Skaitinis diferencijavimas ir integravimas

Nurodyti siekiamą dydį ir įvesties duomenis

Nagrinėkime pateiktą padėties išilgai vienos fiksuotos ašies modelį, kurio reikšmės yra 0.65 m laiko momentu 0.5 s ir 2.75 m laiko momentu 1.5 s. Per šį 1 s laiko tarpą kitimo greitis yra (2.75 − 0.65)m/(1 s) = 2.1 m/s. Ar tai taip pat yra kitimo greitis tiksliai laiko momentu 1 s? Vien šių dviejų reikšmių nepakanka šiam klausimui atsakyti.

Išvestinė apibūdina vietinį kitimo greitį; skaitinis skirtumas naudoja reikšmes taškuose, kuriuos skiria baigtinis atstumas. Integralas apibūdina kaupimąsi intervale, atsižvelgiant į ženklą; skaitinė kvadratūra jį pakeičia svertine suma. Baigtiniu skaičiavimu gautas rezultatas ir matematinės analizės siekiamas dydis yra skirtingi dalykai, net jei jų reikšmės sutampa.

Tegu t yra laikas sekundėmis, o q(t) – skaliarinė padėtis metrais išilgai vienos fiksuotos ašies. Siekiamo dydžio q′(t) vienetai yra m/s. Atskirai pateiktas skaliarinis greitis v(t), matuojamas m/s, nusako kaupimąsi su ženklu I = ∫ₐᵇ v(t) dt, matuojamą metrais, kai a < b. Tai yra poslinkis išilgai nurodytos ašies; nueitam keliui apskaičiuoti būtų naudojamas ∫ₐᵇ |v(t)| dt.

Reikšmės gali būti gaunamos iš tiksliai apibrėžtos funkcijos arba iš įrašų su paklaidomis. Formulė nesuteikia trūkstamos informacijos apie funkciją tarp įrašų. Prieš skaičiuodami nurodykite leistiną apibrėžimo sritį, mazgus, matavimo vienetus, ieškomą dydį ir visus išvestinių ar pradinių duomenų paklaidų rėžius.

Ruošdamiesi remkitės pamoka „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“, kad susipažintumėte su išvestinėmis ir Teiloro formulės žymėjimu, o pamoka „Integralai ir kelių kintamųjų analizė“ – kad susipažintumėte su integralais su ženklu. Skaitydami pirmą kartą sekite baigtinius skaičiavimus, o prie glodumu pagrįstų paklaidos rėžių grįžkite išnagrinėję tas pamokas.

Sudarykite vienpusį skirtumą

Kai laiko žingsnis h yra teigiamas, skirtumas pirmyn yra D_F(t,h) = [q(t + h) − q(t)]/h. Skirtumas atgal yra D_B(t,h) = [q(t) − q(t − h)]/h. Abiem atvejais naudojamas atstumas h tarp mazgų, o rezultatas turi kitimo spartos matavimo vienetus. Visi reikalingi mazgai turi priklausyti nurodytai apibrėžimo sričiai, o h turi būti nelygus nuliui.

Jei q turi dvi tolydžias išvestines naudojamame intervale, pagal Teiloro teoremą skirtumo pirmyn formulės paklaida tenkina |D_F − q′(t)| ≤ M₂h/2, kur M₂ yra |q″| viršutinis rėžis intervale [t, t + h]. Skirtumo atgal formulei naudokite rėžį intervale [t − h, t]. M₂ matavimo vienetai yra m/s², todėl paklaidos rėžio matavimo vienetai yra m/s.

Tai formulių paklaidos rėžiai, kai pradiniai duomenys tikslūs ir aritmetiniai veiksmai atliekami tiksliai. Jie neapima reikšmių ar skaičiavimo veiksmų paklaidų. Riboto įrašų intervalo pradžioje gali būti įmanoma sudaryti skirtumą pirmyn, o centriniam skirtumui reikėtų trūkstamos ankstesnės reikšmės.

