Tiesinių lygčių sistemos ir skaitiniai tikrinių verčių uždaviniai

Apibrėžkite tiesinį uždavinį ir jo vienetus

Tiesinių lygčių sistema susieja nežinomus dydžius lygtimis, kuriose kiekvienas nežinomasis dauginamas iš pateikto koeficiento, o gauti rezultatai sudedami. Dvi nežinomas poslinkio komponentes surašykite į stulpelį u = (u₁, u₂); jos išreiškiamos metrais fiksuotoje ortonormuotoje dvimatėje bazėje. Ortonormuotumas reiškia, kad bazės kryptys yra statmenos, o kiekvieno bazės vektoriaus ilgis lygus vienetui. Čia normuotos bazės kryptys yra bedimensės, o jas atitinkantys komponenčių koeficientai išreiškiami metrais.

Užrašykite A = [[2, 1], [1, 3]] ir b = (1, 2) m. Laužtiniuose skliaustuose pateiktos eilutės. Matricinė lygtis Au = b reiškia 2u₁ + u₂ = 1 m ir u₁ + 3u₂ = 2 m. Matrica A yra bedimensė, todėl kiekvienoje lygtyje sudedami tais pačiais vienetais išreikšti poslinkio dydžiai. Pateiktas b yra poslinkio komponenčių tiesinių kombinacijų stulpelis, o ne jėgų stulpelis.

Visos toliau pateiktos matricos ir dydžiai yra tiksliai apibrėžti ir sukurti šiai pamokai. Tai nėra išmatuoti aparatūros duomenys ar nustatytas judėjimo dėsnis. Kitame uždavinyje koeficientai gali turėti matavimo vienetus, o komponentės gali apibūdinti skirtingų rūšių dydžius. Tokiam uždaviniui reikia parinkti suderintus matavimo vienetus ir mastelius, kad skaitinė norma būtų prasminga.

Eliminuokite naudodami tinkamus pagrindinius elementus

Eliminuojant nežinomasis pašalinamas iš vienos lygties naudojant kitą lygtį. Tą patį veiksmą atlikite ir su dešiniąja jos puse. Mūsų sistemoje iš antrosios lygties atimkite pusę pirmosios: 2.5u₂ = 1.5 m. Raskite u₂, tada įstatykite jį į pirmąją lygtį ir raskite u₁. Šie grįžtamieji lygčių pertvarkymai nekeičia sprendinių aibės.

Pagrindinis elementas – tai koeficientas, naudojamas eliminuojant arba atliekant atgalinį įstatymą. Dalyba iš nulinio pagrindinio elemento neapibrėžta. Jei pirmasis pagrindinis elementas lygus nuliui, kartais tai galima ištaisyti sukeitus lygtis vietomis; vien tai dar nerodo, kad matrica yra išsigimusi. Sukeičiant eilutes perkeliama visa lygtis, įskaitant dešiniąją jos pusę.

Dviejų eilučių ir dviejų stulpelių matricos [[a, b], [c, d]] determinantas yra ad − bc. Jei determinantas nelygus nuliui, matrica turi atvirkštinę matricą, o sistema – vienintelį sprendinį su kiekviena pateikta dešiniąja puse. Mūsų matricos A determinantas yra 5. Jos atvirkštinė matrica yra A⁻¹ = [[3/5, −1/5], [−1/5, 2/5]]; padauginę A iš A⁻¹ gauname vienetinę matricą I = [[1, 0], [0, 1]].

Išsigimusi kvadratinė matrica neturi atvirkštinės matricos. Jos lygtys gali prieštarauti viena kitai arba palikti laisvo pasirinkimo galimybių. Pasikartojanti lygtis su tokia pačia dešiniąja puse prieštaravimo nesukelia; tokia pati kairioji pusė su kitokia dešiniąja puse jį sukelia. Išnagrinėkite pertvarkytas lygtis. Vien apverčiamumas skaičiuojant tiksliai dar nepatvirtina, kad skaitinė realizacija yra stabili.

