Interpoliacija, ekstrapoliacija ir aproksimacija

Nurodykite duomenis ir klausimą

Pateiktos padėtys yra 2 m laiko momentu 1 s ir 5 m laiko momentu 2 s. Kokią padėtį turėtume įvertinti laiko momentu 1.5 s? Šių dviejų reikšmių vidurkis yra 3.5 m, tačiau reikia pagrįsti šią taisyklę ir rasti būdą ją patikrinti. Tegul t yra praėjęs laikas sekundėmis, o x – padėtis su ženklu metrais išilgai fiksuotos ašies; visą laiką stebimas tas pats taškas ir naudojama ta pati koordinačių pradžia. Šios pateiktos reikšmės nėra nauji matavimo prietaiso rodmenys.

Šios pamokos skaičiavimams patikrinti atskirai apibrėžkime f(t) = 1 m + (1 m/s²)t² intervale [0 s, 3 s]. Lentelė sudaroma iš šios funkcijos reikšmių. Kai turime tik pateiktus duomenų taškus, sprendžiame kitokį uždavinį nei tada, kai žinome visą šią formulę. Čia neteigiama, kad trajektorija buvo išmatuota ar kad galioja koks nors fizikos dėsnis.

Interpoliacijos taisyklė sudaro funkciją iš pateiktų reikšmių porų. Pradėkite nuo lentelės, gretimus taškus jungiančių atkarpų ir palyginimo grafiko: šiam pirmajam etapui pakanka pagrindinių aritmetikos veiksmų ir gebėjimo skaityti padėties priklausomybės nuo laiko grafiką. Paskelbtoje pamokoje „Algebra ir funkcijos“ apžvelgiami grafikai ir funkcijų apibrėžimo sritys. Jei išvestinės jums dar naujos, prie nuolydžio ir kreivumo ribos aptarimo grįžkite po pamokos „Išvestinės, Teiloro eilutės ir lokalioji aproksimacija“; šioms riboms nustatyti vien lentelės nepakanka.

Interpoliacijos, ekstrapoliacijos ir priderinimo skirtumai

Interpoliacinė funkcija eina per kiekvieną pateiktą duomenų tašką: p(tᵢ) = xᵢ. Jos naudojimas laiko momentu tarp pirmojo ir paskutinio duomenų taško yra interpoliacija. Pasirinktos taisyklės taikymas už šio duomenų intervalo ribų yra ekstrapoliacija. Taigi 1.5 s patenka į mūsų duomenų intervalą, o 3 s yra už jo ribų, nors abu laiko momentai priklauso nurodytos formulės apibrėžimo sričiai.

Aproksimacija yra platesnė sąvoka: pasirenkame paprastesnę ar patogesnę funkciją ir nurodytomis sąlygomis vertiname jos skirtumą nuo tikslinės funkcijos. Priderinant regresijos ar glodinimo funkciją, galima sąmoningai palikti nenulinius nuokrypius duomenų taškuose. Interpoliacinės funkcijos nuokrypiai šiuose pateiktuose taškuose, priešingai, yra lygūs nuliui, tačiau tai neįrodo, kad paklaida kitur taip pat lygi nuliui.

Toliau pateiktoms formulėms įvesties laiko momentai turi būti skirtingi. Vienareikšmė funkcija negali atitikti skirtingų padėčių tuo pačiu laiko momentu. Pasikartojančios vienodos poros neprideda naujo atskiro mazgo. Įvesties reikšmes, turinčias tą pačią skaitinę vertę, bet skirtingus vienetus, pirmiausia reikia išreikšti suderintais vienetais.

Sujunkite gretimus taškus tiese

Kai a < b, pažymėkime h = b − a ir α = (t − a)/h. Tiesė, einanti per padėtis xₐ ir xᵦ, yra L(t) = (1 − α)xₐ + αxᵦ. Laikų santykis α neturi matavimo vieneto; rezultatas išlieka padėtis. Jei a ≤ t ≤ b, abu svoriai yra neneigiami, o jų suma lygi vienetui, todėl reikšmė yra tarp abiejų galinių padėčių.

