Paviršiaus įtempimas ir kapiliarumas

Patraukite judamą kraštą

Įsivaizduokite ploną skysčio plėvelę stačiakampiame rėmelyje, kurio vienas tiesus kraštas gali slankioti. Abiejose plėvelės pusėse yra skysčio ir dujų skiriamieji paviršiai. Jei lėtai traukiate slankųjį kraštą į išorę, abiejų skiriamųjų paviršių plotas didėja. Plėvelė traukia kraštą į vidų; į išorę nukreipta išorinė jėga gali atsverti šią trauką. Pirmiausia nagrinėjame šį paprastą kraštą, o tada pereiname prie išlenkto lašelio paviršiaus ar siauro vamzdelio. Matavimo vienetų perskaičiavimą, apskritimo geometriją ir cos θ galima pasikartoti tekstuose „Matavimo vienetai, etalonai ir fizikinės konstantos“ bei „Geometrija, trigonometrija ir koordinačių sistemos“. Slėgis ir trumpo skysčio stulpelio pusiausvyra paaiškinami čia.

Paviršiaus įtempimo koeficientas γ yra jėga, perduodama per pjūvį takiųjų terpių skiriamajame paviršiuje ir tenkanti pjūvio ilgio vienetui. Jėga nukreipta išilgai skiriamojo paviršiaus liestinės ir šiame paviršiuje yra statmena pjūviui. Jos ir pjūvio ilgio santykio matavimo vienetas yra N/m. Čia γ visur vienodas, todėl vienoje plėvelės pusėje tiesų b ilgio kraštą veikia į vidų nukreipta jėga γb. Tai kraštą veikianti jėga, o ne plotą veikiantis slėgis.

Skaičiavimams imkime γ = 0.072 N/m = 72 mN/m. Tai iliustracinė konstanta, o ne išmatuota konkretaus skysčio ar tirpalo savybė. Kai krašto ilgis b = 50 mm = 0.050 m, kiekvienoje plėvelės pusėje susidaro jėga γb = 0.0036 N = 3.6 mN. Abi laisvos plonos plėvelės pusės lemia išorinę pusiausvyrą palaikančią jėgą F = 2γb = 7.2 mN.

Ilgis b yra slankiojo krašto ilgis, o ne visas rėmelio perimetras. Kitus rėmelio kraštus veikiančias jėgas atsveria jų atramos. Darome prielaidą, kad plėvelė yra plokščia, abiejose jos pusėse γ yra vienodas ir pastovus, krašto svoris yra nereikšmingas ir nėra jokios kitos jėgos dedamosios slinkimo kryptimi. Dėl lėto judėjimo šioje pusiausvyroje galime nepaisyti pagreičio.

Darbas skiriamojo paviršiaus plotui padidinti

Pastumkite tą patį kraštą į išorę per Δx = 10 mm = 0.010 m. Kiekvienos pusės plotas padidėja bΔx = 0.0005 m² = 500 mm². Bendras laisvos plėvelės fazių sąlyčio paviršių plotas padidėja dvigubai tiek: ΔA_total = 0.0010 m² = 1000 mm². Įskaičiuokite abiejų pusių plotus, nors žiūrint iš priekio jų kontūrai sutampa.

Kai pusiausvyrą palaikanti jėga yra pastovi, jos atliekamas darbas yra W = FΔx. Bendresniu atveju, kraštui šiek tiek pasislinkus į išorę, dW = F dx = γ dA_total. Esant nekintamai temperatūrai ir sudėčiai, vienodam ir pastoviam γ, grįžtamai ir kvazistatiškai sukuriant nurodytą skysčio fazių sąlyčio paviršiaus plotą, su šiuo paviršiumi susijusi laisvosios energijos dalis padidėja ΔE_interface = γΔA_total. Taip įvardijamas su fazių sąlyčio paviršiumi susijęs energijos pokytis; tai nenusako visų šilumos ar tūrinės energijos pokyčių įrenginyje.

