Dalinių išvestinių diferencialinių lygčių skaitiniai sprendiniai

Pradėkite nuo keturių reikšmių erdvėje

Laiko momentu 0 s pateikto temperatūros perviršio profilio reikšmės yra 0 K, 2 K, 2 K ir 0 K atitinkamai taškuose, kurių koordinatės yra 0 m, 1 m, 2 m ir 3 m. Abiejų galinių taškų reikšmės išlieka 0 K. Kokias reikšmes gauname laiko momentu 1 s, atlikę skaitinį difuzijos žingsnį? Temperatūros perviršis yra temperatūra, iš kurios atimta fiksuota atskaitos temperatūra 280 K: nulinis perviršis čia atitinka 280 K, o ne absoliutųjį nulį.

Naudokite 1 m erdvinį žingsnį, 1 s laiko žingsnį ir pateiktą difuzijos koeficientą 0.25 m²/s. Toliau pateikta atnaujinimo formulė kiekvienai ankstesnei gretimai reikšmei priskiria svorį 0.25, o ankstesnei centrinei reikšmei – svorį 0.5. Taške, kurio koordinatė 1 m, ji duoda (0.25)(0 K) + (0.5)(2 K) + (0.25)(2 K) = 1.5 K. Taške, kurio koordinatė 2 m, reikšmė taip pat yra 1.5 K. Tai skaitinės reikšmės, gautos pagal pasirinktą atnaujinimo formulę; patikrinsime, ką jos leidžia nustatyti apie tolydųjį uždavinį.

Norint suprasti pagrindinę lygtį, reikia išmanyti dalines išvestines ir skirtumą tarp pradinių bei kraštinių duomenų. Tam parengia paskelbtos pamokos „Išvestinės, Teiloro eilutės ir vietinis artinys“ ir „Diferencialinės lygtys su dalinėmis išvestinėmis ir Grino funkcijos“. Pirmiausia galite sekti baigtinius skaičiavimus ir grafiką, o tada grįžti prie išvestinėmis pagrįsto paklaidos įverčio. Vėliau pateiktą susietą žingsnį galima suprasti kaip dviejų lygčių sistemą; papildomai pasirengti padeda pamoka „Matricos, tiesinė algebra ir tikrinių verčių uždaviniai“.

Suformuluokite tolydųjį uždavinį

Tegu x yra padėtis išilgai fiksuotos tiesios ašies metrais, t – praėjęs laikas sekundėmis, o θ(x,t) – temperatūros perviršis kelvinais. Srityje 0 < x < 3 m ir 0 < t < 6 s užrašykite difuzijos lygtį su pastoviaisiais koeficientais θₜ = κθₓₓ, kur κ = 0.25 m²/s. Apatiniai indeksai žymi dalinę išvestinę laiko atžvilgiu ir antrąją dalinę išvestinę erdvinės koordinatės atžvilgiu. Abiejų pusių matavimo vienetai yra K/s: κ dauginamas iš išvestinės, kurios vienetai yra K/m². Tai šiai pamokai apibrėžtas šilumos lygties modelis be vidinio šaltinio nario.

Nustatykite θ(0,t) = θ(3 m,t) = 0 K, kai 0 ≤ t ≤ 6 s. Tai Dirichlė sąlygos: jos nustato lauko reikšmes fiksuotuose erdvinio intervalo galuose. Jos neaprašo izoliuotų galų – tokiu atveju būtų nustatoma erdvinė išvestinė arba srautas. Pakeitus kraštinę sąlygą, pasikeičia uždavinys ir gali pasikeisti skaitinė taisyklė ties kraštu.

Visam pradiniam profiliui apibrėžkite k = π/(3 m) ir nustatykite θ(x,0) = ((4/√3) K) sin(kx) intervale 0 ≤ x ≤ 3 m. Kampas kx yra bedimensis. Abiejuose intervalo galuose profilis lygus nuliui, o ties x = 1 m ir x = 2 m jo reikšmė yra 2 K, nes sin(π/3) = sin(2π/3) = √3/2. Vien baigtinis reikšmių sąrašas neapibrėžtų viso šio pradinio profilio. Jei sinuso žymėjimas nepažįstamas, skaičiavimui tinklelyje naudokite tas keturias pateiktas pradines reikšmes, o prie tikslaus patikrinimo grįžkite paskutiniame skyriuje.