Naudokite gretimų taškų porą, tarp kurių laiko momentų yra ieškomas laiko momentas. Mūsų dalimis tiesinė taisyklė yra p(t) = 1 m + (1 m/s)t intervale [0 s, 1 s] ir p(t) = 2 m + (3 m/s)(t − 1 s) intervale [1 s, 2 s]. Abi dalys duoda 2 m laiko momentu 1 s, todėl tame taške taisyklė yra tolydi.

Abiejų dalių nuolydžiai yra 1 m/s ir 3 m/s. Jų sujungimo laiko momentu interpoliacinė funkcija neturi išvestinės, nes nuolydžiai iš kairės ir iš dešinės skiriasi. Šie nuolydžiai apibūdina pasirinktą interpoliacinę funkciją; jie nebūtinai yra nežinomo judėjimo momentinis greitis. Nesvertinis vidurkis tinka tik pasirinkto laiko intervalo vidurio taške.

Nustatykite, ko duomenų taškai neapibrėžia

Pilnoji kvadratinė funkcija f yra viena iš funkcijų, atitinkančių visus tris duomenų taškus. Kita yra g(t) = f(t) + (1 m/s³)t(t − 1 s)(t − 2 s), taip pat apibrėžta intervale [0 s, 3 s]. Papildomas narys lygus nuliui kiekvienu duomenyse pateiktu laiko momentu, tačiau tarp šių momentų ar už jų ribų jis nebūtinai lygus nuliui.

Laiko momentu 1.5 s funkcija f duoda 3.25 m, o g duoda 2.875 m. Laiko momentu 3 s jos duoda 10 m ir 16 m. Abi funkcijos yra glodžios ir atitinka lygiai tą pačią lentelę. Todėl vien glodumo, be tinkamo kiekybinio apribojimo ar pasirinktos modelių klasės, nepakanka, kad šie duomenų taškai apibrėžtų trūkstamą padėtį.

Pratęsus paskutinę tiesės atkarpą iki 3 s, gaunama 8 m. Tai aiškiai pasirinkta ekstrapoliavimo taisyklė, kurios paklaida, palyginti su f tuo laiko momentu, yra −2 m. Pratęsimas nepatenka į pradinės dalimis apibrėžtos taisyklės apibrėžimo sritį [0 s, 2 s]. Ekstrapoliavimas gali būti sėkmingas, kai jį pagrindžia papildomos žinios; vien sutapimas su duomenų taškais tokios garantijos nesuteikia.

Aiškiai pasirinkite daugianarių klasę

Trys skirtingi duotieji laiko momentai vienareikšmiškai apibrėžia vieną interpoliacinį daugianarį, kurio laipsnis ne didesnis kaip du. Šis patikslinimas svarbus: jis nusako pasirinktą klasę, o ne įrodo, kad tikroji trajektorija yra kvadratinė. Kad matavimo vienetai būtų aiškūs, užrašykime bedimensę koordinatę τ = t/(1 s) ir ieškokime daugianario q(τ), kurio reikšmės nusako padėtį.

Mūsų mazgams τ = 0, 1, 2 naudokime L₀(τ) = (τ − 1)(τ − 2)/2, L₁(τ) = −τ(τ − 2) ir L₂(τ) = τ(τ − 1)/2. Kiekvienas svoris savo mazge lygus vienetui, o kituose dviejuose – nuliui. Tuomet q(τ) = (1 m)L₀(τ) + (2 m)L₁(τ) + (5 m)L₂(τ). Išskleidę gauname q(τ) = (1 + τ²) m.

