Įrodymo rašymas ir tikrinimas

Trys teisingi skaičiavimai vis tiek palieka klausimą

Panagrinėkime teiginį: kiekvieno lyginio sveikojo skaičiaus kvadratas yra lyginis. Pirmajame juodraštyje rašoma: „2² = 4, 4² = 16 ir 6² = 36, todėl teiginys teisingas.“ Visi trys skaičiavimai teisingi. Tačiau šiame teksto fragmente nepaaiškinta, kas nutinka kitam lyginiam sveikajam skaičiui, pavyzdžiui, −8, arba kodėl teiginys negali būti klaidingas nė vienam lyginiam sveikajam skaičiui.

Išsamiame teksto fragmente rašoma: „Tegu n yra bet kuris lyginis sveikasis skaičius. Pagal apibrėžimą n = 2k, kur k – tam tikras sveikasis skaičius. Tuomet n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²). Kadangi 2k² yra sveikasis skaičius, n² yra lyginis.“ Raidės žymi bet kurią leistiną pradinę reikšmę ir jos apibrėžimą tenkinantį liudytoją; jos nėra trijų patikrintų skaičių santrumpos.

Atkreipkite dėmesį, kuo papildytas antrasis teksto fragmentas: tikslia pradine prielaida, apibrėžimu, algebriniu ryšiu, pagrindimu, kodėl galutinis liudytojas yra sveikasis skaičius, ir reikiama išvada. Šie elementai leidžia skaitytojui patikrinti teiginį kiekvienam lyginiam sveikajam skaičiui, įskaitant nulį ir neigiamus skaičius.

Taikykite žinomą algebrą ir skaitykite įrodymą etapais

„Simboliai, apibrėžimai ir matematinė kalba“ padeda tiksliai perskaityti teiginį. „Kintamieji, reiškiniai ir reikšmių įstatymas“ paaiškina, ką gali žymėti raidė. „Skliaustų atskleidimas, skaidymas dauginamaisiais ir algebrinės tapatybės“ pateikia lygybių pertvarkymo žingsnius. „Racionaliosios ir iracionaliosios lygtys“ paaiškina, kodėl vardikliui ar kitai riboto apibrėžimo operacijai reikia leistinumo sąlygos.

Čia reikalingos logikos idėjos paaiškinamos pirmą kartą jas taikant. Atskirose pamokose apie teiginius, implikaciją, kvantorius, tiesioginį įrodymą, įrodymą prieštaros būdu ir indukciją jos plėtojamos toliau. Prie šių vėlesnių temų naudinga sugrįžti; norint patikrinti pradinį įrodymą, nereikia viso jų aparato.

Skaitydami pirmą kartą, sekite dvi ištraukas, liudytojo schemą, suprastinimo pavyzdį ir pastraipa užrašytą įrodymą. Tada patikrinkite pratimus su pateiktais atsakymais. Prie dviejų kvantorių išdėstymo tvarkų ir visos baigtinės matricos grįžkite tada, kai galėsite savais žodžiais įvardyti prielaidas ir išvadą.

Tiksliai nurodykite, kas ir kuriems argumentams turi galioti

Kad teiginį būtų galima įrodyti, jo prasmė turi būti aiškiai apibrėžta. Pradžioje pateiktos teoremos apibrėžimo sritis yra ℤ, sveikųjų skaičių aibė; prielaida – kad n yra lyginis; išvada – kad n² yra lyginis. „Kiekvienam“ apima visus šią prielaidą tenkinančius sveikuosius skaičius, o ne tik teigiamus argumentus ar reikšmes, kurias pasitaikė patikrinti.

Sveikasis skaičius yra lyginis, jei jis lygus 2k su kuriuo nors sveikuoju skaičiumi k. Svarbios abi sąlygos: išraiškos pavidalas 2k ir reikalavimas, kad k būtų sveikasis skaičius. Lygybė 3 = 2(3/2) neįrodo, kad 3 yra lyginis, nes 3/2 nėra sveikasis skaičius. Nulis yra lyginis, nes 0 = 2 × 0, o −8 yra lyginis, nes −8 = 2(−4).