Atnaujinkite tinklelį iš ankstesnio laiko sluoksnio

Pasirinkite teigiamą erdvinį žingsnį h, kuris padalija 3 m į M vienodų intervalų, kur M yra sveikasis skaičius ir M ≥ 2. Mazgai yra xⱼ = jh, kai j = 0, …, M. Pasirinkite teigiamą laiko žingsnį Δt, kad NΔt = 6 s, kur N yra teigiamas sveikasis skaičius, ir tinklelio laiko momentus tₙ = nΔt, kai n = 0, …, N. Skaitinį temperatūros perviršį mazge j ir žingsnyje n žymėkite Θⱼⁿ. Viršutinis indeksas nurodo žingsnių skaičių; tai nėra Θ laipsnis.

Laiko išvestinę aproksimuokite skirtumu pirmyn, o antrąją erdvinę išvestinę – centriniu skirtumu, abiem atvejais naudodami ankstesnį laiko sluoksnį. Kai bedimensis μ = κΔt/h², išreikštinė taisyklė yra Θ_j^(n+1) = μΘ_(j−1)^n + (1−2μ)Θ_j^n + μΘ_(j+1)^n vidiniams mazgams j = 1, …, M − 1. Abiejuose intervalo galuose išlaikykite nustatytą nulinį temperatūros perviršį. Pavadinimas „pirmyn laiko atžvilgiu, centrinis skirtumas erdvėje“ apibūdina šį skaičiavimo šabloną: viena ankstesnė centrinio mazgo reikšmė ir dvi ankstesnės gretimų erdvinių mazgų reikšmės lemia vieną naują reikšmę.

Kai h = 1 m ir Δt = 1 s, M = 3, o μ = 0.25. Pradedant nuo [0 K, 2 K, 2 K, 0 K], po pirmųjų dviejų atnaujinimų gaunama [0 K, 1.5 K, 1.5 K, 0 K] ir [0 K, 1.125 K, 1.125 K, 0 K]. Prieš pakeisdami ankstesnę eilutę, visas naujas vidinių mazgų reikšmes išsaugokite atskirai. Jei atnaujindami dešinįjį mazgą naudotumėte ką tik apskaičiuotą kairiojo kaimyno reikšmę, tai būtų kitas algoritmas.

Grafike parodyti tik šie keturi erdviniai mazgai trimis laiko momentais. Skirtingos taškų formos leidžia atskirti laiko sluoksnius; bendros nulinės reikšmės intervalo galuose pažymėtos vieną kartą. Tarp taškų kreivė nebrėžiama, nes pats atnaujinimas neapibrėžia ten tolydaus erdvinio profilio. Lentelėje pateiktos visos grafike pažymėtos reikšmės.

Patikrinkite pakankamą žingsnio apribojimą

Jei 0 ≤ μ ≤ 1/2, trys svoriai μ, 1 − 2μ ir μ yra neneigiami, o jų suma lygi vienetui. Todėl kiekviena nauja reikšmė yra trijų ankstesnių reikšmių svertinis vidurkis. Kai galiniuose taškuose reikšmės fiksuotos ir lygios nuliui, neneigiamos pradinės tinklelio reikšmės išlieka neneigiamos ir negali viršyti ankstesnių tinklelio reikšmių maksimumo. Tai naudinga pakankama sąlyga šiam vienmačiam išreikštinės difuzijos schemos šablonui tolygiame tinklelyje.

Tuo pačiu argumentu apribojami skirtumai tarp dviejų skaičiavimų su tais pačiais galinių taškų duomenimis. Jei kiekvieno ankstesnio skirtumo vidiniuose mazguose absoliučioji vertė neviršija E, kiekvieno naujo skirtumo absoliučioji vertė taip pat neviršija E. Nuliniai skirtumai galiniuose taškuose užbaigia schemos šabloną. Taigi kartojami žingsniai nestiprina pradinio tinklelio reikšmių trikdžio maksimumo normos atžvilgiu; ši norma yra didžiausia absoliučioji skirtumo mazguose vertė. Šis teiginys remiasi tiksliosios aritmetikos prielaida ir lygina šią rekurentinę schemą su ja pačia; jis dar neapriboja jos neatitikimo dalinių išvestinių lygčiai.

Kai κ > 0, pakankamas apribojimas yra Δt ≤ h²/(2κ). Čia h = 1 m leidžia pasirinkti Δt ≤ 2 s. Sumažinus h perpus, šis leidžiamas laiko žingsnis sumažėja keturis kartus: kai h = 0.5 m, riba yra 0.5 s. Šis sąryšis būdingas būtent šiai difuzijos reikšmių atnaujinimo formulei. Tai nėra universali žingsnio parinkimo taisyklė bangoms, pernašai, kitų matmenų uždaviniams ar visiems dalinių išvestinių lygčių sprendimo algoritmams. Ji taip pat nereiškia, kad kiekviena didesnė μ reikšmė lemia nestabilumą bet kuriame fiksuotame baigtiniame tinklelyje.