Jėgos ir energijos aprašymuose naudojami vienetai dera tarpusavyje: (N/m) × m² = N·m = J. Taigi N/m = J/m². Šiame skysčio fazių sąlyčio paviršiaus modelyje tą patį γ galima suprasti kaip jėgą, tenkančią kontūro ilgio vienetui, arba kaip grįžtamąjį darbą, tenkantį sukurto sąlyčio paviršiaus ploto vienetui. Kietojo kūno mechaninis paviršinis įtempis gali skirtis nuo jo paviršiaus laisvosios energijos, todėl ši lygybė nėra universali taisyklė visų medžiagų paviršiams.

Atliekant nurodytą poslinkį, vienos pusės indėlis yra 36 μJ, o bendras abiejų pusių indėlis – 72 μJ. Toliau pateiktoje vienos pusės eilutėje išskiriamas tik vienas indėlis; ji neaprašo laisvos muilo plėvelės, turinčios tik vieną pusę. Dviejų pusių eilutė aprašo ploną laisvą plėvelę. Jei kraštas yra dvigubai ilgesnis, jėga padvigubėja. Esant tam pačiam poslinkiui, darbas taip pat padvigubėja, tačiau esant tam pačiam bendram sukurto paviršiaus plotui jis nekinta, nes tuomet reikiamas poslinkis sumažėja perpus.

Skaičiuokite vieną arba du skiriamuosius paviršius

Dujų apsuptas skysčio lašelis turi vieną skysčio ir dujų skiriamąjį paviršių. Skysčio apsuptas dujų burbuliukas taip pat turi vieną skiriamąjį paviršių. Pakeitus viduje esančią fazę, antra riba neatsiranda. Abiem atvejais sferinio paviršiaus slėgių balanse yra vienas skiriamojo paviršiaus indėlis.

Laisvas muilo plėvelės burbulas yra kitoks: plonas skysčio sluoksnis atskiria viduje esančias dujas nuo išorėje esančių dujų. Jis turi vidinį dujų ir skysčio skiriamąjį paviršių bei išorinį skysčio ir dujų skiriamąjį paviršių. Vidinių ir išorinių dujų slėgių skirtumas yra dviejų slėgio šuolių suma. Tai tas pats skiriamųjų paviršių skaičiavimo žingsnis, dėl kurio slankiąją kraštinę veikianti jėga padvigubėjo.

Abu paviršius galima laikyti turinčiais bendrą spindulį R tik tada, kai plėvelės storis yra nereikšmingas, palyginti su R. Abiem paviršiams taip pat priskiriame tą patį vienodą γ. Baigtinio storio plėvelės vidinis ir išorinis spinduliai skiriasi, o plėvelei, kurios paviršiaus įtempimo koeficientai nevienodi, reikia atskirų koeficientų. Vien skiriamųjų paviršių skaičius neįrodo nė vienos iš šių aproksimacijų pagrįstumo.

Naudosime nustatytas statines sferines geometrijas, nepaisydami sunkio sukelto slėgio kitimo ir klampiųjų normalinių įtempių. Tai lokalūs idealizuoti slėgių palyginimai, o ne prognozės, kad laisvai pakibęs lašas išlieka tiksliai sferinis veikiant sunkio jėgai, kuri vėliau bus naudojama kapiliarumo pavyzdyje.

Nustatykite slėgio ir kreivumo ženklus

Slėgis p yra normalinė jėga ploto vienetui, matuojama Pa = N/m². Kreivas skiriamasis paviršius gali skirti skirtingo slėgio fazes. Kad šiam skirtumui suteiktumėte ženklą, pažymėkite fazes 1 ir 2 ir pasirinkite vienetinį normalės vektorių n, nukreiptą iš fazės 1 į fazę 2. Apibrėžiame Δp = p₁ − p₂. Teigiamas Δp reiškia, kad fazės 1 slėgis yra didesnis.

