Daugikliai, kartotiniai ir dalumas

Ar kiekvienas žetonas gali priklausyti pilnai grupei?

Suskirstykite 17 žetonų į grupes po penkis. Trims pilnoms grupėms reikia 15 žetonų, tad lieka du. Dabar suskirstykite 18 žetonų į grupes po tris: šešioms pilnoms grupėms panaudojami visi 18. Antruoju atveju nelieka nė vieno nesugrupuoto žetono.

Sakome, kad 3 dalija 18, nes 18 = 3·6. Šiame teiginyje 3 yra skaičiaus 18 daugiklis, arba daliklis, o 18 yra skaičiaus 3 kartotinis. Skaičius 5 nedalija 17: joks sveikasis grupių po penkis žetonus skaičius nesudaro lygiai 17 žetonų.

Palyginti neužbaigtą ir užbaigtą grupavimą

Paveiksle su 17 žetonų yra trys pilnos grupės po penkis žetonus ir du likę žetonai: 17 = 5·3+2. Paveiksle su 18 žetonų yra šešios pilnos grupės po tris žetonus ir nelieka nė vieno žetono: 18 = 3·6.

Teigiamas daugiklis nusako galimą pilnos grupės dydį, o kartotinis – bendrą žetonų skaičių, sudarytą iš tokio dydžio grupių. Šie žodžiai nusako tą pačią lygtį iš priešingų pusių. Pavyzdžiui, 3 yra skaičiaus 18 daugiklis, o 18 yra skaičiaus 3 kartotinis.

Pradėkite nuo grupavimo, tada laikykitės sveikųjų skaičių sąlygų

Pakartokite pamoką „Daugyba ir dalyba“, kurioje aptariamos vienodo dydžio grupės ir atvirkštiniai veiksmai, ir pamoką „Neigiamieji skaičiai ir modulis“, kurioje aptariami skaičiai su ženklais ir atstumas nuo nulio. Prieš pradėdami dirbti su neigiamaisiais dalikliais, remkitės pamoka „Veiksmų tvarka ir aritmetikos savybės“, kurioje aptariama skaičių su ženklais daugyba ir skirstomumo savybė. Pamoka „Pozicinė skaičiaus sandara ir skaičiavimo sistemos“ parengia samprotavimams apie paskutinį skaitmenį.

Skaitydami pirmą kartą, išnagrinėkite skaičiavimo žetonų grupes, dalumą apibrėžiančią lygtį ir skaičių tiesę, kurioje vaizduojamas dalmuo ir liekana. Prie bendrųjų įrodymų ir tapatybių su skaitmenimis grįžkite pasipraktikavę dauginti skaičius su ženklais ir taikyti skirstomumo savybę paskelbtoje pamokoje „Veiksmų tvarka ir aritmetikos savybės“.

Toliau reikalingi įrodymo metodai ir aibių terminija paaiškinami ten, kur jie taikomi: dalumą įrodo jį liudijantis sveikasis skaičius, o kontrpavyzdys paneigia visuotinį teiginį. Vėlesnėse pamokose išsamiau nagrinėjami didžiausi bendrieji dalikliai ir skaidymas pirminiais dauginamaisiais; nei vieno, nei kito nereikia šios pamokos dalumo požymiams pagrįsti.

Vertikalus brūkšnys – teiginio, ne dalybos ženklas

Sveikiesiems skaičiams d ir n rašome d | n, jei egzistuoja sveikasis skaičius k, toks, kad n = dk. Tai skaitome „d yra n daliklis“. Rašome d ∤ n, jei tokio sveikojo skaičiaus nėra. Sveikasis skaičius k yra teiginio liudytojas: jį įstatę patikriname visą teiginį.

Pavyzdžiui, −3 | 18, nes 18 = (−3)(−6), o 3 | −18, nes −18 = 3(−6). Pakeitus bet kurio iš šių skaičių ženklą, dalumas išlieka: iš n = dk taip pat gauname n = (−d)(−k) ir −n = d(−k).