Implikaciją „jei P, tai Q“ supraskite kaip teiginį, kad kiekvienas leistinas argumentas, tenkinantis P, taip pat tenkina Q. P žymi prielaidą, Q – išvadą, o simbolis ⇒ nurodo šią kryptį. Kontrpavyzdys turi priklausyti nurodytai apibrėžimo sričiai, tenkinti P ir netenkinti Q. Šiai sričiai nepriklausantis argumentas negali paneigti teiginio.

Nurodykite sąlygas, kuriomis reiškiniai yra apibrėžti. Pavyzdžiui, teiginiui, kuriame yra realiųjų skaičių dalmuo 1/x, reikia sąlygos x ≠ 0 visur, kur šis dalmuo skaičiuojamas. Nerašykite palyginimo su argumento reikšme, kuriai reiškinys neapibrėžtas, ir nelaikykite jo klaidingu be paaiškinimo. Taip pat „teigiamas“ reiškia didesnis už nulį; tai griežtesnė sąlyga nei „neneigiamas“, leidžianti ir nulį.

Pirmiausia pasirinkite bet kurį argumentą, tada nuo jo priklausantį liudytoją

Sakiniu „Tegu n yra bet kuris lyginis sveikasis skaičius“ įvedamas n su tiksliai tais apribojimais, kurie nurodyti teoremoje. Negalima papildomai reikalauti, kad jis būtų nelyginis, teigiamas ar turėtų patogią skaitinę reikšmę, nebent to jau reikalauja teiginys. Tuomet iš apibrėžimo gaunamas sveikasis skaičius k, kuriam n = 2k. Šis k gali priklausyti nuo n.

Simbolis ∀ reiškia „kiekvienam“, o ∃ – „egzistuoja“. Jų tvarka svarbi. Teiginys, kad kiekvienam realiajam skaičiui x egzistuoja už jį didesnis realusis skaičius y, yra teisingas: pirmiausia imkite bet kurį x, tada pasirinkite y = x + 1. Pasirinkimas gali priklausyti nuo x, o y − x = 1 > 0 įrodo reikiamą nelygybę.

Teiginys, kad egzistuoja realusis skaičius y, didesnis už kiekvieną realųjį skaičių x, yra kitoks ir klaidingas. Čia y turi būti fiksuotas dar prieš nagrinėjant x. Kad ir koks y būtų pasiūlytas, leistinas argumentas x = y padaro nelygybę y > x klaidingą. Liudytojas, priklausantis nuo vėliau pasirinkto x, negali tenkinti šios tvarkos.

Greta pateiktoje matricoje naudojama visa baigtinė apibrėžimo sritis D = {0, 1} ir predikatas P(x, y): x = y. Kiekvienoje eilutėje yra teisinga reikšmė, todėl ∀x ∈ D, ∃y ∈ D, P(x, y) yra teisingas teiginys. Nė viename stulpelyje nėra vien tik teisingų reikšmių, todėl ∃y ∈ D, ∀x ∈ D, P(x, y) yra klaidingas teiginys. Taip įrodomi šie teiginiai apie baigtinę sritį, o ankstesnis samprotavimas su bet kuriuo realiuoju skaičiumi įrodo atskirą teiginį apie nelygybę.

Kiekvienai grandžiai reikia skaitytojui atpažįstamo pagrindimo

Pradžioje pateiktame įrodyme iš lyginumo gaunama n = 2k, kur k ∈ ℤ. Įstatę šią išraišką ir pritaikę daugybos dėsnius, gauname n² = 2(2k²). Iš sveikųjų skaičių aibės uždarumo daugybos atžvilgiu gauname 2k² ∈ ℤ. Tuomet iš lyginumo apibrėžimo gaunama išvada. Diagramoje lygybė atskirta nuo liudytojo tipo: reikia abiejų.

