrojo dalelių elgesio. Pakeitus žingsnio trukmę, ilgį ar priklausomybę, pasikeičia modelis. Norint nepriklausomų ir vienodai pasiskirsčiusių dydžių vidurkio formulę tiesiogiai taikyti nuoseklioms šio klaidžiojimo padėtims, reikėtų prielaidų, kurių šis procesas nesuteikia.

Atskirkite pradinę reikšmę nuo tikimybinės prielaidos

Pseudoatsitiktinių skaičių generatorius yra algoritmas, kuris iš vidinės būsenos sukuria seką. Pradinė reikšmė padeda nustatyti pradinę būseną. Kai algoritmas, būsena ir iškvietimai fiksuoti, skaičių srautas yra deterministinis. Statistiniame modeliavime tokie srautai naudojami kaip skaičiavimo priemonė atsitiktiniams parinkimams atvaizduoti; tos pačios pradinės reikšmės naudojimas savaime neįrodo matematinės nepriklausomumo ir vienodo pasiskirstymo prielaidos.

Norint atkurti skaičių srautą, gali nepakakti pradinės reikšmės. Užrašykite generatoriaus algoritmą, programinės įrangos versiją ir komponavimo variantą, aplinką, pradinę būseną arba pradinę reikšmę bei iškvietimų seką su jų argumentais ir prašomais dydžiais. Suderinamumo garantijos priklauso nuo konkrečios realizacijos. Net pakeitus kartotinius vienos reikšmės iškvietimus viena masyvo užklausa, gali nebegalioti realizacijos garantija, kad rezultatai bus identiški.

Pakartojus visiškai tą patį skaičių srautą, patikrinamas to skaičiavimo pakartojamumas; tai nėra naujas nepriklausomas reikšmių rinkinys. Mūsų iliustraciniai sąrašai buvo pateikti tiesiogiai, ir neteigiama, kad juos sukūrė realizacija su nustatyta pradine reikšme. Kai naudojama programinė įranga, taip pat patikrinkite, ar jos atliekamas srauto transformavimas užtikrina numatytas baigčių tikimybes.

Atskirkite kintamumą, poslinkį ir kitas paklaidas

Imties kintamumas – tai galimų reikšmių rinkinių įverčių skirtumai, kai tikimybinis modelis fiksuotas. Didesnis nepriklausomų ir vienodai pasiskirsčiusių atsitiktinių parinkimų skaičius mažina vidurkio dispersiją, kai ji baigtinė, tačiau priklausomybė gali padaryti šį skaičiavimą negaliojantį. Jei viena parinkta X reikšmė nukopijuojama keturis kartus, jų vidurkis vis tiek yra X, o jo dispersija yra 5/4 (m/s)², o ne 5/16 (m/s)². Keturios išsaugotos reikšmės savaime nėra keturi nepriklausomi atsitiktiniai parinkimai.

Poslinkis – tai įvertinio matematinės vilties ir jo vertinamo dydžio skirtumas. Tarkime, kiekviena išvesties reikšmė sąmoningai pastumiama fiksuotu dydžiu b = +0.1 m/s, o mes vis dar siekiame įvertinti pradinį μ = 1.5 m/s. Pastumto vidurkio matematinė viltis yra μ + b = 1.6 m/s. Pagal pradines nepriklausomumo ir vienodo pasiskirstymo prielaidas jo dispersija išlieka σ²/n, tačiau jo +0.1 m/s poslinkis išlieka esant bet kokiam n. Sumažinus imties kintamumą, šis fiksuotas poslinkis neišnyksta.

Aritmetinis apvalinimas, tolydžiojo modelio aproksimavimas tinklelyje, netinkamas išvesties transformavimas ir fiziškai netinkamas tikimybių dėsnis gali sukelti papildomų neatitikimų. Vien naudojant σ/√n į jų poveikį neatsižvelgiama. Šiame tiksliame baigtiniame mokomajame pavyzdyje greičio pasiskirstymo dėsnis neaproksimuojamas tinklelyje, o pateiktos racionaliosios tikimybės yra tikslios; didesniam fizikiniam modeliavimui reikia atskirų skaitinių ir modelio patikrų.

Standartinis nuokrypis apibendrina sklaidą, o ne nustato universalų aprėpties procentą. Pasikliautinajam intervalui reikia nurodyto sudarymo būdo ir tikimybinių prielaidų. Vienas išgalvotas reikšmių rinkinys ar patogi pradinė reikšmė nesuteikia nei empirinio aprėpties rezultato, nei duomenų, pagrindžiančių, kad reali sistema atitinka modelį.