Centruokite skirtuminį šabloną

Centrinis skirtumas yra D_C(t,h) = [q(t + h) − q(t − h)]/(2h). Jo galinius taškus skiria 2h, o ne h. Kai intervale [t − h, t + h] yra trys tolydžios išvestinės, galioja rėžis |D_C − q′(t)| ≤ M₃h²/6, jei M₃ yra |q‴| viršutinis rėžis tame intervale. M₃ matavimo vienetai yra m/s³.

Teiloro skleidiniuose abiejose pusėse vienodi kvadratiniai nariai skaitiklyje panaikinami. Padalijus iš 2h lieka išvestinė ir liekamasis narys, kurio modulis neviršija M₃h²/6. Naudojant tą patį tolygų išvestinės rėžį, sumažinus h perpus šis viršutinis rėžis sumažėja keturis kartus; tikroji bet kokios funkcijos paklaida nebūtinai sumažėja keturis kartus.

Originaliam tiksliam modeliui intervale 0 s ≤ t ≤ 2 s nurodykite q(t) = 0.2 m + (0.8 m/s)t + (0.4 m/s³)t³. Kai t = 1 s, q′ = 2 m/s, o q‴ = 2.4 m/s³. Kai h = 0.5 s, skirtumai pirmyn, atgal ir centrinis skirtumas yra atitinkamai 2.7, 1.5 ir 2.1 m/s. Centrinio skirtumo paklaida yra +0.1 m/s; kai h = 0.25 s, ji yra +0.025 m/s. Šios reikšmės gaunamos iš nurodyto daugianario.

Paveiksle taškus jungianti kirstinė lyginama su liestine laiko momentu 1 s. Kirstinė eina per dvi kraštines padėtis ir jos nuolydis yra 2.1 m/s; liestinė liečia kreivę ties vidurine padėtimi ir jos nuolydis yra 2 m/s. Vidurinė padėtis yra 1.40 m, o kirstinės reikšmė tuo laiko momentu yra 1.70 m: centrinė kirstinė nebūtinai eina per vidurinę reikšmę.

Įtraukite pateiktų reikšmių paklaidas

Tarkime, skaičiavimui pateiktos dvi simetriškai išsidėsčiusių intervalo galų reikšmės yra q̃(t ± h) = q(t ± h) + ε±, kur |ε±| ≤ δ_q. Laiko reikšmės yra tikslios, δ_q yra ilgio dydis, o tolesni aritmetiniai veiksmai šiame modelyje atliekami tiksliai. Nepateikiama jokio tikimybių skirstinio, nepriklausomumo prielaidos ar su pasikliovimo lygmeniu susijusios interpretacijos.

Papildoma skirtuminio artinio paklaida yra (ε+ − ε−)/(2h), o jos modulis neviršija δ_q/h. Ją sujungus su glodžiosios funkcijos paklaidos įverčiu, gaunama |D̃_C − q′(t)| ≤ M₃h²/6 + δ_q/h. Pirmasis dėmuo mažėja mažėjant h; antrasis didėja, kai δ_q išlieka fiksuotas ir teigiamas.

Pirmiau pateiktam polinomui, kai δ_q = 0.010 m, žingsniai 0.5, 0.25 ir 0.125 s duoda bendruosius paklaidos įverčius 0.120, 0.065 ir 0.08625 m/s. Iš šių trijų pasirinkimų vidurinis žingsnis duoda mažiausią įvertį. Tai palyginimas pagal nurodytas ribas, o ne universalus optimalus žingsnis ar matavimo neapibrėžties įvertis.

Sudarykite trapecijų sumą su ženklu

Integruodami padalykite [a, b] į n vienodo pločio dalinių intervalų, kur n yra teigiamas sveikasis skaičius, h = (b − a)/n, o tⱼ = a + jh, kai j = 0,…,n. Atkarpos, jungiančios dvi gretimas greičio reikšmes, integralas su ženklu yra h[v(tⱼ) + v(tⱼ₊₁)]/2. Susumavę dalinių intervalų indėlius gauname Tₙ = h[v(a)/2 + Σⱼ₌₁ⁿ⁻¹ v(tⱼ) + v(b)/2]. Kai n = 1, vidinių mazgų reikšmių suma yra tuščia.

