Trikampių sprendimas ir praktinis taikymas

Pradėkite nuo dviejų ilgių ir kampo tarp jų

Du tiesūs keliai prasideda tame pačiame taške: vieno ilgis yra 6 m, kito – 9 m, o kampas tarp jų yra 60°. Koks atstumas tarp jų galinių taškų? Nelaikoma, kad trikampis yra statusis. Pagal kosinusų teoremą trečiosios kraštinės ilgis bus 3√7 m; naudojant tą patį kampą tarp kraštinių, trikampio plotas bus 27√3/2 m². Pradiniame brėžinyje matyti bendras pradžios taškas, du žinomi keliai ir prieš kampą esanti nežinoma kraštinė.

Pasiruoškite pakartodami trikampių žymėjimą, kampų sumą ir panašumą, tada – Pitagoro teoremą ir atstumų skaičiavimą pagal koordinates. Taip pat reikia suprasti sinuso ir kosinuso prasmę vienetiniame apskritime ir žinoti jų reikšmes, kai kampai yra 30°, 60°, 90° ir 120°. Vėliau, nagrinėjant kvadratinę lygtį, bus išskiriamas pilnasis kvadratas, kad būtų nustatyta, kodėl kai kurie SSA duomenys duoda du skirtingus trikampius.

Skaitydami pirmą kartą, sekite žymėjimą, kosinusų ir sinusų teoremas, ploto skaičiavimą bei SSS/SAS ir ASA/AAS metodus. Tada išspręskite atstumo ir ploto skaičiavimo pavyzdį. Pirmiausia vizualiai išnagrinėkite SSA konstrukciją su apskritimu ir spinduliu, o tada grįžkite prie jos algebrinio įrodymo išskiriant pilnąjį kvadratą; smailiųjų ir nesmailiųjų kampų atvejų lentelėse nurodytos visos ribos. Geodezinių matavimų pavyzdyje naudojama sin 75° reikšmė, gaunama pagal kampų sumos formulę, todėl grįžkite prie jo, kai mokėsite šią reikšmę apskaičiuoti pagal tą formulę.

Prieš spręsdami įvardykite, ką trikampis vaizduoja

Naudokite įprastą neišsigimusį Euklido trikampį su viršūnėmis A, B ir C. Vidaus kampas ties kiekviena viršūne žymimas ta pačia didžiąja raide, o prieš jį esanti kraštinė – atitinkama mažąja raide: a = BC, b = AC ir c = AB. Taigi kampas A yra tarp kraštinių b ir c, o ne tarp a ir b. Išspręsti trikampį reiškia rasti visų trijų kraštinių ilgius ir visus tris vidaus kampus; konkrečiame taikymo uždavinyje gali reikėti rasti tik atstumą arba plotą.

Kiekvienos kraštinės ilgis turi būti teigiamas ir išreikštas tuo pačiu matavimo vienetu. Vidaus kampai tenkina sąlygas 0 < A, B, C < π ir A + B + C = π, arba lygiavertiškai 0° < A, B, C < 180°, o jų suma lygi 180°. Sukimosi kampai su ženklu ir kelių pilnų apsisukimų kampai taip pat yra tinkami trigonometrinių funkcijų argumentai, tačiau jie nėra šio įprasto trikampio vidaus kampų duomenys. Nulinis kampas, nulinio ilgio kraštinė arba ištiestinis kampas sudaro išsigimusią konfigūraciją, o ne čia leistiną trikampį.

Jei pateikti trys teigiami kraštinių ilgiai, patikrinkite griežtąsias trikampio nelygybes a + b > c, a + c > b ir b + c > a. Lygybės atveju viršūnės yra vienoje tiesėje, o plotas lygus nuliui; priešingos krypties nelygybė reiškia, kad trikampis neįmanomas. Pavyzdžiui, 3, 4 ir 6 gali būti trikampio kraštinių ilgiai, nes 3 + 4 > 6, nors jie nėra stačiojo trikampio kraštinių duomenys. O reikšmės 3, 4 ir 7 atitinka išsigimimo ribą, kurioje galioja lygybė.

Aiškiai nurodykite kampų matavimo vienetus. Skaičiuojant sin 30°, turimas omenyje laipsniais išreikštas kampas, lygus π/6 radianų, o sin 30 be laipsnio simbolio pagal susitarimą reiškia kampą radianais. Konvertuokite vienetus arba naudokite atitinkamą skaičiavimo režimą. Toliau pateiktuose koordinatiniuose įrodymuose kampai išreikšti radianais; pavyzdžiuose su laipsnio simboliu žymimi lygiaverčiai kampai.

Kosinusų teorema apibendrina Pitagoro teoremą visiems vidiniams kampams

Pažymėkime A = (0, 0) ir B = (c, 0), o C tegul yra virš pagrindo tiesės. Kadangi AC = b, o kampas tarp AC ir teigiamos pagrindo tiesės krypties yra A, iš vienetinio apskritimo apibrėžčių gauname C = (b cos A, b sin A). Šis aprašymas galioja kiekvienam kampui 0 < A < π: kai A bukasis, horizontalioji koordinatė yra neigiama, tačiau vertikalioji koordinatė vis tiek teigiama. Statmens pagrindas gali būti už kraštinės atkarpos ribų; koordinatės ir tuomet lieka teisingos.