Kreiviui taip pat reikia nustatyti orientaciją. Dviejų statmenų pagrindinių krypčių paviršiuje kreivius su ženklu pažymėkime κ₁ ir κ₂. Jų suma yra κ = κ₁ + κ₂ = ∇·n. R spindulio sferos, kurios n nukreipta iš vidinės fazės į išorę, abu pagrindiniai kreiviai yra +1/R, todėl κ = +2/R. Cilindro, kurio normalė nukreipta į išorę, kreivis apskritimo kryptimi yra +1/R, o išilgai ašies – nulis.

Rimties būsenos takiųjų terpių skiriamajam paviršiui, kai γ vienodas ir nėra papildomo normalinių įtempių indėlio, Jungo–Laplaso pusiausvyros lygtis yra Δp = γκ. Čia naudojama suma κ, o ne pusė sumos. Jei kitame tekste vidutinis kreivis apibrėžiamas kaip H = (κ₁ + κ₂)/2, tas pats dėsnis užrašomas Δp = 2γH. Aiškiai nurodytas apibrėžimas padeda išvengti klaidos dėl daugiklio 2.

Šiame modelyje plokštumos kreivis ir slėgio šuolis yra lygūs nuliui. Vietinė balno formos paviršiaus sritis gali būti išlinkusi abiem kryptimis, tačiau kreivių suma gali būti lygi nuliui: +1000 m⁻¹ ir −1000 m⁻¹ vienas kitą panaikina. Tai teiginys apie vietinę geometriją, o ne teiginys, kad bet kuris uždaras lašas, esant vienodam slėgiui, gali būti tokios formos.

Jei pakeisite n kryptį į priešingą ir sukeisite fazių žymenis, tiek κ, tiek Δp ženklas pasikeis. Tai, kuris iš dviejų slėgių didesnis, nesikeičia. Prieš nuspręsdami, ar šuolis turi būti teigiamas, ar neigiamas, visada nurodykite normalę ir fazes, kurioms priskiriami abu slėgiai.

Slėgio šuolio ties sferiniu paviršiumi išvedimas

Vieno sferinio skiriamojo paviršiaus atveju fazę 1 laikykime vidine, o n nukreipkime į išorę. Iš kreivumo dėsnio iš karto gauname p_viduje − p_išorėje = 2γ/R. Kai γ nekinta, mažesnis spindulys lemia didesnį teigiamą slėgių skirtumą. Esant nurodytoms statinėms prielaidoms, tai galioja tiek skysčio rutuliui dujose, tiek dujų rutuliui skystyje.

Paviršiaus ploto kitimo darbo skaičiavimas parodo, iš kur atsiranda geometrinis daugiklis. Rutulio paviršiaus plotas yra A = 4πR², o tūris V = 4πR³/3. Kai spindulys kinta nežymiai, dA/dR = 8πR ir dV/dR = 4πR², todėl dA/dV = 2/R. Grįžtamasis slėgio darbas Δp dV lygus γ dA, todėl Δp = γ dA/dV = 2γ/R.

Iš jėgų pusiausvyros gaunamas toks pat rezultatas. Skaičiuodami padalykime rutulį į du pusrutulius. Slėgių skirtumas sukuria jėgą ΔpπR², veikiančią per pjūvio skritulį, o vienas skiriamasis paviršius sukuria priešingos krypties jėgą γ(2πR), veikiančią išilgai apskritiminio krašto. Sulyginę jėgų modulius, vėl gauname Δp = 2γ/R. Pjūvio skritulio plotas yra projekcijos plotas, o ne išlenkto pusrutulio paviršiaus plotas.

Laisvo plonasienio muilo burbulo atveju dviejų skiriamųjų paviršių indėliai duoda p_vidinių dujų − p_išorinių dujų ≈ 4γ/R. Kai sferinių paviršių spinduliai R_in ir R_out skiriasi, o γ yra vienodas, abu slėgio šuoliai sudedami: 2γ/R_in + 2γ/R_out. Abu spindulius pakeitus vienu R, gaunama plonos plėvelės formulė; ji nenustato, kiek laiko plėvelė išlieka stabili.