Teiginys apie dalumą reikalauja rasti sveikąjį skaičių k lygybėje n = dk. Langeliuose išsaugomi skaičių ženklai ir nulis; rezultatas paaiškina konkretų teiginį.

Reiškinys d | n yra teisingas arba klaidingas. Dalmuo n/d yra skaičius, kai d ≠ 0. Kai d nelygus nuliui, dalumas yra lygiavertis sąlygai, kad n/d yra sveikasis skaičius, o ne vien tam, kad dalmuo egzistuoja: 17/5 egzistuoja, bet nėra sveikasis skaičius.

Visi šio apibrėžimo kintamieji yra sveikieji skaičiai. Leidus liudytojui būti realiuoju skaičiumi, sąryšis pasikeistų: 5·3.4 = 17 neįrodo, kad 5 | 17. Trupmeninis skaičiavimo žetonų skaičius nėra visa grupė, sudaryta iš sveikojo skaičiaus žetonų.

Prieš taikydami susitarimą dėl nulio, jį įvardykite

Apibrėžimą d | n paliekame galioti visiems sveikiesiems skaičiams, įskaitant d = 0. Kiekvienas sveikasis skaičius d yra nulio daliklis, nes 0 = d·0. Pagal šį susitarimą teisingas ir teiginys 0 | 0; šis vienas teiginys turi daug sveikųjų skaičių liudytojų.

Nulis nėra jokio nenulinio sveikojo skaičiaus daliklis: sandauga 0·k visada lygi nuliui. Taigi 0 ∤ 18. Šie teiginiai apie sandaugas nesuteikia reikšmės reiškiniui 0/0 ir neleidžia dalyti iš nulio. Dalumo apibūdinimui per dalmenį vis tiek būtina sąlyga d ≠ 0.

Teiginys −7 | 0 yra teisingas, nes 0 = (−7)·0. Teiginys 0 | 18 yra klaidingas, nes 0·k = 0 kiekvienam sveikajam skaičiui k. Teiginys 0 | 0 yra teisingas pagal tą pačią sandaugos lygtį; dalmuo, kurio vardiklis lygus nuliui, nesudaromas.

Kai kuriuose kontekstuose žodis „daliklis“ taikomas tik nenuliniams sveikiesiems skaičiams. Mūsų apibrėžimas per sandaugą aiškiai leidžia ir nulį, todėl, kai norime taikyti šį apribojimą, sakome „teigiamieji dalikliai“ arba „nenuliniai dalikliai“. Įprastuose teigiamųjų bendrų kiekių daliklių sąrašuose naudojami teigiamieji dalikliai.

Fiksuoto sveikojo skaičiaus d kartotiniai yra dk, kai k įgyja visas sveikąsias reikšmes. Kai d ≠ 0, jie skaičių tiesėje išsidėsto vienodais tarpais į abi puses ir apima nulį; kai d = 0, vienintelis kartotinis yra nulis. Teigiami teigiamo skaičiaus d kartotiniai gaunami imant k = 1,2,3,… .

Nenulinė sandauga apriboja savo daugiklius

Jei d | n ir n ≠ 0, tai ir d, ir atitinkamas daugiklis k yra nenuliniai. Todėl |k| ≥ 1, o |n| = |d||k| ≥ |d| ≥ 1. Taigi kiekvienas nenulinio skaičiaus n sveikasis daliklis yra tarp −|n| ir |n|, išskyrus nulį.

Skaičiaus 18 teigiami dalikliai yra 1,2,3,6,9,18. Visų galimų d reikšmių nuo 1 iki 18 tikrinimas yra baigtinis ir išsamus metodas; kiekvieną rastą daliklį d suporuokite su 18/d ir gausite 1·18, 2·9 ir 3·6. Sveikieji dalikliai taip pat apima jiems priešingus skaičius.

Baigtinis trejeto kartotinių intervalas

Kai daliklis yra 3, o daugikliai yra −6,−5,…,6, kartotiniai yra −18,−15,…,18. Nulį atitinka daugiklis nulis. Ši baigtinė atkarpa rodo dalį abiem kryptimis besitęsiančios begalinės sekos.