Raskite paslėptą stiprėjančią modą

Palikite h = 1 m, bet pasirinkite Δt = 3 s, kad μ = 0.75. Vis dar yra tik du vidiniai mazgai, o po dviejų žingsnių skaičiavimas pasiekia 6 s. Nesutrikdyta vienodų vidinių reikšmių pora [2 K, 2 K] kiekviename žingsnyje dauginama iš 1 − μ = 0.25, todėl gaunama [0.5 K, 0.5 K], o vėliau [0.125 K, 0.125 K]. Mažėjanti nesutrikdyta seka gali slėpti stiprėjantį skirtumą.

Palyginkite su antru skaičiavimu, kurio pradinės vertės vidiniuose mazguose skiriasi dydžiais [+ε, −ε], kai ε = 0.1 K; visos vertės galiniuose taškuose yra vienodos. Dviejų mazgų išreikštinė taisyklė kiekviename žingsnyje šią priešingų ženklų porą padaugina iš 1 − 3μ = −1.25. Skirtumai tampa [−0.125 K, +0.125 K], kai laikas yra 3 s, ir [+0.15625 K, −0.15625 K], kai laikas yra 6 s. Ženklai kaitaliojasi, o absoliučiosios vertės didėja.

Tai yra tiksli stiprinama nurodyto diskrečiojo rekurentinio sąryšio moda, o ne išmatuotas svyravimas ar tiksli dalinių išvestinių lygties sprendinio paklaida. Toliau taikant šį algebrinį rekurentinį sąryšį, skirtumas ir toliau būtų dauginamas iš −1.25; čia nurodytas modelio skaičiavimas baigiamas ties 6 s. Pavyzdys rodo, kodėl įtikinamai atrodantis, be akivaizdžių anomalijų rezultatas nepatvirtina skaitinio stabilumo. Neigiamas temperatūros perviršis reikštų vertę, mažesnę už atskaitos vertę, bet nebūtinai neigiamą absoliučiąją temperatūrą.

Atskirkite suderinamumą nuo sukauptos paklaidos

Norėdami atlikti lokaliąją patikrą, išreikštinį žingsnį pradėkite nuo tikslių dalinių išvestinių lygties sprendinio verčių trijuose ankstesnio laiko sluoksnio mazguose. Apibrėžkite dⱼⁿ kaip tikslų temperatūros perviršį kitu tinklo laiko momentu, iš kurio atimtas to vieno žingsnio rezultatas. Jo matavimo vienetas yra K. Kitimo spartos neatitikties dⱼⁿ/Δt matavimo vienetas yra K/s; šaltiniuose taikomos skirtingos aproksimavimo paklaidos apibrėžtys, todėl formulę ir vienetus nurodykite aiškiai. Ši lokalioji patikra pašalina iš ankstesnių žingsnių paveldėtas skaitines paklaidas.

Tarkime, kad tikslusis sprendinys turi tolydžias antrosios eilės išvestines laiko atžvilgiu ir ketvirtosios eilės išvestines erdvės koordinatės atžvilgiu visuose reikalinguose laiko žingsniuose ir erdviniuose skirtumų šablonuose, o joms galioja vienodi rėžiai |θₜₜ| ≤ Mₜ ir |θₓₓₓₓ| ≤ Mₓ. Teiloro formulės liekamojo nario įverčiai duoda |d_j^n| ≤ (Δt²/2)M_t + (κΔt h²/12)M_x. Mₜ matuojamas K/s², o Mₓ – K/m⁴. Padaliję iš Δt, gauname kitimo spartos neatitikties rėžį B = (Δt/2)Mₜ + (κh²/12)Mₓ. Tai yra pakankamos glodumo prielaidos, o ne dydžiai, nustatyti iš nedidelės verčių lentelės.

