Vienetinis apskritimas ir trigonometrinės funkcijos

Prisiminkite koordinates, kampus ir funkcijos argumentus

Turite mokėti perskaityti sutvarkytąją porą (x, y), atskirti neigiamas koordinates nuo teigiamų ilgių ir atpažinti funkcijos argumentą bei jos reikšmę. Tam pasirengti padeda pamokos apie koordinačių plokštumą ir funkcijos apibrėžimo sritį. Pitagoro teorema paaiškina, kodėl taško, nutolusio nuo koordinačių pradžios per vieną vienetą, koordinatės tenkina lygybę x² + y² = 1.

Ankstesnėje pamokoje apie kampų matavimą paaiškinami radianai ir stačiojo trikampio smailiųjų kampų trigonometriniai santykiai. Prisiminkite, kad vienas pilnas apsisukimas yra 2π radianų, pusė apsisukimo – π, o ketvirtis apsisukimo – π/2. Ypatingąsias reikšmes, tokias kaip √3/2, palikite su tikslia kvadratine šaknimi; dešimtainė išraiška tėra apytikslė reikšmė brėžiniui.

Pasirinkite, ką skaityti pirmiausia, tada grįžkite prie įrodymų

Pirmiausia susipažinkite su apibrėžimu pagal galinį tašką, jo ryšiu su stačiuoju trikampiu, ženklais ketvirčiuose ir keturiomis vardiklių patikromis. Palyginkite sinuso ir kosinuso grafikus su apskritimu, tada išbandykite išspręstą pavyzdį, kai taškas yra ant ašies. Šie žingsniai parodo, ką reiškia kiekviena funkcija, dar prieš prireikiant visų bendrųjų įrodymų.

Visą reikšmių sritį apimančios konstrukcijos ir mažiausio periodo įrodymai paaiškina, kodėl taisyklės galioja kiekvienam leistinam argumentui. Jei pirmosios idėjos jums naujos, palikite šią medžiagą antram, lėtesniam skaitymui. Skyriuje apie atvirkštines funkcijas pristatomas vienas pasirinktas kampų intervalas; visų galimų kampų radimas nagrinėjamas vėliau.

Vienas kampas apibrėžia vieną galinį tašką

Pradėkime nuo apskritimo, kurio spindulys yra 1, dešiniojo taško (1, 0). Pasukę teigiama kryptimi ketvirtį apsisukimo, θ = π/2, pasiekiame viršutinį tašką (0, 1). Jo horizontalioji koordinatė yra 0, o vertikalioji – 1. Šias dvi koordinates atitinkamai vadiname cos(π/2) ir sin(π/2).

Vienetinio apskritimo centras yra O = (0, 0), spindulys – 1, o lygtis – x² + y² = 1 stačiakampėje koordinačių sistemoje, kurios abiejose ašyse naudojamas toks pat vienetas. Iš pradžių nukreipkime spindulį išilgai teigiamosios x ašies ir pasukime jį realiuoju kampu θ, matuojamu radianais. Sukimas prieš laikrodžio rodyklę yra teigiamas, o pagal laikrodžio rodyklę – neigiamas. Galutinėje padėtyje spindulys kerta apskritimą viename taške P = (x, y). Apibrėžiame cos θ = x ir sin θ = y, taigi P = (cos θ, sin θ).

Šis apibrėžimas tinka visoms realiosioms θ reikšmėms, įskaitant nulį, neigiamus kampus, kampus, kurių galutinis spindulys yra ant ašių, ir pasukimus, apimančius kelis apsisukimus. Galutinėje padėtyje spindulys, nukreiptas nuo centro, šį teigiamo spindulio apskritimą kerta tik viename taške, todėl kiekvienas leistinas kampas turi tik vieną sinuso ir vieną kosinuso reikšmę. Koordinatės yra bedimensės skaitinės reikšmės pasirinktoje koordinačių sistemoje, kurioje spindulys lygus vienetui. Argumentas yra kampas radianais, nebent aiškiai nurodytas laipsnio simbolis ar kitas vienetas.

Visas apsisukimas pakeičia bendrą pasukimo kampą dydžiu 2π, bet galinis taškas lieka tas pats. Taigi θ ir θ + 2π gali būti skirtingi realieji argumentai, kuriems gaunama ta pati reikšmių pora. Konkrečiai, tiek 0, tiek 2π atitinka P = (1, 0). Funkcijos nusako galinio taško koordinates, o ne sukimo kryptį ar visų apsisukimų skaičių. Kai užduotyje klausiama apie pasukimą, šią informaciją išsaugokite pradiniame kampe.

Naujosios apibrėžtys atitinka smailiojo kampo kraštinių santykius

Kai 0 < θ < π/2, vienetinio apskritimo taškas yra I ketvirtyje, todėl x > 0 ir y > 0. Iš šio taško nuleiskite statmenį į horizontaliąją ašį; jo pagrindas yra H = (x, 0). Trikampis OHP yra neišsigimęs ir statusis, jo statusis kampas yra ties H. Kampo θ ties O atžvilgiu gretimasis statinis yra x, priešingasis statinis – y, o įžambinė OP = 1. Kosinusą nusakantis kraštinių santykis yra x/1 = x, o sinusą nusakantis santykis – y/1 = y. Taigi apibrėžtys pagal koordinates atitinka ankstesnes smailiojo kampo apibrėžtis.