Čia q(t/(1 s)) sutampa su f(t) visame intervale [0 s, 3 s], nes atskirai apibrėžta funkcija f jau priklauso tai daugianarių klasei. Su g ji nesutampa. Du antrojo laipsnio daugianariai, kurių reikšmės sutampa trijuose skirtinguose mazguose, turi būti tapatūs: jų skirtumo laipsnis ne didesnis kaip du, o šis skirtumas turi tris skirtingus nulius, todėl jis turi būti nulinis daugianaris. Taip nustatomas vienatinumas pasirinktoje klasėje.

Paklaidos ribą taikykite su jos prielaidomis

Tarkime, nagrinėjamos padėties funkcijos antroji išvestinė yra tolydi visame intervale [a, b], funkcijos reikšmės intervalo galuose yra tikslios, o visame intervale galioja |f″(t)| ≤ M. M nusako, kaip sparčiai gali kisti funkcijos nuolydis, ir matuojamas m/s². Tuomet tiesė, jungianti jos grafiko galinius taškus, tenkina |f(t) − L(t)| ≤ M(t − a)(b − t)/2 ≤ Mh²/8, kai a ≤ t ≤ b, kur h = b − a.

Daugiklis (t − a)(b − t) lygus h²/4 − (t − (a + b)/2)², todėl didžiausią reikšmę jis įgyja intervalo viduryje. Mūsų funkcijai f galioja f″ = 2 m/s². 1 s intervale paklaidos riba yra 0.25 m; kai tikslus duomenų ėmimo intervalas yra 0.5 s, ši riba yra 0.0625 m. Šio antrojo laipsnio daugianario didžiausios paklaidos pasiekia šias reikšmes.

Sumažinus h perpus, šis pagal kreivumą ribojamas narys sumažėja keturis kartus, jei ta pati M reikšmė tebegalioja, o naujos reikšmės intervalo galuose yra tikslios. Tai negarantuoja, kad tikroji paklaida kiekviename taške sumažės keturis kartus. Vien iš baigtinės duomenų lentelės kreivumo ribos apskritai negalima nustatyti. Nurodyta paklaidos riba intervale taip pat nepatvirtina ekstrapoliuotos reikšmės už to intervalo ribų patikimumo.

Duomenų ir interpoliavimo paklaidas vertinkite atskirai

Dabar intervalo galų laiko vertes laikykime fiksuotomis, tačiau leiskime kiekvienai pateiktai padėčiai intervalo gale skirtis nuo tikslinio dydžio vertės dydžiu δₐ arba δᵦ, kai |δₐ|, |δᵦ| ≤ η. Tai deterministinės absoliučiosios ribos, o ne standartinės neapibrėžtys ar nepriklausomos atsitiktinės paklaidos. Per intervalo galų taškus einančios tiesės pokytis yra ΔL(t) = (1 − α)δₐ + αδᵦ.

Intervalo viduje |ΔL| ≤ η, nes svoriai yra neneigiami, o jų suma lygi vienetui. Atsižvelgę ir į kreivumo ribą, gauname |f − L_supplied| ≤ Mh²/8 + η. Kai M = 2 m/s², h = 1 s ir η = 0.02 m, ši riba yra 0.27 m. Ji apima šiuos du nurodytus paklaidos dėmenis; įvesties laiko verčių paklaidas ir aritmetines paklaidas reikia nagrinėti atskirai.

Už intervalo ribų svoriai gali būti priešingų ženklų. Pagal jų absoliučiąsias vertes gauname |ΔL| ≤ (|1 − α| + |α|)η. Pratęsę paskutinę atkarpą [1 s, 2 s] iki 3 s, gauname α = 2, o duomenų paklaidos riba yra 0.06 m, kai η = 0.02 m. Ši paklaidos sustiprėjimo riba susijusi su pasirinktos tiesės galinių taškų nuokrypiais, o ne su papildomu jos neatitikimu nežinomai tikslinei funkcijai.