Kai tenkinama išgaubtojo derinio svorių sąlyga, šį lokalųjį įvertį derinkite su perturbacijų argumentu. Jei Eₙ yra didžiausia absoliučioji paklaida vidiniuose mazguose, apskaičiuota iš tiksliosios vertės atėmus skaitinę, kraštiniai duomenys yra tikslūs, o tas pats kitimo spartos neatitikties rėžis B galioja kiekviename žingsnyje, tuomet Eₙ₊₁ ≤ Eₙ + Δt B. Per N žingsnių gauname E_N ≤ E₀ + NΔt B. Konkrečiai, praėjus fiksuotam laikui T = NΔt, šis įvertis yra E₀ + TB. Jis neapima papildomų apvalinimo, kraštinių duomenų, parametrų ir modelio paklaidų, nebent jos įtraukiamos atskirai.

Jei išvestinių rėžiai lieka galioti tankinant tinklą, šis įvertis mažėja mažėjant Δt ir h², su sąlyga, kad išlaikomas žingsnio apribojimas ir taip pat mažėja pradinė tinklo paklaida. Tai sąlyginis kelias į konvergavimą, t. y. artėjimą prie tikslių dalinių išvestinių lygties sprendinio verčių tinklo taškuose. Vien dviejų tinklų rezultatų sutapimas nėra toks patvirtinimas. Skaitydami pirmą kartą, atskirkite lokaliąją paklaidą nuo sukauptos paklaidos; prie Teiloro argumento grįžkite po nurodytos pamokos apie išvestines.

Išspręskite susietą neišreikštinį žingsnį

Neišreikštiniame variante centrinis erdvinis skirtumas apskaičiuojamas naujajame laiko sluoksnyje. Vidinių mazgų lygtys yra (1+2μ)Θ_j^(n+1) − μΘ_(j−1)^(n+1) − μΘ_(j+1)^(n+1) = Θ_j^n. Dabar kelios nežinomos kito laiko sluoksnio vertės yra susietos. Nustatytos galinių taškų vertės į šias lygtis įtraukiamos naujuoju laiko momentu; jos nėra papildomi laisvi nežinomieji.

Mūsų dviejų vidinių mazgų atveju, kai μ = 0.75, jų kito laiko sluoksnio vertes pažymėkime a ir b. Pradėję nuo poros [2 K, 2 K], išspręskite 2.5a − 0.75b = 2 K ir −0.75a + 2.5b = 2 K. Atėmę lygtis gauname 3.25(a − b) = 0 K, taigi a = b. Tuomet iš kiekvienos lygties gauname 1.75a = 2 K ir a = b = 8/7 K, kai laikas yra 3 s. Koeficientų matricos determinantas yra 2.5² − 0.75² = 91/16; jis nelygus nuliui, todėl ši pora yra vienintelė.

Šiame dviejų mazgų uždavinyje per neišreikštinį žingsnį vienodų perturbacijų pora dauginama iš 1/(1 + μ), o vienodo dydžio ir priešingų ženklų perturbacijų pora – iš 1/(1 + 3μ). Abu daugikliai yra tarp nulio ir vieneto, kai μ > 0; kai μ = 0.75, jie yra 4/7 ir 4/13. Taip pašalinamas konkretus stiprinimas, nustatytas išreikštinės schemos kontrpavyzdyje. Tai nepatvirtina tikslumo, neišsprendžia kiekvienos netiesinės neišreikštinės lygties ir nepadaro bet kurio dalinių išvestinių lygčių sprendimo metodo fiziškai adekvataus.

Palyginkite su tikslia patikra ir išlaikykite modelį

Pateiktam tolydžiajam uždaviniui galima atlikti naudingą tikslią patikrą: θ(x,t) = ((4/√3) K) sin(kx) exp(−γt), kur k = π/(3 m), o γ = κk² = π²/(36 s). Diferencijuodami gauname θₜ = −γθ ir θₓₓ = −k²θ, taigi θₜ = κθₓₓ. Kai t = 0, išlaikomas visas pradinis profilis, o abiejų galinių taškų vertės išlieka lygios nuliui. Eksponentės rodiklis γt yra bedimensis. Jei reikia pasirengti suprasti eksponentinį žymėjimą, tam skirta paskelbta pamoka „Kompleksiniai skaičiai ir kompleksinės eksponentinės funkcijos“.

Bet kuriame iš dviejų vidinių mazgų ši tiksli patikra duoda 2 exp(−π²/36) K, kai laikas yra 1 s, ir 2 exp(−π²/18) K, kai laikas yra 2 s. Taikant išreikštinę schemą tinklelyje, vietoj jų gaunama 1.5 K ir 1.125 K. Taip pat neišreikštinės schemos vertė 8/7 K, kai laikas yra 3 s, skiriasi nuo tikslios vertės 2 exp(−π²/12) K. Visi šie skaičiavimai gali būti teisingai atliekami pagal atitinkamas formules, tačiau atsakyti į skirtingus klausimus: vienu atveju gaunamas tikslusis dalinių išvestinių diferencialinės lygties sprendinys, kitais dviem – diskrečiosios aproksimacijos.