Panašaus stačiojo trikampio, kurio įžambinės ilgis h yra teigiamas, gretimojo ir priešingojo statinių ilgiai yra h cos θ ir h sin θ. Padalijus iš h, gaunami tie patys bedimensiai santykiai. Ši sąsaja remiasi prielaidomis, kad trikampis jau yra statusis, naudojami vienodi matavimo vienetai, o kampas yra smailusis; ji nesuteikia pagrindo nestačiojo trikampio kraštinių santykius laikyti šiomis funkcijomis.

Ankstesnėje pamokoje 30°, 45° ir 60° kampų kraštinių santykiai buvo įrodyti naudojant pusę lygiakraščio trikampio ir lygiašonį statųjį trikampį. Pakeitus jų mastelį taip, kad teigiamas įžambinės ilgis būtų 1, gaunamos toliau pateiktos tiksliosios I ketvirčio koordinatės. √2 ir √3 palikite simboline forma: brėžinyje dešimtainiu skaičiumi nusakyta padėtis yra tiksliosios vertės artinys, o ne įrodymo pakaitalas.

Atraminis kampas lemia absoliučiąsias vertes, ketvirtis – ženklus

Pirmiausia tik galinės kampo kraštinės kryptį nusakykite kampu φ, tenkinančiu 0 ≤ φ < 2π, o pradinį θ išsaugokite atskirai. I ketvirtyje ir x, ir y yra teigiami; II ketvirtyje x yra neigiamas, o y – teigiamas; III ketvirtyje abu yra neigiami; IV ketvirtyje x yra teigiamas, o y – neigiamas. Kadangi kosinusas yra x, o sinusas – y, šie ženklai lemia abiejų funkcijų ženklus.

Kai galinės kampo kraštinės taškas yra ketvirčio viduje, o ne ant jo ribos, jo atraminis kampas α yra smailusis kampas tarp galinės kampo kraštinės ir horizontaliosios ašies. I ketvirtyje α = φ; II ketvirtyje α = π − φ; III ketvirtyje α = φ − π; IV ketvirtyje α = 2π − φ. Kiekvienu atveju 0 < α < π/2. Jei taškas yra ant ašies, naudojamos tikslios jo koordinatės ant tos ašies, o ne atraminis trikampis su smailiuoju kampu.

Atspindys horizontaliosios arba vertikaliosios ašies atžvilgiu išlaiko apskritimą ir pakeičia atitinkamos koordinatės ženklą. Todėl kampą θ atitinkančių koordinačių absoliučiosios vertės yra cos α ir sin α, o jų ženklai atitinka pradinį ketvirtį. Pavyzdžiui, 4π/3 yra III ketvirtyje, jo atraminis kampas yra π/3, todėl P = (−1/2, −√3/2). Atraminis kampas leidžia nustatyti teigiamus statinių ilgius; jis nėra kampo θ pakaitalas su ta pačia galine kraštine.

Atspindėjus kampo θ galinę kraštinę horizontaliosios ašies atžvilgiu, gaunama kampo −θ galinė kraštinė. Vadinasi, cos(−θ) = cos θ ir sin(−θ) = −sin θ kiekvienam realiajam θ: kosinusas yra lyginė, o sinusas – nelyginė funkcija. Šios savybės išplaukia iš viso apskritimo koordinačių transformacijos. Kelių priešingų kampų reikšmių patikrinimas iliustruoja šį samprotavimą, tačiau neįrodo jo teisingumo visiems realiesiems kampams.

Įrodykite reikšmių ribas ir kiekvienos reikšmės pasiekiamumą

Ir sinuso, ir kosinuso apibrėžimo sritis yra visi realieji θ, nes kiekvienas realusis orientuotasis kampas nusako galinį tašką. Iš apskritimo lygties gauname (cos θ)² + (sin θ)² = 1 kiekvienam tokiam θ. Abu kvadratai yra neneigiami, todėl kiekvienas iš jų neviršija 1. Vadinasi, −1 ≤ cos θ ≤ 1 ir −1 ≤ sin θ ≤ 1. Tai įrodo, kad nė viena reikšmė nepatenka už numatytos reikšmių srities ribų.

Norėdami įrodyti, kad šiame intervale nepraleidžiama nė viena reikšmė, imkime bet kurį realųjį u, kuriam −1 ≤ u ≤ 1. Taškas (u, √(1 − u²)) priklauso vienetiniam apskritimui, todėl jį pasiekia tam tikras realusis kampas, kurio kosinusas lygus u. Panašiai taškas (√(1 − u²), u) priklauso apskritimui ir jį pasiekia kampas, kurio sinusas lygus u. Pošakniniai reiškiniai yra neneigiami, o abi konstrukcijos apima ir u = −1, 0 bei 1. Taigi kiekvienos funkcijos visa reikšmių sritis yra uždarasis intervalas [−1, 1].