Kai R = 1 mm, o γ turi priskirtąją vertę, slėgių skirtumas ties vienu skiriamuoju paviršiumi yra 144 Pa, o laisvo plonasienio burbulo slėgių skirtumas yra 288 Pa. Vienas daugiklis 2 atsiranda dėl dviejų pagrindinių sferos kreivumų. Kitas daugiklis 2 atsiranda dėl dviejų laisvo burbulo skiriamųjų paviršių.

Kraštinį kampą matuokite skysčio pusėje

Sąlyčio linijoje susitinka kietasis kūnas, skystis ir dujos. Kraštinis kampas θ matuojamas skysčio pusėje tarp kietojo kūno paviršiaus ir skysčio bei dujų skiriamojo paviršiaus liestinės. Ties vertikalia vamzdelio sienele remkitės vietine sienelės kryptimi sąlyčio linijoje; nepakeiskite šio kampo dujų pusėje išmatuotu kampu.

Idealiam standžiam, lygiam ir vienalyčiam kietajam kūnui dalinio drėkinimo pusiausvyros sąlygomis galioja Jungo sąryšis: γ_SG − γ_SL = γ_LG cos θ. Indeksai žymi kietojo kūno ir dujų, kietojo kūno ir skysčio bei skysčio ir dujų sąlyčio paviršius. Su kietuoju kūnu susiję nariai nusako sąlyčio paviršių energiją ploto vienetui. Sąryšis gaunamas palyginus energijos prieaugį ir nuostolį, kai sąlyčio linija slenka idealiu pagrindu; tam nereikia, kad kiekviena kietojo kūno paviršiaus energija būtų lygi mechaniniam paviršiaus įtempiui.

Imkime γ_SG = 0.055 J/m², γ_SL = 0.019 J/m² ir γ_LG = 0.072 N/m. Kadangi N/m = J/m², jų santykis yra bedimensis: cos θ = (0.055 − 0.019)/0.072 = 0.5. Taigi θ = 60°. Tai pateikti idealūs koeficientai, o ne empirinės konkrečios kietojo kūno ir skysčio poros vertės.

Įprastam baigtiniam dalinio drėkinimo kampui būtina sąlyga −1 < (γ_SG − γ_SL)/γ_LG < 1. Jei šis santykis viršija +1, joks baigtinis dalinio drėkinimo kampas netenkina lygties. Tuomet idealusis sklidimo parametras S = γ_SG − γ_SL − γ_LG yra teigiamas, todėl palankus visiškas skysčio pasklidimas sauso kietojo kūno paviršiumi. Pakeitus už leistino intervalo ribų esantį santykį verte 1, būtų paslėptas fizikinio režimo pokytis. Nulis ir 180 laipsnių yra ribiniai atvejai, o ne savaiminės realios pusiausviros kontaktinės linijos garantijos.

Realiuose paviršiuose kontaktinė linija gali būti prisegta, o jai slenkant pirmyn ir atsitraukiant kontaktiniai kampai gali skirtis. Todėl statinis kampas gali priklausyti nuo paruošimo ir ankstesnės būsenų kaitos. Skaičiavimuose naudojame pateiktą pusiausvirąjį kampą prie idealios sienelės. Šie skaičiavimai nenustato realaus kontaktinio kampo iš bendro teiginio, kad adhezija yra stipresnė arba silpnesnė už koheziją.

Susiekite menisko kreivumą su aukščiu

Dabar į didelį skysčio rezervuarą įstatykite vertikalų apskrito skerspjūvio vamzdelį, kurio vidinis spindulys yra r. Vamzdelis atviras toms pačioms dujoms kaip ir rezervuaras. Tegul z kryptis yra aukštyn, o h – vamzdelio skysčio stulpelio aukštis su ženklu, vertinamas pirmuoju artiniu toli nuo vamzdelio esančio rezervuaro skysčio lygio atžvilgiu. Teigiamas h reiškia pakilimą, o neigiamas h – nusileidimą. Naudokite kampą θ, matuojamą skysčio pusėje ties sienele.