Skaičiaus −18 dalikliai yra tie patys sveikieji skaičiai kaip ir skaičiaus 18, nes pakeitus atitinkamo daugiklio ženklą pasikeičia sandaugos ženklas. Nulis pasižymi kitokiomis savybėmis: kiekvienas sveikasis skaičius yra jo daliklis, todėl turi be galo daug sveikųjų daliklių ir neturi didžiausio teigiamo daliklio.

Nepakeiskite dalumo nelygybe. Nors 5 < 17, penki nėra skaičiaus 17 daliklis. Dydžio apribojimas yra būtina nenulinio skaičiaus daliklio sąlyga, bet ne pakankama.

Abipusis dalumas lemia modulį, bet ne visada ženklą

Kiekvienas sveikasis skaičius yra savo paties daliklis, kai k = 1. Dalumas nėra simetriškas: 3 | 18, bet 18 ∤ 3. Vis dėlto du skirtingi sveikieji skaičiai su priešingais ženklais gali dalytis vienas iš kito: 3 | −3 ir −3 | 3.

Jei a | b ir b | a, kai a ≠ 0, užrašykime b = au ir a = bv, kur u ir v yra sveikieji skaičiai. Įstatę gauname a = auv, taigi, suprastinę iš nenulinio a, gauname uv = 1. Vienintelės galimos sveikosios reikšmės yra u = v = 1 arba u = v = −1; todėl b = a arba b = −a.

Jei a = 0 ir kartu b | a bei a | b, iš pastarosios sąlygos būtinai gauname b = 0. Sujungę abu atvejus, matome, kad visiems sveikiesiems skaičiams iš abipusio dalumo išplaukia |a| = |b|. Teigiamų sveikųjų skaičių ženklai yra vienodi, todėl iš abipusio dalumo išplaukia a = b. Ši paskutinė savybė vadinama antisimetrija; visų sveikųjų skaičių aibėje ji negalioja.

Prastinimui būtina sąlyga, kad prastinamasis daugiklis būtų nenulinis. Iš 0 = 0·uv negalima daryti išvados, kad uv = 1. Atskirai išnagrinėjus nulio atvejį, išvengiama neleistino dalybos veiksmo.

Sudėtis ir atimtis išsaugo bendrą daliklį

Tarkime, kad d | a ir d | b. Pasirinkime sveikuosius skaičius u ir v, kuriems a = du ir b = dv. Tuomet a+b = d(u+v) ir a−b = d(u−v). Naujieji daugikliai yra sveikieji skaičiai, todėl d dalija ir sumą, ir skirtumą.

Apskritai, bet kuriems sveikiesiems skaičiams s ir t galioja sa+tb = d(su+tv). Taigi d | (sa+tb). Reiškinys sa+tb yra tiesinis derinys su sveikaisiais koeficientais: kiekvieną pradinį skaičių padauginame iš sveikojo koeficiento, o tada sudedame. Įrodymas galioja ir tada, kai d = 0, nes jame nenaudota dalyba.

Pavyzdžiui, 3 dalija 12 ir −6. Todėl jis dalija 12+(−6) = 6, 12−(−6) = 18 ir 2·12+5·(−6) = −6. Lygybė pagrindžia kiekvieną rezultatą, o ne tik parodo keliuose pavyzdžiuose pastebėtą dėsningumą.

Koeficientai turi likti sveikieji skaičiai. Nors 3 | 6, su trupmeniniu koeficientu 1/6 gauname (1/6)·6 = 1, o šio skaičiaus 3 nedalija. Su koeficientu 1/4 gautas rezultatas 3/2 net nėra sveikasis skaičius, priklausantis šio sąryšio apibrėžimo sričiai.

Daliklio daliklis taip pat yra daliklis

Jei a | b ir b | c, pasirinkime naujus sveikuosius skaičius u ir v, kuriems b = au ir c = bv. Įstatę gauname c = a(uv). Kadangi uv yra sveikasis skaičius, a | c. Ši savybė vadinama tranzityvumu; tas pats įrodymas apima visus apibrėžimo leidžiamus atvejus su nuliu.