Žinant vieną koordinatę, galima nustatyti kitos koordinatės kvadratą, tačiau jos ženklas gali likti nenustatytas. Jei sin θ = −3/5, tai (cos θ)² = 1 − 9/25 = 16/25, todėl cos θ = ±4/5. Norint pasirinkti ženklą, reikia žinoti ketvirtį arba kitą padėties sąlygą. Tariama padėtis grafike ar suapvalinta reikšmė negali suteikti trūkstamos tikslios informacijos.

Lygtis (cos θ)² + (sin θ)² = 1 dabar galioja ir ašyse, ir kiekviename ketvirtyje: apibrėžimas naudojant apskritimą išplečia smailiojo kampo tapatybės taikymą. Ji išreiškia kiekvieno viso šio apskritimo taško savybę, o ne dėsningumą, nustatytą iš kelių lentelėje pateiktų specialiųjų taškų.

Dar keturioms funkcijoms reikia atskirai tikrinti vardiklius

Kai P = (x, y) = (cos θ, sin θ), apibrėžiame tan θ = y/x ir sec θ = 1/x, jei x ≠ 0. Apibrėžiame cot θ = x/y ir csc θ = 1/y, jei y ≠ 0. Pilni pavadinimai yra tangentas, sekantas, kotangentas ir kosekantas. Šios funkcijos įgyja realiąsias reikšmes tik nurodytose apibrėžimo srityse; į apibrėžimo sritį neįtrauktas kampas vis tiek nusako galimą pasukimą ir turi sinusą bei kosinusą.

Kosinusas lygus nuliui tik viršutiniame ir apatiniame vienetinio apskritimo taškuose, todėl cos θ = 0 tada ir tik tada, kai θ = π/2 + kπ, kur k yra sveikasis skaičius. Sinusas lygus nuliui tik dešiniajame ir kairiajame taškuose, todėl sin θ = 0 tada ir tik tada, kai θ = kπ. Šios visos nulių aibės nusako lentelėje pateiktas į apibrėžimo sritis neįtraukiamas reikšmes. Kiekvienoje eilutėje k gali būti bet kuris sveikasis skaičius, įskaitant neigiamus sveikuosius skaičius ir nulį.

Kotangentas turi būti apibrėžiamas kaip cos θ/sin θ, kai sin θ ≠ 0. Reiškinys 1/(tan θ) sutampa su juo tik tada, kai tangentas yra apibrėžtas ir nelygus nuliui. Kai θ = π/2, cot θ = 0/1 = 0, o tangentas neapibrėžtas, todėl šis atvirkštinės reikšmės reiškinys negali apibrėžti kotangento visoje jo apibrėžimo srityje. Taip pat reiškinio pertvarkymas ar trumpinimas negali grąžinti į apibrėžimo sritį argumento reikšmės, kurią atmetė pradinis vardiklis.

Bet kurio ketvirčio viduje sekanto ženklas sutampa su kosinuso ženklu, kosekanto – su sinuso ženklu, o tangentas ir kotangentas yra teigiami, kai x ir y ženklai vienodi, ir neigiami, kai jų ženklai skiriasi. Ašyse kiekvieną apibrėžimą taikykite atskirai: nulinis skaitiklis gali duoti apibrėžtą nulinį dalmenį, tačiau nulinis vardiklis niekada neduoda realiosios reikšmės. Begalybė nėra trigonometrinės funkcijos reikšmė, kai argumento reikšmė neįtraukta į apibrėžimo sritį.

Kiekvienai nurodytai reikšmei sukonstruokite tinkamą apskritimo tašką

Savo apibrėžimo srityse tangentas ir kotangentas įgyja realiąsias dalmenų reikšmes. Norėdami parodyti, kad tangentas įgyja kiekvieną realiąją reikšmę v, pasirinkime P = (1/√(1 + v²), v/√(1 + v²)). Kadangi 1 + v² > 0, abi koordinatės yra realiosios, jų kvadratų suma lygi 1, o horizontalioji koordinatė yra teigiama. Egzistuoja realusis kampas, kurio galinis taškas yra P, kosinusas nelygus nuliui, o tan θ = y/x = v. Tai apima v = 0, teigiamas ir neigiamas reikšmes.

Kotangentui pasirinkime P = (v/√(1 + v²), 1/√(1 + v²)). Koordinačių kvadratų suma vėl lygi 1, tačiau dabar vertikalioji koordinatė yra teigiama ir nelygi nuliui. Kampas, kurio galinis taškas yra P, priklauso kotangento apibrėžimo sričiai, ir x/y = v. Taigi kotangento reikšmių sritis taip pat apima visus realiuosius skaičius, įskaitant nulį. Šiame įrodyme nenaudojama neapibrėžto tangento atvirkštinė reikšmė.

