Aibės, poaibiai ir aibių operacijos

Kurios kortelės priklauso bent vienam rinkiniui?

Ant stalo padėkite šešias skirtingas korteles, sunumeruotas 1, 2, 3, 4, 5 ir 6. Korteles 1, 2 ir 4 pažymėkite raide A, o korteles 2, 3, 4 ir 5 – raide B. Kortelės 2 ir 4 turi abi žymas, o kortelė 6 neturi nė vienos. Rinkiniai gali turėti bendrų kortelių, tačiau dėl to bendros kortelės nedubliuojamos.

Nagrinėjamų kortelių aibę užrašykite U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, o pažymėtų kortelių aibes – A = {1, 2, 4} ir B = {2, 3, 4, 5}. Riestiniuose skliaustuose išvardijami aibės elementai. Jei norime kortelių, priklausančių A arba B, atsakymas yra {1, 2, 3, 4, 5}. Jei reikalaujame abiejų žymų, atsakymas yra {2, 4}.

Skritulių diagramoje kiekviena kortelė išdėstoma pagal tai, kurioms iš dviejų aibių ji priklauso, o stačiakampis leidžia matyti U. Skritulių dydžiai nerodo elementų skaičiaus. Kurie elementai priklauso aibėms, nurodo tikslūs sąrašai, o ne plotai.

Pirmiausia nagrinėkite objektus, tada – žymėjimą

Pamoka „Simboliai, apibrėžimai ir matematinė kalba“ padeda suprasti numatytas ∈ ir = reikšmes. Žodžių, vaizdų ir simbolių siejimas padeda pereiti nuo kortelių sąrašų prie diagramų. Pamoka „Pavyzdžiai, paaiškinimai ir kontrpavyzdžiai“ parengia atskirti tinkamą pavyzdį nuo bendrosios tapatybės.

Vėliau pateiktame intervalų pavyzdyje remiamasi pamoka „Nelygybės, intervalai ir absoliučioji vertė“. Skaitant pirmą kartą, jį galima praleisti: užbaikite dalį apie veiksmus su kortelėmis ir tuščiosios aibės atskyrimą, o tada grįžkite, kai mokėsite atpažinti intervalui priklausančius ir nepriklausančius jo galus.

Įrodant tapatybes, „ir“ reikalauja, kad būtų tenkinamos abi sąlygos, „arba“ leidžia tenkinti vieną iš jų arba abi, o „ne“ paneigia visą nurodytą sąlygą. Logikos ir tiesioginio įrodymo pamokose ši kalba plėtojama toliau. Čia kiekviename įrodyme priklausymo aibei samprotavimai taip pat paaiškinami žodžiais, todėl prieš sekdami simbolines ekvivalencijas pradėkite nuo nagrinėjamo elemento.

Elementas priklauso, sąrašas aprašo

Teiginys 2 ∈ A reiškia, kad objektas 2 yra aibės A elementas. Teiginys 3 ∉ A reiškia, kad jis nėra šios aibės elementas. Nė vienas iš šių teiginių nelygina visų dviejų aibių elementų. Aibėse gali būti skaičių, raidžių, taškų ar kitų aibių; prieš skaitydami teiginį apie priklausymą aibei, nustatykite, kokie objektai nagrinėjami.

Elementų tvarka ir pakartotinis jų išvardijimas aibės nekeičia: {1, 2, 4} = {4, 1, 2} = {1, 2, 2, 4}. Kiekviena iš jų turi lygiai tris skirtingus elementus: 1, 2 ir 4. Sąraše, kuriame atvykimai užrašomi iš eilės, arba rinkinyje, kuriame fiksuojamos pasikartojančios kopijos, yra informacijos, kurios ši įprasta aibė neišsaugo.

Užuot išvardijus aibės elementus, ją galima aprašyti sąlyga. Žymėjimas {x ∈ U : x yra lyginis} reiškia nurodytos aibės U elementus x, tenkinančius šią sąlygą. Mūsų šešių kortelių aibei U jis duoda {2, 4, 6}. Nurodykite nagrinėjamą sritį ir aiškią sąlygą; „įdomios kortelės“ neapibrėžia aibės, kol žodis „įdomios“ neturi tikslios reikšmės.