Be to, jei d | a, o t yra sveikasis skaičius, tai d | at, nes iš a = du gauname at = d(ut). Kartotinį galima padauginti iš kito sveikojo skaičiaus, ir jis liks skaičiaus d kartotinis.

Atvirkštinis teiginys apie sandaugą bendruoju atveju yra klaidingas: 6 | (2·3), tačiau 6 ∤ 2 ir 6 ∤ 3. Taip pat negalima manyti, kad sumos daliklis dalija kiekvieną dėmenį: 3 | (1+2), tačiau jis nedalija nei 1, nei 2. Sekite, kuria kryptimi leidžia samprotauti įrodyta implikacija.

Liekana turi būti tarp nulio ir teigiamo daliklio

Sveikajam skaičiui n ir teigiamam sveikajam skaičiui d egzistuoja vieninteliai sveikieji skaičiai q ir r, tenkinantys n = dq+r ir 0 ≤ r < d. Tai Euklidinė dalyba. Sveikasis skaičius q yra dalmuo, o r – liekana; terminas „dalybos algoritmas“ įvardija šią teoremą dar prieš nurodant skaičiavimo procedūrą.

Kai n = 17 ir d = 5, naudokime lygybę 17 = 5·3+2. Kai n = −17, o daliklis tas pats, naudokime −17 = 5·(−4)+3. Kartotinis −20 sutampa su −17 arba yra jo kairėje, o kitas kartotinis −15 yra jo dešinėje; nuo −20 pasislinkę trimis vienetais į dešinę pasiekiame −17.

Palyginti tą patį daliklį abipus nulio

Kai dalinys yra −17, o daliklis 5, kairysis kartotinis yra −20, o kitas – −15. Liekana yra atstumas 3 nuo −20 iki −17. Kai dalinys yra 17, o daliklis 5, atitinkama pora yra 15 ir 20, o liekana – 2.

Lygybė −17 = 5·(−3)−2 taip pat yra aritmetiškai teisinga, tačiau −2 nėra leistina Euklidinės dalybos liekana. Pasirinkite kartotinį, kuris sutampa su n arba yra iškart jo kairėje. Simboliais: q = floor(n/d), kur floor reiškia didžiausią sveikąjį skaičių, neviršijantį realiojo dalmens.

Nulinė liekana reiškia būtent dalumą iš teigiamo d. Jei n = dk, pora q = k, r = 0 tenkina nurodyto intervalo sąlygą ir yra vienintelė tokia pora. Ir atvirkščiai, kai liekana lygi nuliui, n išreiškiamas kaip d ir sveikojo skaičiaus sandauga. Kai dalinys lygus nuliui, q = 0, r = 0 su kiekvienu teigiamu d.

Gretimi kartotiniai paaiškina egzistavimą ir vienatinumą

Norėdami įsitikinti, kad pora egzistuoja bet kurio ženklo sveikajam n, nagrinėkime neneigiamus sveikuosius skaičius, kurių pavidalas yra n−dk, o k yra sveikasis skaičius. Ši aibė netuščia: pavyzdžiui, pasirinkę k = −|n|, gauname n+d|n| ≥ 0, kai d ≥ 1. Kiekviena netuščia neneigiamų sveikųjų skaičių aibė turi mažiausią elementą; pasirinkime šį elementą r = n−dq.

Jei r ≥ d, tai r−d = n−d(q+1) yra kitas neneigiamas aibės elementas, mažesnis už r. Tai prieštarauja r minimalumui. Todėl 0 ≤ r < d, taigi gauname reikiamą porą. Šis samprotavimas paaiškina intervalo ribas net ir neigiamų dalinių atveju.