Atstumas nuo B iki C yra a, todėl a² = (b cos A − c)² + (b sin A)². Išskleidę skliaustus ir pasinaudoję tapatybe cos² A + sin² A = 1, gauname a² = b² + c² − 2bc cos A. Analogiškai peržymėję viršūnes, gauname b² = a² + c² − 2ac cos B ir c² = a² + b² − 2ab cos C. Šios lygybės išreiškia kosinusų teoremą, dar vadinamą kosinusų dėsniu.

Kai A = π/2, narys su kosinusu lygus nuliui, todėl a² = b² + c². Kai A smailusis, cos A > 0 ir a² < b² + c²; kai A bukasis, cos A < 0 ir a² > b² + c². Šiuose palyginimuose daroma prielaida, kad a yra kraštinė prieš kampą A. Ši teorema nepaverčia bet kurio nestačiojo trikampio trikampiu, kurio įžambinė yra a.

Kai teigiami kraštinių ilgiai gali sudaryti trikampį, išreiškiame cos A = (b² + c² − a²)/(2bc). Vardiklis yra teigiamas, o leistinas santykis yra griežtai tarp −1 ir 1. Tuomet pagrindinė atvirkštinės funkcijos šaka A = arccos((b² + c² − a²)/(2bc)) duoda vienintelį vidinį kampą intervale (0, π). Ši šaka apima ir bukuosius kampus, todėl išvengiama atvirkštinei sinuso funkcijai būdingo nevienareikšmiškumo dėl gretutinio kampo.

Bendras plotas susieja kiekvieną kraštinę su prieš ją esančio kampo sinusu

Teigiamą trikampio plotą žymėkime Δ. Toje pačioje koordinačių sistemoje statmenas aukštis virš tiesės AB yra b sin A > 0, todėl Δ = (1/2)bc sin A. Pagrindais pasirinkę kitas dvi kraštines, gauname Δ = (1/2)ac sin B = (1/2)ab sin C. Šios formulės galioja ir bukajam trikampiui, nes statmenas aukštis yra atstumas iki pagrindo tiesės, net jei statmens pagrindas yra už kraštinės atkarpos ribų.

Kiekvieną ploto išraišką padauginkime iš 2 ir padalinkime iš teigiamos sandaugos abc. Gauname sin A/a = sin B/b = sin C/c = 2Δ/(abc). Visų vidinių kampų sinusai yra teigiami, todėl, paėmę atvirkštinius dydžius, taip pat gauname a/sin A = b/sin B = c/sin C = abc/(2Δ). Šios lygybės išreiškia sinusų teoremą, dar vadinamą sinusų dėsniu. Skaitiklyje yra kampo sinusas, o ne pats kampo dydis.

Jei žinomi a ir A, nežinoma kraštinė b apskaičiuojama pagal b = a sin B/sin A, kai tik žinomas B. Jei vietoj to žinomi a, A ir b, tuomet sin B = (b/a)sin A. Pastaroji lygtis gali turėti dvi galimas vidinio kampo reikšmes. Sinusų teorema galioja kiekvienam egzistuojančiam trikampiui, tačiau vien jos teisingumas nereiškia, kad kiekvienas siūlomas duomenų rinkinys apibrėžia trikampį.

Santykių sin A/a vienetai yra atvirkštiniai ilgio vienetai, o a/sin A vienetai yra ilgio vienetai. Dauginant arba dalijant ilgius, išreikštus nesuderintais vienetais, užtemdomas norimas ryšys. Pavyzdžiui, prieš atlikdami veiksmus su metrais išreikštais ilgiais, 400 cm paverskite į 4 m; pačios kampo funkcijų reikšmės yra bedimensės.

Plotui apskaičiuoti reikia kampo tarp dviejų pasirinktų kraštinių

Ploto formulės yra Δ = (1/2)bc sin A = (1/2)ac sin B = (1/2)ab sin C. Kiekvienas kampas yra tarp dviejų kraštinių, kurių ilgiai pateikti šalia jo. Tokia formulė kaip (1/2)ab sin A paprastai susieja šias kraštines su netinkamu kampu. Prieš pasirinkdami sandaugą, pažymėkite viršūnes.

Aukštinė į pasirinktą pagrindą yra statmenas atstumas iki tiesės, kurioje yra tas pagrindas. Pasirinkus pagrindą c, h = b sin A = a sin B ir Δ = (1/2)ch. Bukojo trikampio vienos iš aukštinių pagrindas gali būti kraštinės tęsinyje. Statmenas atstumas vis tiek yra teigiamas; neigiama horizontalioji projekcija nereiškia neigiamos aukštinės.