Įrodyme galima remtis apibrėžimu, prielaida, kurią aiškiai leidžia pasirinktas įrodymo metodas, arba jau įrodytu faktu. Taikydami faktą, patikrinkite jo prielaidas. Pavyzdžiui, sveikųjų skaičių sumos ir sandaugos yra sveikieji skaičiai, tačiau be papildomų apribojimų sveikųjų skaičių dalmenys nebūtinai yra sveikieji skaičiai. Skaitytojui neturėtų tekti spėlioti, koks faktas pagrindžia lemiamą žingsnį.

Samprotavimas atgal nuo siekiamo rezultato gali padėti atrasti įrodymą. Siekiama išraiška 2r leidžia numanyti, kad verta iškelti 2 prieš skliaustus. Tai naudinga rengiant juodraštį. Galutinį tiesioginį įrodymą pradėkite nuo to, kas duota, ir parodykite, kad iš to išplaukia siekiamas rezultatas; nedarykite prielaidos, kad siekiamas pavidalas jau egzistuoja.

Teiginys „n² = 2r, kur r yra sveikasis skaičius, todėl n² yra lyginis“ neįrodo pradžioje pateiktos teoremos, jei pirmiausia nebuvo įrodytas tokio sveikojo skaičiaus r egzistavimas. Priešingu atveju šiame samprotavime daroma būtent ta prielaida, kurią reikia įrodyti. Žodžiai „akivaizdu“ ar „todėl“ negali atstoti trūkstamo pagrindimo.

Lygybė nėra rodyklė tarp teiginių

Lygybė A = B reiškia, kad dviejų reiškinių vertės yra vienodos. Grandinė A = B = C teigia, kad galioja kiekviena joje užrašyta lygybė. O P ⇒ Q reiškia, kad iš vieno teiginio išplaukia kitas; P ⇔ Q reiškia „P tada ir tik tada, kai Q“ ir reikalauja, kad toje pačioje srityje galiotų ir P ⇒ Q, ir Q ⇒ P. Vartokite žodžius, kai jie padeda lengviau suprasti šį ryšį.

Kai x yra realusis skaičius, ekvivalentumas x² = 9 ⇔ (x − 3)(x + 3) = 0 ⇔ (x = −3 arba x = 3) galioja. Atimties veiksmas su 9 ir skaidymas dauginamaisiais yra grįžtami, o realiųjų skaičių sandaugos lygybės nuliui savybė leidžia gauti abi šaknis. Kiekvienos šaknies kvadratas taip pat lygus 9, taigi patikrintos abi kryptys.

Pakeitus galutinę sąlygą į x = 3, prarandama viena šaknis. Teigiama implikacija x² = 9 ⇒ x = 3 negalioja, kai x = −3. Jei sritis aiškiai apribojama sąlyga x ≥ 0, neigiama šaknis nebepriklauso sričiai ir ekvivalentumas x² = 9 ⇔ x = 3 galioja šioje apribotoje srityje. Įtraukus tokį apribojimą įpusėjus įrodymui, pradinis teiginys pakeičiamas.

Pakėlus abi lygybės puses kvadratu, gaunama teisinga tiesioginė implikacija: a = b ⇒ a² = b², kai a ir b yra realieji skaičiai. Atvirkštinė implikacija nebūtinai galioja, kaip rodo a = 1 ir b = −1. Kai atliekant veiksmą prarandama informacija, rašykite vienos krypties rodyklę arba nurodykite papildomą sąlygą, dėl kurios žingsnis tampa grįžtamas.

Prastinti galima tik nenulinį daugiklį

Kai a, b ir c yra realieji skaičiai ir a ≠ 0, iš ab = ac išplaukia b = c, nes dalyba iš nenulinio a yra apibrėžta. Ir atvirkščiai, iš b = c dauginant gaunama ab = ac. Taigi ab = ac ⇔ b = c galioja esant nurodytai sąlygai, kad daugiklis nelygus nuliui. Kai a = 0, sandaugos gali būti lygios net ir tada, kai b ≠ c, todėl ši sąlyga būtina.

Norėdami išspręsti lygtį x(x − 1) = 0 realiųjų skaičių aibėje neprarasdami nė vienos galimos x reikšmės, nagrinėkite du atvejus: x = 0 ir x ≠ 0. Pirmuoju atveju nulis jau tenkina lygtį. Antruoju atveju padalykite iš x ir gaukite x − 1 = 0, taigi x = 1. Abi galimos sprendinio reikšmės tenkina pradinę lygtį. Suprastinus x ir neišskyrus šių atvejų, būtų prarastas sprendinys nulis.