Sekanto apibrėžimo srityje 0 < |cos θ| ≤ 1, todėl |sec θ| ≥ 1. Ir atvirkščiai: bet kuriam realiajam skaičiui v, kuriam |v| ≥ 1, pasirinkime x = 1/v ir y = √(1 − 1/v²). Taškas yra apskritime ir x ≠ 0, todėl kampui, kurio galinis taškas yra šis taškas, sec θ = 1/x = v. Įgyjamos abi reikšmės: v = 1 ir v = −1; jokia reikšmė nėra griežtai tarp −1 ir 1.

Kosekanto įrodyme abi koordinatės sukeičiamos vietomis: iš 0 < |sin θ| ≤ 1 išplaukia |csc θ| ≥ 1, o pasirinkus P = (√(1 − 1/v²), 1/v) gaunama kiekviena reikšmė v, kuriai |v| ≥ 1. Šio taško vertikalioji koordinatė nelygi nuliui. Taigi tiek sekanto, tiek kosekanto visa reikšmių sritis yra (−∞, −1] ∪ [1, ∞). Simbolis ∪ reiškia dviejų intervalų sąjungą; begaliniai intervalų galai rodo, kad nėra baigtinio rėžio, o ne tai, kad įgyjamos reikšmės, vadinamos begalybe.

Periodas kartoja visą funkciją, ne vieną reikšmę

Teigiamas skaičius T yra periodas, jei apibrėžimo sritį pastūmus per T ji nepakinta ir f(θ + T) = f(θ) kiekvienam leistinam θ. Mažiausias toks teigiamas T yra pagrindinis periodas. Viena vienodų reikšmių pora neįrodo šios visuotinės poslinkio savybės: sin(π/6) = sin(5π/6), tačiau šiuos taškus atitinkančių kampų kosinusai skiriasi, ir tai nėra tas pats galinis taškas.

Pridėjus 2π, kiekvienas galinis taškas grįžta į save, todėl sinuso ir kosinuso reikšmės kartojasi kiekvienam realiajam θ. Sekanto ir kosekanto reikšmės taip pat kartojasi, o dėl nulinio vardiklio neįtraukti kampai po tokio pat poslinkio lieka neįtraukti. Pridėjus π, kiekvienas taškas (x, y) pereina į diametraliai priešingą tašką (−x, −y). Abiejų koordinačių ženklai pasikeičia. Todėl tan(θ + π) = (−y)/(−x) = tan θ, kai x ≠ 0, ir cot(θ + π) = (−x)/(−y) = cot θ, kai y ≠ 0; šios apibrėžimo srities sąlygos taip pat išlieka.

Tas pats posūkis per pusę apsisukimo pakeičia sekanto ir kosekanto reikšmių ženklus, o ne išlaiko jų reikšmes: sec(θ + π) = −sec θ ir csc(θ + π) = −csc θ jų apibrėžimo srityse. Sinuso ir kosinuso ženklai taip pat pasikeičia. Taigi posūkis per pusę apsisukimo yra tangento ir kotangento periodas, nors galinis taškas pasikeičia, tačiau jis nėra kitų keturių funkcijų periodas.

Teiginiams apie mažiausią periodą reikia papildomo argumento. Jei T > 0 yra kosinuso periodas, jo reikšmė ties 0 lemia, kad cos T = 1. Ši lygybė galioja tik dešiniajame apskritimo taške, todėl T yra teigiamas sveikasis 2π kartotinis. Sinuso periodui nagrinėti naudokime reikšmę 1 ties π/2: lygybė sin(π/2 + T) = 1 reiškia, kad gaunamas tas pats viršutinis taškas, todėl T vėl yra teigiamas sveikasis 2π kartotinis. Tokie pat patikrinimai, naudojant sec 0 = 1 ir csc(π/2) = 1, įrodo, kad ir šių funkcijų mažiausi teigiami periodai yra 2π.

Tangento periodo atveju jo reikšmė ties 0 lemia, kad tan T = 0, kai argumento reikšmė leistina. Vadinasi, sin T = 0, o T yra teigiamas sveikasis π kartotinis. Kotangento periodo atveju jo reikšmė 0 ties π/2 lemia, kad cos(π/2 + T) = 0, kai argumento reikšmė leistina, taigi T ir vėl yra teigiamas sveikasis π kartotinis. Kadangi argumentas apie pusę apsisukimo jau įrodo, kad π yra periodas, tangento ir kotangento mažiausias teigiamas periodas yra π. Šie įrodymai nustato bendras reikšmių pasikartojimo taisykles, o ne vien jų sutapimą ties pasirinktais kampais.

Funkcijos grafiko horizontaliojoje ašyje žymimas kampas

Apskritimo brėžinyje horizontalioji koordinatė yra cos θ, o vertikalioji – sin θ. Funkcijos f grafike žymimi taškai (θ, f(θ)): horizontalioji koordinatė yra argumento reikšmė radianais, o vertikalioji – viena funkcijos reikšmė. Taigi, kai θ = π/2, apskritimo taškas yra (0, 1), sinuso grafiko taškas – (π/2, 1), o kosinuso grafiko taškas – (π/2, 0). Tai skirtingi aprašymai koordinatėmis.