Palyginkite nesąryšį su sprendinio paklaida

Tegu u yra tikslusis sprendinys, o û – galimas sprendinys. Apibrėžkime sprendinio paklaidą su ženklu e = û − u ir lygčių nesąryšį r = b − Aû. Tai skirtingi poslinkių stulpeliai. Kadangi Au = b, tai r = −Ae, o kai A yra apverčiama, e = −A⁻¹r. Nesąryšis parodo, kaip tiksliai galimas sprendinys tenkina lygtis; pats jis nėra sprendinio paklaida.

Poslinkių stulpelio z begalybės normą apibrėžkime taip: ‖z‖∞ = max(|z₁|, |z₂|). Jos matavimo vienetas lieka toks pat kaip komponenčių. Bedimensės matricos M normą ‖M‖∞ apibrėžkime kaip didžiausią eilutės elementų absoliučiųjų verčių sumą. Pritaikę trikampio nelygybę kiekvienai eilutei, gauname ‖Mz‖∞ ≤ ‖M‖∞‖z‖∞. Abiejų pusių matavimo vienetai sutampa.

Sujungę šią nelygybę su e = −A⁻¹r, gauname tikslią ribą ‖e‖∞ ≤ ‖A⁻¹‖∞‖r‖∞. Mūsų matricai A, ‖A⁻¹‖∞ = 4/5. Taigi, jei galimo sprendinio nesąryšio norma yra 0.02 m, jo sprendinio paklaidos norma neviršija 0.016 m. Ši riba nebūtinai pasiekiama.

Aû = b − r taip pat reiškia, kad galimas sprendinys tenkina sistemą su ta pačia matrica A ir pakeista dešiniąja puse. Tai siaura šio galimo sprendinio atgalinė interpretacija. Ji neįrodo, kad kiekvieno algoritmo rezultato atgalinė paklaida yra maža. Visos čia pateiktos ribos grindžiamos tiksliai apskaičiuotu nesąryšiu; kompiuteriu apskaičiuoto ir suapvalinto nesąryšio paklaidą reikia įvertinti atskirai.

Įvertinkite sąlygotumą pagal nurodytą normą

Sąlygotumas apibūdina, kaip tikslus uždavinys reaguoja į pateiktų duomenų pokyčius. Jis priklauso nuo uždavinio ir nuo to, kaip matuojamas dydis bei santykinis pokytis. Apverčiamai bedimensei matricai A apibrėžkime κ∞(A) = ‖A‖∞‖A⁻¹‖∞. Šis bedimensis matricos sąlygotumo skaičius naudingas jautrumo riboms nustatyti. Tai nėra nei fizikinė neapibrėžtis, nei universalus tinkamumo rodiklis.

Laikykite A nekintama ir tarkite, kad b ≠ 0. Tuomet sprendinys u taip pat yra nenulinis. Iš ‖b‖∞ = ‖Au‖∞ ≤ ‖A‖∞‖u‖∞ ir absoliučiosios paklaidos rėžio gauname ‖e‖∞/‖u‖∞ ≤ κ∞(A)‖r‖∞/‖b‖∞. Tai tiksli nelygybė, kai nesąryšis interpretuojamas kaip dešiniosios pusės pokytis; A pokyčiams reikia atskiros analizės.

Mūsų matricai A galioja ‖A‖∞ = 4 ir κ∞(A) = 16/5 = 3.2. Todėl santykinis nesąryšis 0.01 duoda santykinės sprendinio paklaidos rėžį 0.032, arba 3.2%. Didesnis sąlygotumo skaičius gali leisti gerokai didesnį paklaidos sustiprinimą. Tai nereiškia, kad kiekvienas galimas trikdis turi būti tiek sustiprintas.