Jei duoti trijų kraštinių ilgiai, iš kurių galima sudaryti trikampį, pirmiausia raskite vidaus kampą pagal kosinusų teoremą, tada plotui apskaičiuoti naudokite teigiamą jo sinusą. Pavyzdžiui, jei cos A = 3/5, sąlyga 0 < A < π parenka sin A = 4/5, todėl Δ = (1/2)bc(4/5). Čia nedaroma prielaida, kad pradinis trikampis yra statusis; kampo reikšmes lemia jį atitinkančios vienetinio apskritimo koordinatės.

Aiškiai nurodykite kvadratinius matavimo vienetus. Jei ilgiai išreikšti metrais, plotas gaunamas m², o jei kilometrais – km². Perskaičiuojant 1 km į 1000 m, gaunama 1 km² = 1,000,000 m². Skaičiuodami išlaikykite tikslias šaknų arba trigonometrines išraiškas ir apvalinkite tik prašomą galutinį dydį.

Trys kraštinės arba dvi kraštinės ir kampas tarp jų lemia vieną trikampio formą

Kai duotos trys kraštinės (SSS), jų ilgiai turi būti teigiami ir turi galioti visos griežtosios trikampio nelygybės. Visų pirma, |b − c| < a < b + c. Pakėlus šiuos neneigiamus rėžius kvadratu ir pertvarkius, įrodoma, kad −1 < (b² + c² − a²)/(2bc) < 1. Taigi pagal kosinusų teoremą taikant atvirkštinę funkciją gaunamas vidaus kampas A. Tuomet taško C = (b cos A, b sin A) koordinatės užtikrina, kad AC = b ir BC = a, todėl taip sudaromas tinkamas trikampis su pagrindu AB = c. Tai įrodo ir egzistavimą, ir vienatinumą iki standžiųjų judesių ir atspindžio.

Kai duotos dvi kraštinės ir kampas tarp jų (SAS), b > 0, c > 0 ir 0 < A < π, tos pačios koordinatės iš karto leidžia sudaryti trikampį, kurio aukštinė b sin A yra teigiama. Trūkstamos kraštinės ilgis yra teigiama kvadratinė šaknis a = √(b² + c² − 2bc cos A). Kadangi visos trys viršūnės yra skirtingos ir nėra vienoje tiesėje, gautos kraštinės tenkina griežtąsias trikampio nelygybes. Kiekvieną trikampį su šiais pažymėtais duomenimis galima išdėstyti pagal šias koordinates arba atspindėti po pagrindu, todėl jo kraštinių ilgiai ir kampų dydžiai yra tokie patys.

Po bet kurio iš šių konstravimų kitą kampą raskite pagal kosinusų teoremą, o paskutinį – atimdami žinomus kampus iš π, arba visus tris apskaičiuokite pagal jų kosinusų teoremos santykius. Jei kampui rasti naudojate sinusų teoremą, išlaikykite abi galimas kampo reikšmes, kurių suma yra π, kol jau nustatyti trikampio duomenys leis pasirinkti teisingąją. Vienintelė SSS arba SAS trikampio forma nepateisina aklo smailiojo kampo pasirinkimo pagal arcsin rezultatą.

Čia vienas kito atspindžiai, kurie yra lygūs trikampiai, laikomi vienu trikampio sprendiniu, nes visų atitinkamų kraštinių ilgiai ir vidaus kampai sutampa. SSA nevienareikšmiškumas yra kitoks: dviejų tinkamų trikampio formų trečiųjų kraštinių ilgiai ir kampų dydžiai skiriasi.

Du kampai nustato formą, viena kraštinė – mastelį

Kai duoti ASA arba AAS duomenys ir žinomi A bei B, pirmiausia turi būti tenkinamos sąlygos A > 0, B > 0 ir A + B < π. Tuomet C = π − A − B yra teigiamas. Jei suma lygi π, trečiasis kampas lygus nuliui ir konfigūracija yra išsigimusi; jei suma viršija π, įprastas trikampis neegzistuoja. Teigiamas žinomos kraštinės ilgis nepaverčia neįmanomų kampų duomenų įmanomais.

Trys vidaus kampai apibrėžia trikampį iki panašumo. Viena teigiamo ilgio atitinkama kraštinė nustato jo mastelį, todėl tiek ASA, tiek AAS atveju yra vienas sprendinys iki trikampių lygumo. Kai žinoma kraštinė a, naudokite b = a sin B/sin A ir c = a sin C/sin A; kai žinoma c, naudokite a = c sin A/sin C ir b = c sin B/sin C. Visi vardikliai nelygūs nuliui, nes atitinkami kampai yra griežtai vidiniai.

Egzistavimą taip pat galima parodyti padėjus žinomą kraštinę tarp duotųjų kampų ant bazinės tiesės ir į tą pačią pusplokštumę nubrėžus du spindulius, sudarančius duotuosius vidaus kampus. Kadangi šie kampai teigiami, o jų suma mažesnė už π, spinduliai susikerta vieninteliame taške virš bazinės tiesės. Jei vietoj jos buvo duota kita kraštinė, pakeiskite šio trikampio mastelį vieninteliu teigiamu koeficientu, kad tos kraštinės ilgis atitiktų duotąjį. Ši konstrukcija paaiškina, kodėl pagal sinusų teoremą gautos reikšmės aprašo tikrą trikampį, o ne vien algebrinių reikšmių sąrašą.