Patikrinkite ir užrašykite stochastinį skaičiavimą

Prieš interpretuodami didesnį skaičiavimą, naudokite nedidelį atvejį, kurį galima tiksliai patikrinti. Čia visų vieno atsitiktinio parinkimo tikimybių suma lygi vienetui; keturių atsitiktinių parinkimų atvejų skaičių suma lygi 256; o jų svertinis vidurkis ir dispersija atkuria 1.5 m/s ir 5/16 (m/s)². Patikrinkite ne tik pasiskirstymo centrą, bet ir susitarimus dėl ribų bei pasikartojančių reikšmių atvejus. Šis visų atvejų išvardijimas patvirtina nurodytą baigtinį pasiskirstymo dėsnį, o programinę realizaciją reikėtų papildomai tikrinti pagal šį dėsnį.

Užrašykite fizikinį dydį, matavimo vienetus, rezultatų tikimybinį skirstinį, priklausomumo prielaidas, tikslinę vertę, fiksuotą imties dydį ir įvertinį. Jei nagrinėjate procesą, taip pat užrašykite pradinę būseną, atnaujinimo taisyklę ir laiko sritį. Jei reikšmes sugeneravo programinė įranga, išsaugokite gautas reikšmes ir informaciją, reikalingą rezultatams atkurti. Pasirinkus naują stabdymo taisyklę po to, kai pamatytos palankios reikšmės, gaunama kitokia procedūra; mūsų įrodymai, kai n fiksuotas, tai taisyklei savaime negalioja.

Skaitinių rezultatų sutapimas su žinomu atveju yra naudingas skaičiavimo patikimumo požymis. Interpretuojant realią sistemą, taip pat reikia stebėjimų ir jos tikimybių dėsnio bei parametrų pagrindimo. Kitoje pamokoje „Atvirkštiniai uždaviniai ir Bajeso skaičiavimai“ nagrinėjama, kaip modelio parametrai ir informacija gali būti naudojami darant išvadas; tai kitas mokymosi etapas, o ne būtina sąlyga čia aptariamiems baigtiniams modeliams suprasti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Ar keturių greičio reikšmių modelyje vienu ėmimu gauta reikšmė gali būti lygi matematinei vilčiai 1.5 m/s? Ar keturių ėmimų vidurkis gali jai būti lygus? Raskite pastarojo įvykio tikimybę.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vienos realizacijos reikšmė negali būti lygi 1.5 m/s. Keturių realizacijų vidurkis gali būti toks, o šio įvykio tikimybė yra 44/256 = 11/64.

   Vienos realizacijos galimų reikšmių sąraše yra tik 0, 1, 2 ir 3 m/s. Keturių realizacijų vidurkis lygus 1.5 m/s, kai greičio skaitinių reikšmių suma lygi 6; taip yra 44 sekose. Svertinė matematinė viltis nebūtinai sutampa su vienu iš galimų rezultatų.

2. Pagal tą patį skirstinį generuojant nepriklausomas ir vienodai pasiskirsčiusias realizacijas, palyginkite vidurkio dispersiją ir standartinį nuokrypį, kai n = 4 ir n = 16. Ar keturis kartus padidinus n kiekviena gauta paklaida sumažėja keturis kartus?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Dispersijos yra 5/16 ir 5/64 (m/s)². Standartiniai nuokrypiai yra √5/4 ir √5/8 m/s. Tokios garantijos kiekvienai gautai paklaidai nėra.

   Dispersija lygi σ²/n, todėl keturis kartus padidinus n dispersija sumažėja keturis kartus, o jos kvadratinė šaknis – du kartus. Taip lyginami fiksuoto dydžio imčių skirstiniai. Pateiktos sekos pradžios 0, 1, 2, 3 paklaida jau lygi nuliui, o pridėjus 0 jos vidurkis nutolsta nuo tikslinės vertės.

3. Pagal pateiktą greičio skirstinį pasirinkite vieną X ir įrašykite jį į keturis langelius. Raskite įrašytų reikšmių vidurkio dispersiją. Ar keturių langelių buvimas pateisina nepriklausomoms ir vienodai pasiskirsčiusioms realizacijoms skirtos formulės taikymą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jų vidurkis lygus X, o jo dispersija yra 5/4 (m/s)². Keturi langeliai nereiškia keturių nepriklausomų realizacijų.