Norėdami įrodyti vienatinumą, tarkime, kad n = dq+r = dq′+r′ ir abi liekanos priklauso tam intervalui. Tuomet d(q−q′) = r′−r ir |r′−r| < d. Nenulinio sveikojo skaičiaus, kuris yra teigiamo d kartotinis, modulis yra ne mažesnis už d, todėl q−q′ turi būti lygus nuliui. Iš tos pačios lygybės tada gauname r = r′.

Neapribojus liekanos intervalu, tą patį skaičių galima išreikšti daugeliu porų: 17 = 5·2+7 = 5·3+2 = 5·4−3. Be sąlygos d > 0 čia nurodytas intervalas neturėtų numatyto teigiamo ilgio. Šios teoremos netaikome, kai d = 0.

Naudokite paskutinius vieną, du ar tris skaitmenis

Išskirkime dešimtaine sistema užrašyto neneigiamo sveikojo skaičiaus N paskutinį skaitmenį u: N = 10T+u, kur 0 ≤ u ≤ 9. Kadangi 10T dalijasi iš 2, 5 ir 10, N dalijasi iš kiekvieno šių daliklių tada ir tik tada, kai iš jo dalijasi u. Taip įrodomi atitinkamai dalumo požymiai pagal lyginį paskutinį skaitmenį, pagal paskutinį skaitmenį 0 arba 5 ir pagal paskutinį skaitmenį nulį.

Išskirkime paskutinius du skaitmenis kaip skaičių v nuo 0 iki 99: N = 100T+v. Kadangi 100 = 4·25, 4 | N tada ir tik tada, kai 4 | v. Panašiai N = 1000T+w, kur 0 ≤ w ≤ 999, o iš 1000 = 8·125 gauname, kad 8 | N tada ir tik tada, kai 8 | w.

Pamatyti, kurias dešimtaines skiltis išlaiko įrodymas

Palikti paskutinių trijų skaitmenų vertę

Abi kryptys išplaukia pridėjus arba atėmus žinomą kartotinį. Jei mažasis skaičius, sudarytas iš paskutinių skaitmenų, dalijasi iš daliklio, pridėję aukštesniųjų skilčių sudaromą kartotinį gauname N; jei N dalijasi iš daliklio, atėmę tą kartotinį gauname mažąjį skaičių iš paskutinių skaitmenų. Tai ekvivalentiškumas, o ne vienos krypties trumpinys.

Skaičiaus 1208 paskutinis skaitmuo yra 8, iš paskutinių dviejų skaitmenų sudarytas skaičius yra 8, o iš paskutinių trijų – 208. Šių skaitmenų pradžioje esantys nuliai nekeičia skaičiaus vertės: 08 reiškia 8. Taigi 1208 dalijasi iš 2,4,8, bet nesidalija iš 5 ar 10. Taikant šiuos dalumo požymius, trumpesnį skaičių galima papildyti nuliais priekyje.

Skaitmenų sumai kiekvieną dešimties laipsnį pakeiskite vienetu

Užrašykite baigtinį dešimtainį skaičiaus išskleidimą N = a₀+a₁10+…+aₘ10ᵐ, kur skaitmenys yra sveikieji skaičiai nuo 0 iki 9, o a₀ yra vienetų skaitmuo. Pažymėkime S = a₀+a₁+…+aₘ. Skirtumas N−S yra narių aⱼ(10ʲ−1) suma, kai j ≥ 1.

Kiekvienam sveikajam skaičiui j ≥ 1 galioja 10ʲ−1 = 9(1+10+…+10ʲ⁻¹). Taigi kiekvienas skirtumo N−S narys yra 9, taip pat ir 3, kartotinis. Pagal tiesinių kombinacijų su sveikaisiais koeficientais savybę visas baigtinis skirtumas yra kiekvieno iš šių daliklių kartotinis.

Skaitmenų suma išsaugo dalumą iš devynių

Sudėti skaitmenis su vienetiniais svoriais

Vadinasi, 3 | N tada ir tik tada, kai 3 | S, o 9 | N tada ir tik tada, kai 9 | S. Skaičiaus 12348 skaitmenų suma yra 1+2+3+4+8 = 18, todėl abu dalumo požymiai tenkinami. Skaičiaus 1208 skaitmenų suma yra 11, todėl netenkinamas nė vienas.

