Trigonometrinės tapatybės ir lygtys

Pasiruoškite įrodyti lygybę ir spręsti lygtį

Turėtumėte gerai suprasti užrašą P = (cos θ, sin θ), mokėti matuoti posūkius radianais ir nustatyti apskritimo taškų koordinačių ženklus. Šios sąvokos paaiškintos ankstesnėje pamokoje apie vienetinį apskritimą. Naudingas ir algebros pasirengimas: tapatybių ir lygčių skirtumas, nuliui nelygūs vardikliai, skaidymas į dauginamuosius ir lygties kėlimo kvadratu poveikis. Toliau pateiktos pamokų nuorodos leidžia pakartoti šiuos žingsnius.

Skaitydami pirmą kartą, sekite apskritimo tapatybės, dėl vardiklių sutrumpinimo paslėptų neapibrėžtumo taškų ir visų pagrindinių sinuso, kosinuso bei tangento lygčių sprendinių šeimų aptarimą. Tada išnagrinėkite skaidymą į dauginamuosius ir tikrinimą pradinėje lygtyje, pabandykite išspręsti antrąjį ir trečiąjį pavyzdžius su pateiktais sprendimais. Kampų sumos formulių įrodymas pasukimu ir pirmasis pavyzdys su pateiktu sprendimu sudaro antrąjį kelią: grįžkite prie jų, kai koordinačių apibrėžimai ir tapatybės bei lygties skirtumas bus aiškūs. Abiejuose keliuose išlaikoma pradinė apibrėžimo sritis ir naudojami radianai.

Tapatybė galioja visoje apibrėžimo srityje, o lygtis atrenka argumentus

Kai θ = π/6, vienetinio apskritimo taškas yra (√3/2, 1/2). Pakėlę jo koordinates kvadratu, gauname 3/4 + 1/4 = 1. Ta pati kvadratų sumos lygybė galioja taškui judant bet kuria apskritimo vieta: tai tapatybė. Ieškoti kampų, kuriems sin θ = 1/2, yra kas kita. Ši sąlyga atrenka tik taškus, kurių aukštis yra 1/2; per vieną apsisukimą jie pasiekiami ties π/6 ir 5π/6. Šioje pamokoje paaiškinama, kaip įrodyti pirmojo tipo teiginius ir rasti visus antrojo tipo teiginių sprendinius.

Ankstesnėje pamokoje kiekvienam orientuotajam kampui θ, kurio dydis radianais yra realusis skaičius, vienetiniame apskritime buvo apibrėžtas taškas P = (cos θ, sin θ). Čia visi kampų argumentai yra realieji skaičiai ir matuojami radianais, nebent nurodytas kitas matavimo vienetas. Trigonometrinė tapatybė teigia, kad du reiškiniai yra lygūs kiekvienai argumento reikšmei nurodytoje bendroje apibrėžimo srityje, t. y. toms argumento reikšmėms, kurioms abu reiškiniai yra apibrėžti. Trigonometrine lygtimi klausiama, kurioms leistinoms argumento reikšmėms konkreti lygybė yra teisinga.

Pavyzdžiui, sin² θ + cos² θ = 1 yra tapatybė, galiojanti visoms realiosioms θ reikšmėms. Šiame žymėjime sin² θ reiškia (sin θ)², o ne sin(θ²). O lygtis sin θ = 1 atrenka kampus, kuriuos atitinkantis taškas yra apskritimo viršuje. Abiejuose teiginiuose naudojamos trigonometrinės funkcijos, tačiau jais keliami skirtingi klausimai.

Prieš atlikdami algebrinius pertvarkymus, užrašykite pradinę apibrėžimo sritį. Jei vardiklis yra, pavyzdžiui, cos θ, būtina sąlyga cos θ ≠ 0, net jei vėliau suprastintoje išraiškoje šio vardiklio nebelieka. Tapatybė, galiojanti mažesnėje bendroje apibrėžimo srityje, nereiškia, kad pradinė išraiška yra apibrėžta, kai argumento reikšmė nepriklauso šiai sričiai. Lygties sprendinių aibė turi likti jos pradinėje apibrėžimo srityje.

Norėdami įrodyti tapatybę, iš vienos išraiškos išveskite kitą, remdamiesi apibrėžtimis, įrodytomis tapatybėmis ir algebriniais pertvarkymais, galiojančiais kiekvienai nurodytai argumento reikšmei. Baigtinis sutampančių reikšmių sąrašas ar grafikas gali iliustruoti rezultatą, bet negali įrodyti lygybės kiekvienai realiajai argumento reikšmei. Vienas tikslus kontrpavyzdys gali paneigti visuotinį teiginį, tačiau keli sėkmingi patikrinimai negali pakeisti jo įrodymo.