Toliau pateiktame mūsų sukurtame jautrumo pavyzdyje viena dešiniosios pusės reikšmė pakeičiama 0.01 m, o matrica išlieka tiksli. Sprendinio pokyčio begalybės norma yra 1 m. Taip nutinka skaičiuojant tiksliai su realiaisiais skaičiais. Tikslesnė aritmetika negali pašalinti uždavinio jautrumo įvesties duomenims; algoritmo sukeltų papildomų paklaidų vertinimas yra atskira užduotis.

Suformuluokite tikrinių verčių uždavinį

Tikrinė pora tenkina Cv = λv, kai v ≠ 0. Nenulinis vektorius v yra tikrinis vektorius, o skaliaras λ – jo tikrinė vertė. Padauginus v iš bet kurio nenulinio skaliaro, tikrinė vertė ir kryptį nusakanti tiesė lieka tos pačios. Normavimu pasirenkamas tos tiesės atstovas, o ne fizinė amplitudė. Nulinis vektorius atmetamas, nes jis tenkintų lygtį su bet kuriuo λ ir neapibrėžtų jokios tikrinės vertės.

Mūsų fiksuotoje ortonormuotoje bazėje naudokite šiam pavyzdžiui sukurtą bedimensę matricą C = [[3, 1], [1, 3]]. Pasirinkite bedimensius krypties vektorius-stulpelius v₊ = (1, 1) ir v₋ = (1, −1). Tiesiogiai daugindami gauname Cv₊ = 4v₊ ir Cv₋ = 2v₋. Čia tikrinės vertės yra bedimensės, nes C yra bedimensė. Tai nėra taisyklė, kad visos fizikinės tikrinės vertės neturi matavimo vienetų.

Šios dvi kryptys sudaro bazę: kiekvieną realųjį dviejų komponentų vektorių-stulpelį galima užrašyti kaip v₊ ir v₋ kartotinių sumą. C yra simetrinė, nes jos elementai, esantys simetriškai pagrindinės įstrižainės atžvilgiu, sutampa. Realiosios simetrinės matricos turi ortonormuotą tikrinių vektorių bazę; šia savybe vėliau remiamasi interpretuojant nesąryšį. Vien iš matricos negalima nustatyti jokio judėjimo, fizikinės modos ar stabilumo dėsnio.

Iteruokite su nurodyta pradine kryptimi

Taikant laipsnių metodą, kartotinai dauginama iš matricos ir keičiamas mastelis. Mūsų matricai C pradėkite nuo x₀ = (1, 0). Kiekviename žingsnyje apskaičiuokite y = Cxₖ ir nustatykite xₖ₊₁ = y/‖y‖∞, jei y ≠ 0. Teigiama norma pakeičia vektoriaus-stulpelio mastelį taip, kad didžiausias jo komponento modulis būtų 1. Naudojame šį normavimą pagal normą, o ne dalijame iš komponento su jo ženklu.

Čia x₀ = (v₊ + v₋)/2. Po k daugybų nekeičiant mastelio gauname Cᵏx₀ = (4ᵏv₊ + 2ᵏv₋)/2. Santykinis v₋ koeficientas yra (2/4)ᵏ. Po mūsų taikomo normavimo xₖ = (1, (2ᵏ − 1)/(2ᵏ + 1)), kai k yra sveikasis skaičius ir k ≥ 0. Taigi šie tikslūs iteracijos vektoriai artėja prie (1, 1). Santykis 1/2 nusako santykinį tikrinės komponentės mažėjimą; tai nereiškia, kad kiekviename žingsnyje bet kuris galimas paklaidos matas sumažėja tiksliai perpus.

Įprastos pakankamos sąlygos yra šios: realioji matrica turi realiųjų tikrinių vektorių bazę, viena tikrinė vertė savo moduliu yra griežtai didesnė už visas kitas, o pradinis vektorius-stulpelis turi nenulinę komponentę atitinkamo tikrinio vektoriaus kryptimi. Tiksliai atliekama normuota iteracija artėja prie šio tikrinio vektoriaus tiesės. Jei ši dominuojanti tikrinė vertė yra neigiama, normuojant teigiama norma atstovo ženklas gali kaitaliotis. Mūsų pavyzdyje dominuojanti tikrinė vertė yra teigiama. Šios sąlygos yra siauresnės nei teiginys, kad metodas sėkmingas su bet kuriuo nenuliniu pradiniu vektoriumi.