Pavyzdžiui, A = 30°, B = 45° ir teigiamo ilgio kraštinė a yra AAS duomenys; kraštinė tarp A ir B būtų c. Trečiasis kampas lygus 105°. Sudarydami santykius išlaikykite kampų žymenų ryšį su prieš juos esančiomis kraštinėmis, net jei brėžinys pasuktas.

SSA atveju galimos daugiausia dvi formos, nes apskritimas spindulį kerta daugiausia du kartus

Tarkime, žinomas A, tenkinantis 0 < A < π, o žinomos kraštinės yra a > 0 prieš kampą A ir b > 0 prie kampo A. Pažymėkime A = (0, 0), C = (b cos A, b sin A), o B = (c, 0) leiskime judėti bazinės tiesės teigiamosios krypties spinduliu, kai c > 0. Sąlyga BC = a reiškia, kad B yra ant apskritimo, kurio centras C, o spindulys a. Teigiamas apskritimo spindulys ir teigiamosios krypties kraštinės spindulio sąlyga yra šios konstrukcijos dalis.

Tegu h = b sin A > 0. Apskritimo lygtis pagrindo tiesėje yra (c − b cos A)² + h² = a². Pažymėkime D = a² − h² sumažintąjį diskriminantą – pošakninį reiškinį, gautą išskyrus pilnąjį kvadratą. Išskleistos kvadratinės lygties c² − 2b cos A·c + (b² − a²) = 0 įprastas diskriminantas yra (−2b cos A)² − 4(b² − a²) = 4D. Jei D neigiamas, realių susikirtimo taškų nėra. Jei D ≥ 0, algebriškai galimos reikšmės yra c = b cos A ± √D. Palikite tik skirtingas teigiamas c reikšmes. Kiekvieno palikto taško aukštis h yra teigiamas, todėl jis apibrėžia neišsigimusį trikampį su reikiamais pradiniais kraštinių ilgiais ir kampu. Nulinė arba neigiama c reikšmė negali būti trečiosios kraštinės ilgis.

Lygtis apima visas galimas padėtis spindulyje ir taip įrodo, kad galimos daugiausia dvi trikampio formos. Kai D = 0, abi formulės sutampa, todėl pasikartojančią reikšmę, jei ji teigiama, skaičiuokite tik vieną kartą. Atspindžiai pagrindo tiesės atžvilgiu duoda lygius trikampius, o ne papildomas formas. Bendrasis susikirtimo argumentas pagrindžia, kad išnagrinėtos visos galimybės; baigtinis nubraižytų pavyzdžių rinkinys tai tik iliustruoja.

Lygiavertis kampų metodas prasideda nuo sin B = (b/a)sin A. Jei dešinioji pusė viršija 1, trikampio nėra. Kitu atveju raskite pagrindinę galimą reikšmę B₁ = arcsin((b/a)sin A) intervale (0, π/2] ir kitą galimą kampą B₂ = π − B₁, kuris kartu su B₁ sudaro π. Kai B₁ = π/2, sutampančias reikšmes skaičiuokite tik vieną kartą. Kiekvienai galimai reikšmei reikalaukite, kad C = π − A − B > 0, tada apskaičiuokite c = a sin C/sin A ir patikrinkite pradinius duomenis. Vien rasti realią arcsin reikšmę nepakanka.

Sinuso lygtis turi du galimus teigiamus vidaus kampus, nes horizontali tiesė kerta viršutinį vienetinį pusapskritimį daugiausia dviejuose taškuose. Patikrinus, ar trečiasis kampas teigiamas, gaunamos tos pačios tinkamos formos kaip ir taikant konstrukciją teigiamajame spindulyje. Kampo π − B₁ šaka, kurioje C lygus nuliui, duoda išsigimusį trikampį, o šaka, kurioje C neigiamas, netinka, nes toks trikampio vidaus kampas neįmanomas.

Kai žinomas kampas smailus, palyginkite a su aukščiu ir b

Tarkime, kad 0 < A < π/2, o a ir b teigiami. Tada b cos A > 0 ir 0 < h = b sin A < b. Jei a < h, tai D < 0 ir susikirtimo nėra. Jei a = h, tai D = 0, o c = b cos A > 0 nusako vienintelį susikirtimo tašką: kraštinė BC statmena AB, todėl B = π/2. Tai vienas tinkamas statusis trikampis, o ne išsigimęs lygybės atvejis.

Jei h < a < b, tai 0 < √D < b cos A: lyginant kvadratus gaunama a² − b² sin² A < b² cos² A, o tai lygiavertiška a² < b². Todėl abi c = b cos A ± √D reikšmės yra teigiamos ir skirtingos, taigi gaunamos dvi formos. Vieno trikampio kampas B smailus, o kito – bukas; abiejų trečiasis kampas teigiamas.