Iš apskritimo lygties gaunamos skirtingų apibrėžimo sričių tapatybės

Kiekvienas kampą atitinkantis apskritimo taškas tenkina x² + y² = 1, todėl įrašius x = cos θ ir y = sin θ įrodoma, kad sin² θ + cos² θ = 1 visoms realiosioms θ reikšmėms, taip pat ir tada, kai taškas yra ant koordinačių ašių. Tai teiginys apie visą vienetinį apskritimą, o ne dėsningumas, nustatytas iš specialiųjų kampų reikšmių.

Jei cos θ ≠ 0, padalykite visą kvadratų sumos tapatybę iš cos² θ. Gaunama 1 + tan² θ = sec² θ. Jei sin θ ≠ 0, padalijus iš sin² θ gaunama 1 + cot² θ = csc² θ. Šioms dalijant gautoms tapatybėms lieka galioti atitinkamos nelygumo nuliui sąlygos; pradinei kvadratų sumos tapatybei nereikia nė vienos iš jų.

Dalmens ir atvirkštinių dydžių tapatybės tiesiogiai išplaukia iš apibrėžčių. Kotangentas yra cos θ/sin θ, kai sin θ ≠ 0. Jis sutampa su 1/(tan θ) tik tada, kai ir sin θ, ir cos θ nelygūs nuliui: pirmiausia tangentas turi būti apibrėžtas, o tada – nelygus nuliui. Pavyzdžiui, cot(π/2) = 0 yra apibrėžtas, tačiau 1/(tan(π/2)) yra neapibrėžtas. Ši siauresnės apibrėžimo srities atvirkštinio dydžio išraiška negali apibrėžti kotangento visoje jo apibrėžimo srityje.

Iš vienetinio apskritimo gaunamos visos nulinės reikšmės: sin θ = 0 tada ir tik tada, kai θ = kπ, o cos θ = 0 tada ir tik tada, kai θ = π/2 + kπ, kur k yra bet kuris sveikasis skaičius. Taip pagal vardikliams taikomas sąlygas nustatomi visi kampai, kuriuos reikia atmesti. Išlaikykite šias sąlygas net ir naudodami atmintinai išmoktą formulę.

Suprastinimas nepadaro neleistinos argumento reikšmės leistina

Nagrinėkime (1 − cos² θ)/sin θ. Pradinė šio reiškinio apibrėžimo sritis yra sin θ ≠ 0. Šioje srityje, pritaikius apskritimo tapatybę, skaitiklis tampa sin² θ, o suprastinus gaunama sin θ. Taigi (1 − cos² θ)/sin θ = sin θ yra tapatybė srityje sin θ ≠ 0. Kai θ = 0, suprastinto reiškinio reikšmė yra 0, tačiau pradinio dalmens vardiklis yra 0, todėl dalmuo lieka neapibrėžtas.

Tas pats skirtumas svarbus ir sprendžiant lygtį (1 − cos² θ)/sin θ = 0. Pradinėje apibrėžimo srityje lygtis tampa sin θ = 0, tačiau visi šią sąlygą tenkinantys kampai dėl pradinio vardiklio nepriklauso apibrėžimo sričiai. Todėl pradinė lygtis neturi realiųjų sprendinių. Jei suprastintą reiškinį laikytume nauja lygtimi, apibrėžta visoms realiosioms argumento reikšmėms, klaidingai įtrauktume visus kπ.

Kvadratinė šaknis taip pat išlaiko informaciją, kurią pakėlimas kvadratu paslepia. Kiekvienam realiajam t galioja √(t²) = |t|, todėl √(cos² θ) = |cos θ|. Jei sin θ žinomas, iš apskritimo tapatybės gauname cos θ = ±√(1 − sin² θ), o kai šaknis nelygi nuliui, ženklą lemia kampo galinės kraštinės padėtis. Nemanykite, kad aritmetinė neneigiama kvadratinė šaknis yra pradinė koordinatė.

Pavyzdžiui, jei cos θ = −3/5, o kampo galinis taškas yra II ketvirtyje, tuomet sin θ = +4/5: jo kvadratas yra 16/25, o šiame ketvirtyje vertikalioji koordinatė yra teigiama. Esant tam pačiam kosinusui III ketvirtyje, gautume sin θ = −4/5. Vien koordinatės modulis neleidžia pasirinkti vieno iš šių ženklų.

Posūkis išsaugo atstumus ir įrodo sudėties formules

Imkime bet kokius realiuosius kampus α ir β, kurių galiniai taškai yra Pα = (cos α, sin α) ir Pβ = (cos β, sin β). Pasukime abu taškus apie koordinačių pradžią kampu −β. Jų atvaizdai yra Pα−β ir U = (1, 0). Posūkis išsaugo atstumo tarp bet kurių dviejų taškų kvadratą, taip pat ir tada, kai taškai sutampa arba yra priešingi. Nereikia daryti prielaidos, kad α ar β yra smailusis kampas.