Įrodymas nagrinėjant atvejus turi apimti visas leistinas kintamojo reikšmes. Kiekvienu atveju galima remtis tam atvejui būdingomis prielaidomis, tačiau jos galioja tik tame atvejyje. Išvados „x = 1“, gautos nagrinėjant nenulinį atvejį, negalima taikyti nuliniam atvejui. Patikrinę kiekvieną atvejį, pateikite bendrą išvadą pradinei sričiai.

Prieš dalydami nelygybę, nustatykite daliklio ženklą ir įsitikinkite, kad jis nelygus nuliui. Teigiamas daliklis išlaiko nelygybės kryptį, o neigiamas ją pakeičia į priešingą. Šią sąlygą reikia patikrinti prieš atliekant veiksmą, nes nuo jos priklauso, ar tas veiksmas ir nurodyta nelygybės kryptis yra pagrįsti.

Baigtinė patikra įrodo teiginį tik apimdama visą jo sritį

Tarkime, D = {0, 1, 2, 3}. Teiginį „kiekvienam n ∈ D galioja n² ≤ 9“ galima įrodyti tiksliai patikrinus visas keturias įvesties reikšmes: jų kvadratai yra 0, 1, 4 ir 9. Įrodymas yra išsamus, nes D neturi kitų elementų ir kiekvienas pateiktas palyginimas yra teisingas.

Tos pačios keturios patikros neįrodo teiginio „kiekvienam sveikajam skaičiui n galioja n² ≤ 9“. Sveikasis skaičius 4 yra kontrpavyzdys, nes 4² = 16 > 9. Visuotiniam teiginiui apie begalinę sritį reikia argumento, apimančio kiekvieną leistiną įvesties reikšmę, o ne vien ilgesnio baigtinio teiginį atitinkančių pavyzdžių sąrašo.

Diagrama ar skaičiavimas gali padėti suformuluoti teiginį, atskleisti trūkstamą sąlygą arba pateikti kontrpavyzdį. Norint juos naudoti įrodymui, reikia tiksliai nustatyti jų aprėptį: ar tai išsamus baigtinės aibės elementų išvardijimas, argumento, taikomo bet kuriai įvesties reikšmei, iliustracija, ar apytikslis rezultatas su nurodytu ribotumu. Vien vaizdinio dėsningumo nepakanka pagrįsti srities, kuriai taikomas kvantorius, pakeitimą.

Trumpoje pastraipoje galima išsaugoti visus loginius žingsnius

Kol mokotės įrodymo struktūros, pradžioje pateiktą įrodymą galima išdėstyti atskiromis prielaidos, apibrėžimo, skaičiavimo ir išvados eilutėmis. Jį taip pat galima užrašyti trumpa pastraipa, kaip parodyta pradžioje. Abu pateikimo būdai įrodo tą patį rezultatą, nes juose išsaugoma ta pati laisvai pasirinkta įvestis, tas pats nurodyto tipo liudytojas, ta pati lygybė ir galutinis apibrėžimas.

Lygtis įtraukite į pilnus sakinius, įvardykite kiekvieną naują kintamąjį ir nuosekliai vartokite tuos pačius pavadinimus. Tokie žodžiai kaip „pagal apibrėžimą“, „nes“ ir „atvirkščiai“ parodo skaitytojui, kokia yra eilutės paskirtis. Matematinio sakinio pabaigoje taip pat turi būti skyrybos ženklas. Įveskite tik tokius žymenis, kurie padeda pagrįsti teiginį.

Detalumo lygį rinkitės pagal skaitytojo pasirengimą. Pradedančiajam gali reikėti išsamiai užrašyto pakeitimo ir paaiškinimo, kodėl rezultatas lieka sveikasis skaičius. Vėlesniame įrodyme įprastus aritmetinius veiksmus galima sutraukti į vieną eilutę, tačiau būtina išlaikyti srities sąlygą ar loginę kryptį, nuo kurios priklauso įrodymo galiojimas. Glaustumas pašalina pasikartojimus, o ne būtinas prielaidas.