Šiai pamokai pakanka trumpo samprotavimo apie slėgį. Nejudančiame skysčio stulpelio elemente, kurio aukštis dz, o horizontalaus skerspjūvio plotas A, apačioje aukštyn nukreipta slėgio jėga viršija viršuje žemyn nukreiptą slėgio jėgą elemento svoriu ρ_L gA dz. Vadinasi, dp_L/dz = −ρ_L g: kylant aukštyn slėgis mažėja. Susisiekiančiose dujose dp_G/dz = −ρ_G g. Pradėjus nuo plokščio, toli nuo vamzdelio esančio rezervuaro skysčio ir dujų sąlyčio paviršiaus, kuriame skysčio ir dujų slėgiai vienodi ties z = 0, ir palyginus slėgius tame pačiame aukštyje h, gaunama Δp = p_L − p_G = −(ρ_L − ρ_G)gh. Pažymėkite Δρ = ρ_L − ρ_G.

Taikant idealų sferinio menisko artinį, įgaubto drėkinančio menisko spindulio modulis yra r/cos θ, kai 0 ≤ θ < 90°. Kai n nukreipta iš skysčio į dujas, menisko kreivumas su ženklu yra κ = −2 cos θ/r. Todėl Δp = p_L − p_G = −2γ cos θ/r. Po drėkinančiu menisku skysčio slėgis yra mažesnis už dujų slėgį; tai gali atsverti slėgio sumažėjimą pakilusiame skysčio stulpelyje.

Sulyginkite abi slėgio išraiškas: −Δρgh = −2γ cos θ/r. Kapiliarinio aukščio formulė pirmuoju artiniu, dažnai vadinama Žiureno dėsniu, yra h = 2γ cos θ/(Δρgr) = −Δp/(Δρg). Ta pati išraiška su ženklu nusako nusileidimą, kai θ > 90°, meniskas yra išgaubtas dujų pusėn, o p_L − p_G yra teigiamas. Kai θ = 90°, ji duoda formalų plokščio menisko rezultatą h = 0.

Rezultatą galima patikrinti iš apskritos kontaktinės linijos jėgų pusiausvyros. Jos ilgis yra 2πr, todėl vertikalioji tarpfazinė jėga yra F_z = 2πrγ cos θ. Teigiamo pakilimo atveju, neatsižvelgiant į dujų tankį ir šią jėgą sulyginus su skysčio stulpelio svoriu pirmuoju artiniu ρ_L gπr²h, gaunama ta pati formulė. Bendruoju atveju slėgiai lyginami naudojant hidrostatinį narį su ženklu Δρgπr²h. Nusileidimo atveju šis narys yra neigiamas rezervuaro atžvilgiu; tai nereiškia neigiamos fizinės masės ar priešinga kryptimi veikiančios sunkio jėgos.

Šiam atskiram skaičiavimui, kuriame atsižvelgiama į sunkį, priskirkite ρ_L = 1000 kg/m³, nepaisykite dujų tankio, taigi Δρ = 1000 kg/m³, ir naudokite g = 9.81 m/s². Kai r = 0.5 mm ir θ = 60°, κ = −2000 m⁻¹, Δp = −144 Pa ir h ≈ +14.678899 mm. Aukštyn nukreipta kontaktinės linijos jėga yra maždaug 113.097336 μN. Slėgis, aukštis ir jėga apibūdina tą pačią nurodytą pusiausvyrą.

Palyginkite pakilimą, nusileidimą ir spindulį

Palikite γ, Δρ, g ir r = 0.5 mm nekintamus ir pasirinkite kitus kontaktinius kampus. Kai kampas 60°, cos θ = +0.5 ir skystis pakyla. Kai kampas 120°, cos θ = −0.5, o idealaus nusileidimo modulis yra toks pat. Kai kampas 90°, ir aukštis pirmuoju artiniu, ir slėgio šuolis lygūs nuliui. Prieš apskaičiuodami šių dydžių modulius, numatykite jų ženklus.