Skaitmenų suma nebūtinai yra vienženklis skaičius; patikrinkite sumos dalumą arba jai dar kartą pritaikykite tą patį įrodytą dalumo požymį. Įprastos skaitmenų sumos netinka dalumui iš 11 tikrinti: skaičiaus 29 skaitmenų suma yra 11, tačiau jis nėra 11 kartotinis.

Dalumas iš vienuolikos: kaitaliokite ženklus nuo vienetų

Naudodami tuos pačius skaitmenų indeksus, pažymėkime A = a₀−a₁+a₂−a₃+…+(−1)ᵐaₘ. Prie vienetų skaitmens rašykite pliuso ženklą, tada, judėdami į kairę, ženklus kaitaliokite. A gali būti neigiamas, nulis arba teigiamas; visi sveikieji 11 kartotiniai, įskaitant nulį, tenkina šį dalumo požymį.

Kiekvienas skirtumas 10ʲ−(−1)ʲ dalijasi iš 11. Kai j = 0, jis lygus nuliui. Jei teiginys galioja indeksui j, tai 10ʲ⁺¹−(−1)ʲ⁺¹ = 10[10ʲ−(−1)ʲ]+11(−1)ʲ ir vėl yra 11 kartotinis. Pradėjus nuo j = 0, teiginys pagrindžiamas kiekvienai reikalingai baigtinei skaitmens pozicijai.

Ženklų kaitaliojimas išsaugo dalumą iš vienuolikos

Kaitalioti pliusą ir minusą pradedant vienetų skiltimi

Skaičiaus 4312 dalumo iš 11 tikrinimo svoriai, skaitant iš kairės į dešinę, yra −1,+1,−1,+1. Skaitmenų svertiniai indėliai yra −4,+3,−1,+2, o jų suma lygi nuliui. Pašalintas skirtumas yra 4312 = 11·392. Lentelėje pateikti pasirinkto tikrinimo faktiniai skaitmenys ir svoriai.

Taigi N−A yra sveikųjų 11 kartotinių suma. Pridėjus arba atėmus šį skirtumą, įrodoma, kad 11 | N tada ir tik tada, kai 11 | A. Šiam įrodymui nereikia modulinės aritmetikos žymėjimo.

Skaičiaus 4312 skaitmenis skaitykite nuo vienetų: 2−1+3−4 = 0, todėl 11 dalija 4312. Skaičiui 12348 gaunama reikšmė 8−4+3−2+1 = 6, todėl jis nesidalija. Pradėjus nuo priešingo galo, gaunama arba ta pati reikšmė, arba jai priešingas skaičius; dalumas nesikeičia, tačiau nuoseklus susitarimas padeda nesupainioti ženklų.

Taikykite požymį moduliui, tada grąžinkite ženklą

Dešimtainiai dalumo požymiai taikomi skaičiaus N ≥ 0 skaitmenims. Neigiamam sveikajam skaičiui n juos taikykite naudodami |n|: d | n tada ir tik tada, kai d | |n|. Minuso ženklas nėra skaitmuo. Kai n = 0, skaičius dalijasi iš kiekvieno išvardyto teigiamo daliklio; tai atitinka lygybę 0 = d·0 ir skaitmenį 0.

Pasirinkite tinkamą supaprastinimą, patikrinkite gautą nedidelį sveikąjį skaičių ir paaiškinkite, kodėl atimtas skirtumas dalijasi iš d. Tenkinamas dalumo požymis yra pagrįstas įrodymu; baigtinė interaktyvi lentelė yra iliustracija, o ne tas įrodymas.

Jei kuris nors iš šių dalumo požymių netenkinamas, tai atmeta tik tą konkretų daliklį. Jei požymis tenkinamas, tai patvirtina tik tą daliklį. Pavyzdžiui, iš 4 | 12 neišplaukia 8 | 12. Skirtingų dalumo požymių derinimas be įrodymo gali klaidinti: iš 2 | 12 ir 4 | 12 neišplaukia 8 | 12.