Išskleidę atstumo kvadrato reiškinį prieš posūkį, gauname (cos α − cos β)² + (sin α − sin β)² = 2 − 2(cos α cos β + sin α sin β), nes kiekvieno galinio taško koordinačių kvadratų suma lygi 1. Po posūkio atstumo kvadratas yra (cos(α − β) − 1)² + sin²(α − β) = 2 − 2cos(α − β). Sulyginę šiuos reiškinius, įrodome, kad cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β visiems realiesiems α ir β.

Iš atspindžio horizontaliosios ašies atžvilgiu gauname cos(−β) = cos β ir sin(−β) = −sin β. Įrodytoje skirtumo formulėje pakeitę β į −β, gauname cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Šie ženklai kyla iš geometrinių apibrėžčių, o ne iš atskirų spėjimų apie kiekvieną ketvirtį.

Atspindys tiesės y = x atžvilgiu sukeičia apskritimo taško koordinates ir kampą θ pakeičia kampu π/2 − θ pilnųjų apsisukimų tikslumu. Todėl cos(π/2 − θ) = sin θ ir sin(π/2 − θ) = cos θ visiems realiesiems θ. Pritaikykime kosinusų skirtumo formulę kampui (π/2 − α) − β: jo kosinusas yra sin(α + β), o išskleistas reiškinys yra sin α cos β + cos α sin β. Tada, pakeitę β į −β, gauname sinusų skirtumo formulę. Visų keturių formulių apibrėžimo sritis apima visus realiuosius α ir β.

Dvigubo kampo formulės įrodomos įstatant; dalybai reikia papildomų sąlygų

Kampų sumos formulėse įstatykite α = β = θ. Taip įrodoma, kad sin(2θ) = 2sin θ cos θ ir cos(2θ) = cos² θ − sin² θ visiems realiesiems θ. Pritaikius lygybę sin² θ + cos² θ = 1, gaunamos dar dvi lygiavertės išraiškos: cos(2θ) = 1 − 2sin² θ = 2cos² θ − 1. Pasirinkite išraišką, kurioje naudojama jau žinoma koordinatė; nė vienai iš jų nereikia nenulinio vardiklio.

Kampų sumos tangento formulei pirmiausia reikia sąlygų cos α ≠ 0 ir cos β ≠ 0, kad abiejų atskirų kampų tangentai būtų apibrėžti. Padalykite kampų sumos sinuso formulę iš kampų sumos kosinuso formulės, tada gautos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalykite iš cos α cos β. Gaunama tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 − tan α tan β), jei 1 − tan α tan β ≠ 0. Kai tenkinamos pirmosios dvi sąlygos, ši paskutinė sąlyga yra lygiavertė sąlygai cos(α + β) ≠ 0.

Išvedant kampų skirtumo formulę gaunama tan(α − β) = (tan α − tan β)/(1 + tan α tan β), kai cos α ≠ 0, cos β ≠ 0 ir 1 + tan α tan β ≠ 0. Šios formulės yra tapatybės bendrose jų apibrėžimo srityse, o ne būdas apeiti atskiro kampo tangento neapibrėžtumą.

Abu kampus prilyginę θ, gauname tan(2θ) = 2tan θ/(1 − tan² θ), kai cos θ ≠ 0 ir 1 − tan² θ ≠ 0. Kai θ = π/2, tan(2θ) = tan π = 0 yra apibrėžtas, tačiau pateiktos lygybės dešinioji pusė neapibrėžta, nes tan θ neapibrėžtas. Kai θ = π/4, dešiniosios pusės galutinis vardiklis lygus nuliui, o tan(2θ) taip pat neapibrėžtas. Sinuso ir kosinuso dvigubo kampo formulės galioja abiem šioms argumento reikšmėms.

Apskritimo sankirtos nusako visus pagrindinius sprendinius

Spręsdami sin θ = u, pirmiausia patikrinkite, ar −1 ≤ u ≤ 1. Jei ši sąlyga netenkinama, realiųjų sprendinių nėra. Kitu atveju pažymėkime a = arcsin u – vienintelę pagrindinę kampo reikšmę intervale [−π/2, π/2]. Horizontali tiesė y = u kerta vienetinį apskritimą taškuose (√(1 − u²), u) ir (−√(1 − u²), u). Tai visi šio aukščio apskritimo taškai. Juos atitinkantys kampai yra a ir π − a, neatsižvelgiant į pilnus apsisukimus, todėl dvi toliau pateiktos šeimos apima visus sprendinius ir tik sprendinius.