Mūsų matricai C pradėjus nuo (1, −1), tiksliojoje aritmetikoje liekama kito tikrinio vektoriaus tiesėje. Atlikus baigtinį iteracijų skaičių, paprastai gaunami artiniai; mažas pokytis tarp dviejų iteracijos vektorių savaime nėra tikrinės poros paklaidos rėžis. Praktinė programinė įranga taip pat turi numatyti atvejį, kai normavimo dydis lygus nuliui, ribotą skaičių diapazoną, apvalinimą ir aiškiai nurodytą stabdymo taisyklę.

Tikrinės poros nesąryšio patikra naudojant simetriją

Dviejų komponenčių realiesiems stulpeliniams vektoriams skaliarinė sandauga yra xᵀz = x₁z₁ + x₂z₂, o euklidinė norma yra ‖x‖₂ = √(x₁² + x₂²). Kai x ≠ 0, apibrėžkime Reilėjaus santykį ρ = (xᵀCx)/(xᵀx). Tai galima tikrinė vertė, bet ji nebūtinai yra tiksli. Apibrėžkime tikrinės poros nesąryšio vektorių s = Cx − ρx. Visi šie dydžiai mūsų pateiktame krypties pavyzdyje yra bedimensiai.

Normuotasis nesąryšis ‖s‖₂/‖x‖₂ nekinta, kai x padauginamas iš nenulinio realiojo skaliaro. Realiajai simetrinei matricai jis yra atstumo nuo ρ iki bent vienos tikslios tikrinės vertės viršutinis įvertis. Kad suprastume kodėl, išreikškime x ortonormuotoje tikrinių vektorių bazėje: ‖s‖₂²/‖x‖₂² yra (λⱼ − ρ)² svertinis vidurkis su neneigiamais svoriais, kurių suma lygi 1. Šis vidurkis negali būti mažesnis už mažiausią atstumo kvadratą. Šiam argumentui būtina, kad bazė būtų ortonormuota. Tas pats argumentas tinka bet kuriai realiajai galimai tikrinei vertei α, kurios nesąryšio vektorius yra Cx − αx.

Mūsų matricai C ir vektoriui x = (1, 3/5) santykis yra ρ = 66/17. Nesąryšio vektorius yra s = (−24/85, 8/17), o ‖s‖₂/‖x‖₂ = 8/17. Tiksli tikrinė vertė 4 yra nutolusi nuo ρ per 2/17, taigi šis atstumas neviršija to įverčio. Nenulinis nesąryšis taip pat patvirtina, kad šis po baigtinio iteracijų skaičiaus gautas vektorius nėra tikslus tikrinis vektorius.

Įvertis taikomas bent vienai tikrinei vertei; pats savaime jis nenustato konkretaus tikrinio vektoriaus ir neapriboja jo krypties paklaidos. Jo negalima nepakeisto taikyti kiekvienai nesimetrinei matricai. Paskutinėje užduotyje pateikiamas nesimetrinis kontrpavyzdys. Fizikinei interpretacijai taip pat reikia nepriklausomai apibrėžto fizikinio modelio.

Užfiksuokite skaitinius ir fizikinius ribotumus

Užfiksuokite lygtis arba matricą, bazę, dydžių rūšis, komponenčių vienetus, pateiktus duomenis, tikslumą, metodą ir pagrindinio elemento parinkimo arba normavimo taisyklę. Nurodykite nesąryšio ženklo susitarimą, normą ir stabdymo kriterijų. Kai naudojamas įvertis, išsaugokite jo prielaidas ir atskirkite viršutinį įvertį nuo tikrosios paklaidos.