Realiųjų skaičių aibė {x ∈ ℝ : −1 ≤ x ≤ 2} yra intervalas [−1, 2]. Jam priklauso kiekvienas realusis skaičius tarp jo galų, ne vien sveikieji skaičiai −1, 0, 1 ir 2. Keli taškai diagramoje negali pakeisti šio apibrėžimo, apimančio visą nagrinėjamą sritį.

Įtrauktis tikrinama pagal kiekvieną kairiosios aibės elementą

A ⊆ B reiškia, kad kiekvienas aibės A elementas priklauso aibei B: kai x ∈ A, visada x ∈ B. Aibė {2, 4} yra mūsų aibės B poaibis, nes abu jos elementai priklauso B. Mūsų pradinė aibė A nėra B poaibis, nes 1 ∈ A, bet 1 ∉ B. Įtraukčiai paneigti pakanka vieno tokio elemento.

Priklausymas aibei ir įtrauktis atsako į skirtingus klausimus. Kai A = {1, 2, 4}, teiginiai 2 ∈ A ir {2} ⊆ A yra teisingi, bet {2} ∈ A yra klaidingas: išvardyti elementai yra trys skaičiai, o ne vieno elemento aibė. Aibėje C = {2, {2}} ir 2, ir aibė {2} yra elementai. Riestiniai skliaustai pakeičia objektą, apie kurį kalbate.

Lygybę lemia elementai: A = B tada ir tik tada, kai kiekvienas objektas priklauso A tada ir tik tada, kai jis priklauso B. Tai ekstensinė aibių lygybės reikšmė. Lygiavertiškai turi galioti ir A ⊆ B, ir B ⊆ A. Vien vienodo elementų skaičiaus nepakanka: {1, 2} ir {1, 3} turi po du elementus, bet yra skirtingos aibės.

Įtrauktis apima ir lygybę, todėl A ⊆ A galioja visada. Tikrasis poaibis A ⊊ B tenkina A ⊆ B ir A ≠ B; pavyzdžiui, {2, 4} ⊊ {2, 3, 4, 5}. Kai kuriuose šaltiniuose simbolis ⊂ vartojamas pagal kitokius susitarimus. Mes vartojame ⊆ įtraukčiai, kuri leidžia ir lygybę, o ⊊ – griežtajai įtraukčiai.

Nieko viduje ir tuščioji aibė viduje – ne tas pats

Tuščioji aibė ∅ = {} neturi elementų. Aibė {∅} turi vieną elementą – pačią tuščiąją aibę. Dėžutė, kurios viduje nieko nėra, vaizduoja ∅; išorinė dėžutė, kurioje yra viena tuščia vidinė dėžutė, vaizduoja {∅}. Šios aibės nelygios, nes viena neturi elementų, o kita turi vieną.

Taigi ∅ ∉ ∅, bet ∅ ∈ {∅}. Kita vertus, ∅ ⊆ A bet kuriai aibei A, įskaitant A = ∅. Norint paneigti šį teiginį apie poaibį, reikėtų rasti aibės ∅ elementą, kuris nepriklauso A. Aibė ∅ neturi nė vieno elemento, todėl kontrpavyzdžio nėra. Šis teiginys apie poaibį nereiškia, kad ∅ yra kiekvienos aibės elementas.

Konkrečiai, ∅ ⊆ {∅} yra teisinga, o {∅} ⊆ ∅ yra klaidinga: vienaelementės aibės elementas ∅ nėra aibės ∅ elementas. Vienaelementė aibė yra tikra aibė, o ne kitas tuštumos žymėjimas. Prieš nuspręsdami, ar objektas yra aibės elementas, ar jos poaibis, perskaitykite kiekvieną riestinių skliaustų lygmenį.

Negriežtasis „arba“ sujungia; „ir“ palieka sankirtą

Elementas x priklauso sąjungai A ∪ B tada ir tik tada, kai x ∈ A arba x ∈ B; gali galioti ir abi sąlygos. Kortelių pavyzdyje A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Bendros kortelės 2 ir 4 įtraukiamos po vieną kartą. Sąjungoje sankirta neatmetama, o bendras elementas neužrašomas antrą kartą.

Elementas x priklauso sankirtai A ∩ B tada ir tik tada, kai x ∈ A ir x ∈ B. Turi galioti abi sąlygos, todėl A ∩ B = {2, 4}. Aibės yra nesikertančios, kai jų sankirta yra tuščioji aibė; pavyzdžiui, {1, 2} ∩ {4, 5} = ∅. Kad sankirta būtų tuščioji aibė, nė viena iš pradinių aibių neprivalo būti tuščioji.