Spręsdami cos θ = u, kai −1 ≤ u ≤ 1, pažymėkime b = arccos u intervale [0, π]. Vertikali tiesė x = u kerta apskritimą taškuose (u, √(1 − u²)) ir (u, −√(1 − u²)). Juos atitinkantys kampai yra b ir −b, neatsižvelgiant į pilnus apsisukimus. Jei |u| > 1, sankirtos nėra ir realiųjų sprendinių nėra. Esant kraštinėms funkcijos reikšmėms ±1, abu nurodyti sankirtos taškai sutampa; pasikartojančią sprendinių šeimą reikia pašalinti.

Lygtyje tan θ = v galima bet kuri realioji v reikšmė. Tangento apibrėžimas reikalauja, kad cos θ ≠ 0. Tuomet sąlyga sin θ/cos θ = v yra lygiavertė sąlygai y = vx apskritime, kai x ≠ 0. Įstatę ją į x² + y² = 1, gauname x = ±1/√(1 + v²) ir y = vx. Abi x reikšmės nelygios nuliui, todėl yra lygiai du leistini diametraliai priešingi taškai. Pagrindinė kampo reikšmė c = arctan v priklauso intervalui (−π/2, π/2); šiuos taškus atitinkantys kampai sudaro vieną šeimą θ = c + kπ.

Kiekvienoje šeimoje k nepriklausomai įgyja visas sveikąsias reikšmes. Atvirkštinių funkcijų pagrindinių šakų žymenys nusako vienos šakos kampą, o ne visus sprendinius. Arcsin ir arccos argumentai gali priklausyti tik intervalui [−1, 1], o arctan argumentas gali būti bet kuris realusis skaičius. Tiksliosios šių funkcijų išraiškos gali nusakyti sprendinius net ir tada, kai kampas neturi specialaus pavadinimo; dešimtainės aproksimacijos neprivalomos ir negali pakeisti trūkstamos sprendinių šakos.

Sujunkite sutampančius sprendinius paisydami intervalo galų

Dvi formulės gali aprašyti tą pačią sprendinių šeimą. Kai sin θ = 1, a = π/2 ir π − a = π/2, todėl šią šeimą užrašykite tik vieną kartą. Kai sin θ = −1, du pradiniai kampai −π/2 ir 3π/2 skiriasi vienu pilnu apsisukimu ir duoda tą pačią sprendinių šeimą. Kai cos θ = −1, π + 2πk ir −π + 2πk taip pat aprašo tą pačią aibę. Taip pašalinami skirtingose formulėse pasikartojančių vienodų realiųjų argumento reikšmių dublikatai, o ne skirtingi apsisukimai.

Kai funkcijos reikšmė yra 0, dvi viso apsisukimo periodo sprendinių šeimas galima sujungti į vieną pusės apsisukimo periodo šeimą: iš sin θ = 0 gauname θ = kπ, o iš cos θ = 0 gauname θ = π/2 + kπ. Galiojančių sprendinių šakų sąjungą galima užrašyti glaustiau, kai pagrįsta šių aibių lygybė. Nevadinkite kiekvienos pasikartojančios formulės papildomu sprendiniu.

Radę visas realiųjų sprendinių šeimas, atrinkite sprendinius, priklausančius nurodytam intervalui. Laužtiniai skliaustai reiškia, kad intervalo galas įtraukiamas, o apvalieji – kad neįtraukiamas. Taigi lygtis cos θ = 1 intervale [0, 2π] turi šaknis 0 ir 2π, o intervale [0, 2π) – tik 0. Abu į uždarąjį intervalą įtraukti argumentai yra skirtingi realieji kampai, nors jų galinis taškas apskritime sutampa. Panašiai lygties cos θ = −1 sprendiniai intervale [−π, π] apima ir −π, ir π.

Jei sprendinių šeima yra θ = a + kT, kur T > 0, intervale [L, R) išspręskite nelygybę L ≤ a + kT < R sveikųjų k atžvilgiu, tada išvardykite gautus kampus ir pašalinkite kitose šakose pasikartojančias reikšmes. Šis nelygybės metodas tinka ir neigiamų kampų intervalams arba intervalams, apimantiems kelis apsisukimus. Niekada nespręskite, ar intervalo galas įtraukiamas, vien pagal tai, ar diagramoje parodyta viena galinio taško žyma.

Pirmiausia spręskite viso argumento atžvilgiu, tada grįžkite prie θ

Kai argumentas yra u = mθ + b, o m yra realusis skaičius ir m ≠ 0, pirmiausia raskite visus trigonometrinės lygties sprendinius u atžvilgiu, tada kiekvienai sprendinių šeimai pritaikykite θ = (u − b)/m. Šis tiesinis pakeitimas yra grįžtamasis, todėl neprarandama ir nepridedama šaknų. Kampui θ taikomą intervalo apribojimą taip pat reikia teisingai paversti argumento u apribojimu; jei m yra neigiamas, nelygybių kryptys pasikeičia į priešingas.