Kai teigiamas daliklis nepažįstamas, dalyba su liekana vis tiek leidžia visiškai patikrinti dalumą: apskaičiuokite n = dq+r, kur 0 ≤ r < d, ir nustatykite, ar r lygus nuliui. Visuose skaičiavimo žingsniuose aiškiai nurodykite, kad dirbama su sveikaisiais skaičiais, dalybos daliklis yra teigiamas ir kokia išimtis taikoma nuliui, jei tokia yra.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Nustatykite, ar teisingi teiginiai 4 | 20, 20 | 4 ir 4 | 18. Kiekvienam teisingam teiginiui pateikite jį patvirtinantį sveikąjį daugiklį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Teiginys 4 | 20 yra teisingas; jį patvirtinantis daugiklis yra 5. Kiti du teiginiai yra klaidingi.

   20 = 4·5. Tačiau 4/20 ir 18/4 nėra sveikieji skaičiai, todėl jie negali būti sveikieji daugikliai, patvirtinantys teiginį su sukeistais skaičiais ir paskutinį teiginį.

2. Remdamiesi dalumo apibrėžimu per sandaugą, nustatykite, ar teisingi teiginiai −7 | 0, 0 | −7 ir 0 | 0. Ar kuris nors atsakymas apibrėžia 0/0?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamai: teisingas, klaidingas, teisingas. Nė vienas neapibrėžia 0/0.

   Lygybės 0 = (−7)·0 ir 0 = 0·0 nurodo dalumą patvirtinančius daugiklius. Kiekviena sandauga 0·k lygi nuliui, todėl ji negali būti lygi −7. Dalumas nusakomas teiginiu apie sandaugą; dalyba iš nulio lieka neapibrėžta.

3. Kai n nelygus nuliui, ar iš 1 ≤ |d| ≤ |n| būtinai išplaukia d | n? Taip pat paaiškinkite, kodėl šių rėžių negalima taikyti, kai n = 0.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne: d = 5, n = 17 tenkina šiuos rėžius, bet 5 ∤ 17. Kai n = 0, kiekvienas sveikasis skaičius yra jo daliklis, todėl tokių baigtinių rėžių nėra.

   Įrodyme naudojamas nenulinis sveikasis daugiklis k, todėl |k| ≥ 1. Kai n = 0, nenuliniam dalikliui galima imti k = 0; net ir dideliam d galioja d·0 = 0.

4. Jei a | b ir b | a, ar būtinai a = b? Nurodykite, kas pasikeičia, kai abu skaičiai yra teigiami.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne visiems sveikiesiems skaičiams: 5 ir −5 dalija vienas kitą, bet nėra lygūs. Kai a ir b yra teigiami, iš abipusio dalumo iš tiesų išplaukia a = b.

   Kai skaičiai nelygūs nuliui, sveikųjų daugiklių sandauga lygi 1, todėl b = a arba b = −a. Teigiamumas atmeta neigiamą variantą. Jei bent vienas skaičius lygus nuliui, iš abipusio dalumo išplaukia, kad abu lygūs nuliui.

5. Jei d | x ir d | (x+y), įrodykite, kad d | y, nedalydami iš d.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Užrašykime x = du ir x+y = dv. Tuomet y = d(v−u), kur daugiklis v−u yra sveikasis skaičius.

   Atimkite pirmąją lygtį iš antrosios. Tai galioja net kai d = 0: tuomet iš prielaidų gauname x = 0 ir x+y = 0, taigi y = 0.

6. Mokinys teigia, kad iš 6 | xy išplaukia 6 | x arba 6 | y visiems sveikiesiems skaičiams x, y. Pateikite kontrpavyzdį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   x = 2, y = 3: 6 | 6, bet 6 ∤ 2 ir 6 ∤ 3.