Kai a = b, tai √D = b cos A. Viena galima reikšmė yra c = 0 ir ją reikia atmesti; kita yra c = 2b cos A > 0. Jei a > b, tai √D > b cos A, todėl reikšmė su minuso ženklu neigiama ir lieka tik reikšmė su pliuso ženklu. Taigi, kai A smailus, a ≥ b duoda lygiai vieną tinkamą trikampį. Lygybės a = h ir a = b turi skirtingas geometrines prasmes ir jų negalima sujungti.

Kai žinomas kampas statusis arba bukasis, a turi būti griežtai didesnis už b

Jei A = π/2, tai b cos A = 0 ir h = b. Galimos reikšmės yra c = ±√(a² − b²). Teigiama c reikšmė egzistuoja tada ir tik tada, kai a > b; tuomet c = √(a² − b²). Kai a = b, vienintelė galima reikšmė yra c = 0, todėl neišsigimusio trikampio nėra. Šis ribinis atvejis skiriasi nuo atvejo a = h, kai A yra smailusis kampas: tada lietimosi taškas yra teigiamajame spindulyje, bet ne jo pradžioje.

Jei π/2 < A < π, tai b cos A < 0. Kai a < h, nėra jokios galimos realiosios reikšmės. Kai h ≤ a ≤ b, bet kuri realioji √D reikšmė tenkina √D ≤ |b cos A|, todėl net reikšmė su pliuso ženklu yra neteigiama; nė viena reikšmė netinka. Kai a > b, √D > |b cos A|, todėl reikšmė su pliuso ženklu yra teigiama, o reikšmė su minuso ženklu – neigiama. Galimas lygiai vienas trikampis.

Taigi kiekvienam π/2 ≤ A < π visa sąlyga yra tokia: kai a > b, galimas vienas trikampis, o kai a ≤ b, nėra nė vieno. Tokio trikampio kampas A yra didžiausias vidinis kampas, todėl prieš jį esanti kraštinė turi būti griežtai ilgesnė už kiekvieną iš kitų dviejų kraštinių. Įrodymas naudojant teigiamąjį spindulį šią sąlygą nustato tiesiogiai, o ne remiasi prielaida, kad aukščio sąlygų lentelė smailiajam kampui tinka be pakeitimų.

Trumpas patikros pavyzdys: kai A = 120° ir a = b, trikampio sudaryti negalima. Nors (b/a)sin A = √3/2 yra tinkamas arksinuso argumentas, pasirinkus galimas reikšmes B = 60° ir 120°, likęs kampas yra 0° arba neigiamas. Abu atvejai neatitinka pradinių prielaidų apie vidinius kampus.

Išspręstas trikampis atsako į klausimą tik tada, kai modelis jį atitinka

Sudarykite modelį nurodytoje plokštumoje: nustatykite tris taškus, kurie atstumai tiesia linija yra duoti ir kurie kampai yra vidiniai. Kreivo maršruto ilgis nebūtinai yra jo galinius taškus jungiančios tiesios kraštinės ilgis. Horizontalieji geodezinių matavimų kampai priklauso horizontaliosios plokštumos modeliui, o pakilimo kampas – vertikaliosios plokštumos modeliui. Tos pačios taisyklės galioja abiejose Euklido plokštumose, kai pažymėti duomenys atitinka konstrukciją.

Pagal čia taikomą azimutų nustatymo susitarimą kryptys matuojamos nuo šiaurės pagal laikrodžio rodyklę per visą 360° apsisukimą. Dviejų spindulių, prasidedančių tame pačiame taške, krypčių skirtumą perskaičiuokite į δ intervale [0°, 360°); tuomet mažesnysis kampas tarp jų yra min(δ, 360° − δ). Pavyzdžiui, 350° ir 070° azimutai sudaro 80°, o ne 280° kampą. Jei mažesnysis kampas yra 0° arba 180°, šie du spinduliai nesudaro čia numanomo neišsigimusio SAS trikampio. Posūkio kampą maršrute taip pat gali tekti pakeisti jo gretutiniu kampu, kad jis taptų vidiniu trikampio kampu.

Geodezinių matavimų bazinė atkarpa ir dvi vizavimo linijos gali apibrėžti trikampį, tačiau kraštinės išilgai vizavimo linijos ilgis nėra statmenos aukštinės ilgis. Išsprendę trikampį, raskite aukštinės ilgį pagal tinkamą formulę su sinusu arba aukštinės formulę. Jei modeliuojami du tiesūs lygiagretūs krantai, o bazinė atkarpa yra išilgai vieno kranto, statmenas atstumas nuo taško kitame krante iki bazinės atkarpos tiesės reiškia plotį. Be šios geometrinės interpretacijos jis lieka atstumu iki tiesės.