Pavyzdžiui, iš tan(2θ) = −1 gauname 2θ = −π/4 + kπ, taigi θ = −π/8 + kπ/2 kiekvienam sveikajam skaičiui k. Kiekvieno nurodyto argumento kosinusas nelygus nuliui, todėl kiekvienas sprendinių šeimos narys priklauso pradinės tangento funkcijos apibrėžimo sričiai. Jei 0 ≤ θ < π, sveikajam skaičiui k taikoma sąlyga yra 0 ≤ −π/8 + kπ/2 < π, arba 1/4 ≤ k < 9/4. Taigi k = 1 arba 2, todėl θ = 3π/8 arba 7π/8.

Pradinis intervalas čia atitinka 0 ≤ 2θ < 2π. Ieškant 2θ tik pirmojoje pagrindinėje tangento šakoje, būtų praleistas vienas sprendinys. Pagrindinis kampas yra visos sprendinių šeimos pradžia; periodas ir sprendinių atranka pagal intervalą užbaigia lygties sprendimą. Nulinis koeficientas m duotų pastovų argumentą, todėl ši grįžtamojo pakeitimo taisyklė tokiu atveju netaikoma.

Skaidant dauginamaisiais gaunama šakų sąjunga; dalijant viena šaka gali būti prarasta

Jei dauginamieji A ir B yra apibrėžti ir realieji, AB = 0 yra lygiavertė sąlygai A = 0 arba B = 0. Išspręskite abi šakas pradinėje apibrėžimo srityje ir raskite jų sprendinių sąjungą. Jei šaknis priklauso abiem šakoms, tą realiąją argumento reikšmę užrašykite tik vieną kartą. Jei kuris nors dauginamasis neapibrėžtas, sandaugos lygybės nuliui taisyklė negali paversti pradinio reiškinio apibrėžtu reiškiniu, lygiu nuliui.

Lygtis sin θ(2cos θ − 1) = 0 apibrėžta visiems realiesiems θ. Jos šakos yra sin θ = 0, iš kurios gauname θ = kπ, ir cos θ = 1/2, iš kurios gauname θ = π/3 + 2πk arba θ = −π/3 + 2πk. Intervale [0, 2π) jų sprendinių sąjunga yra 0, π/3, π ir 5π/3. Padaliję pradinę lygtį iš sin θ, prarastume visą šaką, kurioje sinusas lygus nuliui; toks dalijimas yra lygiavertis pertvarkymas tik atskirai apribojus sritį sąlyga sin θ ≠ 0.

Kai lygtis yra vienos koordinatės daugianario lygtis, įveskite pagalbinį kintamąjį, pavyzdžiui, u = sin θ. Išspręskite jo algebrinę lygtį, tada, prieš ieškodami kampų, atmeskite visas gautas u reikšmes, nepriklausančias intervalui [−1, 1]. Kiekviena likusi reikšmė turi savas išsamias sprendinių šeimas, atitinkančias sankirtas su apskritimu. Algebrinis skaidymas dauginamaisiais ir trigonometrinės funkcijos reikšmių srities tikrinimas atlieka skirtingas būtinas užduotis.

Kėlimas kvadratu duoda galimus sprendinius, bet negarantuoja lygiavertiškumo

Realiesiems reiškiniams A ir B iš A = B išplaukia A² = B². Atvirkščiai, A² = B² reiškia (A − B)(A + B) = 0, taigi A = B arba A = −B. Todėl keliant kvadratu atsiranda papildoma priešingo ženklo šaka, nebent ją atmeta kitos sąlygos. Išlaikykite pradinę apibrėžimo sritį, raskite visus galimus sprendinius iš pakeltos kvadratu lygties ir kiekvieną jų įstatykite į pradinę lygybę.

Lygtį sin θ + cos θ = 1 pakėlę kvadratu gauname 1 + 2sin θ cos θ = 1, taigi sin θ cos θ = 0. Intervale [0, 2π) galimi sprendiniai yra 0, π/2, π ir 3π/2. Pradinės sumos reikšmės atitinkamai yra 1, 1, −1 ir −1. Tik 0 ir π/2 tenkina pradinę lygtį. Visoje realiųjų argumentų srityje sprendiniai yra θ = 2πk arba θ = π/2 + 2πk.

Šis sąrašas išsamus, nes kiekvienas pradinės lygties sprendinys turi tenkinti pakeltą kvadratu lygtį, abi šios lygties šakos, kuriose vienas iš dauginamųjų lygus nuliui, buvo visiškai išspręstos, o tikrinant pradinėje lygtyje atmesti būtent jos netenkinantys galimi sprendiniai. Galima atlikti ir antrą, geometrinį patikrinimą: tiesė x + y = 1 kerta apskritimą x² + y² = 1 tik taškuose (1, 0) ir (0, 1). Įstatę y = 1 − x gauname 2x(x − 1) = 0, o tai įrodo, kad tai visi jų sankirtos taškai.