Mūsų apskaičiuotos vertės yra tikslūs etaloniniai skaičiavimai. Apvalinant matricos ir vektoriaus sandaugą arba sprendžiant sistemą su apvalinimu, gali atsirasti papildomų paklaidų, įskaitant paties pateikiamo nesąryšio vektoriaus paklaidas. Maži nesąryšiai, iš pažiūros nekintantys skaitmenys ir sėkmingai ranka tiksliai išspręsti pavyzdžiai neįrodo bendros stabilumo teoremos ir nepatvirtina realizacijos teisingumo. Sąlygotumo įvertis taip pat priklauso nuo normos ir duomenų mastelio.

Pakeitus bazę, naudojant kitus komponenčių matavimo vienetus ar pakeitus lygčių mastelį, skaitiniai diagnostiniai rodikliai gali pasikeisti. Dokumentuokite tokius pasirinkimus. Tiksliai išspręsti pateiktas lygtis yra viena užduotis, o parodyti, kad jų koeficientai ir prielaidos aprašo eksperimentą, – kita. Šioms mokomosioms vertėms nepriskiriama jokia matavimo neapibrėžtis, tikimybių skirstinys ar reali fizikinė moda.

Kitoje mokymosi plano pamokoje „Interpoliavimas, ekstrapoliavimas ir aproksimavimas“ nagrinėjama, kaip pasirinkta funkcija susieja pateiktas vertes ir ką galima pagrįsti tarp jų arba už jų ribų. Čia užduotis – išspręsti ir patikrinti suformuluotą tiesinį uždavinį prieš suteikiant jo skaitiniam rezultatui fizikinę prasmę.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Išspręskite Bq = c, kai B = [[0, 1], [1, 1]], o c = (2, 3) m. Ar dėl nulinio viršutinio kairiojo elemento sistema yra išsigimusi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Sprendinys yra q = (1, 2) m, o determinantas yra −1.

   Iš pirmosios lygties tiesiogiai gauname q₂ = 2 m; tuomet iš antrosios gauname q₁ = 1 m. Taip pat galima sukeisti abi lygtis vietomis, kad pirmasis pagrindinis elementas būtų nenulinis. Nulinis elementas pasirinktoje pagrindinio elemento vietoje nėra tas pats, kas nulinis determinantas.

2. Kai S = [[1, 2], [2, 4]], palyginkite dešiniąsias puses (3, 6) m ir (3, 7) m. Ar kuriuo nors atveju yra vienintelis sprendinys?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nė vienu atveju sprendinys nėra vienintelis. Pirmuoju atveju sprendinių yra be galo daug, o antruoju jų nėra.

   Determinantas yra 0. Iš antrosios lygties atėmę dvigubą pirmąją lygtį, gauname 0 = 0 m, kai dešinioji pusė yra (3, 6) m; lieka q₁ + 2q₂ = 3 m, kur q₂ galima laisvai pasirinkti iš realiųjų skaičių. Kai dešinioji pusė yra (3, 7) m, gauname prieštarą 0 = 1 m. Matricos išsigimimas leidžia šiuos skirtingus rezultatus.

3. Pradiniams A ir b įvertinkite û = (0.19, 0.61) m. Raskite r, e ir absoliučiosios paklaidos begalybės normos įvertį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   r = (0.01, −0.02) m, e = (−0.01, 0.01) m, o ‖e‖∞ ≤ 0.016 m.

   Aû = (0.99, 2.02) m. Norėdami gauti r, atimkite šį stulpelį iš b; norėdami gauti e, iš û atimkite tikslųjį sprendinį (0.2, 0.6) m. Jų normos yra 0.02 m ir 0.01 m. Atvirkštinės matricos norma lieka 4/5, todėl gaunamas įvertis (4/5)(0.02 m) = 0.016 m. Stulpeliai skiriasi elementų ženklais, net kai jų normų vertės sutampa su išnagrinėto pavyzdžio vertėmis.