Įrodydami ekvivalentiškumą, atskirkite abi kryptis arba pateikite grandinę, kurios kiekvienas žingsnis yra pagrįstas ekvivalentiškumas. Nagrinėdami kelis atvejus, nurodykite jų prielaidas ir parodykite, kad jie apima visą nagrinėjamą sritį. Pabaigoje paaiškinkite, kodėl nustatytas faktas yra būtent pradinis teiginys, o ne palikite skaitytoją ties su juo nesusijusia teisinga tapatybe.

Pirmiausia tikrinkite prasmę, tada tobulinkite tekstą

Perskaitykite teoremą ir paskutinį sakinį kartu. Ar jų apibrėžimo sritis, prielaidos ir išvada sutampa? Tada nuosekliai sekite samprotavimą nuo pradžios. Kiekviename žingsnyje nustatykite, kokiu faktu remiamasi, patikrinkite, ar jis taikytinas, ir patikrinkite kiekvieno naujo kintamojo tipą bei priklausomybę. Taisant samprotavimą verta sutelkti dėmesį į pirmą nepagrįstą žingsnį.

Nepavykęs įrodymas nebūtinai reiškia, kad teorema klaidinga: į lyginio skaičiaus kvadrato įrodymą galima įtraukti trūkstamą sakinį apie sveikųjų skaičių aibės uždarumą. Teisingai atrodantis skaičiavimas taip pat nereiškia, kad teorema teisinga: neigiama šaknis paneigia teiginį apie vienintelę šaknį. Nuspręskite, ar taisyti samprotavimą, aiškiai pakeisti teiginį, ar atmesti teiginį pateikiant leistiną kontrpavyzdį.

Įsitikinę, kad samprotavimas logiškai taisyklingas, redaguokite tekstą. Pašalinkite pasikartojančius skaičiavimus, kurie neprideda jokio pagrindimo, dviprasmiškus įvardžius pakeiskite atitinkamų objektų pavadinimais ir aiškiai suformuluokite išvadą. Neslėpkite praleisto žingsnio po ilgesniu tekstu. Skaitant paskutinį kartą, naudinga paklausti, ar kitas skaitytojas galės suprasti, kodėl išvada galioja, nespėliodamas, kokia prielaida liko neišsakyta.

Tikrinkite įrodymo aprėptį paprastais atvejais

Dalyje „Lyginio skaičiaus kvadrato liudytojai“ palyginkite −2, 0 ir 4. Numatykite k ir galutinį liudytoją 2k². Tada išnagrinėkite nelyginę įvestį 1: ji netenkina prielaidos ir nėra teoremos apie lyginę įvestį kontrpavyzdys. Šie tikslūs atvejai iliustruoja raštu pateiktą bendrąjį įrodymą.

Dalyje „Kvadratinės šaknies kryptis“ palyginkite −3 ir 3 prieš atskleisdami vienos krypties teiginį. Kurios įvesties atveju prielaida teisinga, o išvada klaidinga? Dviejų pirmavaizdžių diagrama ir bendrasis skaidymas dauginamaisiais paaiškina pataisytą ekvivalentiškumą; vien trys pasirinktos įvestys jo neįrodytų realiųjų skaičių aibėje.

Dalyje „Liudytojo parinkimo tvarka“ pasirinkite vieną eilutę, kai įvestis jau nustatyta, tada pabandykite nustatyti vieną stulpelį abiem eilutėms. Pateiktoje matricoje yra kiekviena pora iš {0, 1} × {0, 1}, todėl ji tiksliai nustato abiejų teiginių su kvantoriais baigtinėse aibėse teisingumo reikšmes. Žodžiais paaiškinkite, kuo atskiras liudytojas kiekvienai įvesčiai skiriasi nuo vieno liudytojo visoms įvestims.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Įrodymo juodraštyje rašoma: „n yra lyginis, todėl n = 2k. Vadinasi, n² = 2(2k²), taigi jis yra lyginis.“ Papildykite trūkstamais kintamųjų apibūdinimais ir pagrindimu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tegu n yra bet kuris lyginis sveikasis skaičius; pasirinkite k ∈ ℤ, kuriam n = 2k; nurodykite, kad 2k² ∈ ℤ, nes sveikųjų skaičių sandauga yra sveikasis skaičius.