Atskirame aukščio modelyje vertikaliojoje plokštumoje tegul d > 0 yra horizontalusis atstumas nuo stebėtojo iki objekto pagrindo ant lygaus žemės paviršiaus, e ≥ 0 – stebėtojo akių aukštis virš to paviršiaus, o 0 < E < π/2 – pakilimo kampas iki viršūnės, esančios aukščiau akių. Iš stačiojo trikampio gaunamas aukštis virš akių lygio d tan E, todėl bendras aukštis virš pagrindo lygio yra H = e + d tan E. Horizontalusis atstumas nėra pasviros vizavimo linijos ilgis. Pakilimo kampas π/2, kai d > 0, nesudaro baigtinio tokios formos trikampio.

Prieš taikydami santykius ar formules su kvadratais, suvienodinkite ilgio vienetus. Tarpiniuose veiksmuose išlaikykite tikslias vertes, o suapvalintus rezultatus žymėkite ≈. Kai SSA duomenys yra arti a = h arba a = b ribos, dėl apvalinimo pateiktas pradinis dydis gali atsidurti kitoje ribos pusėje ir pakeisti galimų trikampių skaičių. Tikslus priskyrimas ribiniam atvejui remiasi prielaida, kad pateikti duomenys yra tikslūs; dėl matavimo neapibrėžties su stebėjimais gali būti suderinamas daugiau nei vienas atvejis.

Numatykite brėžinį prieš perskaitydami tikslų rezultatą

Kai duotos kraštinės, palyginkite trikampį, kurio kraštinės yra 13, 14, 15, su išsigimusiu lygybės atveju. Prieš tikrindami griežtąsias nelygybes, numatykite, ar turėtų pasirodyti užpildytas trikampis. Tada palyginkite smailųjį ir bukąjį kampą tarp kraštinių: ar kosinusų teoremos pataisos narys sutrumpina, ar pailgina priešais kampą esančią kraštinę? Rezultatą lemia tikslūs ilgiai ir plotas; dešimtainės koordinatės tik nustato brėžinio padėtį. Interaktyviojoje priemonėje plotas žymimas S, o šioje pamokoje jį atitinka Δ.

Kai duoti kampai, pradėkite nuo 30° ir 60°. Raskite teigiamą likusį kampą, tada nustatykite, ar žinoma kraštinė yra priešais kampą, ar tarp dviejų duotų kampų. Prieš skaitydami pagal sinusų teoremą apskaičiuotus ilgius, numatykite, kuri kraštinė ilgiausia. Pakeiskite duomenis taip, kad kampų suma pasiektų ribinę reikšmę arba žinomos kraštinės ilgis būtų nulis, ir paaiškinkite, kodėl neišsigimęs trikampis nebraižomas.

SSA atveju palikite A = 30° ir b = 6, o a keiskite paeiliui į 2, 3, 4 ir 6. Remdamiesi h = 3, numatykite, kad galimų trikampių bus atitinkamai nulis, vienas, du ir vienas. Išnagrinėkite kiekvieną apskritimo sankirtą su pagrindo tiese ir paaiškinkite, kodėl kandidatas, kurio reikšmė lygi nuliui, atmetamas, kai a = 6. Interaktyviosios priemonės sutrumpintasis diskriminantas Δ čia yra D = a² − h². Palyginkite trikampį, gaunamą lietimosi atveju esant smailiajam kampui, su lygybės atveju, kai žinomas kampas statusis: apskritimas gali liesti spindulį taške su teigiama koordinate arba jo pradžios taške, kuris neįtraukiamas.

Atlikdami matavimus, prieš skaičiuodami nustatykite, kuri atkarpa atitinka ieškomą dydį. Krantų modelyje palyginkite statmenai matuojamą plotį su abiem įstrižomis stebėjimo linijomis. Aukščio modelyje atskirkite aukštį virš stebėtojo akių nuo viso aukščio virš žemės. Skaičiuodami pagal azimutus, prieš lygindami galinius taškus kilometrus paverskite metrais. Laikykitės nurodytų plokštumos, lygiagrečių krantų ir horizontalaus žemės paviršiaus prielaidų; pakeitus bazinės atkarpos ilgį į nulį, akių aukštį į neigiamą reikšmę arba pakilimo kampą į statųjį, pasirinktas modelis gali nebegalioti.

Išnagrinėti pavyzdžiai

Pabandykite patys

1. Trikampio kraštinės yra a = 13 cm, b = 14 cm ir c = 15 cm. Patikrinkite, ar pagal SSS duomenis trikampis gali egzistuoti, tada raskite cos A, sin A ir tikslią jo ploto reikšmę. Ar kraštinės 3 cm, 4 cm ir 7 cm tenkintų tą pačią egzistavimo sąlygą?

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Trikampis, kurio kraštinės yra 13, 14, 15, gali egzistuoti. cos A = 3/5, sin A = 4/5 ir Δ = 84 cm². Duomenys 3, 4, 7 netenkina griežtosios sąlygos, nes 3 + 4 = 7, todėl gaunama išsigimusi konfigūracija.