Užrašykite lygtį, difuzijos koeficientą, sritį, visą pradinį profilį, kraštinių sąlygų duomenis, žingsnius, atnaujinimo taisyklę ir aritmetinių skaičiavimų tikslumą. Patikrinkite, ar užtikrinamos kraštinės sąlygos, ar visos vertės atnaujinamos kartu pagal ankstesnio laiko sluoksnio vertes, ar taikomas tinkamas stabilumo argumentas ir kokios paklaidos gaunamos sutampančiose vietose bei tuo pačiu laiku. Tinkamumą konkrečiam šiluminiam taikymui patikrinkite atskirai: nei šis pateiktas koeficientas, nei tiksli patikra naudojant sinusą nepatvirtina prielaidų apie medžiagą, aparatūrą ar kraštinių sąlygų valdymą. Kitoms dalinių išvestinių diferencialinėms lygtims ir kitokioms geometrinėms sritims reikia tinkamų duomenų, šablonų ir paklaidų analizės.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Pradėdami nuo pateiktos 2 s momento eilutės, atlikite dar vieną žingsnį pagal išreikštinę schemą, kai h = 1 m ir Δt = 1 s. Raskite abiejų vidinių mazgų ir kraštinių mazgų reikšmes 3 s momentu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Abiejų vidinių mazgų reikšmės yra 0.84375 K; abiejų kraštinių mazgų reikšmės lieka 0 K.

   Kiekvienas vidinis mazgas turi vieną gretimą kraštinį mazgą, kurio reikšmė lygi nuliui, ir kitą vidinį mazgą, kurio reikšmė yra 1.125 K. Taigi (0.5 + 0.25)(1.125 K) = 27/32 K = 0.84375 K. Naudokite visą ankstesnio žingsnio eilutę, išlaikykite nustatytas kraštinių mazgų reikšmes ir neperženkite 0–6 s intervalo.

2. Palikdami tą patį κ, sumažinkite h perpus iki 0.5 m, bet iš pradžių palikite Δt = 1 s. Raskite μ. Koks didžiausias žingsnis tenkina iškilojo derinio svorių sąlygą ir koks žingsnis išlaiko μ = 0.25?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   μ = 1, todėl iškilojo derinio svorių sąlyga netenkinama. Didžiausias ją tenkinantis žingsnis yra 0.5 s; Δt = 0.25 s išlaiko μ = 0.25.

   Naujoji h² reikšmė yra 0.25 m². Todėl μ = (0.25 m²/s)(1 s)/(0.25 m²) = 1, o h²/(2κ) = 0.5 s. Sumažinus pradinį laiko žingsnį keturis kartus, kaip ir h², pradinis santykis išlieka. Vien tik smulkesnis erdvinis tinklelis neužtikrina, kad pakankama stabilumo sąlyga išliks tenkinama.

3. Pradinio tinklelio dviejų vidinių mazgų atveju, kai μ = 0.25, pradėkite du skaičiavimus, kurių pradinių reikšmių skirtumas yra [+0.1 K, −0.1 K], o kraštinių mazgų reikšmės vienodos. Raskite vidinių mazgų reikšmių skirtumą po dviejų žingsnių. Ar taip nustatoma tiksli paklaida dalinių išvestinių lygties sprendinio atžvilgiu?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Skirtumas yra [+0.00625 K, −0.00625 K]. Jis nenustato paklaidos dalinių išvestinių lygties sprendinio atžvilgiu.

   Pakaitinių ženklų modos daugiklis yra 1 − 3μ = 1/4. Per du žingsnius pradinė pora padauginama iš 1/16, todėl gaunama ±1/160 K. Taip palyginami du diskretūs skaičiavimai; jų bendra diskretizavimo paklaida tolydžiosios lygties sprendinio atžvilgiu yra atskiras dydis.

4. Atskirai nagrinėdami glodų tos pačios difuzijos lygties sprendinį, tarkite, kad |θₜₜ| ≤ 0.08 K/s² ir |θₓₓₓₓ| ≤ 0.48 K/m⁴ visuose reikalinguose šablonuose ir žingsniuose. Naudokite h = 1 m, Δt = 1 s, tikslias kraštines reikšmes ir E₀ ≤ 0.01 K, skaičiuodami be apvalinimo paklaidų. Nustatykite kitimo spartos neatitikties ir sukauptos paklaidos po dviejų žingsnių viršutines ribas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   B ≤ 0.05 K/s ir E₂ ≤ 0.11 K, jei tenkinamos visos pateiktos prielaidos.