Kai 0 ≤ θ ≤ 2π, sinuso grafikas eina per taškus (0, 0), (π/2, 1), (π, 0), (3π/2, −1) ir (2π, 0). Kosinuso grafikas eina per taškus (0, 1), (π/2, 0), (π, −1), (3π/2, 0) ir (2π, 1). Sukantis apskritimo taško koordinatės kinta tolydžiai, todėl grafikai yra tolydžios kreivės, o ne tiesios atkarpos, nusakytos tik tais penkiais taškais. Apibrėžimai, grindžiami apskritimu, nustato funkcijų reikšmes ir tarp šių orientyrų.

Abiejų pagrindinių grafikų horizontalioji vidurio linija yra 0, o amplitudė – 1, tai reiškia, kad didžiausias vertikalus atstumas nuo tos vidurio linijos yra 1. Jų visa apibrėžimo sritis apima visus realiuosius kampus, reikšmių sritis yra [−1, 1], o pagrindinis periodas – 2π. Sinuso nuliai yra ties kiekvienu kπ, o kosinuso nuliai – ties kiekvienu π/2 + kπ; tai išplaukia iš išsamių sąlygų, nusakančių taško padėtį ant koordinačių ašių. Grafiko rodymo lange matoma tik aprėžta šių begalinių aibių dalis.

Atidžiai skaitykite horizontaliosios ašies skalę: padala, pažymėta π/2, reiškia kampą kaip argumento reikšmę, o padala, pažymėta 90°, naudoja kitą matavimo vienetą. Skaičiavimo priemonėje turi būti nustatytas atitinkamas režimas. Baigtinis nubraižytų taškų skaičius ir suapvalintos žymeklių padėtys padeda pamatyti funkciją, bet neįrodo jos visos apibrėžimo srities, visos reikšmių srities ar periodo. Šie teiginiai buvo gauti remiantis vienetiniu apskritimu ir algebriniais argumentais.

Neleistinos argumento reikšmės skiria santykių grafikų šakas

Tangento ir sekanto vertikaliosios asimptotės yra tiesės θ = π/2 + kπ; kotangento ir kosekanto – tiesės θ = kπ. Čia vertikalioji asimptotė reiškia, kad funkcijos reikšmių moduliai didėja neaprėžtai, kai leistinos argumento reikšmės iš bet kurios pusės artėja prie neleistino kampo. Ji nėra nei grafiko taškas, nei funkcijos reikšmė ties tuo kampu. Brėžkite atskiras šakas, o ne atkarpą, jungiančią grafiką per neleistiną argumento reikšmę.

Apibrėžimai paaiškina neaprėžtą reikšmių didėjimą. Kai apskritimo taškas artėja prie viršutinio arba apatinio taško, jo horizontalioji koordinatė artėja prie nulio, o vertikalioji – prie 1 arba −1. Todėl |y/x| ir |1/x| didėja neaprėžtai. Tiksliau, bet kokiai pasirinktai ribai M > 0 pakankamai arti esantiems leistiniems taškams galioja |y| > 1/2 ir 0 < |x| < 1/(2M), todėl |tan θ| > M ir |sec θ| > M. Prie dešiniojo arba kairiojo taško sukeiskite x ir y, kad gautumėte argumentą kotangentui ir kosekantui.

Tangentas ir kotangentas visose savo apibrėžimo srityse neturi baigtinio maksimumo ar minimumo ir neturi baigtinės amplitudės. Sekanto ir kosekanto reikšmės tenkina f(θ) ≤ −1 arba f(θ) ≥ 1; jų grafikai niekada nepatenka į atvirą juostą −1 < f(θ) < 1. Apribojus rodymo sritį vertikaliai, gali nesimatyti didelės neaprėžtos šakos dalies, o baigtinis pasirinktų taškų skaičius gali neapimti viso intervalo prie asimptotės. Remkitės tikslia apibrėžimo sritimi ir reikšmių sritimi, o ne tik rodoma grafiko dalimi.

Skaičiuojant su dešimtainiais skaičiais netoli π/2, tangento reikšmė gali būti labai didelė, nes argumentas yra netolimas leistinas kampas arba nes apskaičiuotas skaitinio π/2 artinio kosinusas nėra nulis. Tai nereiškia, kad tan(π/2) yra apibrėžtas. Prieš interpretuodami skaičiuotuvo rezultatą, patikrinkite tikslius vardiklius; savavališkai pasirinkta tolerancija taip pat neturėtų iš tikrųjų nenulinio tikslaus vardiklio paversti nuliu.