   Visi ilgiai yra teigiami, o bet kurių dviejų kraštinių ilgių suma viršija trečiosios ilgį; tikrinant ilgiausią kraštinę gaunama 13 + 14 > 15. Pagal kosinusų teoremą cos A = (14² + 15² − 13²)/(2·14·15) = 252/420 = 3/5. Kadangi A yra vidinis kampas, jo sinusas yra teigiama reikšmė √(1 − 9/25) = 4/5. Taigi Δ = (1/2)(14)(15)(4/5) = 84 cm². Lygybė kitame kraštinių duomenų rinkinyje reikštų, kad viršūnės yra vienoje tiesėje, o plotas lygus nuliui.

2. Kai b = 6 m, c = 9 m, o kampas tarp jų A = 60°, raskite tikslias nežinomos kraštinės a ir ploto reikšmes. Nurodykite, kodėl duomenys apibrėžia vieną formą.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   a = 3√7 m ir Δ = 27√3/2 m². Teigiami kraštinių ilgiai ir vidinis kampas tarp jų pagal SAS duomenis apibrėžia vieną neišsigimusią formą iki kongruencijos.

   Pagal kosinusų teoremą a² = 36 + 81 − 2(6)(9)(1/2) = 63, todėl imame teigiamą šaknį 3√7. Plotas yra (1/2)(6)(9)(√3/2) = 27√3/2 m². Kampas yra griežtai tarp 0° ir 180°, todėl koordinačių sistemoje aukštinė 6 sin 60° yra teigiama; konstrukcija pagal SAS yra vienintelė, neskaitant standžiojo judesio ar atspindžio.

3. Duota A = 30°, B = 45° ir a = 2 m. Nustatykite duomenų tipą, raskite tikslias C, b ir c reikšmes ir paaiškinkite, kodėl yra vienas trikampis.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Tai AAS duomenys. C = 105°, b = 2√2 m ir c = √6 + √2 m. Yra viena forma, nes teigiamas trečiasis kampas nustato panašumo klasę, o teigiamas kraštinės a ilgis nustato jos mastelį.

   Kraštinė tarp žinomų kampų būtų c, o duotoji a yra prieš kampą A. Iš 180° atimkite abu kampus ir gausite 105°. Pagal sinusų teoremą b = 2 sin 45°/sin 30° = 2√2 ir c = 2 sin 105°/sin 30° = 4 sin 105°. Pagal kampų sumos sinuso formulę sin 105° = sin(60° + 45°) = (√6 + √2)/4, todėl c = √6 + √2. Visi kampai ir ilgiai yra teigiami.

4. Palikite A = 30° ir b = 6 m. Atskirai kiekvienu atveju, kai a = 2 m, 3 m, 4 m ir 6 m, nurodykite galimų SSA trikampių skaičių ir pateikite visas leistinas tikslias trečiosios kraštinės c reikšmes. Nustatykite leistiną ribinį atvejį, kai trikampis yra statusis.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   a = 2: nė vieno. a = 3: vienas, c = 3√3 m, kai B = 90°. a = 4: du, c = 3√3 + √7 m arba 3√3 − √7 m. a = 6: vienas, c = 6√3 m; kitas algebrinis sprendinys atmetamas, nes kraštinės ilgis lygus nuliui.

   Čia h = 6 sin 30° = 3, o b cos A = 3√3. Kai a = 2, sutrumpintasis diskriminantas D yra 4 − 9 < 0. Kai a = 3, jis lygus nuliui, todėl gaunamas teigiamas lietimosi taškas ir statusis kampas B. Kai a = 4, D = 16 − 9 = 7, o abi šaknys teigiamos, nes 27 > 7. Kai a = 6, √D = √27 = 3√3, todėl c = 6√3 arba 0. Palikite tik teigiamus, nesikartojančius kraštinės ilgius.

5. Atskirai nustatykite, kiek trikampių atitinka kiekvieną iš šių dviejų kraštinių ir kampo prieš vieną iš jų (SSA) duomenų rinkinių, ir, jei įmanoma, raskite c: (A, a, b) = (90°, 5 m, 5 m), (90°, 13 m, 5 m), (120°, 5 m, 5 m) ir (120°, 6 m, 5 m).

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Pagal pirmąjį ir trečiąjį duomenų rinkinius neišsigimusio trikampio nėra. Antrąjį atitinka vienas trikampis, kurio c = 12 m. Ketvirtąjį atitinka vienas trikampis, kurio c = (√69 − 5)/2 m.

   Kai A yra statusis arba bukasis kampas, vienas trikampis egzistuoja tada ir tik tada, kai a > b. Kai A = 90° ir a = b, vienintelė galima trečiosios kraštinės ilgio reikšmė yra 0. Kai a = 13 ir b = 5, c = √(169 − 25) = 12. Kai A = 120° ir a = b = 5, sprendinys su pliuso ženklu taip pat lygus nuliui. Kai a = 6, b cos A = −5/2, o D = 36 − 75/4 = 69/4, todėl sprendinys su pliuso ženklu yra (√69 − 5)/2 > 0, o sprendinys su minuso ženklu yra neigiamas.