Grafikas ar kelios spėjamos reikšmės negali pakeisti sprendinių sąrašo išsamumo pagrindimo. Taip pat pakeltą kvadratu lygtį tenkinantis ir patikrinimą išlaikęs sprendinys nesuteikia pagrindo nepaisyti nulio pradinės lygties vardiklyje. Grįžtamieji pertvarkymai išsaugo sprendinių aibę išlaikytoje apibrėžimo srityje; po negrįžtamųjų pertvarkymų, pavyzdžiui, kėlimo kvadratu, būtina galutinai patikrinti sprendinius pradinėje lygtyje.

Tyrinėkite tikslias tapatybes, išsamias sprendinių šeimas ir tikrinimą pradinėje lygtyje

Prieš keisdami nagrinėjamą atvejį, numatykite rezultatą. Skiltyje „Tapatybės“ palyginkite cot θ su 1/(tan θ), kai θ = π/2. Kuris reiškinys turi reikšmę? Patikrinkite jo vardiklį, o tada bendrą apibrėžimo sritį. Toliau, kai θ = 2π/3, palyginkite teiginius apie kvadratinę šaknį su moduliu ir su ženklu: teigiama šaknis nebūtinai lygi neigiamai koordinatei.

Skiltyje „Kampų formulės“ pasirinkite (α, β) = (π/2, π/4). Numatykite, ar kampų sumos sinuso ir kosinuso formulės tebegalioja, kai kampo galinė kraštinė sutampa su koordinačių ašimi, tada palyginkite tikslias abiejų lygybių pusių reikšmes. Šios formulės galioja visiems realiesiems kampams. Tangento formulės su taikymo sąlygomis įrodytos tekstinėje dalyje; šiame vaizde rodomos tik sinuso ir kosinuso lygybės.

Skiltyje „Visos lygties sprendinių šeimos“ pasirinkite sinusą, lygų 1/2, ir prieš skaitydami sprendinius numatykite abu galinius taškus. Palyginkite ribinę ir už reikšmių srities esančią reikšmę. Atidžiai perskaitykite kiekvieną rodomą intervalą: du skirtingi į jį įtraukti kampai, pavyzdžiui, 0 ir 2π uždarame intervale, gali atitikti tą patį tašką. Lentelėje šios įvestys pateikiamos atskirai, o diagramoje sutampančios padėtys sujungiamos.

Skiltyje „Pradinės lygties patikros“ palyginkite suprastintą dalmenį, lygų 1, su dalmeniu, lygiu 0. Numatykite, kurie supaprastintos lygties sprendinių kandidatai yra pradinio reiškinio neapibrėžtumo taškai dėl sinuso vardiklyje. Tada pakelkite abi lygties sin θ = 1/2 puses kvadratu ir numatykite, kurie iš keturių kandidatų neatitinka pradinės lygties ženklo sąlygos. Naudodamiesi pradinių reikšmių lentele paaiškinkite, kodėl kiekvienas iš jų atmetamas. Šie 42 fiksuoti atvejai iliustruoja įrodymus ir padeda tikrinti prognozes; jie neįrodo tapatybių tikrinant pavienius atvejus.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Įrodykite (1 − sin² θ)/cos θ = cos θ visoje abiejų pusių bendroje apibrėžimo srityje. Ar pradinė kairioji pusė turi reikšmę, kai θ = π/2?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tapatybė galioja, kai cos θ ≠ 0, arba, lygiavertiškai, kai θ ≠ π/2 + kπ su bet kuriuo sveikuoju k. Kai θ = π/2, pradinis dalmuo neapibrėžtas, nors supaprastintos dešiniosios pusės reikšmė yra 0.

   Iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės gauname 1 − sin² θ = cos² θ. Dalyba duoda cos² θ/cos θ = cos θ tik tada, kai pradinis vardiklis nelygus nuliui. Užrašykite šią sąlygą prieš suprastindami ir išlaikykite ją po suprastinimo. Lygybė bendroje apibrėžimo srityje neišplečia pradinio dalmens apibrėžimo srities į argumento reikšmes, kurioms jis neapibrėžtas.

2. Tarkime, cos θ = −3/5, o galinis taškas yra II ketvirtyje. Raskite tikslias sin θ, sin(2θ), cos(2θ) ir tan(2θ) reikšmes, patikrindami reikiamus ženklus ir vardiklį.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   sin θ = 4/5, sin(2θ) = −24/25, cos(2θ) = −7/25 ir tan(2θ) = 24/7.

   Iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės gauname sin² θ = 16/25; II ketvirtyje reikia pasirinkti teigiamą šaknį 4/5. Taigi sin(2θ) = 2(4/5)(−3/5) = −24/25, o cos(2θ) = 9/25 − 16/25 = −7/25. Pastaroji reikšmė nelygi nuliui, todėl tangentas yra šių reikšmių dalmuo (−24/25)/(−7/25) = 24/7. Ketvirtis lemia pradinio kampo sinuso ženklą, o apskaičiuotos dvigubo kampo taško koordinatės lemia naujus ženklus.

3. Atskirai išspręskite šias dvi lygtis: sin θ = −√3/2 visoms realiosioms θ reikšmėms ir intervale [0, 2π); tan(2θ) = −1 visoms realiosioms θ reikšmėms ir intervale [0, π).

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Sinuso lygties sprendiniai: θ = 4π/3 + 2πk arba θ = 5π/3 + 2πk; šaknys nurodytame intervale yra 4π/3 ir 5π/3. Tangento lygties sprendiniai: θ = −π/8 + kπ/2; šaknys nurodytame intervale yra 3π/8 ir 7π/8. Kiekvienu atveju k yra bet kuris sveikasis skaičius.

   Horizontali tiesė y = −√3/2 kerta apskritimą III ir IV ketvirčiuose, o atskaitos kampas yra π/3, todėl gaunamos abi sinuso lygties sprendinių šeimos. Tangento lygtyje pirmiausia raskite viso argumento reikšmes: 2θ = −π/4 + kπ, tada padalykite iš 2. Šioje sprendinių šeimoje argumento kosinusas niekada nelygus nuliui. Atrinkus reikšmes, tenkinančias 0 ≤ θ < π, gauname sveikuosius k = 1 arba 2. Tai dvi atskiros sprendinių aibės, o ne reikalavimas, kad abi lygtys būtų tenkinamos vienu metu.

4. Atskirai išspręskite sin θ = 1 ir cos θ = 1 visoms realiosioms θ reikšmėms ir uždarame intervale [0, 2π]. Paaiškinkite, kodėl intervalo galai lieka dviem kosinuso lygties šaknimis, nors atitinka tą patį apskritimo tašką.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Sinuso lygties sprendiniai: θ = π/2 + 2πk, o šaknis nurodytame intervale yra π/2. Kosinuso lygties sprendiniai: θ = 2πk, o šaknys nurodytame intervale yra 0 ir 2π. Kiekvienu atveju k yra bet kuris sveikasis skaičius; 0 ir 2π yra skirtingos į intervalą įtrauktos argumento reikšmės.

   Kai sinuso reikšmė yra 1, abi bendrojo sinuso lygties sprendinio šakos sutampa viršutiniame apskritimo taške, todėl užrašykite vieną sprendinių šeimą. Kosinuso reikšmę 1 atitinka vienas galinis taškas, tačiau jį pasiekia kiekviena argumento reikšmė, atitinkanti sveiką skaičių pilnų apsisukimų. Nurodytame uždarame intervale leidžiamos ir k = 0, ir k = 1 reikšmės. Iš skirtingų formulių gautas vienodas kampo reikšmes įrašykite tik vieną kartą; nesujunkite skirtingų realiųjų argumento reikšmių vien todėl, kad jų galinių taškų koordinatės sutampa.

5. Išspręskite sin θ(2sin θ − 1) = 0 visoms realiosioms θ reikšmėms, tada intervale [0, 2π), išlaikydami abi sprendinių šakas, gaunamas prilyginus kiekvieną dauginamąjį nuliui.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   θ = kπ, θ = π/6 + 2πk arba θ = 5π/6 + 2πk, kur kiekvienas k yra bet kuris sveikasis skaičius. Intervale [0, 2π): 0, π/6, 5π/6 ir π.

   Iš dauginamųjų gauname sin θ = 0 arba sin θ = 1/2. Abi koordinatės reikšmės priklauso intervalui [−1, 1]. Visos jas atitinkančios sprendinių šeimos apskritime sudaro nurodytą sąjungą. Kiekvienas išvardytas sprendinys paverčia vieną pradinį dauginamąjį nuliu, o sandaugos lygybės nuliui ekvivalentiškumas užtikrina, kad rasti visi sprendiniai. Dalijant iš sin θ būtų prarasti intervalo sprendiniai 0 ir π bei visa juos atitinkanti sprendinių šeima realiųjų skaičių aibėje.

6. Išspręskite (1 − cos² θ)/sin θ = 0 realiųjų skaičių aibėje. Paaiškinkite, kodėl sprendžiant tik suprastintą lygtį būtų gautas klaidingas atsakymas.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Realiųjų sprendinių nėra. Visi tariamieji suprastintos lygties sprendiniai θ = kπ yra neleistini dėl pradinio vardiklio.