Atvirkštinė funkcija grąžina vieną pasirinktą kampą, o ne visus galimus posūkius

Visoje apibrėžimo srityje funkcijų reikšmės kartojasi, todėl sukeitus argumentą ir funkcijos reikšmę negalima gauti vienareikšmiškai apibrėžto kampo. Norint apibrėžti atvirkštinių funkcijų pagrindines šakas, pirmiausia reikia apriboti sinuso, kosinuso ir tangento funkcijas intervalais, kuriuose kiekviena reikšmė įgyjama tik vieną kartą. Arcsin naudojamas sinuso intervalas [−π/2, π/2], arccos – kosinuso intervalas [0, π], o arctan – tangento intervalas (−π/2, π/2). Tangento intervalo galai neįtraukiami, išlaikant apribojimą dėl nulinio vardiklio.

Vienetinis apskritimas paaiškina šį vienareikšmiškumą. Dešiniajame pusapskritimyje kiekvienas aukštis nuo −1 iki 1 pasitaiko lygiai vieną kartą, kai θ kinta nuo −π/2 iki π/2. Viršutiniame pusapskritimyje kiekviena horizontalioji koordinatė nuo 1 iki −1 pasitaiko lygiai vieną kartą, kai kampas kinta nuo 0 iki π. Tangento atveju kiekvienoje tiesėje y = vx yra lygiai vienas apskritimo taškas, kuriame x > 0, todėl gaunamas vienas kampas, griežtai didesnis už −π/2 ir mažesnis už π/2. Taip apribotos funkcijos taip pat įgyja visas jų atvirkštinėms funkcijoms reikalingas reikšmes.

Reiškinys arcsin u reiškia vienintelį kampą nurodytame pagrindiniame intervale, kurio sinusas lygus u. Jis skiriasi nuo atvirkštinio dydžio csc θ = 1/(sin θ). Arcsin u dažnai žymimas ir sin⁻¹ u, tačiau šiame žymėjime viršutinis indeksas −1 nereiškia atvirkštinio dydžio. Čia vartojame pavadinimus su arc, kad šios operacijos būtų aiškiai atskirtos.

Pavyzdžiui, sin(7π/6) = −1/2, tačiau arcsin(−1/2) = −π/6, o ne 7π/6. Grąžinamas kampas priklauso pagrindiniam intervalui, o pradinio posūkio kampas nebūtinai jam priklauso. Visų kampų radimas pagal trigonometrinės funkcijos reikšmę yra vėlesnė lygčių sprendimo užduotis. Šiame įvade pateikiami funkcijų šakų apribojimai ir jų prasmė, neteigiant, kad atvirkštinė funkcija atkuria kiekvieną neapribotos pradinės funkcijos argumentą.

Numatykite galinį tašką ar trūkstamą reikšmę ir patikrinkite

Skiltyje „Koordinatės“ pasirinkite π/3 ir, prieš peržiūrėdami tikslių reikšmių lentelę, numatykite, kuri koordinatė didesnė. Palyginkite su π/6. Projekcija H = (cos θ, 0) rodo horizontaliąją dedamąją; kai taškas nėra ant ašių, stačiojo trikampio statinių ilgiai yra |cos θ| ir |sin θ|. Ant ašies trikampis gali išsigimti, tačiau sinusas ir kosinusas lieka apibrėžti.

Skiltyje „Ketvirčiai“ pasirinkite 4π/3. Jo atraminis kampas yra π/3, tačiau abi koordinatės neigiamos. Palyginkite II ir IV ketvirčių atvejus, kad pamatytumėte, kuris ženklas pasikeičia. Atraminis kampas lemia teigiamus koordinačių modulius, o ne pradinę galinę kryptį.

Skiltyje „Posūkiai su ženklu ir periodai“ palyginkite kampą su kampais, gautais pridėjus pusę ir visą apsisukimą. Priešingi galiniai taškai gali duoti vienodas tangento reikšmes; sutampantys galiniai taškai duoda tas pačias sinuso ir kosinuso reikšmes. Ketvirtį apsisukimo pagal laikrodžio rodyklę, −π/2, atitinka teigiamasis kampas 3π/2 su ta pačia galine kryptimi. Pradinė sukimosi kryptis ir atliktų pilnų apsisukimų skaičius lieka atskirti nuo skaidinio sveikojo skaičiaus k.

Skiltyje „Šešios funkcijos“ pasirinkite π/2 ir numatykite, kurie vardikliai bus lygūs nuliui. Tangentas ir sekantas čia neapibrėžti, o kotangentas lygus 0, kosekantas – 1. Kiekvienoje scenoje galima pasirinkti iš aštuonių tikslių reikšmių. Paveikslai ir baigtinis pasirinkimų skaičius iliustruoja taisykles; anksčiau pateikti rašytiniai argumentai pagrindžia visas jų apibrėžimo ir reikšmių sritis bei periodus.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Kai θ = 17π/6, raskite jį atitinkantį kampą intervale [0, 2π), turintį tą pačią galinę kraštinę, ketvirtį, atraminį kampą, sinusą, kosinusą ir tangentą. Nurodykite, kas išlieka nepakitę taip redukuojant kampą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Atitinkamas kampas yra 5π/6, jo galinė kraštinė yra II ketvirtyje, o atraminis kampas lygus π/6. sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2 ir tan θ = −√3/3. Redukuojant kampą išlieka tas pats galinės kraštinės taškas ir šios reikšmės, tačiau nebeįtraukiamas vienas teigiamas pilnas apsisukimas.