Kampų lentelėje lyginamos atskiros pateiktos drėkinimo sąlygos. Tai nėra išmatuota vienos medžiagos kreivė, rodanti jos kontaktinio kampo kitimą. Tik 60° atvejis susietas su trimis pirmiau priskirtais Jungo koeficientais. Kraštinės eilutės ties 0° ir 180° yra formalios idealios ribos. Suapvalinti skaičiai apibūdina iliustracinį modelį, o ne eksperimentinį tikslumą.

Kai kampas nekinta, h yra atvirkščiai proporcingas vidiniam spinduliui. Sumažinus r perpus, h ir slėgio šuolio ties menisku moduliai padvigubėja. Nors mažėjant r sąlyčio linijoje veikianti jėga mažėja, stulpelio skerspjūvio plotas mažėja sparčiau: jėga proporcinga r, o plotas – r². Todėl aukštesnis stulpelis gali atsverti šią mažesnę jėgą.

Naudokite vidinį spindulį, o ne skersmenį. Jei vamzdelio vidinis skersmuo yra 1.0 mm, tai r = 0.5 mm. Į formulę vietoj spindulio įrašius 1.0 mm skersmenį, būtų gautas perpus mažesnis aukštis nei teisingas pirmojo artinio aukštis. Tas pats spindulys turi būti naudojamas apskritimo ilgiui, skerspjūvio plotui ir menisko kreivumui apskaičiuoti.

Kai θ = 60°, vidinius spindulius 0.10, 0.25 ir 0.50 mm atitinka maždaug 73.394495, 29.357798 ir 14.678899 mm pirmojo artinio aukščiai. Šios vertės leidžia palyginti idealius atvirus vamzdelius tomis pačiomis rezervuaro sąlygomis. Netaisyklingų porų tinklui aprašyti reikia papildomos informacijos apie geometriją ir junglumą; jo negalima aprašyti pakeitus visą tinklą vienu vamzdelio spinduliu.

Patikrinkite idealiojo modelio prielaidas

Kapiliarinio aukščio formulė grindžiama prielaidomis, kad vamzdelis yra vertikalus ir apskrito skerspjūvio, sujungtas su dideliu rezervuaru, sistema yra statinės pusiausvyros būsenos, o ant idealios sienelės kontaktinis kampas, matuojamas skysčio pusėje, yra duotas. Vamzdelio ir rezervuaro dujų sritys susisiekia. Vienodas dujų slėgis skirtinguose aukščiuose taikomas pagal čia nustatytą nulinio dujų tankio artinį; bendrojoje pusiausvyros lygtyje su Δρ išlaikomas hidrostatinis dujų slėgio gradientas. Paviršiaus įtempimo koeficientas ir tankiai yra pastovūs. Užsandarintas vamzdelis, garuojantis skystis arba įtvirtinta kontaktinė linija gali pakeisti pusiausvyrą.

Skaičiuojant pirmuoju artiniu, meniskas laikomas sferiniu, o jo tūrio nepaisoma, pakilusį ar nusileidusį skystį vaizduojant stulpeliu. Paviršiaus įtempimui ir sunkio poveikiui palyginti naudingas ilgis ℓ_c = √[γ/(Δρg)], čia aiškiai apibrėžiamas kaip kapiliarinis ilgis. Su duotosiomis konstantomis ℓ_c ≈ 2.709142 mm. Pagal vamzdelio spindulį apskaičiuotas Bondo skaičius yra Bo = Δρgr²/γ = (r/ℓ_c)².

Kai r = 0.10, 0.25 ir 0.50 mm, Bo yra atitinkamai 0.0013625, 0.008515625 ir 0.0340625. Šios mažos vertės pagrindžia sunkio sukeltos menisko deformacijos vertinimą kaip pirmuoju artiniu nustatytos vietinės formos pataisą. Jos nėra universali procentinės paklaidos riba. Kai kampas artimas 90°, pirmuoju artiniu apskaičiuotas h yra mažas, todėl neįtraukta pataisa gali būti reikšminga šios mažos vertės atžvilgiu net ir tada, kai r/ℓ_c yra mažas.