   Pradinė apibrėžimo sritis reikalauja, kad sin θ ≠ 0. Šioje srityje 1 − cos² θ = sin² θ, o suprastinus kairiąją pusę gaunama sin θ. Kad ši išraiška būtų lygi nuliui, turėtų būti sin θ = 0, o tai prieštarauja išlaikytai apibrėžimo srities sąlygai. Ties kiekvienu tariamuoju sprendiniu kπ pradinės išraiškos vardiklis yra lygus nuliui, todėl ji neturi realiosios reikšmės; suprastinimas jos nepadaro apibrėžtos.

7. Išspręskite sin θ = cos θ + 1 visiems realiesiems θ ir intervale [0, 2π). Raskite visus kandidatus į sprendinius, gautus pakėlus abi puses kvadratu, ir patikrinkite juos pradinėje lygtyje.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Visi realieji sprendiniai yra θ = π/2 + 2πk arba θ = π + 2πk, kur k yra bet kuris sveikasis skaičius. Intervale [0, 2π): π/2 ir π. Pakėlus kvadratu taip pat gaunamas kandidatas 3π/2, kuris netenkina pradinės lygybės.

   Pakėlus abi puses kvadratu gaunama sin² θ = cos² θ + 2cos θ + 1. Įrašę sin² θ = 1 − cos² θ, gauname 2cos θ(cos θ + 1) = 0. Visi kandidatai intervale [0, 2π) yra π/2, 3π/2 ir π. Kai θ = π/2, 1 = 0 + 1; kai θ = π, 0 = −1 + 1; kai θ = 3π/2, −1 ≠ 0 + 1. Paliekame tik π/2 ir π atitinkančias sprendinių šeimas, pasikartojančias kas pilną apsisukimą. Kiekvienas pradinės lygties sprendinys buvo tarp kandidatų, gautų pakėlus kvadratu, o patikrinimas pradinėje lygtyje atrenka būtent tuos, kurie tenkina reikiamą lygybę.

Ką verta įsidėmėti

• Tapatybė teigia, kad lygybė galioja kiekvienai argumento reikšmei nurodytoje bendroje apibrėžimo srityje. Lygtis atrenka leistinąsias argumento reikšmes, kurios ją tenkina. Baigtinis patikrinimų skaičius iliustruoja visuotinai galiojančią tapatybę, bet jos neįrodo.
• Apskritimo lygtis įrodo, kad sin² θ + cos² θ = 1 visiems realiesiems θ. Santykių, atvirkštinių dydžių ir dalijant gautos Pitagoro tapatybės išlaiko sąlygas, kad jų vardikliai nelygūs nuliui; cot = 1/tan galioja tik siauresnėje bendroje apibrėžimo srityje.
• Suprastinimas negrąžina į pradinę apibrėžimo sritį neįtrauktos reikšmės. Kvadratas nustato absoliučiąją vertę, o pradinės koordinatės ženklui pasirinkti gali prireikti sąlygos, nurodančios ketvirtį arba padėtį.
• Sukimas ir apskritimo koordinačių atspindžiai įrodo sumos ir skirtumo tapatybes visiems realiesiems kampams. Dvigubo kampo sinuso ir kosinuso formulės išlaiko tą pačią apibrėžimo sritį; tangento formulėse papildomai reikia sąlygų, kad atskiri ir bendras vardikliai būtų nelygūs nuliui.
• Horizontalių, vertikalių ir per koordinačių pradžią einančių tiesių sankirtos duoda visas pagrindines sinuso, kosinuso ir tangento lygčių sprendinių šeimas. Pagrindinės atvirkštinių trigonometrinių funkcijų kampų reikšmės yra šių šeimų pradžia; būtina įtraukti visus poslinkius per sveikąjį periodų skaičių ir kiekvieną reikalingą antrąją šaką.
• Esant ribinėms funkcijos reikšmėms, pašalinkite pasikartojančius tos pačios šaknies aprašus, tada atrinkite šaknis pagal tikslius intervalo galus. Skirtingos į intervalą įtrauktos argumento reikšmės, pavyzdžiui, 0 ir 2π, išlieka skirtingomis šaknimis, net jei jas atitinka tas pats galinis taškas.
• Skaidant dauginamaisiais, reikia sujungti visų šakų, kuriose kuris nors dauginamasis lygus nuliui, sprendinius pradinėje apibrėžimo srityje. Kėlimas kvadratu duoda galimus sprendinius, kuriuos būtina patikrinti pradinėje lygtyje; kad sprendinių aibė būtų pilna, reikia ir visų galimų sprendinių šakų, ir galutinio patikrinimo.