   Atimkite 2π = 12π/6, kad gautumėte 5π/6. II ketvirtyje horizontalioji koordinatė yra neigiama, o vertikalioji – teigiama. Naudokite įrodytas π/6 kampo koordinačių absoliučiąsias reikšmes √3/2 ir 1/2. Tangento santykis yra (1/2)/(−√3/2) = −1/√3 = −√3/3, o kosinusas nelygus nuliui.

2. Raskite visų šešių funkcijų reikšmes, kai θ = −π/3, remdamiesi kampo galinės kraštinės ketvirčiu ir atraminiu kampu. Pateikite tikslias reikšmes.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   sin θ = −√3/2, cos θ = 1/2, tan θ = −√3, cot θ = −√3/3, sec θ = 2 ir csc θ = −2√3/3.

   Kampo atstovas 5π/3 yra IV ketvirtyje, o jo atraminis kampas yra π/3. Jo horizontalioji koordinatė yra 1/2, o vertikalioji – −√3/2. Abi koordinatės nelygios nuliui, todėl visos funkcijos yra apibrėžtos. Tangentą ir kotangentą raskite dalydami koordinates, o sekantą ir kosekantą – imdami atitinkamų koordinačių atvirkštinius dydžius. Pradinio posūkio pagal laikrodžio rodyklę ženklas nereiškia, kad kiekvienos funkcijos reikšmė yra neigiama.

3. Tarkime, sin θ = −3/5, o galinis taškas yra IV ketvirtyje. Raskite kosinusą ir keturių funkcijų, apibrėžiamų santykiais arba atvirkštiniais dydžiais, reikšmes. Kokios informacijos trūktų be sąlygos apie ketvirtį?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   cos θ = 4/5, tan θ = −3/4, cot θ = −4/3, sec θ = 5/4 ir csc θ = −5/3. Be sąlygos apie ketvirtį kosinusas galėtų būti 4/5 arba −4/5.

   Iš vienetinio apskritimo tapatybės gauname (cos θ)² = 1 − 9/25 = 16/25. IV ketvirtyje x yra teigiamas, todėl pasirinkite +4/5, o ne −4/5. Abi koordinatės nelygios nuliui, todėl visos keturios likusios funkcijos yra apibrėžtos. Jų ženklai ir tikslios reikšmės gaunami iš santykių −3/4 ir −4/3 bei atvirkštinių dydžių 5/4 ir −5/3.

4. Apskaičiuokite visų šešių funkcijų reikšmes, kai θ = 3π/2. Kurių funkcijų grafikai ties šiuo kampu turi tašką, o kurių – vertikaliąją asimptotę?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   sin θ = −1, cos θ = 0, cot θ = 0 ir csc θ = −1 yra apibrėžtos funkcijų reikšmės, atitinkančios taškus grafikuose. Tangentas ir sekantas yra neapibrėžti, o jų grafikai turi vertikaliąsias asimptotes ties θ = 3π/2.

   Apskritimo taškas yra (0, −1). Horizontalioji koordinatė vardiklyje lemia, kad tan ir sec yra neapibrėžti, o nelygi nuliui vertikalioji koordinatė vardiklyje leidžia apskaičiuoti cot = 0/(−1) = 0 ir csc = 1/(−1) = −1. Sinusas ir kosinusas apibrėžti visiems realiesiems argumentams. Vertikalioji asimptotė rodo netoliese esančias neaprėžtas reikšmes, o ne tašką ties argumentu, nepriklausančiu apibrėžimo sričiai.

5. Ar sekanto reikšmė gali būti −3? Sudarykite vienetinio apskritimo tašką su tiksliomis koordinatėmis, kuriame ši reikšmė pasiekiama. Ar sekanto reikšmė gali būti 1/2? Abu atsakymus paaiškinkite remdamiesi visa jo reikšmių sritimi, o ne grafiku.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taip: P = (−1/3, 2√2/3) yra vienetinio apskritimo taškas, kuriame sec θ = −3. Ne: 1/2 nepriklauso sekanto reikšmių sričiai, kurią sudaro tik reikšmės v ≤ −1 arba v ≥ 1.

   Pasirinktų koordinačių kvadratai yra 1/9 ir 8/9, jų suma lygi 1, o x = −1/3 nelygus nuliui. Todėl egzistuoja realusis kampas, atitinkantis šį tašką, ir sec θ = 1/x = −3. Kiekvienam sekanto apibrėžimo sričiai priklausančiam argumentui galioja 0 < |x| ≤ 1, todėl |1/x| ≥ 1; reikšmė 1/2 yra neįmanoma. Bendroji konstrukcija x = 1/v su atitinkama kita apskritimo taško koordinate įrodo, kad pasiekiama kiekviena reikšmė, kurios modulis yra ne mažesnis už 1.