Patikrinkite ir užfiksuokite aproksimaciją

Nurodykite tikslinį dydį, duomenų taškų laiko vertes, matavimo vienetus, taisyklę ir leistiną reikšmių skaičiavimo sritį. Patikrinkite, ar atkuriamas kiekvienas pateiktas taškas, ar intervalo parinkimas dera su vertėmis ties ribomis ir ar tebegalioja nurodytų paklaidos ribų prielaidos. Užfiksuokite, ar lyginant naudota tiksliai žinoma formulė, papildomi duomenų taškai, ar numanomas fizikinis modelis.

Mūsų bandomajame modelyje papildomi tikslūs duomenų taškai gali atskleisti paklaidas tarp pradinių mazgų. Eksperimente papildomi matavimai taip pat turi savo neapibrėžtį ir sąlygas. Keli patikrinimai patvirtina tik tų palyginimų rezultatus; viso intervalo paklaidos ribai reikia pagrindimo, apimančio visą intervalą. Skirtingos aproksimavimo taisyklės gali duoti sutampančias vertes duomenų taškuose, bet skirtingas kitur.

Pasirinkite taisyklę pagal keliamą klausimą, atsižvelgdami į reikiamą tikslumą ir turimas žinias. Glodžiai atrodanti interpoliacinė funkcija nepatvirtina fizikinio mechanizmo, o nulinis nuokrypis duomenų taškuose nenustato jos išvestinės ar integralo. Kitoje pamokoje „Skaitinis diferencijavimas ir integravimas“ šie skaitiniai klausimai nagrinėjami su jiems būdingomis prielaidomis.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Atskira tiesė per intervalo galų taškus sudaroma naudojant f(1 s) = 2 m ir f(3 s) = 10 m. Raskite jos įvertį, kai laikas yra 1.5 s, ir palyginkite jį su f(1.5 s). Ar tinka intervalo galų verčių nesvertinis vidurkis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   α = 1/4, tiesė duoda 4 m, o jos paklaida f atžvilgiu yra +0.75 m. Šiuo laiko momentu nesvertinis vidurkis netinka.

   Laiko intervalo trukmė yra 2 s, o ieškomas laiko momentas yra nutolęs nuo kairiojo intervalo galo per 0.5 s. Todėl L = (3/4)(2 m) + (1/4)(10 m) = 4 m. Duotoji funkcija f duoda 3.25 m. Intervalo galų verčių vidurkis 6 m atitinka intervalo vidurio momentą, 2 s.

2. Ar vienareikšmė interpoliuojančioji funkcija gali atkurti abu taškus (1 s, 2 m) ir (1 s, 3 m)? Ar šias poras galima naudoti tiesei per du taškus sudaryti, kai intervalo plotis lygus nuliui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abu būdai netinkami: tai pačiai argumento reikšmei reikėtų priskirti dvi skirtingas funkcijos reikšmes, o tiesės formulėje būtų dalijama iš nulio.

   Funkcija kiekvienam laiko momentui priskiria vieną vertę. Dvi nesuderinamos padėtys negali abi būti jos verte. Pasikartojančias vienodas padėtis tuo pačiu laiko momentu būtų galima sujungti, tačiau jos vis tiek sudarytų tik vieną atskirą mazgą.

3. Iš trijų pradinių duomenų taškų gaunama q(1.5) = 3.25 m. Kodėl kitoks trečiojo laipsnio polinomas g neprieštarauja antrojo laipsnio interpoliuojančiojo polinomo vienatinumui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vienatinumas galioja ne aukštesnio kaip antrojo laipsnio polinomams; g turi nenulinį trečiojo laipsnio narį ir nepriklauso šiai klasei.

   Koeficientas 1 m/s³, dauginantis t(t − 1 s)(t − 2 s), yra nenulinis. Naudojant bedimensę laiko koordinatę, ši sandauga sudaro trečiojo laipsnio padėties narį. Kadangi visuose trijuose mazguose jis lygus nuliui, lentelės reikšmės išlieka tos pačios, tačiau antras antrojo laipsnio polinomas nesusidaro.