Pastovus γ taip pat yra prielaida. Pasikeitus temperatūrai ar sudėčiai ir persiskirsčius paviršinio aktyvumo medžiagoms, gali prireikti naujo fazių sąlyčio paviršiaus modelio. Dėl šiurkštumo, cheminės sudėties nevienodumo ir kontaktinės linijos ankstesnių būsenų gali prireikti daugiau nei vieno idealiojo kampo. Statinis skaičiavimas pateikia pusiausvyros aukštį, bet ne pakilimo trukmę – jai nustatyti reikėtų įvertinti klampos ir inercijos veikiamą dinamiką.

Prieš taikydami formulę, įvardykite ribą, suskaičiuokite jos fazių sąlyčio paviršius, nurodykite slėgių skirtumą bei normalę ir nustatykite spindulį, o ne skersmenį. Tada patikrinkite, ar nurodyta geometrija ir medžiagų sąlygos pagrindžia pusiausvyros lygtį. Taip naudingas idealusis modelis išlieka susietas su sistema, kurią jis skirtas aprašyti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Tos pačios du paviršius turinčios plėvelės slankiosios kraštinės ilgį padvigubinkite nuo 50 iki 100 mm, išlaikydami γ = 0.072 N/m. Pirmuoju atveju išlaikykite 10 mm poslinkį į išorę. Antruoju atveju išlaikykite 1000 mm² bendrą fazių sąlyčio paviršių ploto prieaugį. Abiem atvejais raskite jėgą, poslinkį ir darbą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai poslinkis nekinta: F = 14.4 mN, Δx = 10 mm ir W = 144 μJ. Kai bendras ploto prieaugis nekinta: F = 14.4 mN, Δx = 5 mm ir W = 72 μJ.

   F = 2γb padvigubėja padvigubinus b. Kai Δx nekinta, tiek 2bΔx, tiek darbas padvigubėja. Kai ΔA_total nekinta, Δx = ΔA_total/(2b) sumažėja perpus, todėl γΔA_total ir FΔx nekinta.

2. Sferinį dujų burbulą, kurio spindulys 0.5 mm, tiesiogiai supa skystis. Naudokite γ = 0.072 N/m, laikykite statinę geometriją duota ir nepaisykite kitų normalinių įtempių. Ar dujų slėgis minus skysčio slėgis yra 288 Pa, ar 576 Pa? Paaiškinkite, kiek yra fazių sąlyčio paviršių.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Dujų slėgis minus skysčio slėgis yra +288 Pa; yra vienas dujų ir skysčio sąlyčio paviršius.

   Kai normalė nukreipta iš dujų į išorę, κ = 2/R ir Δp = 2γ/R = 2(0.072)/0.0005 = 288 Pa. 576 Pa rezultatas būtų gaunamas tokio pat spindulio laisvam burbului iš plonos muilo plėvelės, turinčiam du fazių sąlyčio paviršius.

3. Sferos, turinčios vieną fazių sąlyčio paviršių, spindulys yra 1 mm, normalė nukreipta į išorę iš vidinės fazės 1 į išorinę fazę 2, κ = +2000 m⁻¹ ir p₁ − p₂ = +144 Pa. Pakeiskite normalės kryptį į priešingą ir sukeiskite fazių žymenis. Kokie bus naujasis kreivumas su ženklu ir slėgių skirtumas? Kurios fizinės fazės slėgis didesnis?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naujasis kreivumas yra −2000 m⁻¹, o naujasis slėgių skirtumas yra −144 Pa. Pradinės vidinės fazės slėgis tebėra didesnis.

   Naujoji fazė 1 yra pradinė išorinė fazė, o naujoji fazė 2 yra pradinė vidinė fazė. Pakeitus normalės kryptį į priešingą, pasikeičia abiejų pagrindinių kreivumų ženklai. Ryšio p_new1 − p_new2 = γκ_new fizikinė prasmė išlieka ta pati.