6. Plokštumos modelyje dviejų tiesių spindulių, išeinančių iš to paties taško, azimutai yra 350° ir 070°, o atstumai iki galinių taškų – 3 km ir 4000 m. Raskite vidinį kampą tarp jų, atstumą tarp galinių taškų ir trikampio plotą. Pateikite tikslias trigonometrines išraiškas, o galutines atstumo ir ploto reikšmes suapvalinkite iki dviejų skaitmenų po kablelio.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Kampas tarp spindulių yra 80°. Atstumas = √(25 − 24cos 80°) km ≈ 4.56 km. Plotas = 6sin 80° km² ≈ 5.91 km².

   Paverskite 4000 m į 4 km. Krypčių skirtumas, matuojamas pagal laikrodžio rodyklę, sumažinamas iki 80°; iki pilnojo kampo jį papildantis skirtumas yra 280°, tačiau tai nėra įprastas vidinis kampas. Pagal kosinusų teoremą atstumo kvadratas yra 3² + 4² − 2(3)(4)cos 80° = 25 − 24cos 80°. Plotas, apskaičiuotas pagal kampą tarp kraštinių, yra (1/2)(3)(4)sin 80°. Aiškiai nurodykite kampo matavimo vienetą ir ploto vienetą – kvadratinį kilometrą.

7. Tiesi 20 m ilgio bazinė atkarpa AB yra išilgai vieno tiesaus kranto. Horizontaliosios plokštumos modelyje taškas C, esantis kitame, lygiagrečiame krante, sudaro vidinius kampus A = 30° ir B = 45°. Raskite statmenai krantams matuojamą plotį tiksliai ir suapvalintą iki dviejų skaitmenų po kablelio, atskirdami jį nuo AC ir BC.

   Rodyti atsakymą ir paaiškinimą

   Plotis h = 20/(√3 + 1) = 10(√3 − 1) m ≈ 7.32 m. Kraštinių išilgai stebėjimo linijų ilgiai yra AC = 20(√3 − 1) m ir BC = 10(√6 − √2) m; abu jie didesni už h.

   Kadangi abu kampai prie pagrindo yra smailieji, aukštinės pagrindas yra tarp A ir B. Jei jo atstumas nuo A yra x, tai x = h cot 30° = h√3, o 20 − x = h cot 45° = h. Sudėję gausite 20 = h(√3 + 1), tada pašalinkite iracionalumą iš vardiklio. Kraštinių ilgiai gaunami iš AC = h/sin 30° = 2h ir BC = h/sin 45° = h√2. Prielaidos apie krantus leidžia šią statmeną aukštinę laikyti pločiu; jis nėra nė vienas iš įstrižų atstumų išilgai stebėjimo linijų.

Ką verta įsidėmėti

• Įprasto trikampio kraštinių ilgiai yra teigiami ir išreikšti tais pačiais matavimo vienetais, vidiniai kampai yra griežtai tarp 0 ir π, o jų suma lygi π; galioja griežtosios trikampio nelygybės, o plotas yra teigiamas. Kraštinės a, b, c yra atitinkamai prieš kampus A, B, C.
• Kosinusų teorema išplaukia iš atstumo koordinačių plokštumoje kvadrato formulės ir galioja smailiesiems, statiesiems ir bukiesiems trikampiams. Kai duomenys atitinka trikampio egzistavimo sąlygas, arccos duoda vienintelį vidinį kampą; kraštinės ilgiui imkite teigiamą kvadratinę šaknį.
• Plotas lygus pusei dviejų kraštinių ilgių ir kampo tarp jų sinuso sandaugos. Tas pats teigiamas plotas leidžia įrodyti, kad sin A/a = sin B/b = sin C/c, o dalybą iš kiekvieno vardiklio pagrindžia trikampio prielaidos.
• Trikampio egzistavimo sąlygas atitinkantys SSS ir SAS duomenys apibrėžia vienintelį trikampį iki lygumo. Šias sąlygas atitinkantys ASA ir AAS duomenys apibrėžia trikampių panašumo klasę, o viena žinoma teigiamo ilgio kraštinė nustato mastelį.
• Galimi SSA sprendiniai tenkina lygtį c = b cos A ± √(a² − b² sin² A). Ši visus apskritimo ir spindulio sankirtos atvejus apimanti lygtis duoda ne daugiau kaip du skirtingus trikampius; palikite skirtingus teigiamus trečiosios kraštinės ilgius ir patikrinkite, ar likę kampai teigiami.
• Kai A yra smailusis kampas ir h = b sin A: jei a < h, trikampių nėra; jei a = h, gaunamas vienas tinkamas statusis trikampis; jei h < a < b, gaunami du trikampiai; jei a ≥ b, gaunamas vienas. Kai A yra statusis arba bukasis kampas, a > b duoda vieną trikampį, o a ≤ b – nė vieno.
• Prieš skaičiuodami išsiaiškinkite krypties kampų, vidinių kampų, kraštinių ilgio vienetų ir modelio prielaidų reikšmę. Statmena aukštinė skiriasi nuo kraštinės išilgai matymo linijos, tikslūs dydžiai skiriasi nuo suapvalintų rezultatų, o baigtiniai brėžiniai iliustruoja išsamius įrodymus, bet patys jų neatstoja.