Šie apibrėžimai taikomi baigtinėms ir begalinėms aibėms. Jei A yra B poaibis, kiekvienas A elementas jau priklauso B, todėl A ∪ B = B ir A ∩ B = A. Sukeitus pradines aibes vietomis, nesikeičia nei negriežtojo „arba“ taisyklė, nei priklausymo abiem aibėms taisyklė.

Nurodymas pašalinti B iš A turi kryptį

Skirtumui A ∖ B elementas x priklauso tada ir tik tada, kai x ∈ A ir x ∉ B. Pradėkite nuo A, tada pašalinkite bendrus elementus. Naudojant mūsų korteles, A ∖ B = {1}, o B ∖ A = {3, 5}. Sukeitus pradines aibes vietomis, rezultatas paprastai pasikeičia; skirtumas nėra komutatyvi operacija.

Simetrinis skirtumas A △ B apima elementus, priklausančius tik vienai iš aibių A ir B. Taigi A △ B = (A ∖ B) ∪ (B ∖ A) = {1, 3, 5}. Lieka abiejų nepersidengiančių dalių elementai, bet bendroji dalis {2, 4} neįtraukiama. Lygiavertė formulė yra A △ B = (A ∪ B) ∖ (A ∩ B).

Kai pradinės aibės lygios, kiekvienas elementas priklauso arba abiem, arba nė vienai, todėl A ∖ A = ∅ ir A △ A = ∅. Kai pradinės aibės nesikerta, bendrų elementų nėra, todėl simetrinis skirtumas lygus sąjungai. Šios išvados kyla iš priklausymo aibėms taisyklių, o ne iš prielaidos apie skritulių plotus.

„Nepriklauso A“ – bet kur ieškoti?

Pasirinkite universaliąją aibę U, kuriai priklauso visų nagrinėjamų aibių elementai. Kai A ⊆ U, aibės A papildinys universaliosios aibės U atžvilgiu yra Aᶜ = U ∖ A: tai U elementai, nepriklausantys A. Čia viršutinis indeksas c visada nurodo tą pačią įvardytą U. Jis nereiškia visų įsivaizduojamų objektų, nepriklausančių A.

Kai U₁ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ir A = {1, 2, 4}, papildinys yra {3, 5, 6}. Pakeitus universaliąją aibę į U₂ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ir palikus tą pačią A, jos papildinys tampa {3, 5, 6, 7}. Objektas 7 nepriklauso U₁, todėl jis niekada nebuvo svarstomas kaip galimas pirmojo papildinio elementas.

Skirtumas A ∖ B apibrėžiamas pagal dvi pradines aibes, nepasirenkant universaliosios aibės. Jei abi pradinės aibės yra vienos fiksuotos U poaibiai, skirtumą galime perrašyti kaip A ∩ Bᶜ. Taip perrašant papildinys imamas tos pačios U atžvilgiu ir remiamasi sąlyga A ⊆ U. Bendra universalioji aibė taip pat būtina, kai dėsnyje sujungiami du papildiniai.

Patikrinkite vieną elementą pagal tikslią taisyklę

Nagrinėjamam elementui x ∈ U tegul p reiškia x ∈ A, o q reiškia x ∈ B. Jo priklausymą A ∪ B nusako p arba q; priklausymą A ∩ B – p ir q; priklausymą A ∖ B – p ir ne q. Keturios galimos p ir q reikšmių kombinacijos apima visus U elementus.

Atskirkite objektų rūšis. A ∪ B yra aibė, o teiginys x ∈ A arba x ∈ B turi teisingumo reikšmę. Užrašas A „ir“ B neapibrėžia loginio teiginio apie šių aibių elementus. Prieš taikydami loginę taisyklę, užrašykite atitinkamus teiginius apie priklausymą aibėms.

Greta esančioje tyrinėjimo priemonėje galima keisti bendrąją dalį, vieną aibę padaryti tuščią arba pradines aibes padaryti lygias, išlaikant fiksuotą šešių kortelių U. Numatykite rezultatą, tada patikrinkite kiekvieną eilutę. Taip patikrinama visa nurodyta baigtinė universalioji aibė, tačiau bendrajai tapatybei vis tiek reikia pagrindimo, tinkančio bet kuriam nagrinėjamam elementui.