   Sandaugos daliklis nebūtinai dalija kurį nors atskirą dauginamąjį. Galiojanti tiesioginė taisyklė teigia, kad iš d | x išplaukia d | xy, kai y yra sveikasis skaičius; sukeitus prielaidą ir išvadą, teiginys pasikeičia.

7. Raskite Euklido dalybos dalmens ir liekanos poras, kai n = −19, d = 4 ir kai n = −20, d = 4. Kuris dalinys dalijasi iš 4?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kai dalinys −19: q = −5, r = 1. Kai dalinys −20: q = −5, r = 0. Tik −20 dalijasi iš 4.

   Abiejose lygybėse naudojamas kairėje esantis kartotinis −20. Liekanos 1 ir 0 priklauso intervalui [0,4). Dalumą lemia nulinė liekana, o ne dalinio ženklas.

8. Iš kurių skaičių 4,8,9,11 dalijasi 1001? Parodykite mažesnius sveikuosius skaičius, naudojamus taikant dalumo požymius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tik iš 11. Skaičiai, sudaryti iš paskutinių dviejų ir paskutinių trijų skaitmenų, abu lygūs 1, skaitmenų suma lygi 2, o skaitmenų suma su pakaitiniais ženklais yra 1−0+0−1 = 0.

   01 ir 001 reiškia skaičių 1, kuris nesidalija nei iš 4, nei iš 8. Suma 2 neatitinka dalumo iš 9 požymio. Suma su pakaitiniais ženklais 0 atitinka dalumo iš 11 požymį; iš tiesų 1001 = 11·91.

9. Paaiškinkite, kodėl skaitmenų suma 11 neįrodo, kad 11 | 29, ir nurodykite teisingą dalumo iš 11 požymį, taikomą skaičiui 29.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Įprastas skaitmenų sumos požymio įrodymas taikomas dalumui iš 3 ir 9. Dalumui iš 11 tikrinti naudokite 9−2 = 7. Šis skaičius nėra 11 kartotinis, todėl 11 ∤ 29.

   Dešimties ir 1 skirtumas yra 9, o ne 11 kartotinis. Dešimties ir −1 skirtumas yra 11, todėl gaunama skaitmenų suma su pakaitiniais ženklais, o ne įprasta suma.

10. Lygybės 26 = 7·3+5 ir 26 = 7·2+12 yra teisingos. Kodėl tik viena dalmens ir liekanos pora yra Euklido dalybos pora?

    Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

    Tik pora q = 3, r = 5 tenkina sąlygą 0 ≤ r < 7. Liekana 12 yra per didelė.

    Perkelkite dar vieną pilną septynių vienetų grupę iš liekanos į dalmenį: 12 = 7+5. Liekanos ribų sąlyga užtikrina, kad toks užrašas yra vienintelis.

Ką verta įsidėmėti

• d | n reiškia, kad egzistuoja sveikasis skaičius k, kuriam n = dk; daugiklis ir kartotinis yra du vaidmenys šioje lygtyje.
• Kiekvienas sveikasis skaičius dalija nulį; pagal mūsų nurodytą susitarimą nulis dalija tik nulį. Šie faktai niekada neleidžia dalyti iš nulio.
• Nenulinio n daliklis tenkina 1 ≤ |d| ≤ |n|. Jei du sveikieji skaičiai dalija vienas kitą, jų moduliai yra lygūs, o kai abu skaičiai teigiami, lygūs ir patys skaičiai.
• Bendrieji dalikliai dalija tiesinius derinius su sveikaisiais koeficientais; sudauginus dalumą patvirtinančius sveikuosius skaičius, tranzityvumas įrodomas nenaudojant dalmens.
• Kai d teigiamas, Euklido dalyboje yra vienintelė dalmens ir liekanos pora, kuriai n = dq+r ir 0 ≤ r < d, net ir tada, kai n neigiamas.
• Dalumo požymiai dešimtainėje sistemoje veikia todėl, kad skaičius nuo pasirinktos jo pabaigos, skaitmenų sumos ar sumos su pakaitiniais ženklais skiriasi žinomu tikrinamo daliklio kartotiniu.