   Pagal lyginumo apibrėžimą egzistavimą liudijanti reikšmė turi būti sveikasis skaičius. Nurodžius, kad k yra sveikasis skaičius, lygybė n² = 2(2k²) ir faktas, kad 2k² yra sveikasis skaičius, kartu įrodo n² lyginumą kiekvienam leistinam n.

2. Ar lygybė 3 = 2(3/2) įrodo, kad sveikasis skaičius 3 yra lyginis? Paaiškinkite remdamiesi tiksliu apibrėžimu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Ne: siūloma reikšmė 3/2 nėra sveikasis skaičius.

   Kad skaičius būtų lyginis, turi galioti 3 = 2k su kuriuo nors k ∈ ℤ. Išsprendę šią lygybę gauname tik k = 3/2, o ši reikšmė nepriklauso reikalaujamai sričiai. Vien to, kad reiškinys užrašytas kaip dvigubas skaičius, nepakanka.

3. Ar įrodant, kad dviejų bet kurių nelyginių sveikųjų skaičių m ir n suma yra lyginė, galima tarti, jog m = 2a + 1 ir n = 2a + 1 su tuo pačiu a? Pateikite visiškai pataisytą įrodymą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Naudokite nepriklausomus sveikuosius skaičius a ir b: m = 2a + 1, n = 2b + 1, todėl m + n = 2(a + b + 1).

   Naudojant tą pačią reikšmę, būtinai gaunama m = n, todėl neapimamos nevienodų nelyginių skaičių poros. Pagal apibrėžimus gaunamos galbūt skirtingos sveikosios reikšmės a ir b. Jų suma, padidinta vienetu, yra sveikasis skaičius, todėl pataisyta formulė įrodo, kad kiekvienos nelyginių skaičių poros suma yra lyginė.

4. Patikrinkite teiginį apie realiuosius skaičius: x² = 9 ⇒ x = 3. Pateikite kontrpavyzdį ir teisingą ekvivalenciją toje pačioje srityje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Reikšmė x = −3 paneigia implikaciją. Realiųjų skaičių aibėje ℝ galioja x² = 9 ⇔ (x = −3 arba x = 3).

   Kai x = −3, prielaida yra teisinga, o teigiama išvada – klaidinga. Išskaidę x² − 9 = (x − 3)(x + 3) ir pritaikę savybę, kad realiųjų skaičių sandauga lygi nuliui tik tada, kai bent vienas dauginamasis lygus nuliui, gauname abi šaknis; įstatę bet kurią iš jų, įrodome atvirkštinę implikaciją.

5. Sprendžiant lygtį x(x − 1) = 0, dalijama iš x ir gaunama tik x = 1. Kuris atvejis buvo prarastas ir kaip reikėtų užrašyti samprotavimą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Išsaugokite x = 0 kaip vieną sprendinį; atskirai nagrinėjant atvejį x ≠ 0, dalijant gaunama x = 1. Visa sprendinių aibė yra {0, 1}.

   Dalyti iš x negalima, kai x = 0. Atskirai nagrinėjant nulinę ir nenulines reikšmes, apimamos visos realiosios reikšmės. Įstatę abu galimus sprendinius į pradinę lygtį, patikriname, kad jie ją tenkina, todėl nė vienas sprendinys neprarandamas ir neatsiranda pašalinių sprendinių.

6. Autorius naudoja y = x + 1, kad pagrįstų teiginį „egzistuoja vienas realusis skaičius y, didesnis už kiekvieną realųjį skaičių x“. Kodėl tokia egzistavimą liudijanti reikšmė netinka esant šiai kvantorių tvarkai?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pasirinktas y priklauso nuo x; prieš x įvesta egzistavimą liudijanti reikšmė turi būti fiksuota ir nuo jo nepriklausyti. Bet kuris fiksuotas y netinka, kai x = y.