4. Pirmojoje išnagrinėtoje sistemoje padauginkite ir A, ir b iš bedimensio skaičiaus 100, palikdami tą patį bandomąjį sprendinį û. Kaip pasikeičia tikslusis sprendinys, nesąryšis, santykinis nesąryšis ir matricos sąlygotumo skaičius?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Sprendinys nesikeičia; nesąryšis padauginamas iš 100; santykinis nesąryšis ir κ∞ nesikeičia.

   Lygtis 100Au = 100b yra lygiavertė lygčiai Au = b. Jos nesąryšis yra 100r, o dešiniosios pusės norma yra 100‖b‖∞, todėl jų santykis nesikeičia. Be to, ‖100A‖∞ = 100‖A‖∞ ir (100A)⁻¹ = A⁻¹/100, todėl normų sandauga nekinta. Absoliutusis nesąryšis priklauso nuo lygties mastelio. Tai algebrinis perrašymas, o ne naujas fizikinis matavimas.

5. Pradinei matricai C pradėkite normuotąją laipsnių iteraciją nuo x₀ = (1, −1). Ar tiksliai atliekama iteracija artės prie tikrinio vektoriaus tiesės, atitinkančios tikrinę vertę 4?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne. Išlieka xₖ = (1, −1) – tikrinio vektoriaus atstovas, atitinkantis tikrinę vertę 2.

   C(1, −1) = (2, −2). Padalijus iš jo teigiamos begalybės normos 2, kiekviename žingsnyje gaunamas pradinis stulpelis. Šis stulpelis neturi dedamosios (1, 1) kryptimi, todėl netenkinama pakankama dominuojančios dedamosios pradiniame vektoriuje sąlyga. Nesikliaukite neapibrėžtu apvalinimu, kad būtų ištaisytas šis tikslus pradinio vektoriaus pasirinkimas.

6. Imkite nesimetrinę bedimensę matricą N = [[1, 100], [0, 1]], bandomąją tikrinę vertę α = 2 ir v = (1, 0.01). Apskaičiuokite Nv − αv ir palyginkite jos normuotąją Euklido normą su atstumu nuo α iki tiksliųjų tikrinių verčių.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Nesąryšis yra (0, −0.01), jo normuotoji norma mažesnė už 0.01, o vienintelė tikslioji tikrinė vertė yra 1, nutolusi nuo α atstumu 1.

   Nv = (2, 0.01), o αv = (2, 0.02). Taigi nesąryšio norma yra 0.01, o ‖v‖₂ = √1.0001 > 1. Charakteristinis determinantas yra det(N − λI) = (1 − λ)², todėl abi tikrinės vertės, skaičiuojamos atsižvelgiant į kartotinumą, lygios 1. Šis originalus kontrpavyzdys parodo, kodėl simetrinėms matricoms taikomo atstumo iki artimiausios tikrinės vertės įverčio negalima teigti galiojant kiekvienai realiajai matricai.

Ką verta įsidėmėti

• Prieš skaitiškai interpretuodami matricinę lygtį, nurodykite dydžių rūšis, vienetus ir bazę.
• Jei pasirinktas pagrindinis elementas lygus nuliui, padėtį gali būti įmanoma ištaisyti sukeitus eilutes; išsigimusi sistema gali būti nesuderinama arba palikti laisvų pasirinkimų.
• Lygties nesąryšis ir sprendinio paklaida yra skirtingi dydžiai, kuriuos sieja fiksuota apgręžiamoji matrica.
• Sąlygotumo skaičius ir nurodyta norma padeda nustatyti jautrumo ribas; ribinis įvertis nebūtinai sutampa su gauta paklaida ar matavimo neapibrėžtimi.
• Taikant laipsnių metodą reikia nurodyti spektro ir pradinės krypties sąlygas, o po baigtinio iteracijų skaičiaus gautų artinių nesąryšius reikia patikrinti.
• Realiosios simetrinės matricos tikrinės vertės ir tikrinio vektoriaus poros nesąryšis gali nustatyti atstumo iki tikrinės vertės ribą; išlaikykite simetriją ir skirkite šį teiginį nuo krypties tikslumo bei fizikinio pagrįstumo.