Nepriklausyti sąjungai – tai nepriklausyti nė vienai aibei

Tegu A ir B yra fiksuotos aibės U poaibiai. Pirmasis de Morgano dėsnis yra (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ. Kortelių pavyzdyje kairėje pusėje yra tik 6, kaip ir dešinėje: kortelė 6 nepriklauso nei A, nei B.

Bendrajam įrodymui imkime bet kurį x ∈ U. Jis priklauso (A ∪ B)ᶜ tada ir tik tada, kai teiginys „x ∈ A arba x ∈ B“ yra klaidingas. Tai reiškia, kad x nepriklauso A ir nepriklauso B. Lygiaverčiai, x ∈ Aᶜ ir x ∈ Bᶜ, todėl x ∈ Aᶜ ∩ Bᶜ. Kiekvienas žingsnis galioja abiem kryptimis, taigi abiejose aibėse yra tie patys elementai, todėl aibės yra lygios.

Neigiama visa sąjunga, todėl jungtukas „arba“, leidžiantis abi galimybes kartu, pakeičiamas jungtuku „ir“, siejančiu du nepriklausymo teiginius. Kortelė 1 nepriklauso B, bet priklauso A, todėl priklauso jų sąjungai. Vien ši kortelė parodo, kad pakeisti reiškinį į Aᶜ ∪ Bᶜ būtų klaidinga.

Nepriklausyti sankirtai pakanka nepriklausant vienai aibei

Kitas de Morgano dėsnis yra (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ; čia taip pat naudojama viena fiksuota aibė U. Mūsų kortelių atveju abi pusės yra {1, 3, 5, 6}. Kortelės 1, 3 ir 5 priklauso vienai iš pradinių aibių; jos vis tiek nepriklauso sankirtai, nes nepriklauso abiem aibėms.

Imkime bet kurį x ∈ U. Jis nepriklauso A ∩ B tada ir tik tada, kai abu priklausymo teiginiai nėra kartu teisingi. Taigi x ∉ A arba x ∉ B, ir abu nepriklausymo teiginiai gali būti teisingi. Tai reiškia būtent x ∈ Aᶜ ∪ Bᶜ. Šis lygiavertiškumas galioja kiekvienam nagrinėjamam elementui ir įrodo aibių lygybę.

Prieš įsimindami abiejų dėsnių simbolius, palyginkite juos: kad elementas nepriklausytų sąjungai, jis turi nepriklausyti nė vienai aibei, o kad nepriklausytų sankirtai, jis turi nepriklausyti bent vienai aibei. Neigiant visą sąlygą, jungtukas pasikeičia. Šalia diagramų esančios keturių atvejų lentelės aiškiai parodo visas šias galimybes.

Aibių dėsniai – glausti samprotavimai apie elementus

Aibių tapatybė teigia lygybę visoms jos sąlygas tenkinančioms aibėms. Norint ją pagrįsti, reikia palyginti bet kurio elemento priklausymą abiejų pusių aibėms. Kai A, B ir C yra U poaibiai, pagal distributyvumo dėsnį A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C): elementas turi priklausyti A ir bent vienai iš aibių B, C, o tai reiškia būtent priklausymą bent vienai iš dviejų sankirtų.

Dualusis distributyvumo dėsnis yra A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Jei x ∈ A, jis priklauso abiejų pusių aibėms. Jei x ∉ A, abiejose pusėse būtina, kad x ∈ B ir x ∈ C. Šie du atvejai apima kiekvieną nagrinėjamą elementą. Nė vienas dėsnis nepadaro skirtumo komutatyvaus ir neleidžia naudoti papildinių skirtingų universaliųjų aibių atžvilgiu.

Aibėms, kurios yra U poaibiai, du kartus imant papildinį gaunama (Aᶜ)ᶜ = A: elementui x ∈ U nepriklausyti aibės A papildiniui yra tas pats, kas priklausyti A. Taip pat A ∪ Aᶜ = U ir A ∩ Aᶜ = ∅, nes kiekvienam U elementui galioja tik viena iš dviejų priklausymo alternatyvų. Šioms lygybėms tebegalioja reikalavimas A ⊆ U.