Vidinių mazgų reikšmėms tenka visas svoris h, nes kiekvienas toks mazgas priklauso dviem gretimiems daliniams intervalams; kiekvienam galiniam taškui tenka svoris h/2. Svoriai turi laiko vienetus, o pasvertos greičio reikšmės duoda ilgius. Neigiamų reikšmių indėlis yra neigiamas. Jei mazgai išdėstyti netolygiai, naudokite tikruosius dalinių intervalų pločius, o ne įrašykite juos į šią tolygaus tinklelio formulę.

Atskiram originaliam greičio modeliui intervale 0 s ≤ t ≤ 2 s pateikite v(t) = 1 m/s − (0.5 m/s³)t². Tai nėra ankstesnio padėties modelio q′. Tikslus šio greičio integralas su ženklu yra I = 2/3 m. Kai n = 2, o h = 1 s, reikšmės mazguose yra 1, 0.5 ir −1 m/s, todėl T₂ = 0.5 m. Skaičiuojant šį poslinkį, neigiamas galutinis greitis išlaikomas.

Įvertinkite kvadratūros paklaidą

Jei v turi dvi tolydžias išvestines intervale [a, b], o K₂ yra |v″| viršutinė riba šiame intervale, tuomet |Tₙ − I| ≤ (b − a)K₂h²/12. Tai formulės paklaidos riba, kai naudojamos tikslios reikšmės. K₂ vienetai yra m/s³, todėl laiko intervalo trukmės, h² ir K₂ sandauga turi ilgio vienetus.

Kiekviename daliniame intervale funkcijos nuokrypį nuo jos galų reikšmes jungiančios tiesės galima apriboti naudojant antrąją išvestinę. Integruojant šį nuokrypį, kiekvienam daliniam intervalui gaunama riba K₂h³/12; susumavus n dalinių intervalų indėlius, gaunama nurodyta riba. Laiko atžvilgiu afininės funkcijos antroji išvestinė lygi nuliui, todėl jos integralas, apskaičiuotas trapecijų metodu, yra tikslus.

Pateikto kvadratinio greičio modelio v″ = −1 m/s³ visame intervale, todėl K₂ = 1 m/s³. Kiekvienas trapecijų metodu gautas rezultatas yra mažesnis už tikslų integralą su ženklu. Čia paklaida su ženklu yra tiksliai −(b − a)(1 m/s³)h²/12, todėl jos modulis lygus paklaidos ribai. Lentelės rezultatų ir paklaidų stulpeliuose visur naudojami metrai.

Patikrinkite, ką galima nustatyti iš reikšmių

Jei pateikti greičiai mazguose ṽ(tⱼ) = v(tⱼ) + εⱼ tenkina |εⱼ| ≤ δ_v ir aritmetiniai veiksmai atliekami tiksliai, teigiamų trapecijų formulės svorių suma lygi b − a. Todėl |T̃ₙ − Tₙ| ≤ (b − a)δ_v. Vienodas visų reikšmių poslinkis ta pačia kryptimi gali pasiekti šią ribą; padidinus mazgų skaičių, jis savaime neišnyksta.

Kai δ_v = 0.020 m/s, o laiko intervalas yra 2 s, reikšmių paklaidos įvertis yra 0.040 m. Kai n = 4, sudėjus jį su formulės paklaidos įverčiu gaunama |T̃₄ − I| ≤ 1/24 m + 0.040 m = 49/600 m, maždaug 0.08167 m. Šis įvertis negali garantuoti, kad paklaida neviršys reikalaujamos 0.050 m ribos, nors konkrečiu atveju faktinė paklaida gali būti mažesnė.