   Laikinis narys yra (1 s)(0.08 K/s²)/2 = 0.04 K/s. Erdvinis narys yra (0.25 m²/s)(1 m)²(0.48 K/m⁴)/12 = 0.01 K/s. Taigi B ≤ 0.05 K/s. Kai μ = 0.25, iškilojo derinio svorių sąlyga lieka tenkinama, o E₂ ≤ 0.01 K + (2 s)(0.05 K/s) = 0.11 K. Šios išvestinių ribos yra papildomos šio uždavinio prielaidos, o ne reikšmės, nustatytos iš pagrindinės lentelės ar teigiamos jos sinusiniam profiliui.

5. Atskiru tinklelio duomenų atveju atlikite vieną neišreikštinį žingsnį, kai μ = 0.75, pradėdami nuo vidinių mazgų verčių [2 K, 1 K] ir abiejuose kraštiniuose taškuose išlaikydami nulines vertes. Išspręskite 2.5a − 0.75b = 2 K ir −0.75a + 2.5b = 1 K. Ar a nustatymas iš jo lygties, paliekant b nežinomą, yra užbaigtas žingsnis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   a = 92/91 K ir b = 64/91 K. Abi lygtys turi būti tenkinamos kartu.

   Padauginę abi lygtis iš 4, gauname 10a − 3b = 8 K ir −3a + 10b = 4 K. Sistemos determinantas yra 91. Eliminavimo būdu gauname 91a = 92 K ir 91b = 64 K. Įstatę šias vertes, patikriname abi dešiniąsias puses; nė vienos naujos vertės negalima nustatyti nepriklausomai pagal išreikštinę taisyklę, naudojančią ankstesnes gretimų mazgų vertes. Ši atskira verčių pora pakeičia pradinius tinklelio duomenis.

6. Galutinei tiksliai θ(x,t) patikrai išreikškite θₜ ir θₓₓ per θ, patikrinkite lygtį bei duomenis ir pateikite θ(1 m, 2 s). Ar pridėjus pastovią 1 K vertę būtų išlaikytas visas pradinis uždavinys?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   θₜ = −γθ ir θₓₓ = −k²θ; lygybė γ = κk² patvirtina, kad dalinių išvestinių lygtis tenkinama. Pradiniai duomenys išlaikomi, o θ(1 m, 2 s) = 2 exp(−π²/18) K. Pridėjus 1 K, nurodyti duomenys pasikeistų.

   Eksponentinės funkcijos išvestinė lygi −γ, padaugintam iš tos pačios funkcijos, o sinuso antroji išvestinė pagal x lygi −k², padaugintam iš to paties sinuso. Kai t = 0, eksponentinės funkcijos vertė lygi vienetui; abiejuose erdviniuose kraštiniuose taškuose sinusas lygus nuliui. Ties 1 m sinuso daugiklis prieš slopimą duoda 2 K. Pridėjus pastovią vertę, šios dalinių išvestinių lygties išvestinės nepasikeičia, tačiau kiekviena pradinė ir kraštinė vertė padidėja 1 K, todėl visas pradinis uždavinys nebetenkinamas.

Ką verta įsidėmėti

• Skaitiniame dalinių išvestinių lygties uždavinyje kartu išlaikomi lygtis, lauko prasmė, sritis, pradinis profilis ir kraštiniai duomenys.
• Išreikštinis skirtuminis šablonas naudoja vieną visą ankstesnį laiko sluoksnį; vien diskrečiosios vertės neapibrėžia tolydaus profilio.
• Neneigiami svoriai suteikia naudingą pakankamą stabilumo ribą šiam konkrečiam difuzijos atnaujinimo žingsniui.
• Mažėjanti seka be trikdžių gali slėpti stiprėjantį kintamo ženklo trikdį.
• Suderinamumas vertinamas pradedant nuo tikslių ankstesnių verčių; sukaupta paklaida taip pat apima paveldėtus neatitikimus, o jos vertinimui būtinos atitinkamos sąlygos.
• Susietos neišreikštinės sistemos sprendimas gali slopinti bandomąją modą, tačiau tai negarantuoja tikslumo ir nepatvirtina fizikinio modelio pagrįstumo.