Dvi įtrauktys įrodo lygybę; vienas elementas gali ją paneigti

Kitas būdas įrodyti X = Y – parodyti, kad X ⊆ Y ir Y ⊆ X. Kai X = (A ∩ B) ∪ (A ∖ B), kiekvienas elementas priklauso A, todėl X ⊆ A. Ir atvirkščiai, imkime bet kurį x ∈ A. Arba x ∈ B, tuomet jis priklauso A ∩ B, arba x ∉ B, tuomet jis priklauso A ∖ B. Abiem atvejais x ∈ X, todėl A ⊆ X ir X = A.

Norėdami paneigti siūlomą tapatybę, nurodykite pradines aibes ir elementą, priklausantį tik vienai tapatybės pusei. Kai A = {1} ir B = {2}, A ∖ B = {1} ir B ∖ A = {2}; elementas 1 parodo, kad šios aibės skiriasi. Tai paneigia skirtumo komutatyvumą, bet nepaneigia jokio sąjungos ar sankirtos dėsnio.

Baigę skaičiuoti, dar kartą perskaitykite, kokia operacija atliekama ir kokia universalioji aibė naudojama, tada patikrinkite bendrą elementą, tik vienai aibei priklausantį elementą ir visus pasitaikančius ribinius ar tuščiosios aibės atvejus. Norėdami įrodyti teiginį, šiuos pavyzdžius pakeiskite argumentu apie bet kurį elementą. Diagrama padeda rasti pagrindimą, tačiau baigtinis jos brėžinys nėra visas argumentas, tinkantis visoms galimoms aibėms.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Tegu D = {1, {1}, ∅}. Nustatykite, ar teisingi teiginiai 1 ∈ D, {1} ∈ D, {1} ⊆ D, ∅ ∈ D ir ∅ ⊆ D. Kiek elementų turi D?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visi penki teiginiai teisingi. D turi tris skirtingus elementus: skaičių 1, aibę {1} ir tuščiąją aibę.

   Pirmasis, antrasis ir ketvirtasis teiginiai tikrinami pagal elementų sąrašą. Kad galiotų {1} ⊆ D, tereikia, kad 1 ∈ D. Tuščioji aibė yra D poaibis, nes ji neturi nė vieno elemento, kuris galėtų nepriklausyti D; šis pagrindimas skiriasi nuo teiginio ∅ ∈ D pagrindimo.

2. Kurie iš teiginių ∅ ∈ ∅, ∅ ∈ {∅}, ∅ ⊆ ∅, {∅} ⊆ ∅ ir ∅ = {∅} yra teisingi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tik ∅ ∈ {∅} ir ∅ ⊆ ∅ yra teisingi; kiti trys teiginiai klaidingi.

   Tuščioji aibė neturi nė vieno elemento, o vienaelementė aibė {∅} turi elementą ∅. Tuščioji aibė yra savo pačios poaibis. Vienaelementė aibė nėra ∅ poaibis, nes jos vienintelis elementas nepriklauso ∅, o aibės, turinčios nulį ir vieną elementą, negali būti lygios.

3. Kai U = {0,1,2,3,4}, A = {0,2,4} ir B = {1,2}, raskite A ∩ B, A ∖ B, A △ B ir (A ∪ B)ᶜ.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A ∩ B = {2}; A ∖ B = {0,4}; A △ B = {0,1,4}; (A ∪ B)ᶜ = {3}.

   Vienintelis bendras elementas yra 2. Tik aibei A priklausantys elementai yra 0 ir 4, o tik aibei B priklausantis elementas yra 1. Sąjunga yra {0,1,2,4}, todėl vienintelis nurodytos aibės U elementas, nepriklausantis šiai sąjungai, yra 3. Bendri elementai į simetrinį skirtumą neįtraukiami.

4. Tarkime, A = {0,2}. Raskite jos papildinį pirmiausia universaliojoje aibėje U = {0,1,2,3}, tada universaliojoje aibėje V = {−1,0,1,2,3}. Kodėl atsakymai skiriasi?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   U ∖ A = {1,3}, o V ∖ A = {−1,1,3}; antrojoje universaliojoje aibėje yra dar vienas į papildinį patenkantis elementas −1.

   Papildinys yra pasirinktos universaliosios aibės ir duotosios aibės skirtumas. A nesikeičia, tačiau −1 priklauso V ir nepriklauso A. Šis elementas nepriklausė U, todėl negalėjo patekti į A papildinį U atžvilgiu.