   Ši konstrukcija iš tiesų įrodo ∀x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, y > x. Esant atvirkštinei kvantorių tvarkai, x = y yra leistina realioji įvesties reikšmė, su kuria teiginys y > x yra klaidingas, todėl jokia viena fiksuota liudijanti reikšmė netinka.

7. Tiksliai patikrinus nustatyta, kad 0², 1², 2² ir 3² neviršija 9. Kokį visuotinį teiginį šios patikros įrodo ir koks teiginys apie visus sveikuosius skaičius yra klaidingas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jos įrodo, kad n² ≤ 9 kiekvienam n ∈ {0, 1, 2, 3}. Jos neįrodo šio teiginio kiekvienam n ∈ ℤ; n = 4 jį paneigia.

   Šios keturios patikros apima visą nurodytą baigtinę aibę, bet ne visus sveikuosius skaičius. Leistino sveikojo skaičiaus 4 kvadratas yra 16 > 9, taigi gaunamas tikslus kontrpavyzdys teiginiui apie didesnę aibę.

8. Juodraštyje kvadrato lyginumo įrodymas pradedamas žodžiais „Tarkime, kad n² = 2r su tam tikru sveikuoju skaičiumi r.“ Kas čia laikoma prielaida ir iš ko iš tiesų reikėtų gauti r?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Prielaida laikoma pati išvada, kad n² yra lyginis. Pradėkite nuo n = 2k su sveikuoju skaičiumi k ir išveskite r = 2k² ∈ ℤ.

   Kvadrato lyginumą liudijantis sveikasis skaičius turi būti gautas iš duotos prielaidos, kad n yra lyginis, o ne paskelbtas taip, tarsi jo egzistavimas jau būtų žinomas. Įstatę gauname n² = 2r, o sveikųjų skaičių aibės uždarumas užtikrina reikiamą tipą.

9. Parašykite glaustą įrodymą, kad jei sveikasis skaičius m dalijasi iš 5, tai m² dalijasi iš 5. Posakis „dalijasi iš 5“ turi reikšti, kad m = 5k su tam tikru k ∈ ℤ.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tegu m yra bet kuris sveikasis skaičius, kuris dalijasi iš 5. Užrašykime m = 5k, kur k ∈ ℤ. Tuomet m² = 25k² = 5(5k²), o 5k² ∈ ℤ; vadinasi, m² dalijasi iš 5.

   Šioje pastraipoje įvedama bet kuri įvesties reikšmė, pritaikomas tikslus apibrėžimas, pagrindžiama lygybė ir egzistavimą liudijančios reikšmės priklausymas sveikiesiems skaičiams, o tada grįžtama prie reikiamos išvados. Nereikia nei baigtinio kartotinių sąrašo, nei papildomos teigiamumo prielaidos.

Ką verta įsidėmėti

• Įrodymas prasideda tiksliai suformuluotu teiginiu, jo galiojimo sritimi ir leistinomis prielaidomis, o baigiasi tuo pačiu teiginiu.
• Įvesdami kiekvieną kintamąjį ir liudytoją, nurodykite jo tipą; vėliau įvestas liudytojas gali priklausyti nuo anksčiau įvestų laisvai pasirinktų duomenų tik tada, kai tai leidžia kvantorių tvarka.
• Pagrįskite lemiamus žingsnius ir prieš taikydami veiksmą išsaugokite nenulinumo, ženklo ir atvejų sąlygas.
• Lygybė lygina reikšmes, implikacija turi kryptį, o ekvivalentiškumui reikia abiejų krypčių, laikantis išsaugotų srities apribojimų.
• Visų baigtinės srities atvejų išnagrinėjimas įrodo tai sričiai skirtą teiginį; vien sėkmingi pavyzdžiai neįrodo neriboto visuotinio teiginio.
• Aiškus tekstas atskleidžia loginę struktūrą. Patikrinę samprotavimo taisyklingumą, redaguokite tekstą, kad jis būtų aiškesnis.