4. Palyginkite paskutinės atkarpos tęsinio, f ir g reikšmes, kai laikas yra 3 s. Kurią reikšmę vienareikšmiškai nustato vien trys pateikti duomenų taškai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tiesės tęsinys duoda 8 m, f duoda 10 m, o g – 16 m. Vien pateikti duomenų taškai vienareikšmiškai nenustato nė vienos iš šių reikšmių už duomenų taškų ribų.

   Ieškomos reikšmės laikas yra vėlesnis už paskutinį pateiktą laiką 2 s. Kiekvienas skaičius gaunamas pagal nurodytą taisyklę arba papildomą formulę. Kadangi f ir g sutampa visuose pateiktuose mazguose, bet skiriasi ties 3 s, be papildomų prielaidų lentelė neleidžia pasirinkti jų tęsinio.

5. Palikite paskutinės atkarpos galų laiko reikšmes fiksuotas ir leiskite bet kokius galų padėties pokyčius, kurių moduliai neviršija 0.02 m. Nustatykite tiesės reikšmės pokyčio ribą ties 1.5 s ir jos tęsinio reikšmės pokyčio ribą ties 3 s. Ar pokytis atkarpos viduje būtinai turi būti lygus nuliui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ribos yra 0.02 m atkarpos viduje ir 0.06 m ties 3 s. Pokytis atkarpos viduje nebūtinai turi būti lygus nuliui.

   Ties 1.5 s svorių modulių suma yra 1; ties 3 s ji yra 3. Kiekvieną sumą padauginkite iš η. Jei abu galų padėties pokyčiai lygūs +0.02 m, pokytis atkarpos viduje yra +0.02 m. Išnagrinėtame pavyzdyje pokyčiai kompensavosi dėl priešingų jų ženklų, o ne dėl bendros interpoliacijos savybės.

6. Tarkime, kiekviename pasirinktame intervale galioja M = 2 m/s², o padėties paklaidos intervalo galuose, kai laiko reikšmės fiksuotos, neviršija η = 0.02 m. Ar Mh²/8 + η garantuoja 0.04 m tikslumo reikalavimą, kai h = 0.5 s? O kai h = 0.25 s?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai h yra 0.5 s, riba lygi 0.0825 m ir negarantuoja tikslumo reikalavimo. Kai h yra 0.25 s, riba lygi 0.035625 m ir, esant pateiktoms prielaidoms, šį reikalavimą garantuoja.

   Kai h yra 0.5 s, kreivumo narys lygus 0.0625 m; kai h yra 0.25 s, jis lygus 0.015625 m. Pridėkite nepakitusią galų paklaidos ribą 0.02 m. Riba, viršijanti tikslinę paklaidą, neįrodo, kad tikroji paklaida ją viršija. Išvada apima nurodytus funkcijos ir duomenų indėlius, tačiau aritmetinės paklaidos ir įvesties laiko paklaidos tebėra neįtrauktos.

Ką verta įsidėmėti

• Interpoliacinė funkcija sutampa su pateiktais taškais; interpoliacijos ir ekstrapoliacijos sąvokos nusako, kur naujoji įvesties reikšmė yra pateiktų duomenų intervalo atžvilgiu.
• Tiesinė interpoliacija tarp gretimų taškų naudoja laiko santykiais išreikštus svorius ir išlaiko apskaičiuojamo dydžio matavimo vienetus.
• Baigtinis duomenų taškų skaičius nenustato glodžios funkcijos be papildomų apribojimų nei tarp šių taškų, nei už jų.
• Daugianario vienatinumui būtini skirtingi mazgai ir aiškus laipsnio apribojimas.
• Kreivumo nulemtai paklaidos ribai reikia glodumo, visame intervale galiojančios antrosios išvestinės ribos ir tikslių reikšmių intervalo galuose; paklaidas intervalo galuose galima apriboti atskirai.
• Prieš interpretuodami aproksimaciją kaip fizikinį rezultatą, užrašykite apibrėžimo sritis, paklaidų dedamąsias ir nepriklausomus palyginimus.