4. Atviro apskrito skerspjūvio vamzdelio vidinis skersmuo yra 1.0 mm, o duotas kampas, matuojamas skysčio pusėje, yra 60°. Naudokite γ = 0.072 N/m, Δρ = 1000 kg/m³ ir g = 9.81 m/s². Raskite pakilimo aukštį pirmuoju artiniu. Koks rezultatas būtų gautas klaidingai naudojant skersmenį vietoj spindulio?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Vidinis spindulys yra 0.5 mm, todėl h ≈ +14.678899 mm. Vietoj r įrašius 1.0 mm skersmenį, gaunama maždaug +7.339450 mm — pusė teisingo pakilimo aukščio pirmuoju artiniu.

   Išreikškite spindulį metrais: r = 0.0005 m, ir naudokite h = 2γ cos θ/(Δρgr). Vardiklyje yra spindulys, todėl pakeitus r į 2r prognozuojamas aukštis sumažėja perpus, nors jokia fizikinė savybė nepasikeičia.

5. Kai vidinis spindulys yra 0.5 mm, naudodami pirmiau pateiktas kapiliarines konstantas nustatykite h ir p_L − p_G ženklus, kai kampai yra 120° ir 90°. Atskirame skaičiavime pagal idealiąją Youngo lygtį naudokite γ_SG = 0.100 J/m², γ_SL = 0.019 J/m² ir γ_LG = 0.072 N/m. Ar gaunamas baigtinis dalinio drėkinimo kampas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai kampas 120°: h yra neigiamas, o p_L − p_G – teigiamas. Kai kampas 90°: abi pagrindinio artinio vertės lygios nuliui. Atskirai apskaičiuotas Youngo lygties santykis yra 1.125, todėl baigtinio dalinio drėkinimo kampo nėra; S = +0.009 J/m² yra palankus idealiajam visiškam pasklidimui.

   Kapiliarinių dydžių ženklus lemia cos θ: h yra proporcingas cos θ, o p_L − p_G ženklas yra priešingas. Atskirame Youngo lygties skaičiavime (0.100 − 0.019)/0.072 = 1.125 viršija 1. Pasklidimo parametras yra 0.100 − 0.019 − 0.072 = +0.009 J/m². Apribojus santykį iki 1, būtų paslėpta netinkama baigtinio kampo prielaida.

Ką verta įsidėmėti

• Kai γ vienodas, vienas tiesus tarpfazinio paviršiaus kraštas sukuria jėgą γb; plona laisva plėvelė turi du jėgą sukuriančius paviršius. Grįžtamasis tarpfazinio paviršiaus didinimo darbas, kai γ pastovus, lygus γ ir bendro pridėto ploto sandaugai.
• Nurodykite n kryptį iš 1 fazės į 2 fazę ir apibrėžkite Δp = p₁ − p₂. Statinės pusiausvyros sąlygoje naudojama kreivumų suma, atsižvelgiant į jų ženklus: Δp = γ(κ₁ + κ₂).
• Sferos atveju kiekvienam tarpfaziniam paviršiui tenka 2γ/R. Dujų burbulas skystyje turi vieną tarpfazinį paviršių; laisvam plonam muilo burbului gaunama apytiksliai 4γ/R, darant prielaidas, kad γ vienodi, o storis nepaisomai mažas.
• θ matuokite skysčio pusėje. Youngo sąryšis baigtiniam kampui taikomas idealiajam daliniam drėkinimui, o leistinų kosinuso verčių sritis yra ribota.
• Pagal nurodytą atviro vamzdelio artinį p_L − p_G = −2γ cos θ/r ir h = 2γ cos θ/(Δρgr). Drėkinimas lemia pakilimą; pateiktas kampas, didesnis nei 90°, lemia nusileidimą.
• Naudokite vidinį spindulį, aiškiai žymėkite slėgio ir aukščio ženklus, o prieš naudodami prognozę patikrinkite pusiausvyros, menisko ir sienelės prielaidas.