5. Elementas x ∈ U priklauso A, bet nepriklauso B. Ar jis priklauso (A ∪ B)ᶜ ir (A ∩ B)ᶜ? Paaiškinkite abu atsakymus.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Jis nepriklauso (A ∪ B)ᶜ, bet priklauso (A ∩ B)ᶜ.

   Kadangi x priklauso A, jis priklauso ir sąjungai, todėl nepriklauso sąjungos papildiniui. Jis negali priklausyti sankirtai, nes nepriklauso B, todėl priklauso sankirtos papildiniui universaliojoje aibėje U. Šie du neiginiai taikomi skirtingoms sąlygoms kaip visumoms.

6. Tarkime, A ⊆ B ⊆ U. Supaprastinkite A ∪ B, A ∩ B, A ∖ B ir A △ B ir pagrįskite paskutinį atsakymą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A ∪ B = B; A ∩ B = A; A ∖ B = ∅; A △ B = B ∖ A.

   Kiekvienas A elementas jau priklauso B, todėl tik aibei A priklausanti sritis yra tuščia. Sąjunga apima visą B, sankirta sutampa su A, o skirtume A ∖ B nelieka nė vieno elemento. Taigi lygiai vienai iš šių aibių gali priklausyti tik tie elementai, kurie priklauso B, bet nepriklauso A, o jų aibė yra B ∖ A.

7. Duotos realiųjų skaičių aibės A = [0,1] ir B = (1,2]. Raskite A ∩ B ir A ∪ B. Ar kuri nors iš duotųjų aibių yra tuščia?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   A ∩ B = ∅ ir A ∪ B = [0,2]; nė viena iš duotųjų aibių nėra tuščia.

   Kiekvienas aibės B taškas yra griežtai didesnis už 1, o kiekvienas aibės A taškas yra ne didesnis už 1, todėl bendrų taškų nėra. Jų sąjungoje nėra tarpo: A apima 1 ir visus taškus iki 0 mažėjimo kryptimi, o B apima visus taškus, didesnius už 1, iki pat 2. Tai, kad aibės nesikerta, nereiškia, kad kuri nors iš duotųjų aibių yra tuščia.

8. Įrodykite A ∩ (A ∪ B) = A, parodydami abu įtraukimus. Nesiremkite vien brėžiniu.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kiekvienas A ∩ (A ∪ B) elementas priklauso A. Ir atvirkščiai, kiekvienas A elementas taip pat priklauso A ∪ B, todėl priklauso sankirtai. Abu įtraukimai įrodo lygybę.

   Kiekvienai įrodymo krypčiai pasirinkite bet kurį elementą. Pirmoji implikacija tiesiogiai išplaukia iš sankirtos apibrėžimo. Antrojoje taikoma sąjungos taisyklė su neišskiriančiuoju „arba“, o tada – sankirtos taisyklė. Nereikia jokių prielaidų apie tai, ar A arba B yra baigtinės, netuščios, lygios ar nesikertančios.

Ką verta įsidėmėti

• Tikrinant priklausymą klausiama, ar vienas objektas yra aibės elementas. Teiginys, kad aibė yra poaibis, tikrinamas kiekvienam jos elementui; lygybei būtina, kad abiejose pusėse būtų tie patys elementai.
• Aibėje nesvarbi elementų išvardijimo tvarka ir pasikartojimai. Tuščioji aibė neturi elementų, o {∅} turi vieną elementą – tuščiąją aibę.
• Sąjungoje vartojamas neišskiriantysis „arba“, sankirtoje – „ir“, skirtume elementai pašalinami nurodyta kryptimi, o simetriniame skirtume paliekami elementai, priklausantys tik vienai iš dviejų aibių.
• Papildinys visada apibrėžiamas nurodytos universaliosios aibės atžvilgiu. Jungdami papildinius arba imdami papildinį du kartus, nekeiskite universaliosios aibės.
• De Morgano dėsniai paneigia visą priklausymo sąlygą ir pakeičia jos loginę jungtį. Aibių tapatybės gaunamos lyginant bet kurio elemento priklausymą aibėms arba įrodant abu įtraukimus.
• Tiksli baigtinė lentelė patikrina visą joje nurodytą baigtinę universaliąją aibę. Bendram teiginiui apie bet kokias aibes reikia argumento, grindžiamo elementų priklausymu aibėms, ir jo sąlygų.