6. Palyginkite θ = π/4 ir θ + π = 5π/4. Raskite juos atitinkančius vienetinio apskritimo taškus ir tangento reikšmes. Ar vienodos tangento reikšmės reiškia tą patį galinį tašką? Ar π taip pat yra sinuso periodas?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Taškai yra (√2/2, √2/2) ir (−√2/2, −√2/2), o abu tangentai lygūs 1. Šie taškai yra diametraliai priešingi, o ne sutampantys. π yra tangento periodas, bet nėra sinuso periodas; šios dvi sinuso reikšmės yra priešingos ir nelygios nuliui.

   Pasukus pusę apsisukimo, abi koordinatės pakeičia ženklą, todėl jų santykis nekinta visur, kur kosinusas nelygus nuliui. Taip gaunamas bendras tangento periodiškumo įrodymas, išlaikant jo apibrėžimo sritį. Šiame pavyzdyje sinuso reikšmės yra √2/2 ir −√2/2, todėl π nėra sinuso periodas. Mažiausias teigiamas sinuso periodas yra 2π; tai pagrindžiama bendru argumentu, paremtu vienetiniu apskritimu, o ne vien šia reikšmių pora.

7. Apskaičiuokite tikslias arcsin(sin(7π/6)), arccos(cos(5π/3)) ir arctan(tan(3π/4)) reikšmes. Ar arcsin 2 reikšmė yra realusis skaičius? Atskirkite šias atvirkštines funkcijas nuo funkcijų, reiškiančių atvirkštinius dydžius.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pagrindinės reikšmės yra atitinkamai −π/6, π/3 ir −π/4. Arcsin 2 neapibrėžtas realiųjų skaičių aibėje. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos grąžina kampus iš savo pagrindinių intervalų, o atvirkštinius dydžius reiškiančios funkcijos, tokios kaip csc, grąžina koordinačių atvirkštines reikšmes.

   Vidinių funkcijų reikšmės yra −1/2, 1/2 ir −1. Parinkite jas atitinkančius kampus atitinkamai iš intervalų [−π/2, π/2], [0, π] ir (−π/2, π/2). Nė vienas iš trijų pradinių kampų nepriklauso atitinkamam pagrindiniam intervalui. Argumentas 2 nepriklauso arcsin apibrėžimo sričiai [−1, 1], todėl negalima gauti realiosios pagrindinio kampo reikšmės. Sinuso atvirkštinį dydį reiškia csc, o ne arcsin.

Ką verta įsidėmėti

• Kiekvienam realiajam kampui θ, išreikštam radianais, galinis vienetinio apskritimo taškas yra (cos θ, sin θ). Šie apibrėžimai atitinka stačiojo trikampio kraštinių santykius smailiesiems kampams ir taip pat apima koordinačių ašis, neigiamus kampus bei sukimus per kelis apsisukimus.
• Ketvirčio viduje koordinačių moduliams nustatyti naudokite smailųjį atraminį kampą, tada priskirkite ketvirtį atitinkančius ženklus. Reikšmės ant ašių nustatomos tiesiogiai iš apskritimo; pradinis sukimasis su ženklu laikomas atskirai nuo jo galinę padėtį atitinkančio kampo.
• Sinuso ir kosinuso apibrėžimo sritis yra visi realieji skaičiai, o visa reikšmių sritis yra [−1, 1]. Vienetinio apskritimo lygtis įrodo jų kvadratų sumos tapatybę, o koordinačių konstravimas įrodo, kad kiekviena nurodyta reikšmė yra pasiekiama.
• Tangentas ir sekantas neapibrėžti, kai θ = π/2 + kπ; kotangentas ir kosekantas neapibrėžti, kai θ = kπ, kur k yra sveikasis skaičius. Apibrėžkite cot kaip cos/sin: 1/tan sutampa su juo tik siauresnėje bendroje apibrėžimo srityje.
• Tangentas ir kotangentas įgyja kiekvieną realiąją reikšmę. Sekantas ir kosekantas įgyja tik reikšmes, ne didesnes už −1 arba ne mažesnes už 1. Įrodykite ir šias ribas, ir reikšmių pasiekiamumą, laikydamiesi sąlygos, kad vardikliai nelygūs nuliui.
• Mažiausi teigiami periodai yra 2π funkcijoms sin, cos, sec ir csc bei π funkcijoms tan ir cot. Periodas išlaiko apibrėžimo sritį ir kiekvieną funkcijos reikšmę; viena sutampančių reikšmių pora ar diametraliai priešingų taškų pora nebūtinai reiškia tą patį galinį tašką.
• Funkcijos grafike vaizduojama reikšmės priklausomybė nuo kampo, o asimptotė nėra funkcijos reikšmė ties kampu, nepriklausančiu apibrėžimo sričiai. Pagrindinės atvirkštinių funkcijų šakos naudoja apribotus kampų intervalus; baigtinės imtys ir skaitmeniniai brėžiniai nepakeičia išsamių apibrėžimų ir įrodymų.