Vien dviejų reikšmių intervalo galuose taip pat nepakanka integralui nustatyti. Tame pačiame intervale funkcijos w(t) = v(t) + (0.75 m/s³)t(2 s − t) reikšmės intervalo galuose sutampa su v reikšmėmis, tačiau jos integralas yra 5/3 m, o ne 2/3 m. Taikant vienos trapecijos formulę, rezultatas vis tiek yra 0 m. Nestebimo kreivumo įvertis turi būti grindžiamas nurodytu modeliu ar kitais pagrindžiančiais duomenimis, o ne reikšmių sutapimu intervalo galuose.

Interpretuokite tinklo tankinimo patikrą

Tankinant tinklą, lyginami skaičiavimai su mažesniais atstumais tarp mazgų. Kai reikšmės tikslios ir galioja tie patys išvestinių rėžiai, šie centrinio skirtumo ir trapecijų formulių paklaidos rėžiai yra proporcingi h². Jei svarbios įvesties paklaidos, laiko nustatymo paklaidos ar riboto tikslumo aritmetika, atsižvelkite į jas prieš interpretuodami palyginimą. Mažas skirtumas tarp dviejų apskaičiuotų rezultatų savaime nėra nė vieno iš jų paklaidos įvertis.

Glodumo prielaidos yra svarbios. Kampiniame taške išvestinė gali neegzistuoti, nors centrinis skirtuminis santykis duoda baigtinį skaičių. Čia naudojamam trapecijų formulės paklaidos įverčiui reikia tolydžios antrosios išvestinės; singuliarumui ar trūkiui reikia kitokios analizės. Neperženkite nurodytos apibrėžimo srities ir patikrinkite, ar reikalingos reikšmės ir aritmetiniai veiksmai yra apibrėžti.

Kartu su rezultatu užrašykite mazgus, metodą, aritmetikos prielaidas, rezultato matavimo vienetus, taikomą paklaidos ribą ir sprendimą dėl tolerancijos. Skaitinis diferencijavimas ir kvadratūra atliekami naudojant pateiktas funkcijos vertes. Kita tema – skaitinis paprastųjų diferencialinių lygčių sprendimas – nagrinėja nežinomą funkciją, kuri turi tenkinti diferencialinę lygtį ir pradines arba kraštines sąlygas.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Duotajai kubinei padėties funkcijai apskaičiuokite D_F, kai t = 1 s ir h = 0.25 s. Ar centrinė schema su šiuo teigiamu h galima ties t = 0 s, naudojant tik nurodytą apibrėžimo sritį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   D_F(1 s, 0.25 s) = 2.325 m/s. Centrinė schema ties 0 s negalima, nes jai reikėtų q(−0.25 s).

   q(1.25 s) = 1.98125 m ir q(1 s) = 1.40 m, todėl jų 0.58125 m skirtumą padalykite iš 0.25 s. Apibrėžimo srities apribojimas nesuteikia teisės ekstrapoliuoti trūkstamos vertės.

2. Tai pačiai kubinei funkcijai, kai t = 1 s, naudodami h = 0.125 s, raskite D_C ir jo paklaidą su ženklu, kai naudojamos tikslios reikšmės.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   D_C = 2.00625 m/s ir D_C − q′ = +0.00625 m/s.

   Šiai kubinei funkcijai tiksliai galioja D_C − q′ = (0.4 m/s³)h². Įstatę h = 0.125 s, gauname 0.00625 m/s. Abu reikalingi mazgai lieka intervale [0 s, 2 s].

3. Kiekviena iš dviejų verčių, naudojamų dešiniajame skirtuminiame santykyje su h = 0.25 s, turi adityviąją padėties paklaidą, kurios modulis neviršija 0.010 m. Jei laikai ir aritmetiniai skaičiavimai tikslūs, kokia yra vien šių verčių paklaidų sukeltos skirtuminio santykio paklaidos riba?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Verčių paklaidų indėlis neviršija 2δ_q/h = 0.080 m/s.

   Skaitiklio paklaida yra ε₁ − ε₀, o jos modulis neviršija 0.020 m. Padaliję iš 0.25 s, gauname 0.080 m/s. Ši paklaida yra atskira nuo dešiniojo skirtuminio santykio formulės paklaidos išvestinės atžvilgiu.