   (X + X + X + X)/4 = X. Sužinojus vieno langelio reikšmę, visų kitų reikšmės taip pat tampa žinomos. Vidurkio dispersija nepakinta; dalyba iš keturių nepriklausomų realizacijų vidurkio dispersijos formulėje čia netaikoma.

4. Prie kiekvienos nepriklausomos ir vienodai pasiskirsčiusios greičio realizacijos reikšmės pridėkite +0.1 m/s, nekeisdami tikslinės vertės μ = 1.5 m/s. Kai n = 16, raskite pastumto vidurkio matematinę viltį, poslinkį ir dispersiją. Ar vidurkinimas pašalina poslinkį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jo matematinė viltis yra 1.6 m/s, poslinkis – +0.1 m/s, o dispersija – 5/64 (m/s)². Vidurkinimas šio pastovaus poslinkio nepašalina.

   Pastovus poslinkis prie vidurkio ir jo matematinės vilties prideda tą patį b. Centruojant šis poslinkis vėl atimamas, todėl dispersija nepakinta. Čia tikslinė vertė aiškiai nurodyta kaip pradinė μ; pakeitus tikslinę vertę pastumto skirstinio matematine viltimi, būtų sprendžiamas kitas klausimas.

5. Keturių žingsnių klaidžiojime atlikite žingsnius +0.2 m, +0.2 m, −0.2 m, −0.2 m. Išvardykite visas padėtis ir nurodykite galutinį laiką. Palyginkite šios trajektorijos tikimybę su P(S₄ = 0 m).

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Padėtys yra 0 m, 0.2 m, 0.4 m, 0.2 m, 0 m; paskutinė pasiekiama 2 s momentu. Šios trajektorijos tikimybė yra 1/16; įvykio, nusakančio jos galutinę padėtį, tikimybė yra 6/16 = 3/8.

   Pridėkite kiekvieną prieaugį kas 0.5 s. Nurodyta seka yra viena iš 16 vienodai tikėtinų sekų. Bet kuri seka su dviem teigiamais ir dviem neigiamais prieaugiais baigiasi nulinėje padėtyje, o tokių sekų yra šešios. Judėjimas tarp šių laiko momentų nenurodytas.

6. Skaičiavimas pakartoja identišką pseudoatsitiktinių skaičių seką, kai tenkinamos užfiksuotos suderinamumo sąlygos. Ar tai reiškia, kad gauta antra nepriklausoma imtis, įrodo, kad reikšmės yra nepriklausomos ir vienodai pasiskirsčiusios, arba patvirtina realaus fizikinio modelio tinkamumą? Kas buvo patikrinta?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nė viena iš šių išvadų neplaukia. Taip patikrinamas užfiksuotos skaičiavimo sekos pakartojamumas.

   Ta pati algoritmo būsena ir tie patys iškvietimai atkuria tas pačias reikšmes, todėl pakartojimas nesuteikia naujos nepriklausomos informacijos. Pasiskirstymo ir priklausomumo prielaidas reikia pagrįsti atskirai, o fizikiniam tinkamumui nustatyti reikia atitinkamų stebėjimų. Užfiksuokite ne tik pradinę reikšmę, bet ir generatorių, iškvietimus, programinę įrangą bei aplinką.

Ką verta įsidėmėti

• Monte Karlo metodu vertinamas dydis ir iš konkrečios imties gautas įvertis yra skirtingi objektai; aiškiai nurodykite baigčių tikimybių skirstinį ir matavimo vienetus.
• Kai imtį sudaro fiksuotas skaičius nepriklausomų, vienodai pasiskirsčiusių reikšmių su baigtine dispersija, imties vidurkio matematinė viltis yra μ, o dispersija – σ²/n.
• Tikslus visų baigčių išvardijimas, kai jų skaičius baigtinis, leidžia patikrinti tikimybių diagramą ir atskleidžia skirtumus tarp sąlygų, įtraukiančių ir neįtraukiančių ribines reikšmes.
• Nepriklausomi prieaugiai gali lemti priklausomas nuoseklias stochastinio proceso būsenas.
• Atkuriamumui, imčių kintamumui, išliekančiam poslinkiui ir fizikinio modelio tinkamumui patikrinti reikia skirtingų patikrų.