4. Pateiktai kvadratinei greičio funkcijai nurodykite T₂, T₄ ir jų absoliučiąsias paklaidas, kai naudojamos tikslios reikšmės. Ar šių paklaidų sumažėjimas keturis kartus patvirtina tokį patį dėsningumą kiekvienam pateiktam duomenų rinkiniui?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   T₂ = 1/2 m ir T₄ = 5/8 m; absoliučiosios paklaidos yra 1/6 m ir 1/24 m. Sumažėjimas keturis kartus nustatytas šiam tikslios kvadratinės funkcijos atvejui.

   I = 2/3 m. Dėl pastovios antrosios išvestinės trapecijų metodo paklaida čia yra tiksliai proporcinga h². Kitai glodžiai funkcijai bendroji paklaidos riba yra proporcinga h², jei taikoma ta pati K₂ reikšmė; tikroji paklaida nebūtinai kinta tiksliai tokiu santykiu, o įvesties paklaidas reikia nagrinėti atskirai.

5. Kai n = 4, taip pat tarkime, kad kiekviena pateikta greičio vertė nuo modelio skiriasi ne daugiau kaip 0.020 m/s. Kokia bendroji absoliučiosios paklaidos riba gaunama, jei laikai ir aritmetiniai skaičiavimai tikslūs, ir ar ji patvirtina, kad absoliučioji paklaida neviršija 0.050 m?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Bendroji riba yra 1/24 m + 0.040 m = 49/600 m, maždaug 0.08167 m. Ji nepatvirtina, kad absoliučioji paklaida neviršija 0.050 m.

   Teigiamų trapecijų formulės svorių suma yra 2 s, todėl mazgų reikšmių paklaidų indėlis neviršija (2 s)(0.020 m/s) = 0.040 m. Pagal trikampio nelygybę pridėkite šį dydį prie formulės paklaidos viršutinio rėžio. Nepavykus patvirtinti reikalavimo, nežinoma faktinė paklaida lieka nenustatyta.

6. Intervale [0 s, 2 s] palyginkite v(t) su w(t) = v(t) + (0.75 m/s³)t(2 s − t). Patikrinkite jų reikšmes intervalo galuose, vieno intervalo trapecijų formulės rezultatus ir tikslius integralus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abiejų funkcijų reikšmės intervalo galuose yra 1 ir −1 m/s, o vieno intervalo trapecijų formulės rezultatas yra 0 m. Tikslūs integralai yra 2/3 m funkcijai v ir 5/3 m funkcijai w.

   Pridėtas narys abiejuose intervalo galuose lygus nuliui, tačiau jo integralas yra (0.75 m/s³)[(2 s)t²/2 − t³/3], apskaičiuotas nuo 0 s iki 2 s, ir yra lygus 1 m. Taigi reikšmių sutapimas dviejuose mazguose nenulemia integralo su ženklu reikšmės; funkcijų kreivumas skiriasi.

Ką verta įsidėmėti

• Naudojant baigtinį skirtumą ar kvadratūros sumą, būtina nurodyti ieškomą dydį, matavimo vienetus, mazgus ir galiojimo sritį.
• Glodumas ir išvestinių rėžiai leidžia apriboti formulės paklaidą, kai naudojamos tikslios reikšmės; šias prielaidas būtina pagrįsti.
• Mažinant baigtinio skirtumo žingsnį, gali sustiprėti fiksuotų paklaidų pateiktose intervalo galų reikšmėse poveikis.
• Integravimas trapecijų metodu išsaugo indėlių ženklus; teigiami svoriai leidžia apriboti vienodai apribotų mazgų paklaidų poveikį, nedarant prielaidos apie jų nepriklausomumą.
• Pateikite taikytiną bendrosios paklaidos rėžį ir sprendimą dėl leistinosios paklaidos; atskirkite negalėjimą patvirtinti reikalavimo nuo nustatyto jo pažeidimo.